实验报告五 插值
数值分析综合实验报告
一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
插值法实验报告
插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。
它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。
本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。
二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。
三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。
四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。
五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。
六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。
实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。
数学建模实验报告(3)插值
数学模型实验报告——插值专业：姓名：李学号：姓名：刘学号：姓名：汪学号：数学模型实验报告（插值）一、 实验目的：1、了解插值的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解插值问题。
二、实验内容：（一）一维插值一、插值的定义 已知n+1个节点,,1,0(),(n j y x j j =其中 j x 互不相同，不妨设),10b x x x a n =<<<= 求任一插值点 )(*j x x ≠处的插值.*y构造一个(相对简单的)函数),(x f y =通过全部节点, 即 ),1,0()(n j y x f j j ==再用)(x f 计算插值，即).(**x f y =二、插值的方法拉格朗日(Lagrange)插值已知函数f (x )在n +1个点x 0,x 1,…,xn 处的函数值为 y 0,y 1,…,yn 。
求一n 次多项式函数Pn (x )，使其满足：Pn (xi )=yi ,i =0,1,…,n .解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下∑=⋅=ni i i n y x L x P 0)()(其中Li (x ) 为n 次多项式：)())(())(()())(())(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L ----------=+-+-称为拉格朗日插值基函数。
特别地:两点一次(线性)插值多项式:()101001011y x x x x y x x x x x L --+--=三点二次(抛物)插值多项式:()()()()()()()()()()()()()2120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x L -⋅--⋅-+-⋅--⋅-+-⋅--⋅-=().,满足插值条件直接验证可知x L n例55,11)(2≤≤-+=x xx g 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n +1，其中n 为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge 现象 解：编写M 文件程序如下： m=101;x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2);z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x^2)'),pause n=3; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x); hold on ,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause,hold off n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x); hold on ,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,hold offn=7;x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);y3=lagr1(x0,y0,x);hold on , plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'), pause,hold off n=9; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on ,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,hold off n=11; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y5=lagr1(x0,y0,x);hold on , plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')分段线性插值计算量与n 无关; n 越大，误差越小.n n n x x x x g x L ≤≤=∞→0),()(lim例66,11)(2≤≤-+=x xx g 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1. 在[-6,6]中平均选取5个点作插值 2. 在[-6,6]中平均选取11个点作插值 3. 在[-6,6]中平均选取21个点作插值 4. 在[-6,6]中平均选取41个点作插值 解：编写M 文件程序如下：x=linspace(-6,6,100); y=1./(x.^2+1);x1=linspace(-6,6,5);%第三个参数表示插值点的个数，可分别改为11，21，41 y1=1./(x1.^2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidth',1.5), gtext('n=4'),运行结果如下图：结果分析：插值点越多越接近原函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤--==+++---=∑其它,0,,)()()(111111j j j j j jj j jj j nj j j n x x x x x x x x x x x x x x x l x l y x L三次样条插值比分段线性插值更光滑。
插值运算实验报告
#### 一、实验目的1. 理解插值运算的基本概念和原理。
2. 掌握几种常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
3. 通过实验，验证插值方法在数值计算中的应用效果。
4. 培养动手能力和分析问题的能力。
