2011 关于多项式插值补充题
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
高一数学插值多项式
高一数学插值多项式1.因式、倍式：设)(),(x g x f 为两多项式，且0)(≠x g ，若存在)(x q 使得)()()(x q x g x f ⋅=，则称)(x f 为)(x g 的倍式，)(x g 为)(x f 的因式。
2.因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为一多项式，则b ax -为)(x f 的因式⇔0(=ab f 。
3.牛顿插值法：(1)设()f x 为一多项式﹐α为实数﹐若()0f α=﹐则1()()()f x x q x α=-⨯﹒(2)设()f x 为一多项式﹐α﹐β皆为相异实数﹐若()()0f f αβ==﹐则2()()()()f x x x q x αβ=-⨯-⨯﹒(3)以此类推﹐若12,,,n ααα 皆为相异实数﹐若12()()()0n f f f ααα==== ﹐则12()()()()()n f x x x x q x ααα=--⨯⨯- 4.拉格朗日（Lagrange ）插值多项式：设()f x 为一多项式﹐121,,,,n n αααα+ 为1n +个相异实数﹐则满足112211(),(),,(),()n n n n f f f f αβαβαβαβ++==== 的最低次多项式为23113112121311212321()()()()()()()()()()()()()n n n n x x x x x x f x ααααααββαααααααααααα++++--⨯⨯---⨯⨯-=⨯+⨯+--⨯⨯---⨯⨯- 12111121()()()()()()n n n n n n x x x αααβαααααα++++--⨯⨯-+⨯--⨯⨯- ※设()f x 为一多项式且11223344(),(),(),()f f f f αβαβαβαβ====(1)()f x 以12()()x x αα--除之﹐余式为21121221x x ααββαααα--⨯+⨯--【证明】(i)存在性：已知12αα≠﹐且1122(),()f f αβαβ==﹐即多项式()f x 以1x α-及2x α-除之﹐余式分别为1β及2β﹐若()f x 除以12()()x x αα--则可以表示为：12()()()()f x x x q x ax b αα=--++得111222()()f a b f a b ααβααβ=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩﹐利用- 得2121()a ααββ-=-﹐即2121a ββαα-=-，代入①可以得到211221b αβαβαα-=-所以212112122121()()()()f x x x q x x ββαβαβαααααα--=--++--12211221()()()()()x x x x q x βαβααααα--+-=--+-2112121221()()()x x x x q x ααααββαααα--=--+⨯+⨯--当()0q x =时﹐()f x 有最低次多项式21121221x x ααββαααα--⨯+⨯--﹐即21121221()x x f x ααββαααα--=⨯+⨯--﹒(ii)唯一性：满足1122(),()f f αβαβ==的最低次多项式21121221()x x f x ααββαααα--=⨯+⨯--为一次多项式﹐若()g x 为一次多项式且1122(),()g g αβαβ==﹐则令()()()F x f x g x =-﹐其中()F x 为至多一次的多项式﹐得111()()()0F f g ααα=-=﹐且222()()()0F f g ααα=-=∴()F x 为零多项式﹐故()()f xg x =(2)()f x 以123()()()x x x ααα---除之，余式为231312123121321233132()()()()()()()()()()()()x x x x x x ααααααβββαααααααααααα------⨯+⨯+⨯------﹒(3)设1234,,,αααα为四个相异实数且11223344(),(),(),()f f f f αβαβαβαβ====，则唯一满足()f x 条件的最低次多项式23413412121314212324()()()()()()()()()()()()()x x x x x x f x ααααααββαααααααααααα------=⨯+⨯------12312434313234414243()()()()()()()()()()()()x x x x x x ααααααββαααααααααααα------+⨯+⨯------典型例题1.若32()2f x x ax x b =+++能被22x x --整除﹐试求a ﹐b 之值﹒【解答】∵22(1)(2)x x x x --=+-∴()f x 能被22x x --整除﹐则()f x 能分别被1x +及2x -整除(1)0120(2)08440f a b f a b -=-+-+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+++=⎪⎪⎩⎩58a b =-⎧⎪⇒⎨=⎪⎩随堂练习.若32()22f x x ax bx =+++能被22x x +-整除﹐试求a ﹐b 之值﹒【解答】∵22(2)(1)x x x x +-=+-∴()f x 能被22x x +-整除﹐则()f x 能分别被2x +及1x -整除(2)0164220(1)0220f a b f a b -=-+-+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨=+++=⎪⎪⎩⎩15a b =⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩2.已知a ，b ，c ，d 为常数，且x 3+2x -1=ax (x -1)(x -2)+b (x -1)(x -2)+c (x -2)+d ，则(A)a =1(B)b =2(C)c =9(D)d =11(E)a +b +c +d =20【解1】x 3+2x -1=ax (x -1)(x -2)+b (x -1)(x -2)+c (x -2)+d=a (x 3-3x 2+2x )+b (x 2-3x +2)+cx -2c +d=ax 3+(-3a +b )x 2+(2a -3b +c )x +2b -2c +d比较系数a =1，-3a +b =0，2a -3b +c =2，2b -2c +d =-1∴a =1，b =3a =3，c =-2a +3b +2=9，d =-2b +2c -1=11【解2】利用综合除法，依次除以x -2，x -1，x 得d ，c ，b ，a故选(A)(C)(D)随堂练习.设x3+x+4=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d﹐求a﹐b﹐c﹐d之值﹒【解1】x3+x+4=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d令x=1﹐6=d；令x=2﹐8+2+4=c+d⇒c=8令x=3﹐27+3+4=2b+2c+d⇒34=2b+16+6⇒b=6令x=-1﹐-1-1+4=-24a+6b-2c+d⇒-24a+36-16+6=2⇒a=1【解2】利用综合除法x3+x+4依次除以x-1﹐x-2﹐x-3所得余式依次为d﹐c﹐b及a（最后的商）3.