概率计算公式(精选课件)

概率计算公式

加法法则

P(A∪B)＝P（A）+Ｐ（B)－P(AB

条件概率

当P(A)>0，P(B|A）=P(AＢ）/P（A）

乘法公式

P(AＢ）＝P（Ａ)×Ｐ（B|Ａ)=Ｐ（B）×Ｐ（A|Ｂ)

计算方法

“排列组合”的方法计算

记法

P（Ａ)=Ａ

加法法则

定理:设Ａ、B是互不相容事件（ＡＢ=φ),P（AB)=0。则Ｐ（Ａ∪B)=P（A）＋P(B）-Ｐ（AB)=p（Ａ)+P（B）

推论1:设Ａ1、A2、…、An互不相容,则:Ｐ(Ａ1+A2+.。.＋An)= P（Ａ1） +P（A2) +…+ P（An) ...文档交流仅供参考...

推论2:设Ａ１、 A2、…、 Aｎ构成完备事件组，则:P （A1＋A2+。．.＋Ａn）＝1

推论3：P（A）=1—Ｐ(A＇)

推论4：若Ｂ包含A，则P（B—A）＝ P（B）—P(A)

推论５(广义加法公式):

对任意两个事件A与Ｂ，有P（A∪B)=Ｐ(A）+Ｐ(B)—Ｐ（ＡＢ）

折叠条件概率

条件概率:已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率,记作：P(Ａ|B）

条件概率计算公式：

当P(A）＞0,P（B｜A)＝P(ＡB)/P（A)

当Ｐ（Ｂ)＞0，Ｐ(A|B）=P（AB）/P(B）

折叠乘法公式

Ｐ(AB)=Ｐ（A）×P(B|A）＝P（B）×P(Ａ|Ｂ)

推广:P(ABＣ)=P（A）Ｐ（B｜A）P(C｜AB)

折叠全概率公式

设：若事件A1,A2，…,Ａn互不相容,且Ａ1+A２＋…+Ａn=Ω,则称A1，A２，…，Ａn构成一个完备事件组....文档交流仅供参考...

全概率公式的形式如下:

以上公式就被称为全概率公式。

3.1.4概率加法公式

班级：___ 姓名：________ 一、新知导学 1．互斥事件、事件的并、对立事件不可能同时发生的两个事件叫做__________ (或称为_________事件)。由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A 、B 都发生)所构成的事件C ，称为____________ (或和)。记作_________(或C=A+B)。事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件所组成的集合。不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为__________。事件A 的对立事件记作A 。 2.若A 、B 是互斥事件。在n 次试验中，事件A 出现的频数是n 1，事件B 出现的次数是n 2，则事件A B 出现的频数为________，所以事件A B 的频率为_________。用n μ表示在n 次试验中事件出现的频率，则总有n μ(A B)=_____________，由概率的统计定义可知P(A B)=____________。 3.如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，那么事件12n A A A 发生(是指事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的_______，即P(12n A A A )=______________，称为互斥事件的概率加法公式。 4.一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件。对立事件的概率公式为__________________________。二、课前自测 1、判断下列各对事件是否为互斥事件。某小组有3名男生和5名女生,从中任选2名同学去参加英语竞赛, (1)恰有1名男生与恰有2名男生；______；(2)至少有1名女生与全是女生。 _______ 2、给出以下四个命题： (1)将一枚硬币抛掷二次，设事件A ：“二次都出现正面”，事件B ：“二次都出现反面”．则事件A 与事件B 是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B 是互斥事件； (3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”．则事件A 与事件B 是互斥事件．其中真命题的个数是（）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

概率计算方法

概率计算方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0

摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率. 解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1 1 22=++x ∴x=1 答：蓝球有1个（2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 黄白2白1蓝黄白1蓝黄白2

