三概率的加法公式
第三节--全概率公式与逆概率公式
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
解 以A1、A2、A3分别表示取得这盒X光片是由甲厂、
乙厂、丙厂产生的，B 取得的X光片为次品
P
A1
5 10
，P
A2
3 10
,
P
A3
2 10
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
P(B | A) P( AB) P( A)
P(AB) =P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
若A ,B 相互独 立 P( AB) P( A) P(B)
*3、事件的独立性 例如 将一颗均匀骰子连掷两次，
医药数理统计方法
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
概率运算公式
概率运算公式
概率运算是描述事件发生可能性的一种方法，它是基于数学理论的。
在概率运算中，有许多基本的公式被广泛使用。
接下来，我们将介绍一些常用的概率运算公式。
1. 加法法则：对于两个不相交的事件A和B，它们的并集概率
等于它们各自的概率之和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)
2. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们的交集概率等于
它们各自的概率之积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)
3. 全概率公式：对于一个事件A，如果它可以分解成一系列互
不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}的并集，那么有：
P(A) = Σ P(Bi) × P(A|Bi)
其中，P(A|Bi)表示在Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 贝叶斯公式：对于一个事件A和一系列互不相交的事件{B1, B2, ..., Bn}，如果已知它们的先验概率P(Bi)和在各个条件下的条件概率P(A|Bi)，那么有：
P(Bi|A) = P(Bi) × P(A|Bi) / Σ P(Bj) × P(A|Bj) 其中，P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。
以上是概率运算中常用的一些公式，它们在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解事件发生的可能性。
- 1 -。
§1.3 概率的公理化定义及概率的加法公式
11
三、概率的加法公式
定理1.1 (关于两个互斥事件的概率加法公 式) 对任意两个事件A和B，有
P A B P( A) P( B) P( AB) .
A
证
AB
B
A B A B AB
而且 A B AB ,
所以
P A B P A P B AB P A P B P AB .
P A B C
B
C
A
P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC )
P ( ABC ) .
16
定理1.3 (概率的一般加法公式) 对任意
n n 2 个事件 A1 , A2 ,
, An , 有
P Ai P Ai P Ai A j
12
例1.5 由长期统计资料得知，某一地区在 ４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份 的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率． 解 在４月份中任取一天，令A={下雨}， B={刮风}，则
P A 4 15 , P B 7 15, P AB 1 10 . P A B P( A) P(B) P( AB)
概率的有限可加性
1 P P A A P ( A) P A .
☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，
可以通过计算其对立事件的概率来完成.
8
性质1.4 (真差概率公式) 若 A B , 则
P B A P( B) P( A) .
概率计算公式
概率计算公式概率计算是数理统计学中的重要内容，通过运用概率计算公式，我们可以对事件发生的可能性进行精确的预测和分析。
本文将介绍几种常用的概率计算公式，帮助读者更好地理解和应用概率计算。
一、频率法频率法是概率计算中最直观和常用的方法之一，它是通过实验数据的频率来估计事件发生的概率。
频率法概率计算公式如下：```P(A) = n(A) / n```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验总次数。
通过观察事件发生的实际频率，可以得出事件发生的概率近似值。
二、古典概型古典概型指的是指定试验中所有可能结果等可能的情况。
在古典概型中，可以使用以下概率计算公式：```P(A) = n(A) / n(S)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的有利次数，n(S)表示样本空间的大小。
三、总概率定理总概率定理用于计算在多个条件下的概率。
当有多个互斥事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集等于样本空间S时，可以使用总概率定理进行计算。
总概率定理公式如下：```P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)```其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
总概率定理在实际问题中具有广泛的应用，通过将复杂问题分解为简单事件的条件下的概率计算，可以更好地解决实际问题。
