排队论模型
订单处理中的排队论模型研究
订单处理中的排队论模型研究在现代商业环境中，订单处理是任何企业或组织不可或缺的一部分。
如何高效地管理订单处理流程成为了检验企业运营能力的重要指标之一。
排队论模型是一种研究订单处理中服务设施效率的数学工具，其可以帮助企业找到优化订单处理流程的方法。
本文将介绍排队论模型在订单处理中的研究应用，并探讨其对提升服务质量和效率的意义。
一、排队论模型概述排队论模型是对排队系统进行建模和分析的数学工具。
它可以用来研究各种排队现象，例如：顾客到达时间、服务时间、顾客等待时间、服务人员数量等。
排队论模型中的关键参数包括到达率、服务率和服务设施数量，通过调整这些参数可以控制和优化排队系统。
在订单处理中，排队论模型可以衡量订单等待时间、服务水平，为企业提供决策依据。
二、排队论模型在订单处理中的应用1. 订单接受率优化通过排队论模型，企业可以根据订单的到达率和服务设施数量，优化订单接受率。
在接受新订单时，企业可以根据当前服务设施的负载情况来决定是否接受，并设置适当的等待阈值。
通过合理地控制订单接受率，企业可以避免资源浪费和订单滞后。
2. 服务设施数量优化排队论模型可以帮助企业确定合适的服务设施数量，以达到最佳的订单处理效率和服务质量。
在订单处理过程中，流程瓶颈往往出现在服务设施数量不足的环节。
通过分析排队论模型，企业可以评估当前服务设施的数量是否满足需求，避免因过多或过少的服务人员而导致效率低下或服务质量下降。
3. 顾客等待时间分析订单处理中的顾客等待时间是影响客户满意度和忠诚度的关键因素之一。
排队论模型可以用来分析顾客等待时间的概率分布，并提供相应的服务水平指标，如平均等待时间、最长等待时间等。
企业可以根据这些指标来设定合理的服务水平目标，以最大程度地满足客户需求。
三、排队论模型在订单处理中的意义排队论模型在订单处理中的应用，能够帮助企业合理分析和设计订单处理流程，提高服务质量和效率。
通过对排队论模型的研究，企业可以优化资源配置，减少服务瓶颈，提前预测和解决潜在问题，从而实现更高效的订单处理。
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
带优先权排队论模型简介应用案例
0.325 hour
0.033 hour
0.889 hour
0.048 hour
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案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
0.024 hour
0.154 hour
mm1n排队论模型参数
mm1n排队论模型参数
M/M/1 排队论模型是一种简单的排队系统模型，用于分析单一服务台、顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的系统。
在M/M/1 模型中，有三个主要参数：
1. 到达率（λ）：表示单位时间内到达系统的顾客数的期望值，服从参数为λ的泊松分布。
到达率决定了系统中的顾客数量变化速率。
2. 服务率（μ）：表示单位时间内一个顾客被服务完成的期望值，服从参数为μ的指数分布。
服务率决定了系统中顾客等待服务的速度。
3. 顾客到达和服务时间是独立的：这个条件表明顾客的到达和服务的完成之间没有影响，使得模型更具有现实意义。
通过平衡方程法，可以对M/M/1 模型进行稳态分析，计算出以下几个重要性质：
1. 队长（Ls）：表示系统中的顾客数（n）的期望值。
2. 排队长（Lq）：表示系统中排队等待服务的顾客数（n）的期望值。
3. 逗留时间（Ws）：指一个顾客在系统中的全部停留时间，为期望值。
4. 等待时间（Wq）：指顾客在系统中等待服务的時間，为期望值。
了解这些参数后，可以对M/M/1 模型进行评估和优化，以提高系统的效率和服务质量。
M/M/1 模型虽然简单，但在实际应用中具有广泛的价值，如电话交换系统、计算机网络、银行窗口等。
掌握M/M/1 模型的基本原理和分析方法对于学习排队论和实际应用具有重要意义。
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
排队论课件MM排队模型
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
04:37:02
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
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8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
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10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
04:37:02
11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
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3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1
第四章 排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。
( 数学建模)排队论模型
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
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研究X(t)的分布模型
令
Pn(t) P{X (t) n}(显然Pn(t) 0, pn(t) 1)
j0
当 pn(t)依赖于t时，称 {pn(t) ,n 0,1,2 }是瞬时解
如果 lim t
pn(t)
pn则称pn , n
0,1,
是稳定解。Biblioteka 此系统的状态转移图0
1
2 ………
n-1 n n+1 … … …
4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进 系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组
当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负 指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程， 而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随 机过程的生灭过程。
pn' (t) p n1 n1(t) ( n n ) pn(t) p n1 n1(t)
p0' (t
)
0 p0(t)
1 p1(t)
n1 (9.2)
若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概
率分布 {pn(t) , n s} 称为生灭过程的瞬时解，一 般这种瞬时解是难以求得的
3.统计平衡下的极限解
pn1(t )
( ) pn(t)
pn1(t )
dp0(
t
)
dt
p0(t)
p1(t)
n1
(9.6)
当 1 时，稳态解满足
pn1 pn1 ( ) pn 0 n 1 p0 p1 0
求解(9.7)式差分方程，得
(4)结论
p
n
( )n
p0
p0 1
平均队长
实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生
灭过程微分差分方程组的极限解。
令
p lim
t n(t )
pn
由pn' (t) 0
及(9.1)(9.2)式得当S为有限状
态集时，(9.1)式变为
n1 pn1 (n n ) pn p n1 n1 0 0 p0 1 p1 0 k1 pk1 k pk 0