四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率． 1 2 3 图图3

概率的加法公式及应用

概率的加法公式及应用概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．在学习时，要注意把握以下几点：一、注意区分互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件既有联系又有区别．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．明确了事件间的关系，解复杂事件的概率问题就会有的放矢．例1 从1 29，，，中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（）．（Ａ）① （Ｂ）②④ （Ｃ）③ （Ｄ）①③ 解析：首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件．因为从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数，所以“至少有一个奇数”的对立事件显然是“两个都是偶数”，故选（Ｃ）．二、准确应用互斥事件的概率加法公式若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+（推广情况1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++），利用这一公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．例2 甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论，目标被命中的概率为0.650.60 1.25+=，为什么？解析：不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不是互斥事件，故不能使用概率加法公式计算，且概率不可能大于１，结论显然不对．例3 某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）[)1018m ，；（2）[)814 m ，．解析：记此处河流的年最高水位在[)810，，[)1012，，[)1214，，[)1416，，[)1618(m) ，范围内分别为事件A B C D E ，，，，，则这5个事件是彼此互斥的，据互斥事件概率加法公式：（1）此处河流的年最高水位在[)1018(m )，的概率是()()()()()0.90P B C D E P B P C P D P E =+++=．（2）此处河流的年最高水位在[)814(m)，的概率是

概率计算公式(精选课件)

概率计算公式加法法则 P(A∪B)＝P（A）+Ｐ（B)－P(AB 条件概率当P(A)>0，P(B|A）=P(AＢ）/P（A）乘法公式 P(AＢ）＝P（Ａ)×Ｐ（B|Ａ)=Ｐ（B）×Ｐ（A|Ｂ) 计算方法 “排列组合”的方法计算记法 P（Ａ)=Ａ加法法则定理:设Ａ、B是互不相容事件（ＡＢ=φ),P（AB)=0。则Ｐ（Ａ∪B)=P（A）＋P(B）-Ｐ（AB)=p（Ａ)+P（B）推论1:设Ａ1、A2、…、An互不相容,则:Ｐ(Ａ1+A2+.。.＋An)= P（Ａ1） +P（A2) +…+ P（An) ...文档交流仅供参考... 推论2:设Ａ１、 A2、…、 Aｎ构成完备事件组，则:P （A1＋A2+。．.＋Ａn）＝1 推论3：P（A）=1—Ｐ(A＇) 推论4：若Ｂ包含A，则P（B—A）＝ P（B）—P(A) 推论５(广义加法公式):

对任意两个事件A与Ｂ，有P（A∪B)=Ｐ(A）+Ｐ(B)—Ｐ（ＡＢ）折叠条件概率条件概率:已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率,记作：P(Ａ|B）条件概率计算公式：当P(A）＞0,P（B｜A)＝P(ＡB)/P（A) 当Ｐ（Ｂ)＞0，Ｐ(A|B）=P（AB）/P(B）折叠乘法公式Ｐ(AB)=Ｐ（A）×P(B|A）＝P（B）×P(Ａ|Ｂ) 推广:P(ABＣ)=P（A）Ｐ（B｜A）P(C｜AB) 折叠全概率公式设：若事件A1,A2，…,Ａn互不相容,且Ａ1+A２＋…+Ａn=Ω,则称A1，A２，…，Ａn构成一个完备事件组....文档交流仅供参考... 全概率公式的形式如下: 以上公式就被称为全概率公式。

人教B版高中数学高一必修3学案古典概型概率的一般加法公式

3．2.1 & 3.2.2 古典概型概率的一般加法公式(选学) 预习课本P102～107，思考并完成以下问题 (1)古典概型的特征是什么？ (2)古典概型的概率计算公式是什么？ [新知初探] 1．古典概型的概念 (1)定义：如果一个概率模型满足： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)计算公式：对于古典概型，任何事件A 的概率 P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数. 2．概率的一般加法公式(选学) (1)事件A 与B 的交(或积)：由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )． (2)概率的一般加法公式：设A ，B 是Ω的两个事件，则有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )． [小试身手] 1．下列关于古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n . A ．②④ B ．①③④ C ．①④ D ．③④

解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B. 2．下列试验是古典概型的是( ) A ．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球 B ．在区间[－1,5]上任取一个实数x ，使x 2－3x ＋2＞0 C ．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D ．某人射击中靶或不中靶解析：选C A 中两个基本事件不是等可能的；B 中基本事件的个数是无限的；D 中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C 符合古典概型的两个特征，故选C. 3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D ．1 解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝2 3 . 4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( ) A.12 B.1536 C.1936 D.56 解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝19 36 . 基本事件的计数问题 [典例] (1)42张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 (2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．