四、条件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率计算公式如下：```P(A|B) = P(A∩B) / P(B)```其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以帮助我们更好地理解事件之间的相关性，当我们已经了解到某个条件下的概率时，可以通过条件概率公式计算其他事件的概率。
概率加法公式的简单推导
（ 二） 三个 事件的概率加法公式 设 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 为任 意三个 事件 ，则Ａ、 Ｂ、 Ｃ 的事 件概率
可作 如下推导 ：
Ｐ （ ＡＵＢＵＣ） ＝ Ｐ ［ （ ＡＵ（ Ｂ ） ＵＣ 】 （ ２ ）
（ Ａ Ｂ Ｃ ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｂ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ａ Ｃ Ｄ） ＋ Ｐ （ Ｂ ｃ Ｄ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ） ，（ ９ ） （ 四） 五个事件 的概率加法计算公式 设Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ 、 Ｅ 为任 意三个事件 ， 则Ａ、 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ、 Ｅ 的 事件概率可作如下推导 ：
Ｐ （ ＡｕＢｕＣ ） ＝ Ｐ （ Ａ） ＋ Ｐ （ Ｂ ） ＋ Ｐ （ Ｃ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｂ ） 一 Ｐ （ Ａ Ｃ ）
Ｐ （ Ｂ Ｃ） ＋ Ｐ （ ＡＢ Ｃ） 通过对具体 例题 的讲解 ， 对 加 法公 式在使用 过程 中的一些技 巧 给 出了详细 的说
Ｐ （ ＡＵＢＵＣＵＤＵＥ ） ＝ ｅ ｌ （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） ＵＥ １ ＝ Ｐ （ ＡｕＢ ｕＣ ｕＤ） ＋ Ｐ （ Ｅ） 一 Ｐ ［ （ ＡＵＢＵＣ ＵＤ ） Ｅ 】 （ １ ０ ） 又 因为Ｐ 『 （ ＡＵＢ ＵＣＵＤ） Ｅ ］ ＝ Ｐ （ Ａ Ｅ ＵＢ Ｅ ＵＣ ＥＵ Ｄ Ｅ ） ， 利用公式 （ ９ ） 得：
芜湖
２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 基 于两个事件的概 率加法公式 ， 推 导 出了３ ￣ ５ 个事件 的概 率加 法计算公式。通过 总结 多个事件概率 加 法公式 的一般规律 ， 得到ｎ 个事件的概率加法公式。
关键词 ： 概率 ； 加法公式 ； 归 纳 法
中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４ １
明 。本 文将 利用简单 的两个事件概率 加法公式 ， 推 导 出３ ～ ５ 个事件 的概率加法计算 公式 ，通过总结 归纳 多个 事件概率 加法公式 的一般规律 ，给出ｎ 个事 件的
高中数学新人教B版必修3 概率的加法公式
图形表示
2.互斥事件的概率加法公式 (1)若 A，B 是互斥事件，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． (2)若－A 是 A 的对立事件，则 P(－A )＝ 1－P(A) ． (3)若 A1，A2，…，An 两两互斥，则 P(A1∪A2∪…∪An) ＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ．
[层级一 学业水平达标] 1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设 A＝{三
件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产
品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是 ( )
A．A 与 C 互斥
B．B 与 C 互斥
C．任何两个都互斥
D．任何两个都不互斥
解析：选 D 由题意知事件 A，B，C 两两不可能同时发生，
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3. 所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.3. (2)因为射中 7 环以下的概率为 0.1，所以由对立事件的 概率公式，得至少射中 7 环的概率为 1－0.1＝0.9.
求复杂事件概率的注意事项 (1)正难则反是良策． (2)用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分 拆为若干互斥的事件，不能重复和遗漏． (3)采用对立事件求概率时，一定要找准对立事件， 否则容易出现错误．
红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的
对立面是没有一个，所以选 B.
4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率
为 0.1，响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率
为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前四声内
被接的概率是多少？ 解：记“响第一声时被接”为事件 A，“响第二声时被接” 为事件 B，“响第三声时被接”为事件 C，“响第四声时被 接”为事件 D.“响前四声内被接”为事件 E，则易知 A，B， C，D 互斥，且 E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的 加法公式得， P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋ 0.3＋0.4＋0.1＝0.9. 即电话在响前四声内被接的概率是 0.9.
