排队论模型求解就医排队问题
排队问题-数学建模
第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
数学建模方法及其应用医院排队论模型
排队系统模拟
所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客 观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以 获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预 测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供 决策依据.
如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费; 如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良 影响.
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
能有无限个患者到达.
患者的总体可以是无限的也可以是有限的； 患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；
相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机 的； 患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联； 到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；
医院排队系统的组成
排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过 程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则. 1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各 种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患 者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序 接 受服务.
设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳 定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡 状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.
Pn=(1- ) n, n = 0, 1, 2, … . 其中 =/ 表示有效的平均到达率与平均服务率 之比(0＜ ＜
1).
医院排队论模型
医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这 样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药 房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.
医院排队论模型
03
02
平均逗留时间
患者从到达医院到离开医院所花费 的平均时间。
患者满意度
患者对医院排队系统和服务质量的 满意度。
04
医院排队系统的优化目标
提高服务效率
通过优化医院排队系统，提高医生的服务效 率，缩短患者的等待时间和逗留时间。
提高患者满意度
通过改进医院排队系统，提高患者满意度，减少患 者因等待时间过长而产生的不满情绪。
需要接受服务的对象，可以是人员或事物 。
服务台
排队规则
提供服务的设施或人员，可以同时为多个 顾客提供服务。
顾客到达后，按照一定的规则选择队列， 常见的排队规则有先到先服务、后到先服 务、随机服务和优先服务等。
排队系统的主要指标
平均队长
系统中平均的顾客数量，包括正在接受服务 和等待服务的顾客。
平均等待时间
排队论模型在医院中的具体应用和优化策略；
研究内容：首先梳理排队论模型的相关理论，然后结合 医院实际情况建立排队论模型，最后通过实证研究验证 模型的可行性和有效性。具体包括以下几个方面 医院排队现象的特性和影响因素；
实证研究的设计和数据分析方法。
02
排队论基础
排队论基本概念
排队
顾客
指等待某种服务的过程，包括顾客到达、 排队等待和接受服务三个阶段。
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从指数分布，c个服务台的系统。
M/G/1模型
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从一般分布，一个服务台的系统。
G/G/1模型
顾客到达和服务时间都服从一般分布，一个服务台的系统。
03
医院排队系统分析
医院排队系统的特点
《排队论》习题解答
故方案I比方案II好。
习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。 如果1台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均10天，而计算机损坏时由1名 工程师维修，维修1台计算机的时间是负 指数分布的，平均5天。求：2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
＝ 3 ，该系统按M/M/1/型处理。
4
a)
P{医生空闲}＝P{系统空闲}＝p0＝1－＝ ＝0.25。
1 4
b) 平均等待对长 N q 2
(3/4)2 9
2.25
1 13/4 4
即平均有2.25个病人等待看医生
