MATLAB6.0数学手册 第5章 优化问题
Matlab中的最优化问题求解方法
Matlab中的最优化问题求解方法近年来，最优化问题在各个领域中都扮演着重要的角色。
无论是在工程、经济学还是科学研究中，我们都需要找到最优解来满足特定的需求。
而Matlab作为一种强大的数值计算软件，在解决最优化问题方面有着广泛的应用。
本文将介绍一些Matlab中常用的最优化问题求解方法，并探讨其优缺点以及适用范围。
一. 无约束问题求解方法1. 最速下降法最速下降法是最简单且直观的无约束问题求解方法之一。
其基本思想是沿着梯度的反方向迭代求解，直到达到所需的精度要求。
然而，最速下降法的收敛速度通常很慢，特别是在局部极小值点附近。
2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法。
它利用了无约束问题的二次函数特性，通过选择一组相互共轭的搜索方向来提高收敛速度。
相比于最速下降法，共轭梯度法的收敛速度更快，尤其适用于大规模优化问题。
3. 牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化方法。
它通过构建并求解特定的二次逼近模型来求解无约束问题。
然而，牛顿法在高维问题中的计算复杂度较高，并且需要矩阵求逆运算，可能导致数值不稳定。
二. 线性规划问题求解方法1. 单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划问题求解方法。
它通过在可行域内进行边界移动来寻找最优解。
然而，当问题规模较大时，单纯形法的计算复杂度会大幅增加，导致求解效率低下。
2. 内点法内点法是一种改进的线性规划问题求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过将问题转化为一系列等价的非线性问题来求解。
内点法的优势在于其计算复杂度相对较低，尤其适用于大规模线性规划问题。
三. 非线性规划问题求解方法1. 信赖域算法信赖域算法是一种常用的非线性规划问题求解方法。
它通过构建局部模型，并通过逐步调整信赖域半径来寻找最优解。
信赖域算法既考虑了收敛速度，又保持了数值稳定性。
2. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。
它模拟遗传操作，并通过选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。
遗传算法的优势在于其适用于复杂的非线性规划问题，但可能需要较长的计算时间。
Matlab中的优化问题求解方法与示例分析
Matlab中的优化问题求解方法与示例分析介绍在科学与工程领域，优化问题是一个常见且重要的研究方向。
优化问题的目标是在给定的约束条件下，找到使得目标函数取得最优值的变量取值。
Matlab作为一个著名的科学计算软件，提供了丰富的优化问题求解方法。
本文将介绍Matlab中常用的优化问题求解方法，并通过实例分析来展示其应用。
一、线性规划问题的求解方法线性规划问题（Linear Programming）是一类目标函数与约束条件均为线性关系的优化问题。
Matlab中提供了线性规划问题求解的函数“linprog”和“intlinprog”。
1. linprog函数linprog函数用于求解线性规划问题，其使用方法如下：```[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，f为目标函数的系数向量，A和b为不等式约束的系数矩阵和常数向量，Aeq和beq为等式约束的系数矩阵和常数向量，lb和ub为变量的下界和上界。
2. intlinprog函数intlinprog函数用于求解整数线性规划问题，即变量取值为整数的线性规划问题。
其使用方法与linprog类似，但需要添加一个参数“options”，用于设置求解器的选项。
二、非线性规划问题的求解方法非线性规划问题（Nonlinear Programming）是一类目标函数或约束条件存在非线性关系的优化问题。
Matlab中提供了多种非线性规划问题求解的函数，包括“fminunc”、“fmincon”和“lsqnonlin”。
1. fminunc函数fminunc函数用于求解没有约束条件的非线性规划问题，其使用方法如下：```[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0)```其中，fun为目标函数的句柄，x0为变量的初始猜测值。
2. fmincon函数fmincon函数用于求解带约束条件的非线性规划问题，其使用方法如下：```[x, fval, exitflag, output, lambda] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```参数的含义与linprog函数中的相对应参数相似，但需要注意的是，A、b、Aeq 和beq都是针对不等式约束和等式约束的系数矩阵和常数向量；lb和ub为变量的下界和上界。
Matlab中的优化问题求解方法
Matlab中的优化问题求解方法在数学和工程领域，优化问题是一个重要的研究方向。
通过寻找最优解，可以提高系统的效率和性能。
Matlab提供了丰富的工具箱和函数，可以用于解决各种不同类型的优化问题。
本文将介绍一些常见的优化问题求解方法，并针对它们在Matlab中的应用进行分析和讨论。
第一种常见的优化问题求解方法是线性规划（Linear Programming，LP）。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
通过寻找使得目标函数达到最大或最小的变量取值，可以获得问题的最优解。
Matlab中的优化工具箱提供了linprog函数，可以用于求解线性规划问题。