三个事件的概率计算公式
三个事件的概率计算公式1. 三个互斥事件的概率加法公式。
- 如果事件A、B、C两两互斥（即A∩ B=varnothing，A∩ C=varnothing，B∩ C=varnothing），那么P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)。
- 例如：掷骰子，事件A为掷出1点，事件B为掷出2点，事件C为掷出3点。
这三个事件两两互斥，P(A)=(1)/(6)，P(B)=(1)/(6)，P(C)=(1)/(6)，P(A∪ B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=(1)/(6)+(1)/(6)+(1)/(6)=(1)/(2)。
2. 三个相互独立事件的概率乘法公式。
- 如果事件A、B、C相互独立（即P(A∩ B)=P(A)P(B)，P(A∩ C)=P(A)P(C)，P(B∩ C)=P(B)P(C)，P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)）。
- 例如：有三个口袋，第一个口袋中有2个红球3个白球，从第一个口袋中取到红球的概率P(A)=(2)/(5)；第二个口袋中有3个红球2个白球，从第二个口袋中取到红球的概率P(B)=(3)/(5)；第三个口袋中有4个红球1个白球，从第三个口袋中取到红球的概率P(C)=(4)/(5)。
因为从每个口袋取球的事件相互独立，所以从三个口袋中都取到红球的概率P(A∩ B∩ C)=P(A)P(B)P(C)=(2)/(5)×(3)/(5)×(4)/(5)=(24)/(125)。
3. 一般情况下（非互斥、非独立）三个事件的概率公式。
- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。
- 例如：在一个班级中，事件A表示学生喜欢数学，P(A) = 0.6；事件B表示学生喜欢语文，P(B)=0.5；事件C表示学生喜欢英语，P(C)=0.4。
同时喜欢数学和语文的概率P(A∩ B)=0.3，同时喜欢数学和英语的概率P(A∩ C)=0.2，同时喜欢语文和英语的概率P(B∩ C)=0.15，同时喜欢三门课的概率P(A∩ B∩ C)=0.1。
人教B版必修3高中数学3.1.4《概率的加减公式》ppt同步课件
§3.1 事件与概率
§3.1.4 概率的加法公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解事件的并(或和)的含义及记法． 2．理解互斥事件和对立事件的定义． 3．掌握判断两个事件互斥或对立的方法以及两者的区别 与联系． 4．会应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P( A )＝1－P(A)解 决实际问题.
规律技巧 利用概率加法公式求概率时，一定先判断所涉 及事件是否互斥.
变式训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概 率为0.16，在80～89分的概率为0.52，在70～79分的概率 0.12，在60～69分的概率为0.1，分别计算小明在数学考试中取 得80分以上的概率和小明及格的概率．
解 根据题意，小明的数学成绩在给出的四个范围内的事 件是互斥的，记B＝“考试成绩在90分以上”，C＝“考试成 绩在80～89分”，D＝“考试成绩在70～79分”，E＝“考试 成绩在60～69分”，根据互斥事件的概率加法公式，所求事件 的概率便可获解．
2．互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全 集)，即A＝∁UB或B＝∁UA； ③对互斥事件A与B的和A∪B，可理解为集合A∪B.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是 不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导 致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生， 故B与E还是对立事件．
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得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2
所以 P( B ) = 10.2 = 0.8
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二 概率的单调性
性质4 若AB，则 P(AB) = P(A)P(B)； 若AB，则 P(A) P(B).
= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12
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例4 一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率。
解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”， 则所求概率为
54 P( A) 1 P( A) 1 64 0.5177
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课后练习
1.某工厂一个班组共有男工7人、女工4人，现要 选出3个代表，问选的3个代表中至少有1试求 P(AB)
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一 概率的可加性
性质1:P(φ)=0 性质2:(有限可加性):若AB=φ，则
P(AB) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件。 性质3:(对立事件公式) P( A )=1P(A).
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例1 AB =φ，P(A)=0.6，P(A B )= 0.8， 求 B 的对立事件的概率。
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例2 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB)
解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB)
由加法公式得
P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1
所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3
性质5 P(AB) = P(A)P(AB).
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三 概率的加法公式
1.(1) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB)
(2) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)
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例3 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率。
解：因为A、B、C 都不出现的概率为 P( ABC)
P( ABC) 1 P( A B C)
= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)