c) 平均等待时间 Wq 3/4 30.75
(1 ) 4(13/4) 4
jc
pj
c (1c)c!p0
(53)2 1 25
0.7576
(156)2! 11 33
平均积压的题目数
Nq
c (1c)2
pc
(56)(53)2 1 125 (156)22!11333.7879
习题3
考虑一个M/M/1/K排队系统，λ＝10人/小 时，μ＝30人/小时，K＝2。管理者想改进服务 机构，提出了两个方案。方案I：增加等待空 间，K＝3；方案II：提高服务率，μ＝40人/小 时。假设在单位时间内单位服务成本5元和每 服务一个顾客收益8元不变得情况下，哪个方 案获得更大的收益？当λ＝30人/小时，又有什 么结果？
解
由题设知，＝1/10(台/天)，＝1/5(台/天)， ＝1/2，该系统按M/M/c/m/m型处理，c＝1，m ＝2。
P{2台计算机都正常运行}＝p0
排队论在医院急诊流程优化中的应用
排队论在医院急诊流程优化中的应用引言：随着人口的不断增长和医疗需求的增加，医院急诊部门的负荷也越来越大。
许多医院都面临着急诊病人排队时间过长的问题，这不仅给病人带来了不便，也加重了医院的压力。
为了解决这一问题，越来越多的医院开始应用排队论来优化急诊流程。
本文将探讨排队论在医院急诊流程优化中的应用，以及取得的成效。
第一章：排队论的基本原理1.1 排队论的定义排队论是一门研究排队现象的数学理论，它研究的对象是等待服务的顾客和提供服务的系统。
排队论主要涉及到以下几个要素：到达率、服务率、队列长度、平均等待时间等。
1.2 排队论的应用排队论最早用于解决电信系统中的通信问题，如电话交换机的设计和运行优化。
如今，排队论已被广泛应用于各个领域，如银行、超市、机场等。
在医疗领域，排队论的应用可以帮助医院优化急诊流程，提高病人的就诊效率。
第二章：传统急诊流程的问题2.1 排队时间过长传统的急诊流程通常存在排队时间过长的问题。
病人需要在等候区等待很长时间才能得到看诊，这不仅给病人带来了不必要的痛苦，也加重了医院的负担。
2.2 资源利用不均衡在传统急诊流程中，医生和设备的利用率往往不均衡。
有时候，一些医生可能没事可做，而另一些医生则忙于处理大量的病人。
这种资源利用不均衡导致了就诊效率的低下。
第三章：排队论在急诊流程中的应用3.1 数据收集为了应用排队论来优化急诊流程，首先需要收集相关数据。
这些数据包括患者的到达速率、医生的服务速率、每名医生的工作时间、患者的等待时间等。
3.2 队列模型的建立基于收集到的数据，可以通过排队论建立一个合适的队列模型。
队列模型可以帮助医院评估不同的服务策略，预测患者的等待时间以及就诊效率。
3.3 优化策略的制定根据队列模型的分析结果，医院可以制定一些优化策略来改善急诊流程。
这包括增加服务台窗口数量、提高医生的工作效率、优化病人的预检分诊等。
第四章：案例分析以某医院的急诊流程优化为例，该医院使用排队论来优化急诊流程，取得了明显的效果。
医院门诊系统的排队过程模型
医院门诊系统的排队过程模型通过对医院门诊系统的排队过程的研究，建立排队论模型，并进行讨论，希望可以为医院的科学化管理提供一点有益的建议。
[Abstract] By investigating intoprocessmodel in hospital outpatient system，we foundaqueuingmodel and gave adiscussiononit，expecting offeringrational adviceto scientificmanagement of hospital.[Key words] Queuing theory;Outpatient排队论，或称随机服务系统理论, 是数学运筹学的分支学科。
它是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
每当某项服务的现有需求量超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生，而排队论就是对排队进行数学研究的理论。
据调查，在医院系统内，目前的随机排队挂号、就诊的模式下，患者接受医生诊疗的时间平均只有十几分钟，而在排队挂号、候诊、缴费取药等非诊疗环节上花费的时间则长达1.5～2.5 h。
这种现象被称为“三长一短”，即排队挂号、候诊、缴费取药时间长，就医时间短。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
因此，如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，正是本文所要解决的问题。
1 研究对象选取医院门诊部的就诊患者为研究对象，建立排队系统。
以患者到达门诊部进行登记为标志，表示该患者进入了门诊系统的排队系统当中；当患者进入诊室接受医生治疗时，表示该患者接受了服务，当服务完成后，患者即离开排队系统。
可以将上述排队过程概化为排队系统的一般结构：2 模型的组成实际中的排队系统各有不同，但概括起来都是由3个基本部分组成的，包括：输入过程、排队规则及服务机制，分别说明如下：2.1 输入过程输入过程说明顾客是按怎样的规律到达系统的，需要从三个方面来刻画一个输入过程。
排队论医院应用