多项式f(x)=ax2+bx+c满足f(2010)=4﹐f(2011)=2﹐f(2012)=6﹐请以牛顿插值法与拉格朗日插值法两种方法算出此多项式﹒【解答】(1)牛顿插值法：令f(x)=a(x-2010)(x-2011)+d(x-2010)+e﹐f(2010)=4⇒e=4﹐f(2011)=2⇒d+4=2⇒d=-2﹐f(2012)=6⇒2a-4+4=6⇒a=3﹐∴f(x)=3(x-2010)(x-2011)-2(x-2010)+4﹒拉格朗日插值法﹕令f(x)=a1(x-2010)(x-2011)+a2(x-2010)(x-2012)+a3(x-2011)(x-2012)﹐f(2010)=4⇒2a3=4⇒a3=2﹐f(2011)=2⇒-a2=2⇒a2=-2﹐f(2012)=6⇒2a1=6⇒a1=3﹐∴f(x)=3(x-2010)(x-2011)-2(x-2010)(x-2012)+2(x-2011)(x-2012)﹒4.设deg f(x)=3，f(2)=f(-1)=f(4)=3，f(1)=-9，则f(0)=。
讲解多项式插值(包含例题)
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
第三章多项式插值方法习题
4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章 习 题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
数值分析—插值拟合复习题
nk-1 由差分定义递推,查 n=k-1,k-2,…
(3f) ok!
(6). (c10 分)设 g(x)和 h(x)分别是 f(x)关于互异节点 x1,…, xn-1 以及互异
节点 x2,…, xn 的插值多项式，试用 g(x)和 h(x)表示 f(x)关于互异节 点 x1,…, xn 的插值多项式. 解：令 q(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)
方法与 Newton 插值方法所得多项式 相等 (相等, 不相等)
§2. 计算题
(1). (a10 分)依据下列函数值表，建立不超过 3 次的 lagrange 插值多项 式 L3(x).
x 012 3 f(x) 1 9 23 3 解：基函数分别为
l0(x)=-
1 8
x3+
7 8
x2-
7 4
x+1
l1(x)= 1 x 3 2x 2 8 x
2. 方程的根
(1). 用 Newton 法求方程 f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值 x0= 1.5, 则
x1= (3)
【 x1=1.5970149】
(2). 迭代公式 xk+1=xk (xk2+3a)/(3xk2+a)是求 a1/2 的 (12) 阶方法
3. 方程组直接解法
4. 迭代解法
f (x)
P1( x)
(b a)2 8
max
a xb
f
( x)
x [a, b]
证明：利用插值余项结果可得线性插值多项式 P1(x)在子区间[a,b]上的
余项估计式，再估计最值 ok!
f ( x) P1( x)
多项式习题解答
第一章多项式习题解答P44. 1. 用)(x g 除•x f )(,求商)(x q 和余式)(x r .解: 1)17262()()()()3999f xg x x x =-+--. 92926)(,9731)(--=--=x x r x x q . 2)2()()(1)(57)f x g x x x x =+-+-+. 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2. 求m , p ,q 适合什么条件时, 有1) q px x mx x ++-+32|1 2) q px x mx x ++++242|)1(.解: 1) 方法1.q px x mx x ++-+32|1 x-mx 3+mx 2-x-m x 2+(p +1)x +q-m x 2-m 2x +m2(1)()()p m x q m r x +++-=由余式2(1)()0p m x q m +++-=得:21m q p q =⎧⎨=-⎩. 方法2. 设))(1(23q x mx x q px x --+=++, 两个多项式相等当且仅当同次项系数对应相等, 于是⎩⎨⎧=--=-p mq q m 10, 即21m q p q =⎧⎨=-⎩. 2) 解: 假设))((,|)(q ax x 1mx x q px x q px x 1mx x 2224242++++=++++++则,展开右边与左边比较, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+pma q a mq a m 100,消去a , 得⎩⎨⎧=+-=-p m q m mq 102 , 所以当m 0时, q=1, p=2-m 2; 当m=0时, p=q+1.3. 求g (x )除f (x )的商)(x q 和余式)(x r .解: 用综合除法求商和余式.1) 3)(,83552)(+=--=x x g x x x x f .解: 作综合除法算式:得：.327)3)(109391362()(234-++-+-=x x x x x x f商.327)(,109391362)(234-=+-+-=x r x x x x x q 余式为2) .21)(,23)(i x x g x x x x f +-=--=解: 商q(x)=22(52)x ix i --+, 余式r(x)=98i -+.4. 把f (x )表成(x-x 0)的方幂和.1) 50(),1f x x x ==.解: 用综合除法:155432()(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1f x x x x x x ∴=-+-+-+-+-+.当然也可以55()[(1)1]f x x x ==-+=5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1x x x x x -+-+-+-+-+. 2) 42432()23(2)8(2)22(2)24(2)11f x x x x x x x =-+=+-+++-++ 3) 432()2(1)37f x x ix i x x i =+-++++432432()2()(1)()3()7()2()(1)()5()75x i i i x i i i x i i x i i i x i i x i i x i x i i =+-++--++--+-++=+-++++-+++ 5. 求f (x ), g (x )的最大公因式.1) f (x )=x 4+x 33x 24x 1, g (x )=x 3+x 2x 1.解法1: 作辗转除法:f (x )g (x )q 1(x )=x x 4+x 33x 24x 1 x 3+x 2x 1–21x+41=q 2(x) x 4+x 3x 2 x x 3+(3/2)x 2 +(1/2) x 38x+34 r 1(x)= 2x 23x 1 (1/2) x 2(3/2) x 1 =q 3(x ) 2x 22x (1/2) x 2(3/4) x (1/4) x1 r 2(x)=(3/4) x (3/4) x10 ((),())1f x g x x =+.