3-3概率的基本运算解读

P( A 1 ) P( B A 1 ) P( A 1 ) P( B A 1 ) P( A 2 ) P( B A 2 ) P( A 3 ) P( B A 3 )
0.25 0.05 0.362 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02
谢谢！
概率的乘法
2. 概率乘法公式 设事件A,B为同一样本空间中的两个随机事件，有
P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( B) P( A B)
推广
P( AB) P( B A) , P A 0. P( A) P( AB) P( A B) , P B 0 . P( B)
P ( AB) P ( A B) P ( B)
为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
概率的乘法
【例3】 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、 二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率； (2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解 设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
3 C5
0. 023 0,
P A 3
3 C5 0
0. 0005
由概率的加法公式得
P A P A1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 P A 3 0. 276
概率的加法
电子元件 抽取
【例1】 一盒电子元件共有50个，其中45个是合格品，5个 是次品，从这盒电子元件中任取3件，求其中有次品的概率。
6 0.6 （1） P ( A) 10
（2） P( AB ) P( A) P( B A)
6 5 0.33 10 9
4 6 0.27 10 9
（3） P ( AB ) P ( A) P ( B A)
概率的乘法
三、全概率公式与贝叶斯公式
【引例】一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球的概率。
P( A | B) 45%
于是 所以
P( B ) 4%
P( B) 1 P( B ) 96%
P( A) P( AB) P( B) P( A | B)
96% 45% 43.2%
概率的乘法
【例5】 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球 而第二次取得白球的概率． 解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则
解法一
i ” 事 件 Ai 表 示 “ 取 出 的 3个 电 元 子件中恰有i 个次品 1, 2, 3 ,
2 C1 5C 4 5 3 C5 0 2 1 C5 C4 5 3 C5 0
设 事 件 A 表 示 “ 取 出3个 的 电子元件中有次” 品，
显然，事件A 有 A 1 A 2 A 3 . 1， A2， A3， 是 互 不 相 容 的 ， 且 A 由概率的古典定义得： P A 1 0. 2526, P A 2
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸 P（Ai）>0 B为样本空间的任意事件，P（ B）>0 , 则有
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
( k =1 , 2 , … , n)
概率的乘法
【例6】设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已 知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且 各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%．现从待出厂的产品 中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P ( A) 0.7 100 （2）方法1： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
70 P( A B) 0.7368 95
方法2：
P( AB) 70 100 P( A B) 0.7368 P( B) 95 100
M AB 2 P AB N B 3

A ( A )
(AB )
AB
B ( B )

(n)
概率的乘法
定义
设A,B 是两个随机事件
1. 当 P( A) 0 时，称
P AB PBA P A

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 2. 当 P B 0 时，称
P(B)
P( A
i 1
4
i
) P( B A i )
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825
概率的乘法
贝叶斯公式
引入
AB AB
B
P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B | A)
P( A) P( B | A) P( AB) P( A | B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) P( B)
P( A3 ) P( B | A3 )
A2
P( B)
A3
概率的乘法
【例6】 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个 等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等， 二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别 为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上 麦粒的概率． 解： 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等 种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事 件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒 这一事件，则由全概率公式：
解法二 显然 所以
设 事 件 A 的 对 立 事 件示 表“ 取 出 的 3个 电 子 件 元中没有次品” PA

C3 45
P A 1 P A 0. 276

3 C5 0
0. 724
求所求事件的对立事件一种很常用且实用的方法。
概率的加法

B AB A
定理3 任意两个事件A与B的并的概率等于这两个事件的概率的 和减去这两事件的交的概率。
A
B
A
概率的乘法
全概率公式
定义 设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，
且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有
P( B) P( Ai ) P( 1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
P A B P A PB P AB 45 30 15 0.667 90 90 90
概率的乘法
二、概率的乘法公式
1. 条件概率 【引例】抛掷一颗骰子,观察出现的点数 A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。 即事件 B 已发生，求事件 A 的概率,记作： Ｐ（Ａ｜Ｂ）.
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
概率的乘法
【例4】一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% . 从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率． 解 设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出的产品是合 格品， 则
P A1 A2 An P A1 P A2 P An
推论：对立事件的概率的和等于1.即 P A P A 1

.
概率的加法
电子元件 抽取
【例1】 一盒电子元件共有50个，其中45个是合格品，5个 是次品，从这盒电子元件中任取3件，求其中有次品的概率。
P A B P A PB P AB
推论：对立事件的概率的和等于1.即 P A P A 1

.
概率的加法
数字 抽取
【例2】 在所有的两位数10到99中任取一个数，求这个数能 被2或3整除的概率。
解 设 事 件 A 表 示 “ 取 出两 的位 数 能 被 2整 除 ” 事 的件， B表 示 “ 取 出 的 两 位 能 数 被 3整 除 ” 的 事 件 ， 则 事 件 A B表 示 “ 取 出 的 两 位 能 数 被 2或 3整 除 ” ， 事 件 A B表 示 “ 取 出 两 的 位 数 既 能 被 2， 又 被 能 3整 除 ” 。 经观察可知 45 30 15 P A , P B , P C . 90 90 90 于是
解
因为 所以
A={第一次取到白球} ,B={第二次取到白球}
B AB A B
，且
AB 与A B 互不相容，
全概率公式
P( B) P( AB) P( AB)
P( A) P( B A) P( A) P( B A)
6 5 4 6 10 9 10 9
＝ 0.6
AB AB
解 设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产， Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 构成完备事件 组．依题意，有 Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%,
Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2%
p A1 B
3.3
概率的基本运算
学习重点
概率加法公式 概率乘法公式 全概率公式与贝叶斯定理