#### 二、实验原理插值运算是指根据已知数据点，构造一个近似函数来描述这些数据点之间的变化规律。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
#### 三、实验内容1. 数据准备准备一组数据点，例如：```x: [1, 2, 3, 4, 5]y: [2, 4, 6, 8, 10]```2. 拉格朗日插值根据给定的数据点，构造拉格朗日插值多项式。
以三次拉格朗日插值为例，其公式如下：```L(x) = y0 ((x - x1) (x - x2) (x - x3)) / ((x0 - x1) (x0 - x2) (x0 - x3))+ y1 ((x - x0) (x - x2) (x - x3)) / ((x1 - x0) (x1 - x2) (x1 - x3))+ y2 ((x - x0) (x - x1) (x - x3)) / ((x2 - x0) (x2 - x1) (x2 - x3))+ y3 ((x - x0) (x - x1) (x - x2)) / ((x3 - x0) (x3 - x1)(x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到拉格朗日插值多项式。
3. 牛顿插值根据给定的数据点，构造牛顿插值多项式。
以三次牛顿插值为例，其公式如下：```N(x) = y0 + (x - x0) (y1 - y0) / (x1 - x0) + (x - x0) (x - x1) (y2 - y1) / ((x1 - x0) (x2 - x1)) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) (y3 - y2) / ((x1 - x0) (x2 - x1) (x3 - x2))```将数据点代入上述公式，得到牛顿插值多项式。
插值运算实验报告
插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。
实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。
插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。
实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。
2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。
3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。
4. 运行程序，得到插值结果。
5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。
实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。
2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。
实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。
2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。
3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。
实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。
插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。
插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。
不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。
插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。
插值方法_实验报告
肖建 计科三班 20095420开课学院、实验室： 数统学院实验时间 ：2011年 5 月 8 日实验项目类型课程名称数学实验实验项目名 称插值方法验证演示综合设计其他指导教师李东成 绩实验5 插值方法一、实验目的及意义[1] 了解插值的基本原理[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；[4] 掌握用MATLAB 计算三种一维插值和两种二维插值的方法；[5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容1．编写拉格朗日插值方法的函数M 文件；2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB ，开启MATLAB 编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M 文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1. 一维插值 利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x ∈[-5,5]； 2）sin x , x ∈[0,2π]; 3）cos 10x , x ∈[0,2π]．211x+M 文件：（1）clcx=linspace(-5,5,11);y=1./(1+x.^2);x0=linspace(-5,5,101);y0=1./(1+x.^2);y1=interp1(x,y,x0,'spline')y2=interp1(x,y,x0);A=[ones(11,1) x' (x.^2)' (x.^3)' (x.^4)' (x.^5)' (x.^6)' (x.^7)' (x.^8)' (x.^9)' (x.^10)']a=A\y';y3=a(1)+a(2).*x0+a(3).*x0.^2+a(4).*x0.^3+a(5).*x0.^4+a(6).*x0.^5+a(7).*x0.^6+a(8).*x0.^7+a(9).*x0.^8+a(10).*x0.^9+a(11).*x0.^10;plot(x0,y3,'r'),gtext('Lagr.'),hold on ,plot(x0,y2,'b'),gtext('Pies.Lin.'),hold on ,plot(x0,y1,'m'),gtext('Spline')hold off（2）x=linspace(0,2*pi,11); y=cos(x);x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0);剩余代码和（1）中相同（3）x=linspace(0,pi,11);y=cos(x).^10;x0=linspace(0,pi,101);y0=cos(x0).^10;剩余代码和（1）中相同注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
数值分析插值实验报告
数值分析插值实验报告引言插值是数值分析中常用的一种技术，通过已知点的函数值来推测未知点的函数值。
在实际应用中，我们经常需要根据有限的数据点来估计连续函数的值，这时插值就起到了关键作用。
本实验旨在通过插值方法来推测未知数据点的函数值，并对比不同插值方法的精度和效果。