该函数采用单纯形算法或内点算法进行求解，并且可以处理带有等式和不等式约束的问题。
用户只需提供目标函数系数、约束矩阵和约束向量，即可得到问题的最优解和最优值。
除了线性规划，二次规划（Quadratic Programming，QP）也是常见的优化问题求解方法。
在二次规划中，目标函数是一个二次函数，约束条件可以是线性的或二次的。
Matlab中的优化工具箱提供了quadprog函数，可以用于求解二次规划问题。
该函数基于内点算法或者信赖域反射算法进行求解。
用户只需提供目标函数的二次项系数、一次项系数以及约束矩阵和约束向量，即可得到问题的最优解和最优值。
除了线性规划和二次规划，非线性规划（Nonlinear Optimization）也是常见的优化问题求解方法。
与线性规划和二次规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件可以是非线性的。
Matlab中的优化工具箱提供了fmincon函数，可以用于求解约束非线性优化问题。
该函数采用内点法、SQP法或者信赖域反射法进行求解。
用户需要提供目标函数、约束函数以及约束类型，并设定初始解，即可得到问题的最优解和最优值。
除了上述三种基本的优化问题求解方法，约束最小二乘（Constrained Least Squares）问题也是一个重要的优化问题。
MATLAB之优化问题求解
骣 - 5÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ f = ç 4 ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç 6 ÷ 桫 ÷
骣 1 - 1 1÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ A= ç 3 2 4 ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç 3 2 0 ÷ 桫
骣 20 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ b= ç 42 ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç 30 ÷ 桫 ÷
谢 谢 大 家
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
有约束非线性规划
min f (X) s. t . A祝 X Aeq?X b beq
C(X) £ 0 Ceq(X) = 0 lb ＃ X ub
[x,f]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nl)
有约束非线性规划
求下面问题在初始点(0,1)处的最优解
2 2 min x 1 + x2 - x 1x 2 - 2x 1 - 5x 2
s.t . - (x 1 - 1)2 + x 2 ? 0 2x 1 - 3x 2 + 6 ? 0
有约束非线性规划
fun=‘x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)’;
MATLAB之
优化问题求解
一元函数极值
[x,f]=fminbnd(F,a,b);%函数F在[a,b]上的极小值
[x,f]=fminsearch(F,x0);%函数F在x0附近的极小值
多元函数某点处极值 [x,f]=fminsearch(F,x0);%单纯形法求函数F(x,y)
在x0点附近的极小值
A eq = (1,1,1)
beq = 18
骣 0÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ lb = ç 0 ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç 0 ÷ 桫÷
使用Matlab进行优化与最优化问题求解
使用Matlab进行优化与最优化问题求解引言：优化与最优化问题在科学、工程和金融等领域中具有重要的应用价值。
在解决这些问题时，选择一个合适的优化算法是至关重要的。
Matlab提供了许多用于求解优化问题的函数和工具箱，能够帮助我们高效地解决各种复杂的优化与最优化问题。
一、优化问题的定义优化问题是通过选择一组最佳的决策变量值，使目标函数在约束条件下达到最优值的问题。
通常，我们将优化问题分为线性优化问题和非线性优化问题。
在Matlab中，可以使用线性规划（Linear Programming）工具箱和非线性规划（Nonlinear Programming）工具箱来解决这些问题。
其中，线性规划工具箱包括linprog函数，而非线性规划工具箱则包括fmincon和fminunc等函数。
二、线性规划问题的求解线性规划问题的数学模型可以表示为：```minimize f'*xsubject to A*x ≤ blb ≤ x ≤ ub```其中，f是目标函数的系数矩阵，A是不等式约束条件的系数矩阵，b是不等式约束条件的右侧向量，lb和ub是变量的上下界。
在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
该函数的调用格式为：```[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，x是最优解向量，fval是目标函数的最优值，exitflag标志着求解的结果状态，output包含了详细的求解过程。
三、非线性规划问题的求解非线性规划问题的数学模型可以表示为：```minimize f(x)subject to c(x) ≤ 0ceq(x) = 0lb ≤ x ≤ ub```其中，f(x)是目标函数，c(x)和ceq(x)分别是不等式约束条件和等式约束条件，lb和ub是变量的上下界。
在Matlab中，可以使用fmincon函数来求解非线性规划问题。