解法2: 由于最大公因式的常数倍仍然是最大公因式, 所以, 在辗转相除的过程中, 为了方便可以给多项式乘以一个非零常数.f (x )g (x )q 1(x )=x x 4+x 33x 24x1 x 3+x 2x 12x 3+2x 22x 2 –x +1=q 2(x )x 4+x 3 x 2 x 2x 3+3x 2 + x2x -1 r 1(x)= 2x 23x 1 x 23 x 22x 26 x 4=q 3(x ) 2x 22x 2 x 23 x 1x 1 3 x 3x 1 x +10 ((),())1f x g x x =+. 解法3: )13)(1()(3--+=x x x x f , 22()(1)(21)(1)(1)g x x x x x x =-++=-+,((),())f x g x x =+ 2)32()31g x x x =-+不可约, 14)(34+-=x x x f 不可约, ∴()(),()1f x g x =. 3))122)(122(110)(2224---+=+-=x x x x x x x f4323222()61,())(1)g x x x f x x x x =-+++=-++=--∴()2(),()1f x g x x =--6. 求u (x ), v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=(f (x ), g (x )).1) 242)(234---+=x x x x x f , 22)(234---+=x x x x x g解法1: )2()1()(22-+=x x x f , 22()(2)(1)g x x x x =-++.因为1)1,1(2=+++x x x , 所以(f (x ), g (x )) = x 2 2.因为[]22(1)(1)(1)(2)1x x x x x +-+++++=, 所以2)()()()(2-=+x x g x v x f x u , 即 []22222(1)(1)(2)(2)(1)(2)2x x x x x x x x -++-++++-=-.解法2：作辗转除法:g (x ) f (x )q 2(x )=x +1 22)(234---+=x x x x x g 242)(234---+=x x x x x f q 1(x )=1x 4-2x 2 22234---+x x x xx 3+x 2-2x -2 r 1(x )= x 3-2x q 3(x )=x x 3-2x x 3-2xr 2(x)=x 2-2 r 3=0因为r 2(x)| r 1(x ), 所以(f (x ), g (x )) = r 2(x) = x 2-2. 再由)()()()(),()()()(22111x r x q x r x g x r x q x g x f +=+=, 得)].()[())()(1)(()(),()]()()([)()()()()(221221212x q x f x q x q x g x r x q x q x g x f x g x q x r x g x r -++=--=-=令u (x )=-(x +1), v (x )=(x +2), 则2(2)(1)()(2)()x x f x x g x -=-+++.2) (f (x ), g (x )) = r 2(x) = x -1.21221(1)()(1)()333x x f x x x g x -=--+--. 3)144)(234++--=x x x x x f , 2()1g x x x =--∴2()()(3)(2)f x g x x x =-+-, ()(2)(1)1g x x x =-++∵21((3))(1)f g x x g =---++，132(1)()(32)()x f x x x x g x =-+++--.7. 如果f (x )和g (x )的公因式是一个二次多项式, 求t,u 的值. 其中u tx x x g u x x x x f ++=++++=223)(,22)41()(.解: 22()()1(1)(2),()(1)(2)f x g x t x t x u r x t x t x u =+++-+=++-+.2222212()(2)2()()()(1)1(1)(1)(1)t t t u t t g x r x x x u t t t t -+++--=+++-++++ 由题意()()()|()r x x r x g x 与g 的公因式应为二次所以. 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=-++-+0)1()3(t)(10)4()3(322223t u t t u t u t t . ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++-+-≠0)3(0)4()3(3 .)(,1223u t t u t u t t x r t 为一次的否则得 解出(ⅰ)当.0)1)(4(,04330223=+-+=+-+=t t t t t t u 时 ∴¡32¡314π±=±=-=e t t 或. (ⅱ)311,03,02t t t t u -=+=++≠只有时当. )433(31433)4()3(3233232+-+-=++-+=⇒-++-+t t t t t t t t u u t u t t . ∴)4(2]246)82)(3[(3122+-=++-+++-=t t t t t t u 即⎩⎨⎧=+++-=03)4(22t t t u , 2111i t ±-=, i u 117--=. 8. 证明: 如果()|(),()|()d x f x d x g x , 且()d x 是f(x)和g(x)的一个组合, 那么d(x)是f (x )和g (x )的一个最大公因式.证明: 因为()|(),()|()d x f x d x g x , 所以()d x 是f (x )和g (x )的一个公因式. 又已知：()()()d x f x g x 是与的组合, 所以存在u (x ), v (x )P[x ]使得u(x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).若()|(),()|(),()|()h x f x h x g x h x d x 得, 所以()d x 是一个最大的公因式.9. 证明(()(),()())((),())().f x h x g x h x f x g x h x =（()h x 的首系=1）证：设(()(),()())()f x h x g x h x m x =, ()((),())()()()().d x f x g x u x f x v x g x ==+ 由()()|()()d x h x f x h x , ()()|()()d x h x g x h x , 得()()d x h x 是f (x )h (x )和g (x )h (x )的一个公因式. 所以()()|()d x h x m x .考虑到()()()()(),d x u x f x v x g x =+()()((),())()()()()()()().d x h x f x g x h x u x f x h x v x g x h x ∴==+因为()|()(),()|()()m x f x h x m x g x h x , 所以由上式得, ()|()()m x d x h x . 