排队论模型及其应用

排队论模型及其应用
摘要：排队论是研究系统随机服务系统和随机聚散现象匸作过程中的的数学理论和方法，乂叫随机服务的系统理论，而且为运筹学的一个分支。

乂主要称为服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。

而且在日常生活中，排队论主要解决存在大量无形和有形的排队或是一些的拥挤现象。

比如：学校超市的排队现象或岀行车辆等现象，。

排队论的这个基本的思想是在1910年丹麦电话工程师埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始逐渐形成的。

后来，他在热力学统计的平衡理论的启发下，成功地建立了电话的统讣平衡模型，并山此得到了一组呈现递推状态方程，从而也导出著名的埃尔朗电话损失率公式。

关键词：出行车辆；停放；排队论；随机运筹学
引言：排队论既被广泛的应用于服务排队中，乂被广泛的应用于交通物流领域。

在服务的排队中到达的时间和服务的时间都存在模糊性，例如青岛农业大学歌斐木的人平均付款的每小时100人，收款员一小时服务30人，因此，对于模糊排队论的研究更具有一些现实的意义。

然而有基于扩展原理乂对模糊排队进行了一定的分析。

然而在交通领域，可以非常好的模拟一些交通、货运、物流等现象。

对于一个货运站建立排队模型，要想研究货物的一个到达形成的是一个复合泊松过程，每辆货车的数量为陷而且不允许货物的超载，也不允许不满载就发车，必须刚刚好，这个还是一个具有一般分布装车时间的一个基本的物流模型。

一.排队模型
排队论是运筹学的一个分支，乂称随机服务系统理论或等待线理论，是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论。

它起源于A.K.Er-lang的著名论文《概率与电话通话理论》。

一般排队系统有三个基本部分组成⑴:
（1）输入过程：
输入过程是对顾客到达系统的一种描述。

顾客是有限的还是无限的、顾客相继到达的间隔时间是确定型的也可能是随机型的、顾客到达是相互独立的还是有关联的、输入过程可能是平稳的还是不平稳的。

（2）排队规则：
排队规则是服务窗对顾客允许排队及对排队测序和方式的一种约定。

排队
规则可以分为3种制式：
a损失制系统一…顾客到达服务系统时，如果系统中的所有服务窗均被占用，则顾客即时离去，不参与排队，因为这种服务机制会失掉许多顾客，故称损失制系统；
b等待制系统-顾客到达服务系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统的顾客按先后顺序进行排队等候服务。

通常的
服务规则有先到先服务，后到后服务、随机服务、优先服务等；
C混合制系统-它是损失制与等待制混合组成的排队系统。

顾客到达服务系统时，若服务员都不空但有排队位置，就排队，如果服务员都不空且排队位置已满，顾客就立即离去。

（3）服务窗
a系统可以无窗口、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务；
b在多个服务窗情形，顾客排队可以平行多队排列，串列或者并帘同时存在的混合排队：
c 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行服务；
d各窗口的服务时间可以为确定性或者随机型，服务时间往往假定是平稳的；
（4）排队系统中的口标参量
排队论中儿个性能指标：系统中的平均排队长度Lq，表示系统内排队等候顾客数的均值；顾客在系统中的平均等待时间Wq,顾客在系统中的平均逗留时间Ws,系统中的平均顾客数Ls;
排队论中儿个常用的数量指标：平均到达率入，平均服务率系统中并联服务台的数LI S,服务台强度，即每个服务台单位时间间隔内的平均服务时间P,系统的稳态概率P0和繁忙概率P。

二.M/M/s 模型
排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/Co
其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数：B表示顾客源的数LI; C表示服务规则。

排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。

当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流
入二流出”。

据此，可得任一状态下的平衡方程如下:
0："的二无几
1:心“ ♦地戸=（占+刈）必
2：右》4"的=（色+坯）化
n~i： <21\< + "心=（A-I 4 如）也
2 A,""十—％ M （人十心）几
—•• • • • • • ••・•
由上述平衡方程，可求的：
平衡状态的分布为：p n = Cgn =1,2, (1)
其中：C” = C”-2 %,〃= 1,2,……⑵
“如…从
0C 00
有概率分布的要求：$>”=1，有：l + £c”几=1 ,则有：
n-0 _ ?r=O .
Po = --- 1 ..... (3)
i +》c”
D
8 X
注意：（3）当式只有当级数£c,r收敛时才有意义，即当£c\a时才能由
Hi 11^0
上述公式得到平稳状态的概率分布。

三.超市模型举例
假定去那个青岛农业大学歌斐木超市的学生在峰期这段时间达到的人数
9 ■
I* b
是无限的，并且一次以参数2的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。

每个服务台以并联的方式连接，且每个服务台对学生来说都是一样的，服务时间服从参数为“的负指数分布。

超市实行先来先服务原则，且顾客可自由在队列间进行转移，并总向最短的对转移，没有顾客会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。

以下数据来源于网络
高峰期超市的顾客流分布情况：共统汁了3059人次的数据（以10秒为一个
单位），见下表：表一 每10秒到达人数
1 2 3 1 5 7 频数
257 111
894 956 350 161 由概率论的知识可知，若分布满足-^=-，则该分布为泊松分布。

（其中p k
P k -i k
为泊松分布的密度，兄为泊松分布的参数）
由上表可知兄二3. 39o
3. 2模型建立及求解
基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多服务台等待模型（M/Nf/s ）. 该模型的特点是：服务系统中有s 个窗口 （B|J s 个服务员），顾客按泊松流来到服 务系统，到达强度为几；服务员的能力都是“，服务时间服从指数分布，每个顾 客的平均服务时间人当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队 等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。

由我的调查数据可知兄=3.39』=1.5,£ = 6（食堂现有窗口 6个）带入以上各 式可得：
服务员能力：“ = 1 = 0.67 t
系统服务强度：p = - = 5.09,因为A =£ = 122 = O .85<1,所以极限存在。

//
s 6 系统中排队顾客的平均数："畀茶27
L 97 顾客平均排队时间：唁十磊“96
顾客平均逗留时间:VV =W+1 = 7.96 +1.5 = 9.46 系统中顾客的平均数：厶=5+0 = 27 + 5.09 = 32.09
山此可见，当我们在这个时间段超市买东西时，一进门就会发现里面已经是人满 为患了，儿乎不可能找到空闲的服务台。

而且，已经有32个顾客在排队付款， 27个人这在排队等待，平均一个窗口 5人。

当我们开始排队时要过80秒钟才轮 到我们，要过95秒钟才能付钱。

空闲概率: 川（"一 Q ）
= 0.031 几=。