Matlab技术优化算法演示与讲解
Matlab技术优化算法演示与讲解近年来，随着科技的不断发展和应用领域的扩大，优化算法在解决实际问题中起到了重要的作用。
而Matlab作为一种功能强大的数学软件，其内置的优化算法工具包更是为解决复杂问题提供了便利。
本文将就Matlab技术中的优化算法进行演示和讲解，希望能给读者带来一些启发和帮助。
一、优化问题的概述优化问题可以理解为在给定的约束下，找到最优解的过程。
在实际应用中，优化问题的种类繁多，涉及到经济、工程、设计等多个领域。
Matlab提供了多种优化算法，能够解决不同类型的优化问题。
二、目标函数与约束在优化问题中，目标函数是需要最小化或最大化的函数。
约束则是目标函数需要满足的条件。
在Matlab中，我们可以使用符号计算工具箱来定义目标函数和约束条件。
这样可以方便地进行符号计算和优化算法的应用。
三、最优化算法的分类在Matlab中，最优化算法可分为无约束优化算法和有约束优化算法两类。
在无约束优化算法中，常用的有梯度下降法、拟牛顿法等。
而有约束优化算法则包括线性规划、非线性规划等方法。
四、最优化算法的应用案例为了更好地理解和演示Matlab中的最优化算法，我们选取了一个经典的案例：拟合曲线问题。
假设我们需要根据给定的数据点，找到最佳拟合曲线。
在Matlab 中，可以使用最小二乘法进行曲线拟合，即将目标函数定义为误差的平方和，通过最优化算法求得最佳拟合曲线的参数。
五、案例演示首先，我们准备了一组数据点，作为拟合目标。
通过绘制散点图，我们可以直观地观察到数据点的分布特征。
接下来，我们定义了目标函数和约束条件，并使用最小二乘法进行优化。
最后，通过绘制拟合曲线和数据点，可以清晰地看到优化算法的效果。
六、优化算法的性能评估在实际应用中，我们需要对优化算法的性能进行评估，以选择合适的算法来解决问题。
常用的性能评估指标包括收敛速度、精确度和稳定性等。
在Matlab中，可以使用内置的性能评估函数来进行评估，比如计算优化算法的收敛速度和最优解的精确度等。
优化问题的Matlab求解方法
优化问题的Matlab求解方法引言优化问题在实际生活中有着广泛应用，可以用来解决很多实际问题。
Matlab作为一款强大的数学计算软件，提供了多种求解优化问题的方法。
本文将介绍在Matlab中求解优化问题的常见方法，并比较它们的优缺点。
一、无约束无约束优化问题是指没有约束条件的优化问题，即只需要考虑目标函数的最大或最小值。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来求解无约束优化问题。
该函数使用的是拟牛顿法（quasi-Newton method），可以迭代地逼近最优解。
拟牛顿法是一种迭代方法，通过逐步近似目标函数的梯度和Hessian矩阵来求解最优解。
在使用fminunc函数时，需要提供目标函数和初始点，并可以设置其他参数，如迭代次数、容差等。
通过不断迭代，拟牛顿法可以逐步逼近最优解。
二、有约束有约束优化问题是指在优化问题中加入了约束条件。
对于有约束优化问题，Matlab提供了多种求解方法，包括线性规划、二次规划、非线性规划等。
1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都为线性的优化问题。
在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
该函数使用的是单纯形法（simplex method），通过不断迭代来逼近最优解。
linprog函数需要提供目标函数的系数矩阵、不等式约束矩阵和约束条件的右手边向量。
通过调整这些参数，可以得到线性规划问题的最优解。
2. 二次规划二次规划是指目标函数为二次型，约束条件线性的优化问题。
在Matlab中，可以使用quadprog函数来求解二次规划问题。
该函数使用的是求解二次规划问题的内点法（interior-point method），通过迭代来求解最优解。
quadprog函数需要提供目标函数的二次项系数矩阵、线性项系数矩阵、不等式约束矩阵和约束条件的右手边向量。
通过调整这些参数，可以得到二次规划问题的最优解。
3. 非线性规划非线性规划是指目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性的优化问题。
MATLAB优化问题
x=fminunc(@f,x0,options,P1,P2,...)
x=fminsearch(@f,x0,options,P1,P2,...)
例1：min (3sinx x) x [1,8]
例2：min x2 y2 ab
其中a b 2
非线性最小二乘法
r (x) y f (t , x)
i
• OR/MS/DS的基础:OR(运筹学,Operations/-al Research)
MS(管理科学,Management Science)
DS(决策科学,Decision Science)
•解工决程优技化术/决/经策济问管题理的/科手学段研究/社会生活中经常遇到
• 经验积累，主观判断
• 作试验，比优劣
优 ✓ 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP)
化 ✓ 一般整数规划，0-1（整数）规划
优化(Optimization), 规划(Programming)
无线 约性 束规 优划 化
非 线 性 规 划
整 数 规 划
组 合 优 化
不 确 定 规 划
多 目 标 规 划
目 标 规 划
网动 络态 优规 化划
3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数 （如x/y <5 改为x<5y）
4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103)
常用优化软件