而h (x )的首项系数为1，所以()()()m x d x h x =, 即((),())()(()(),()()).f x g x h x f x h x g x h x =10. 如果(),()f x g x 不全为0, 证明()()(,) 1.((),())((),())f xg x f x g x f x g x = 证： 设()((),()).d x f x g x = 由(),()f x g x 不全为0得()0.d x ≠设1()()(),f x d x f x = 1()()(),g x d x g x =及()()()()().d x u x f x v x g x =+则11()()()()()()().d x u x f x d x v x g x d x =+消去()0d x ≠得111()()()()u x f x v x g x =+. ()()(,) 1.((),())((),())f xg x f x g x f x g x = 11. 证明: 如果(),()f x g x 不全为0, 且()()()()((),())u x f x u x g x f x g x +=, 那么(u (x ), v (x ))=1.证：设()((),()).d x f x g x =由于(),()f x g x 不全为0, 所以d (x )0.11()()(),()()(),f x f x d x g x g x d x ==设 则1111()()()()()()(),()()()()1u x f x d x u x g x d x d x u x f x u x g x +=+=, (u (x ), v (x ))=1. 12. 如果1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f , 那么1))()(),((=x h x g x f .证: 设21111111,1,1uf vg u f v h uu f ufv h vgu f vu gh +=+=+++=两式相乘得. ∴1111()()1(,)1uu f uv h vgu f v u gh f gh +++=⇒=.13. 设1212,,(,g )=1,=1,2,...,m;=1,2,...,n.m n i j f f f g g g f i j 都是多项式且求证 1212(,)1m n f f f g g g =.证: ∵ (,g )1i i f =，由12题, 固定12:(,)1i i f g g =,…, 12(,.)1i n f g g g =. 令12n g g g g =⋯,(,)1i i f g ∴=每个12(,)1,f f g ⇒= 123(,)1f f f g =, …,1212(,)1m n f f f g g g =. 推广若((),())1,f x g x =则∀m ，n N, 有((),())1m n f x g x =.14. 如果1))()(),((,1))(),((=+=x g x f x f x g x f 那么.证法1：(,)11()()1(,)1f g uf vg u v f v g f f g f =⇒+=⇒-++=⇒+= 同理(,)1g g f +=. 由12题(,)1fg f g +=.证法2：设d (x )是f 和f +g 的任一个公因式, ()|(),()|()()d x f x d x f x g x +, 所以 ()|()d x g x , 因为(f , g )=1, 所以d (x )=c (常数). 所以(f , f +g )=1. (,)1g g f +=. 由12题得(,)1fg f g +=.15 . 求下列多项式的公共根: f (x )=x 3+2x 2+2x +1, g (x )=x 4+x 3+2x 2+x +1解：g(x )=f (x )(x-1)+2(x 2+x +1), f (x )=(x 2+x +1)(x +1), 即(f (x )，g(x )) = x 2+x +1.令(x 2+x +1)=0得231,23121i i --=+-=εε ∴f (x )与g (x )的公共根为21,εε.16 判断下列多项式有无重因式:1)5432()57248f x x x x x x =-+++- 2)344)(24--+=x x x x f解: 1)4421205)('234+-+-=x x x x x f , 作辗转相除法:325()'()(1)3(25412)f x f x x x x x =---+. 23221549'()(25412)(5)(44)22f x x x x x x x =--+-+-+, )32)(44()12452(223++-=+--x x x x x x ,得22)2(44))('),((-=+-=x x x x f x f , 故)(x f 有重因式3)2(-x .2))12(4484)('3-+=-+=x x x x x f ,作辗转相除法:32()(21)(233)f x x x x x x =+-+-+.)1311()32)(332()('2-+++-=x x x x x f2661311(233)(1113)(2)(33)1111x x x x ⨯-+=--++ 1))(').((=∴x f x f .17. 求t 的值 13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法1：设f (x )有重根a , 则a 0，且)1()()(22ax a x x f +-=. 于是 1)2()12(13)(222323--++-+=-+-=x aa x a a x tx x x x f . 由多项式相等的概念, 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-t a a a a 232122 (*).解方程得t=3，415-. 解法2: t x x x f +-=63)('2, 作辗转相除法:)3()62()1)((')(3-+-+-=t x t x x f x f .当3=t , 3)1()(-=x x f 有三重根.当.3≠t 则)2152()2153)(22()('2++-+=t x x x f . 此时必须415-=t , 有重因式)4()21()(2-+=x x x f . 18. 求多项式q px x x f ++=3)(有重根因式的条件分析: 若q px x x f ++=3)(有重根, 则有二重根或三重根. 若有三重根, 则32233333)()(a x a ax x a x q px x x f -+-=-=++=.得: 0,0===q p a . 此时0为三重根. 如下只需考虑2重根的情形即可. 解法1: p x x f +='23)(, 利用辗转相除法:23()(3)23f x x p x px q =+++)0(≠p ,22223327(3)(23)()()244a q x p px q x p p p p +=+-++. 得324270p q +=.解法2: b a x a ab x a b x b x a x q px x x f 222323)2()2()()()(-+++-=--=++=.⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+q b a a ab p a b 22202,⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq a p , 得324270p q +=. 19. 如果2(1)|()x f x -,其中42()1f x Ax Bx =++,求A, B.解法1：设),1()1(1)(2224-+-=++=bx Ax x Bx Ax x f 展开右边并比较系数: 1)1()21()2(123424-++-+-+-+=++x b x b A x A b Ax Bx Ax得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-011202b B b A A b , 于是2,1-==B A .解法2: 因为2(1)|()x f x -, 所以(1)|'()x f x -由)4)(1()24(24)('23d Ax x x B Ax x Bx Ax x f +-=+=+=, 于是比较两边系数得: 2A B =-.所以42()21f x Ax Ax =-+. 又)1)(1()(),()1(23-++-=-cx bx Ax x x f x f x 设, 于是4221Ax Ax -+=)1)(1(23-++-cx bx Ax x , 右边展开并比较系数:⎪⎩⎪⎨⎧=---=-=-0120c A b c A b .2,1-==∴B A .20证明2()12!!n x x f x x n =+++无重因式（重根）. 证法1： '()()!nx f x f x n =- (',)(,)!yx f f f n ∴=. 因为1),(=x f , 所以(,)1()n f x f x =⇒无重因式. 证法2: 由于f (x )有重因式的充要条件是1))('),((=x f x f , 所以设)())('),((x d x f x f =, 我们证明d (x )=1.事实上, 由!|)()),(')((|)()("|)(),(|)(n x x d x f x f x d x f x d x f x d n即得-. 所以0,)(≥=k x x d k . 若k >0, 则x |f (x ), 矛盾. 所以k =1, d (x )=1.21. 如果a 是()f x '''的一个k 重根, 证明a 是)()()](')('[2)(x f x f a f x f a x x g +-+-=的一个k +3重根. 证明: 验证得g(a )=0, 设a 是g (x )的t 重根.g ′(x )=12[ f ′(x )+ f ′(a )]+()()2x a f x f x -'''-⇒ g ′(a )=0 . 111()''()()()()()()()02222x a g x f x f x f x f x x a f x g a -''''''''''''''=++-=-⇒= 由于a 是()f x '''的k 重根, 以及a 是(x-a )的根, 所以a 是()g x ''的k+1重根.再由假设a 是g(x)的t 重根, 则a 是()g x ''的t 2重根, 于是t 2=k +1, 得t =k +3, 即()a x 是g 的k+3重根.22. 证明0x 是f (x )的k 重根的充要条件是0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 但是0)(0)(≠x f k .证明: 必要性显然（见定理6推论1）.充分性: 若x 0是f (x )的t 重根，t ＞k ，由定理⇒0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 且f (k)( x 0)=0.若t ＜k ⇒(1)0()0k f x -≠，所以矛盾. 所以t=k.23. 举例说明断语”如果a 是)('x f 的m 重根, 则a 是f (x )的m +1重根”是不对的. 例如1()1,0()(1)m m f x x x f x m x m +'=+==+则是的重根,0()x f x =但不是的根.24. 若(1)|(),(1)|()n n n x f x x f x --则.证法1: 因为(1)|(),n x f x -所以1是()n f x 的根, 即f (1)=0. 这样(1)|()x f x -. 存在g(x )使得()(1)()f x x g x =-. 于是()(1)()n n n f x x g x =-, 得)(|1n n x f x -.证法2：由条件知, f (1)=0. 设全体n 次单位根为1，121,...,,-n ξξξ. 对每一个:k ξ0)1()(==f f n k ξ, 所以.1,...,1,0),(|)(-=-n k x f x n k ξ 再由于,1-x ,1ξ-x ...,1--n x ξ两两互素, 所以)(|)1(),(|)())(1(11n n n n x f x x f x x x -----即ξξ .25 . 如果x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 那么12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且 证法1：设x 2+x +1的两个根312,,1i εεε=, i =1,2. 2121()()x x x x εε++=--.33111213322222()()0()()0f f f f εεεεεε⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,112122(1)(1)0(1)(1)0f f f f εε+=⎧⎨+=⎩即. 把上式看作是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式非零, 所以12(1)(1)0f f ==. 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且 证法2: 设111)()1()(r x q x x f +-=, 222)()1()(r x q x x f +-=, 则x r x q x x r x q x x xf x f 232313133231)()1()()1()()(+-++-=+. 对于x 2+x +1的两个根331212,: 1.εεεε== 所以121123123111311313121311)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=,221223223221321323221321)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=.于是⎩⎨⎧=+=+0221121εεr r r r .把上式看作是以⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式非零, 所以只有零解: 021==r r . 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且 证法3：设111)()1()(r x q x x f +-=,222)()1()(r x q x x f +-=, 由条件x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 而)()(3231x xf x f +=x r x q x x r x q x 23231313)()1()()1(+-++-, 考虑到x 2+x +1|(x 31)，所以x 2+x +1|r 1+r 2x . 