医院排队论模型医院排队论模型医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务.这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者.以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.排队系统模拟所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响.因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用.医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重要分支之一.在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随机服务系统.这些系统可以是具体的,也可以是抽象的.排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.医院排队系统的组成排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院.2、服务时间是指患者接收服务的时间规律.3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者.4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务.⑴来到过程常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛.所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入：①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和患者数有关；②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的；③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不存在同时到达2个以上患者的情况；④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可能有无限个患者到达.患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的；⑵服务时间患者接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的. 常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和埃尔朗分布.一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为t (tμB ( t ) = 1- e - ≥0).其中μ＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而μ1/ 则是平均服务时间.⑶服务窗口服务窗口的主要属性是服务台的个数. 其类型有：单服务台、多服务台.多服务台又分并联、串联和混合型三种. 最基本的类型为多服务台并联.⑷排队规则分为三类：损失制、等待制、混合制.损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失.等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：①先到先服务,如就诊、排队取药等；②后到先服务,如医院处理急症病人；③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务；④优先权服务,如照顾号.混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的；容量可能是有限的，也可能是无限的排队系统的分类排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述.根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即输入过程| 服务分布| 服务台个数例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统.排队系统的主要数量指标评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映.建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长.⑴等待时间指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).⑵忙期指服务台连续繁忙的时间长度.该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度.⑶队长指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者).用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.此外, 用ρ表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比,即 .μ/λ =ρM | M | 1 模型M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型.假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队规则是先到先服务.设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率.n, n = 0, 1, 2, … .ρ )ρPn=(1-其中μ/λ =ρ表示有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比(0＜ρ＜1).M | M | 1 模型的几个主要指标⑴在系统中的平均患者数(平均队长)Ls⑵在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq⑸闲期的平均长度I⑹忙期的平均长度B例某MRI室配有一位专业医师,负责核磁共振拍摄工作.已知每天平均有6名患者前来, 每人平均时间为1小时,前来的患者按泊松分布到达,服务时间服从负指数分布,每天按8小时计. 