概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（2×2）独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布 X～B(1，p) E(X)＝p，D(X)＝p(1－p) 二项分布 X～B(n，p) E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) X～H(N，M，n) E(X)＝n M N D(X)＝ nM N? ? ? ? 1－ M N N－n N－1 n次独立重复试验恰好发生k次的概率为 P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k 超几何分布若Y＝aX＋b，则 E(Y)＝aE(X)＋b D(Y)＝a2D(X) P(A＋B)＝P(A)＋P(B) P(?A)＝1－P(A) P(A B)＝P(A)·P(B) P(B | A)＝ P(A B) P(A)

第一节概率及其计算考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

概率的加法公式

12．3．1 概率的加法公式 2．任意事件概率的加法公式任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式： P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ）例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。解设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识可知 C=A ∪B 。根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得 P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126. 课堂练习 12．3．2概率的乘法公式 1．条件概率定义在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。解设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）= 43 条件概率有以下计算公式： P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=) ()(B P AB P P （B ）≠0。（12-6）课堂练习 2．乘法公式由条件概率的计算公式可得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ）（12-7）公式（12-7）称为概率的乘法公式。例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次，每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？解设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。则AB={两次都取到正品管子}。因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9 5，所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）= 3195106=?。概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式： P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。 12．3．3 事件的独立性定义如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ） =P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即

概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0

高中数学第三章概率 3_2_1 古典概型的特征和概率计算公式教案北师大版必修31

2．1 古典概型的特征和概率计算公式整体设计教学分析本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标 1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神． 2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．重点难点教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率．教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．

概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0

解析：⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个（2）树状图如下： ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 112 2=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果. ②无论哪种都是机会均等的 . 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2

3.1.3概率的基本性质精品教案

3．1．3概率的基本性质【课题】：概率的基本性质【教学目标】： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质： ①、必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； ②、当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； ③、若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （3）利于用集合观点研究事件的关系。 2、过程与方法：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法． 3、情感态度与价值观：培养学生共同探究式的学习能力．【教学重点】：概率的基本性质【教学难点】：概率的加法公式【课前准备】：课件，Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入复习相关重要概念，加深对随机事件概率的定义的理解为引入事件的关系和运算作准备二、探究新知、例题讲解一、探究新知（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5} 等；（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现 2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}…… 师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？教师和学生总结基本本概念如下：二、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P112；（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B 引导学生类比集合与集合的关系、运算，总结出事件

概率公式总结

一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律结合律分配律德摩根律 2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努力概型公式两件事件相互独立相应公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 2、散型随机变量分布名称分布律 0–1分布),1(p B 二项分布),(p n B 泊松分布)(λP 几何分布)(p G 超几何分布),,(n M N H 3、续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(b a U 指数分布)(λE 正态分布),(2 σμN 标准正态分布)1,0(N 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 2、离散型二维随机变量条件分布

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数?? ∞-∞ -= x y dvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( 5、二维随机变量的条件分布四、随机变量的数字特征 1、数学期望离散型随机变量：∑ +∞ ==1 )(k k k p x X E 连续型随机变量：? +∞ ∞ -= dx x xf X E )()( 2、数学期望的性质 (1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E = (2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质 (1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -< (2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：) ()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关 7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v = (2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++ 8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差 0-1分布),1(p B 二行分布),(p n B 泊松分布)(λP 几何分布)(p G 超几何分布),,(n M N H 均匀分布),(b a U

条件概率(教案)

2．2．1条件概率寿阳县第一职业中学` 付慧萍教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y和Y Y Y．在事件A 发生的情况下事件B发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y，因此 (|) P B A=1 2 = () () n AB n A .