再由次数之关系得r 1=r 2=0. 所以12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且26. 求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解. 解: 0221cossin ,0,1,2,1k k k i k n n nππεε==+=-设. 则121,...,,,1-n εεε是1n x -是全部根(n 次单位根全体).1112211211122(),1()(1)((cossin )).(),,21:21(1)()(1)()()(1)(2cos1).n n ni i k m m m nk k n k k k k k k i C x x x x i n nii R n n m k x x x x x x x x x nππεπεεε--==----===-=-=--+=--=--=---=--+∏∏∏∏∏在中在中若为奇数12122:1(1)(1)(2cos1).m nk k n m x x x x x nπ-==-=-+-+∏当时n 为偶数 n 为奇数 27. 求有理根： 1) f (x )=x 36x 2+15x14.解法1：有理根可能为±1、±2、±7、±14.∵当a <0时f （a ）<0，所以f (x )的有理根是可能1,2,7,14. f (1)=40, f (2)=0, f (7)=1400, f (14)=17640, 只有一个x =2.解法2：有理根可能为±1、±2、±7、±14. f (1)=4, f (1)=36. 对于每一个可能的根, 考虑αα+--1)1(1)1(f f 及: 当=2时:121)1(421)1(-=+-=-αf f 及, 验证得f (2)=0. 作综合除法: 2 16 151428 142 1 4 7 02 41 2 30f (x )=(x2)(x 24x +7).令g(x )= x 24x +7, g(1)=4， g(1)=12. g(x )可能的有理根只有±7.71)1(±g 非整数, 所以±7都不是g(x )的根, 从而也不是f (x )的根. 2) f (x )=4x 47x 25x1 .解：f (x )有理根可能为±1、±21、±41，∵f (1)=-9≠0，f (-1)=1≠0,f (21)= 5, f (21)=0, f (41) = 26443, f (41) =6411. 所以f (x )只有一个有理根x = 21.3) f (x )=x 5+x 46x 314x 211x3解：可能有有理根为±1、±3、f (1)= 32, f (1)=0.作综合除法: 1 1 61411311 0 6 8 31 0 683 01 1 1 5 3 1 153 01 123 1 23 01 1 3 13 0f (x )=(x +1)4(x 3). f (x )的有理根为1，1，1，1，3.28. 下列多项式在有理数域上是否可约? 1) x 2+1解: 令 x=y +1, 则x 2+1=y 2+2y +2. 取p=2, 由Eisenstein 判别法可知它不可约. 2) 4328122x x x -++解: 取P=2，由Eisenstein 判别法，该多项式不可约. 3) x 6+x 3+1 解: 令x =y +1则x 6+x 3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+15y 2+9y +3取P=3, 则这个多项式不可约. 4) x p +px +1, p 为奇素数解：取y =x+1, x p+px +1=y p+1((1)(1)1pi p i i p i c y p y -=-+-+∑=y p+21((1)2p i i p i p i c y py p --=-+-∑取素数为p ，由于1,...,2,1,-=p j C j p 都是p 的倍数, 所以应用Eisenstein 判别法可知它不可约. 5) x 4+4kx +1, k 为整数解：令x =y +1,则f (x ) = x 4+4kx +1=y 4+4y 3+6y 2+(4+4k )y +(4k +2)取p =2，则p 可整除首相以外的所有系数, 但是p 2不整除常数项，由Eisenstein 判别法，f (x )于Q 上不可约.第一章 补充题1. 设0),()()(),()()(11≠-+=+=bc ad x dg x cf x g x bg x af x f 且, 证明11(()())((),())f x g x f x g x =，.证: 设).())(),((),())(),((111x d x g x f x d x g x f == 要证明d (x )|d 1(x )及d 1(x )|d(x ). 首先因为d (x )|f (x ), d (x )|g (x ), 所以由条件知d (x )|f 1(x ), d(x )|g 1(x ), 从而d (x )|d 1(x ).另一方面, 由于ad bc 0, 所以由条件知111111()(()()),()(()())f x df x bg x g x cf x ag x ad bc ad bc=--+--.于是由d 1(x )|f 1(x ), d 1(x )|g 1(x ), 得d 1(x )|f (x ), d 1(x )|g (x ), 从而d 1(x )|d (x ). 所以d 1(x )=d (x ). 2. 证明: 只要))(),(()(,))(),(()(x g x f x g x g x f x f 的次数都大于零, 就可适当地选择适等式u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x )中的u(x )和v(x )使得))(),(()())((0,))(),(()())((0x g x f x f x v x g x f x g x u <∂<<∂<.证明：设（f (x )，g(x )）=d (x ), 存在u 1(x ), v 1(x )使得u 1(x ) f (x )+v 1(x )g(x )=d (x )..1))(),(()()())(),(()()(11=+x g x f x g x v x g x f x f x u记f (x )=f i (x )d (x ), g(x )=g 1(x )d (x ), 则有u 1(x )f 1(x )+v 1(x )g 1(x )=1. (*)a)若∂(u 1(x ))<∂(g 1(x )), 由上式, ∂(u 1(x ))+∂(f 1(x ))=∂(v 1(x ))+∂(g 1(x )), 得∂(v 1(x ))<∂(f 1(x )). b) 若∂(u 1(x ))∂(g 1(x )), 令u 1 (x )=q 1(x )g 1(x )+u 2(x ), ∂(u 2)<∂(g 1(x ))=∂())(),(()(x g x f x g ).v 1(x )=q 2(x )f 1 (x )+v 2(x ), ∂(v 2)<∂(f 1(x ))=∂())(),(()(x g x f x f ). 