1. MATLAB优化工具箱 2. LINGO软件 /~jxie/lindo) (参见以下网址，密码：“清华大学LINGO”) 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
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第5章 优化问题5.1 线性规划问题线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MA TLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：min n R x x f ∈'sub.to ：b x A ≤⋅b e q x A e q =⋅ub x lb ≤≤其中f 、x 、b 、beq 、lb 、ub 为向量，A 、Aeq 为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MA TLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming ）已用函数linprog 取代了MA TLAB5.x 版中的lp 函数。
当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。
函数 linprog格式 x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束beq x Aeq =⋅，若没有不等式约束b x A ≤⋅，则A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x 的范围ub x lb ≤≤，若没有等式约束beq x Aeq =⋅ ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定的优化参数[x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值，即fval= f ' *x 。
[x,lambda,exitflag] = linprog(…) % lambda 为解x 的Lagrange 乘子。
[x, lambda,fval,exitflag] = linprog(…) % exitflag 为终止迭代的错误条件。
[x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(…) % output 为关于优化的一些信息说明 若exitflag>0表示函数收敛于解x ，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x ；若lambda=lower 表示下界lb ，lambda=upper 表示上界ub ，lambda=ineqlin 表示不等式约束，lambda=eqlin 表示等式约束，lambda 中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations 表示迭代次数，output=algorithm 表示使用的运算规则，output=cgiterations 表示PCG 迭代次数。
例5-1 求下面的优化问题min 321x 6x 4x 5---sub.to 20x x x 321≤+-42x 4x 2x 3321≤++30x 2x 321≤+321x 0,x 0,x 0≤≤≤解：>>f = [-5; -4; -6];>>A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0];>>b = [20; 42; 30];>>lb = zeros(3,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)结果为：x = %最优解0.000015.00003.0000fval = %最优值-78.0000exitflag = %收敛1output =iterations: 6 %迭代次数cgiterations: 0algorithm: 'lipsol' %所使用规则lambda =ineqlin: [3x1 double]eqlin: [0x1 double]upper: [3x1 double]lower: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =0.00001.50000.5000>> lambda.lowerans =1.00000.00000.0000表明：不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的5.2 foptions 函数对于优化控制，MA TLAB 提供了18个参数，这些参数的具体意义为：options(1)-参数显示控制（默认值为0）。
等于1时显示一些结果。
options(2)-优化点x 的精度控制(默认值为1e-4)。
options(3)-优化函数F 的精度控制(默认值为1e-4)。
options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。
options(5)-算法选择，不常用。
options(6)-优化程序方法选择，为0则为BFCG 算法，为1则采用DFP 算法。
options(7)-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用立方插算法。
options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda )options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。