试求：①医师工作空闲的概率；②MRI室有两台患者同时到达的概率；③MRI室至少有1人来的概率；④MRI室逗留的患者的平均人数；⑤患者在MRI室的平均逗留时间；⑥MRI室等待患者的平均人数；⑦待拍摄的患者平均等待时间；⑧MRI室忙期的平均长度.解平均到达率= 6/8 = 0.75λ人/小时,平均服务率= 1μ人/小时,服务强度=0.75/1 = 0.75.ρ①MRI室没有拍摄患者的概率为= 1 - 0.75 = 0.25.ρP0 = 1 -即工作人员有25%的时间空闲.②MRI室有2名等候患者的概率为2 = 0.14.ρ ) ρP2 = (1 -③MRI室至少有1等候患者的概率为P = P (n≥1) = 1 - P0 ) = 0.75 .ρ= 1 - (1 -即有75%的时间, MRI室至少有1名等候患者.④MRI室逗留的患者的平均人数为M | M | C模型M|M| C(C≥2)是多服务台的等待制排队系统,它的各种特征的规定和假设与M|M|1模型基本相同.并假定C 个服务台并联排列,各服务台独立工作,其平均服务率相同,即 .μ C = μ1 = … = μ 1 = μ因此,该系统的平均服务率为 .μCM | M | C模型主要指标为：⑴平均队列长Lq⑵平均队长Ls.ρLs = Lq + C⑶患者在系统中平均逗留时间Ws⑷患者在队列中平均等待时间Wq。
排队论在医院资源分配中的应用
排队论在医院资源分配中的应用一、引言排队论是数学领域的一个分支，它研究的是排队系统中的人流、车流或信息流等的规律。
在医院资源分配中，排队论的应用十分重要。
医院的资源有限，患者众多，如何科学高效地利用资源，提高服务质量，降低患者的等待时间，成为一个亟待解决的问题。
本文将探讨排队论在医院资源分配中的应用及其对医院运营的影响。
二、排队论基础排队论中的关键指标包括平均等待时间、系统稳定性、系统效率等。
平均等待时间是指患者从进入医院排队到就诊的平均等待时间，是衡量患者等待时间长短的指标。
系统稳定性是指将患者的到达频率和服务速率控制在匹配的状态，即患者的到达速度不超过医院的服务速度，避免出现排队系统崩溃的情况。
系统效率是指医院资源的利用率，包括医生的工作效率、设备利用率等。
三、排队论在医院资源分配中的应用1. 医院资源分配优化：排队论可以通过对医院内各个环节的排队系统进行建模，分析各环节的瓶颈以及可能出现的问题。
基于排队论的模型，可以结合实际情况制定相应的策略，合理优化资源配置。
例如，可以通过医生轮岗、设备的合理调配等方式，减少等待时间，提高效率。
2. 预约挂号系统：排队论的应用可以使医院预约挂号系统更加高效。
根据患者的预约就诊时间，医院可以提前安排医生的日程和资源配置。
通过合理的时间间隔和资源分配，避免排队系统崩溃和拥堵，减少患者的等待时间。
3. 医生排班问题：排队论可以帮助医院解决医生排班问题。
通过分析患者就诊的时间分布规律，结合医生的工作强度和时间限制等因素，制定合理的医生排班方案，确保医生资源的充分利用，同时也照顾到医生的工作负担和休息需求。
4. 候诊区域设计：排队论的应用还可以指导医院的候诊区域设计。
根据患者的到达频率、平均就诊时间和候诊区域可容纳的人数限制，合理设计候诊区域的大小和布局，避免拥挤和混乱，提高患者的满意度。
四、排队论在医院资源分配中的影响排队论的应用对医院运营产生了积极的影响。
1. 缩短患者等待时间：通过排队论的应用，医院可以有效地减少患者的等待时间。
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资源学院2010级本科生 朱南华诺娃 201011191012
假设：一个诊疗室里有数名医生，患者到 达服从泊松分布，服务时间服从指数分布， 先到先服务。 模型1：K个M/M/1模型，就是指患者把病案 放在各个医生处排队，患者到达间隔时间 和服务时间(诊治时间)是相互独立的。 模型2：M/M/K模型，是指患者把病案放在 门口排队，由一名护士按次序送到空闲的 医生处。
模型1OR模型2？
假设：该诊疗室每天平均有6名患者前来，每人平 均服务时间为l小时，前来的患者按泊松分布到达， 服务时间服从指数分布，每天按8小时计。则平均 到达率=6／8=0.75人／小时，平均服务率=1人／小 时，服务强度=0.75／1=0.75 在M／M／1模型中：
由此可知，M/M/K模型中患者的平均排队等 待时间为0.19小时。
通过上述指标的计算，理论证明，一个 M/M/K模型比K个M/M/1模型更合理。M/M/K 模型既方便患者，又可以提高医疗资源的 使用效率。即，如果一个诊室内有数名医 生，应把病案放在门口排队，由一名护士 按次序送到空闲的医生处，而不是把病案 放在各个医生处排队。
逗留的患者的平均人数： Ls= 3人 患者的平均逗留时间： Ws=4小时 等待患者的平均人数： Lq=2.25人 患者的平均排队等待时间： Wq=3小时
由此可知，K个M/M/1模型中患者的平均排 队等待时间为3小时。
假设：各种特征的规定和假设与模型1相同，假定K 个服务台并联排列，各服务台独立工作，其平均服 务率相同，即μ1=μ2=…=μk=μ因此，该系统的平均 服务率为kμ。 1 P 1 1 k 在M/M/K模型中： ( ) ( )(
0
k 1
n
k
( / )k Lq P0 2 (k 1)!(k )
Wq
( / )k P0 (k 1)!(k )2 1 k k ( )( )P0 k! k
Pw
Hale Waihona Puke n 0 n! ( / )n Pn P0 ,n n! ( / )n Pn P0 ,n n k k! k ( / )k Ls (k 1)!(k
k!
k
)
k k
)2
P0
k
( / )k 1 Ws P0 (k 1)!(k )2
逗留的患者的平均人数： Ls= 0.89人 患者的平均逗留时间： Ws=1.19小时 等待患者的平均人数： Lq=0.14人 患者的平均排队等待时间： Wq=0.19小时