个消失}= pn1(t) n1t(1 n1t) pn1(t) n1t 0(t) (3)P{系统在t时为n+1，而在△t内没有到达而有一个
消失}= pn1(t) n1t(1 n1t) pn1(t) n1t 0(t)
(4)P{系统在△t内发生多于一个的到达或消失}=0(△t) 即应用全概率公式有
令△t→0得
当系统状态S为有限集时，生灭过程的微分差分方
程组为
pn' (t p0' (t
) )
p n1 n1(t ) ( n 0 p0(t ) 1 p1(t )
n ) pn(t)
p n1 n1(t )
pk'
(t
)
p k 1 k 1(t )
k pk(t)
| n k
当系统状态S为可数集时，生灭过程微分差分方程 组为
图1 从而在生灭过程中取
n , n , s {0,1,2 } (9.5)
记 ，称为服务强度 当 1 时，模型不稳( 时, 队列越来越长; 时 达不到统计)
当 ＜1时，模型稳定，有稳定解
(3)X(t)的分布律
由(9.12)，(1.15)式得此模型的微分差分方程
组
dpn( t ) dt
为0(△t) 。 (2)消失(灭):在(t，t+△t)内，系统消失一个的概率的
nt 0(t); n 0 的常数，没有消失的概率为 1 nt 0(t);
消失多于一个以上的概率为0(△t)则称系统状态随时间而 变化的过程X(t)为一个生灭过程。
2.生灭过程微分差分方程组 设 pn(t) 表示系统在时刻t的状态X(t)=n的概率即
我们将此称为“顾客”。 (2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们
称为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。 (3)顾客随机地一个一个(或者一批一批)来到服务系统每位顾
客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成 某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。
2 排队系统的特征 为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成 (1)输入过程 顾客陆续来到的过程，设N(t):(0，t)时间内来到的顾客数(非负
时间均服从负指数分布，一个服务台，系统至多容纳 k个顾客潜在的顾客数不限，先来先服务的排队系统。
“M/M/c”即Poisson输入负指数服务时间分布C个 服务台的等待制排队模型。
“M/G/1”即Poisson输入，一般服务时间分布， 单个服务台的等待制排队模型。
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
pn(t) p{X (t) n} n s ，t 0 则系统在时刻t+△t的
状态为n的概率近似于以下四个概率之和。 (1)P{系统在时刻t时为n，而在△t内没有到达也没有
消失} = pn(t) [1 n t](1 un t) pn(t) (1 n t n t) 0(t) (2)P{系统在t时为n-1而在△t内有一个到达并且没有一
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达 空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间 。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工 作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保 持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期， 是交替出现的。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务 台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例) 在排队论的研究中也是很重要的指标。
Pn (t t) pn (t)(1 nt nt) pn1 (t)n1t pn1 (t)n1t O(t)
当 n0 时
pk (t t) pk (t)(1 k t) pk1 (t)k1t O(t)
类似地，当S为有限集时，对 n k 有
p0 (t t) p0 (t)(1 0t) p1 (t)1t O(t)
的Poisson过程即 N(t)～(t) 设M(t)为(0，t)内容去顾客数，则{M(t):t 0}是平均率为
的Poisson分布即 M(t)～(t) (2)X(t):时刻t系统中的顾客数
则
X (t) N(t) M(t)
L(t):时刻t排队等待顾客数
则
L(t) max{X (t) 1,0}
(队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以
Lq (或Ls ) 越大，说明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受 服务时止的这段时间，其期望值记 Wq ；逗留时间则指从
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间， 即是顾客在系统中所花费的总时间，其期望值记 Ws 。
（二）排队模型的符号表示与几种重要排队模型 1.排队模型的符号一般表示法 一般表示法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔的分布类型 B:服务时间的分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务的等待排队模型主要由三参数法即
A/B/C
例“M/M/1/k/ /F1F0”表示顾客到达间隔时间和服务
就是当一个顾客到达时，若所有服务台均被占用时，该 顾客便排队等待服务；消失制也称即时制(系统容量D=C) 就是服务台被占用时顾客便即时离去；混合制也 称队长
有限制(系统容量D:C<D<k)就是一顾客到达若系统中顾客
(包括排队等待和正在接受服务的)数目小于k则他排队等 待，否则他即时离去，等待制服务的次序规则有先到先服 务随机服务，有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先 服务的系统。
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
时间所构成的序列 {n} 服从相互独立的且与某一随机
变量 有相同分布，其中 的概率分布是已知的可以
根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分 布(定长分布，一般独立分布等)
(3)排队与服务规则 顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制， 消失制和混合制。所谓等待制(系统容量 D )
整而数{Ti值} 随){N机(t变),t量 序0}是列随，机i 过Ti 程 T，i1 又时设间间Ti第距i(个隔顾) N客(t到) 达ma的x{时j, 间j ，i 从t} 一般假设顾客来到时间间隔 i 相互独立与随机变量 有相i1 同的；
分布 可以根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0 M1
0
M2
…
顾客离去 Mn 0
(4)排队网络模型
顾客到达
排队
00…00
0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90%
(5)匹配排队模型
1.生灭过程的定义 设有一个系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1， 2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为 系统在时刻t所处的状态，若在某一时刻t系统的状态数为 n，如果对△t>0有。