options(10)-函数和约束估值的数目。
options(11)-函数梯度估值的个数。
options(12)-约束估值的数目。
options(13)-等约束条件的个数。
options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数）options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。
options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。
options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。
options(18)-步长设置 (默认为1或更小)。
Foptions 已经被optimset 和optimget 代替，详情请查函数optimset 和optimget 。
5.3 非线性规划问题5.3.1 有约束的一元函数的最小值单变量函数求最小值的标准形式为)x (f min x sub.to 21x x x <<在MA TLAB5.x 中使用fmin 函数求其最小值。
函数 fminbnd格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自变量x 在区间21x x x <<上函数fun 取最小值时x 值，fun 为目标函数的表达式字符串或MA TLAB自定义函数的函数柄。
x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options 为指定优化参数选项[x,fval] = fminbnd(…) % fval 为目标函数的最小值[x,fval,exitflag] = fminbnd(…) %xitflag 为终止迭代的条件[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) % output 为优化信息说明 若参数exitflag>0，表示函数收敛于x ，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x ；若参数output=iterations 表示迭代次数，output=funccount 表示函数赋值次数，output=algorithm 表示所使用的算法。
例5-2 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。
x 3e xlog x x cos x )x (f ++=解：>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)x =0.5223fval =0.3974exitflag =1output =iterations: 9funcCount: 9algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'例5-3 在[0，5]上求下面函数的最小值1)3x ()x (f 3--=解：先自定义函数：在MA TLAB 编辑器中建立M 文件为：function f = myfun(x)f = (x-3).^2 - 1;保存为myfun.m ，然后在命令窗口键入命令：>> x=fminbnd(@myfun,0,5)则结果显示为：x =35.3.2 无约束多元函数最小值多元函数最小值的标准形式为)x (f min x其中：x 为向量，如]x ,,x ,x [x n 21 =在MA TLAB5.x 中使用fmins 求其最小值。
命令 利用函数fminsearch 求无约束多元函数最小值函数 fminsearch格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun 为目标函数的表达式字符串或MA TLAB 自定义函数的函数柄。
x = fminsearch(fun,x0,options) % options 查optimset[x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值[x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag 与单变量情形一致[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output 与单变量情形一致注意：fminsearch 采用了Nelder-Mead 型简单搜寻法。
例5-4 求222132131x x x 10x x 4x 2y +-+=的最小值点解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0])结果为X =1.0016 0.8335或在MA TLAB 编辑器中建立函数文件function f=myfun(x)f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;保存为myfun.m ，在命令窗口键入>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])结果为：X =1.0016 0.8335命令 利用函数fminunc 求多变量无约束函数最小值函数 fminunc格式 x = fminunc(fun,x0) %返回给定初始点x0的最小函数值点x = fminunc(fun,x0,options) % options 为指定优化参数[x,fval] = fminunc(…) %fval 最优点x 处的函数值[x,fval,exitflag] = fminunc(…) % exitflag 为终止迭代的条件，与上同。