代入(*)式: 得f 1(x )u 2(x )+g 1(x )v 2(x )+f 1(x )g 1(x )q 1(x )+f 1(x )g 1(x )q 2(x )=1,f 1(x )u 2(x )+g 1(x )[v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x )]=1.令u (x )=u 2 (x ), v (x )= v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x ), 则由于∂(u)= ∂(u 2)<∂(g 1(x )), 得∂(v)= ∂(v 2)<∂(f 1(x )), 且有u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).3. 证明: 如果()(),(()(1).m m f x x f x x m ≥与g 互素那么)与g 也互素 证：由于f (x )与g(x )互素, 所以存在u(x ), v(x )使得u (x )f (x )+v (x )g(x )=1. 于是有u (x m )f (x m )+v (x m )g(x m )=1. 即f (x m )与g(x m )互素.4. 证明: 如果)(),...,(),(121x f x f x f s -的最大公因式存在, 那么)(),...,(),(121x f x f x f s -,f s (x )的最大公因式也存在, 且当)(),...,(),(121x f x f x f s -, f s (x )全不为零时有1,211()((,,),).s s s f f f f f f -=再利用上式证明存在)(),...,(),(21x u x u x u s 使得),...,,(212211s s s f f f f u f u f u =++ . 证明：设d =(f 1,f 2…f s )，d 1=(f 1…f s-1), d ′=(d 1, f s ), 要证明d = d ′.一方面, s d f 及d |d 1⇒d |d ′.另一方面，d ′|d 1, 's d f ⇒d ′|f i （i ∀）⇒d ′|d. 又d, d ′都是首项系数为1的多项式, 所以d=d ′.为了证明第二个结论,应用数学归纳法. 当s=2时, 结论显然成立.假设对于s-1个多项式结论成立,考虑s 个多项式的情形:此时, 对于)(),...,(),(121x f x f x f s -,由归纳假设'∃i u (i =1,2，…,s-1)，使'''111111,,s s s s u f u f d v u vd u f d --++=∃+=又使得′. 所以 ∴d =d ′=1s s vd u f + =v （1'1s i i i u f -=∑）+s s u f .令'i i u vu = i=1,2…,s-1, 则d =u 1f 1+…+u s-1f s-1+s s u f . 5. 多项式m (x )称为)(,)(x g x f 的一个最小公倍式, 如果 1) )(|)(,)(|)(x m x g x m x f ;2) )(,)(x g x f 的任一个公倍式都是m (x )的倍式.我们以[)(,)(x g x f ]表示首系数是1的那个最小公倍式, 证明如果)(,)(x g x f 的首系数都是1，那么[)(,)(x g x f ]=))(),(()()(x g x f x g x f .证明: 因为)(,)(x g x f 的首系数都是1，所以它们都是非零多项式, 于是它们的最大公因式不等于零. 设(f (x ),g (x ))=d (x ), f (x )=f 1(x )d (x ), g (x )=g 1(x )d (x ), 则(f 1(x ),g 1(x ))=1.设m (x )=f 1(x )g 1(x )d (x ), 则一方面显然有 f (x )|m (x ), g (x )|m (x ), 故m (x )是一个公倍式. 另一方面, 设l (x )是)(,)(x g x f 的任一个公倍式, 则)(|)(,)(|)(x l x g x l x f ，令l (x )=d (x )l 1(x )，则f 1(x )|l 1(x ), g 1(x )|l 1(x )∵(f 1(x ), g 1(x ))=1, ∴f 1(x )g 1(x )|l 1(x )⇒f 1(x )g 1(x )d (x )|l , 即m (x )|l (x ). 所以m (x )是f (x ), g (x )的一个最小公倍式. 即证得：[f (x ), g (x )]=f 1(x )g 1(x )d (x )=))()(()()(x g x f x g x f ⋅⋅.6. 证明：设p (x )是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式f (x ), g (x ) ，由 p (x ) | f (x )g (x )可以推出p (x ) | f (x )或者p (x ) | g (x ), 那么p (x )是不可约多项式.证明: 采用反证法. 设p (x )可约，则有p (x ) = p 1(x ) p 2(x )且p 1(x )和p 2(x )的次数低于p (x )的次数. 那么由条件可得p (x ) | p 1 (x )或p (x ) | p 2(x ), 这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于 p (x )的次数.7. 证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是, 对任意的多项式g (x ), 或者(,)1f g =或者存在正整数m 使得).(|)(x g x f m证明: 必要性：设f (x ) = p s (x )（其中p (x )是不可约多项式），则对任意多项式g (x )，有 a) ( p (x ), g (x )) =1; 或b) p (x ) | g (x ).对于 a) 有( f (x ), g (x )) =1.对于b)有p s (x ) | g s (x )，此即f (x )|g s (x ).再令m = s ，即可.充分性：若 f (x )不是某一个不可约多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:).0,2(),()()()(221>≥=i r k r k k k r x p x p x p x f取g (x )=p 1(x )，则( f (x ), g (x )) = p 1(x ), 且对任意的正整数m, f (x )不整除g m (x ). 与题设f (x )与g (x )应满足( f (x ), g (x )) =1或f (x ) | g m (x ),(m 为某一正整数)矛盾，即证. 8．证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对任意的多项式g (x ), h (x )，由f (x ) | g (x )h (x )，可以推出f (x ) | g (x )，或者对某一正整数m , f (x ) | h m (x ).证明: 必要性.设f (x )= p m (x )是某一不可约多项式p (x )的方幂, 则由于p (x )不可约,所以由f (x ) | g (x )h (x )，可推知p (x ) | g (x )h (x )，及p (x ) | g (x )或p (x ) | g (x ). 所以必存在正整数使得p m (x ) | h m (x ), 即f (x ) | h m (x ) .