实验目的1.了解插值的基本概念和方法；2.掌握常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等；3.对比不同插值方法的精度和效果，分析其优缺点。
实验步骤1.数据采集：选取一组已知数据点，作为插值的基础。
这些数据点可以是从实际场景中测量得到的，也可以是人为设定的。
2.插值方法选择：根据实验要求和数据特点，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
3.插值计算：根据选定的插值方法，利用已知数据点进行计算，并得到插值结果。
4.结果分析：比较插值结果与实际数据的差异，并评估插值方法的精度和效果。
可以使用误差分析等方法进行评估。
5.优化调整：根据实验结果和需求，对插值方法进行优化调整，以提高插值的准确性和可靠性。
实验结果与讨论通过实验，我们得到了不同插值方法的结果，并进行了对比和分析。
根据实验数据和误差分析，我们可以得出以下结论：1.拉格朗日插值方法具有较高的插值精度，在一定程度上能够准确地模拟实际数据。
2.牛顿插值方法相对于拉格朗日插值方法而言，对于大量数据点的计算速度更快，但在少量数据点的情况下，两者的精度差异较小。
3.分段线性插值方法适用于数据点较为离散的情况，能够提供较为平滑的插值结果。
4.插值方法的选择应根据具体需求和数据特点进行，没有一种插值方法适用于所有情况。
实验总结通过本次实验，我们对插值方法有了更深入的了解，并掌握了常见的插值方法的原理和应用。
实验结果表明，插值方法在数值分析中起到了重要的作用，能够准确地推测未知点的函数值。
然而，在实际应用中，我们还需要考虑数据的特点、插值方法的适用性以及计算效率等因素。
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浙江大学城市学院实验报告
课程名称 科学计算
实验项目名称 函数的数值逼近－插值
实验成绩 指导老师（签名 ） 日期
一. 实验目的和要求
1． 掌握用Matlab 计算Lagrange 、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，
对三种插值结果进行初步分析。
2． 通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。
二. 实验内容和原理
1） 编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并对每一行语句加上适当的注释语句； 2） 分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序、运行结果和结
果的解释、算法的分析等写在实验报告上。
2-1 编程
编写Lagrange 插值函数的Matlab 程序，其中n 个插值节点以数组0x ，0y 输入，m 个待求点的自变量以数组x 输入。
输出数组y 为m 个待求点的函数值。
Lagrange 插值：=lagr(0,0,)y x y x
Step 1 输入插值节点数组0x ，0y 和待求节点x ； Step 2 数组0x 的长度为n ，x 的长度为m ； Step 3 对1,2,
,i n =，构造第i 个插值基函数
111111(0)(0)(0)(0)
()(00)(00)(00)(00)
i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=
----
并计算在m 个待求点上的基函数值。
Step 4 根据公式1
0()n
i i
i y y l x ==
∑分别计算m 个待求点上的函数值。
并对程序的每一行语句加上适当的注释语句。
2-2 分析应用题
用1
2
y x =在0,1,4,9,16x =产生5个节点15,
,P P 。
用以下五种不同的节点构造Lagrange
插值公式来计算5x =处的插值，与精确值比较并进行分析。
1）用34,P P 构造； 2）用234,,P P P 构造； 3）用2345,,,P P P P 构造； 4）用1245,,,P P P P 构造； 5）用全部插值节点12345,,,,P P P P P 构造。
,
2-3 分析应用题
意大利柑橘的产量变化如下表。
使用3次样条插值来估计1962年、1977年和1992年的产量。
将这些结果与相对应的实际值进行比较，并说明计算的精度。
实际值分别为12380，27403和32059(5
10⨯kg)。
再利用Lagrange 插值多项式重新计算。
2-4 分析应用题
在区间[-1,1]上，在21个平均分布的节点上对函数()sin 2f x x π=进行估计。
计算Lagrange 插值多项式和3次样条，并在给定的区间上将两个函数的曲线与f 进行比较。
使用干扰数
据14
()(1)10i i f x +-=-来重复计算。
注意观察，对于小扰动，Lagrange 插值多项式与3次样
条相比，分析哪个更敏感。
2-5 分析应用题 已知函数表如下：
编制程序构造差商表，并构造牛顿插值多项式计算的近似值。
2-6 分析应用题
利用2-1中的程序和Matlab 相关函数分析用下列三种不同的插值逼近著名的Runge 函数
2
1
(),[1,1]125f x x x
=
∈-+
1）Lagrange 插值； 2）分段线性插值； 3）三次样条插值。
其中取插值节点为区间[1,1]-上的10等分点，同时列出100等分点上的三种插值结果，比
较分析，同时对这三种插值在100等分点上进行作图比较。
2-7 分析应用题 运行程序
figure
set(gcf,'menubar','none') axes('position',[0 0 1 1]) [x,y]=ginput
然后将你的手直接放在弹出窗口中，用鼠 标点击选取需要的插值点，最后回车得到所有插值点的坐标。
用三次样条插值函数对手的形状进行插值，并作图。
提示：可用构造“参数曲线”的方法，即在参数区间112[,],()n n t t t t t <<<上选取n 个
插值点，然后用三次样条插值构造逼近函数在m 个点上的值：
(),(),1,2,,i i i i x x t y y t i m ===，最后以这m 个点(,)i i x y 作出图形。
2-8 分析应用题
美国的人口普查每10年举行一次，下表列出了从1940年到1990年的人口(按千人计)
年 1940年 1950年 1960年 1970年 1980年 1990年 人口 (千)
132165
151326
179323
203302
226542
249633
1） 选择一种插值求在1930年、1965年和2010年人口的近似值。
2） 1930年的人口大约是123203千。
你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度
如何？
【MATLAB 相关函数】
⏹ 分段线性插值y=interp1(x0,y0,x)
输入值：n 个插值节点对应数组0,0x y ，以及m 个待求点对应的数组x ； 输出值：m 个待求点对应的数组y 。
⏹ 三次样条插值y=interp1(x0,y 0,x,’spline’)或y=spline(x0,y0,x) 输入值：n 个插值节点对应数组0,0x y ，以及m 个待求点对应的数组x ； 输出值：m 个待求点对应的数组y 。
三. 操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）
四. 实验结果与分析。