概率计算方法

概率计算方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0

概率的加法公式教案

《概率的加法公式》执教人：魏静 1.教学目标：知识目标：通过探究式教学，使学生正确理解“互斥事件”，“彼此互斥”和“对立事件”的概念，能力目标：理解并掌握当A ，B 互斥时“事件AUB ”的含义，了解两个互斥事件的概率加法公式，并会利用两个对立事件的概率和为1的关系，简化一些概率的运算，同时，会应用所学知识解决一些简单的实际问题。情感目标：培养学生良好的学习习惯，激发学生的学习兴趣 2、教学重点、难点：本节的教学重点是互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式，教学难点是互斥事件与对立事件的区别和联系。 3、教学过程：复习什么是概率? 在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作预先提问：(学生预习，教师提问) 互斥事件（互不相容事件）：在同一次试验中不可能同时发生的两个事件针对练习：（检验学生预习成果） 1、下列各组事件中，不是互斥事件的是（） A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 m n ()P A

韦恩图表示： B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90。 C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒。 D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%。 2. 下列各事件中是互斥事件的是( ) A.抽奖活动中抽到二等奖与中奖 B.射击一次命中环数为9环与命中环数大于8 C.小明在一次考试中成绩优秀与成绩良好 D.抛掷骰子出现奇数点与出现3点两个事件互斥的集合解释：集合A 表示事件A 的基本事件空间，集合B 表示事件B 的基本事件空间，集合A 与集合B 的关系？事件的并（和）：由事件A 和B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或 A B φ ?=

《概率的加法公式》习题

《概率的加法公式》习题 1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率. 2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的是（） A.① B.②④ C.③ D.①③ 3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是（） A . B . C . D . 4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A .“至少有一个黑球”与“都是黑球” B .“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D .“至少有一个黑球”与“都是红球” 5.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（） A . 至多两件次品 B . 至多一件次品 C . 至多两件正品 D . 至少两件正品 6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范围内的概率是（） A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.68 7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（） A .0.09 B .0.98 C .0.97 D .0.96 8.为了调整个人所得税征收制度，某机构准备调查了解某市市民的收入情况，随机抽取了n 名市民进行试点调查，其月收入介于1200元和4200元之间，将调查结果按如下方式分为五组：第一组[)1200,1800；第二组[)1800,2400；；第五组[]3600,4200，下表是按上述分组方式得到的频率分布表：分组频数频率 [)1200,1800 x a [)1800,2400 90 b 12561 6 23121 3

概率的加法公式

《概率的加法公式》教学设计 1、教学目标：（1）知识与技能目标：通过探究式教学，使学生正确理解“互斥事件”，“彼此互斥”和“对立事件”的概念，理解并掌握当A，B互斥时“事件AUB”的含义，了解两个互斥事件的概率加法公式，并会利用两个对立事件的概率和为1的关系，简化一些概率的运算，同时，会应用所学知识解决一些简单的实际问题。（2）过程与方法目标：在本节教学中，通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，引导学生学会如何观察、推理、归纳、类比、引申、反思和评价，注重培养学生的数学交流表达的能力，知识间纵横迁移的视角转换能力，提高直觉思维能力。（3）情感态度与价值观目标：增强学生合作学习交流的机会，感受与他人合作的重要性，同时养成手、口、眼、耳、脑五官并用的良好习惯。 2、教学重点、难点：本节的教学重点是互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式，教学难点是互斥事件与对立事件的区别和联系。 3、教学过程：新授课之前的准备工作：（1）将全班学生分成若干组，每组8人，原则是自愿组合，老师适当调整，使每个小组尽可能具备讨论问题的氛围基础。（2）精选出9个合适的题目制成思考题单，课前发到各个小组，各小组就自己感兴趣的问题分析思考，以奠定上课时各组之间研究问题的基础。（3）做好相应的多媒体演示课件，根据教学情况之需适时演示。师：1个盒内放有10个大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球，若从中任取一个球，得到红球记为“事件A”，从中任取一个球，得到绿球记为“事件B”，从中任取一个球，得到黄球记为“事件C”，则事件A、B、C之间存在什么关系？（学生暂时还不能解决这个问题。）师：请同学们首先思考这样一个问题：如果从盒中摸出一个球是红球，则说明事件A 怎样？生：事件A发生。师：很好，那么如果从盒中摸出一个球是绿球，即事件B发生，则说明事件A又怎样？生：事件A没有发生。

概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F

离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

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