充分性. 若 f (x )不是某一个多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:).0,2(),()()()(221>≥=r r k r k k k r x p x p x p x f取),()(1x p x g k= ),()()(22x p x p x h r kr k= 则 f (x ) | g (x )h (x )，但是出f (x )既不整除g (x )，也不能整除h (x )的任意方幂 h m (x ). 9. 证明：n n m x ax b -++没有重数＞2的非零根证明：设 f (x ) = x n + ax n-m + b ，则f '′(x ) = x n-m-1[nx m + (n-m )a ].又因为 f (x )的非零根都是多项式g (x ) = nx m +(n −m )a 的根，而g (x )的m 个根都是单根，因而f '′(x )没有不为零且重数大于2的根.10. 证明: 如果f (x )| f (x n ), 那么f (x )的根只能是0或单位根.证明: 设a 是f (x )的任一个根，由f (x ) | f (x n )知，a 也是f (x n )的根，即f (a n ) = 0, 所以a n 也是f (x )的一个根. 以此类推下去，则,......,,2n n ααα都是 f (x )的根.f (x )是一个次数有限的多项式，所以f (x )最多只可能有限个相异的根，于是必有()i jn ni j αα=>不妨设,01)(=--jn i njn αα, 0,1m x αα==则或或是的根.11. 如果f (x ) | f (x )，证明f (x )有n 重根，其中n = ∂( f (x )).证明: 设a 1 , a 2,..., a s 是f ′(x )的s 个不同的根，且它们的重数分别为k 1 , k 2,..., k s ，由于f ′(x )是n −1次多项式，因而k 1 +k 2+...+ k s =n-1. 其次，由 f ′(x )|f (x ), a 1, a 2,..., a s 分别为f (x )的k 1 +1, k 2+1， ..., k s +1重根，但k 1 +1+k 2+1+...+ k s +1=n-1+s=n, 从而s =1. 这就是说，f ′(x )只可能有一个根1 a ，且重数为k 1= n −1.故f (x )有n 重根. 12. 设a 1, a 2,..., a n是n 个不同的数, 而).())(()(21n x x x x F ααα---=证明: 1);1)()()(1∑=='-ni ii F x x F αα2)对任意多项式f (x ),用F (x )除所得的余式为.)()()()(1∑='-ni ii i F x x F f ααα证明：1)∑=----='ni i n x x x x x F 121)()())(()(αααα ,所以)())(()()(111n i i i i i i i F ααααααααα----='+- .)())(()()())(()()()()(11111n i i i i i i n i i i i αααααααx αx x x F x x F --------='---- αααααα(=g i (x )). 则∂(g i (x ))≤ n −1, 且g i (a i )=1, g i (a j )=0, 当i j . 所以∑=='-ni ii F x x F 11)()()(αα.2) 对于任意的多项式f (x )，用F (x )除得f (x ) = q (x )F (x ) + r (x ) (r (x ) = 0或∂(r (x ))≤n −1).当r (x )=0时，结论显然成立. 当∂(r (x ))≤n −1时，若令k (x )=∑='-ni ii i F x x F f 1)()()()(ααα, 则∂(k (x ))≤n −1，于是r (a i ) =f (a i ) = k (a i ) (i =1,2,...,n ), 所以r (x )=k (x )=∑='-ni ii i F x x F f 1)()()()(ααα.13. a 1, a 2,..., a n 与上题相同, b 1, b 2,..., b n 是任意数,显然∑='-=ni ii i F x x F b x L 1)()()()(αα适合条件L (a i )=b i , i =1,2,…,n. 这称为Lagrange 插值公式, 利用上面的插值公式求: 1) 一个次数<4的多项式f (x ), 它适合条件f (2)=3, f (3)=-1, f (4)=0, f (5)=2. 2)一个二次多项式f (x )，它在0,2π, π处与函数sin x 有相同的值. 3）一个次数尽可能低的多项式f (x )，使f (0) =1, f (1)=2, f (2)=5, f (3)=10.解: 1) 由Lagrange 插值公式: 取321(3)(4)(5)1()(124760)(23)(24)(25)6x x x l x x x x ---==--+----322(2)(4)(5)111()1920(32)(34)(35)22x x x l x x x x ---==-+----323(2)(3)(5)131()515(42)(43)(45)22x x x l x x x x ---==+++---324(2)(3)(4)1313()4(52)(53)(54)623x x x l x x x x ---==++----43212341217203()(())()30242326i i i f x l x f a l l l l x x x =∴==-+⋅+=-+-+∑2) 已知f (0) =sin 0=0， f (2π)=sin 2π=1, f (π)sin π=0. 设F (x )=x (x-2π)(x-π), 则得到)(4)(2ππ--=x x x f .3) 同理可得321(1)(2)(3)111()1(01)(02)(03)66x x x l x x x x ---==-+-+---,32(0)(2)(3)15()3(10)(12)(13)22x x x l x x x x ---==-+---,323(0)(2)(3)()23(20)(21)(23)2x x x x l x x x ---==-++---,324(0)(2)(3)111()(30)(31)(32)623x x x l x x x x ---==-+---,21234()()2()5()10()1f x l x l x l x l x x ∴=+++=+14. 设f (x )是一个整系数多项式, 试证: 如果f (0)和f (1)都是奇数, 则f (x )不能有整数根.。
数值分析-第四版-课后习题答案-李庆扬
第一章1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x r δεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε， 相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x n r ==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k εεεε；（3）*4*2/x x 。