关于和式极限求法的探讨
和式极限的求解方法
和式极限的求解方法贾延【摘要】极限是微积分学的重要内容,而无限多项的和式的极限是函数极限的难点,重点介绍了8种有关和式极限求解的计算方法,并通过例子对这些方法做了更进一步地分析和讨论.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(008)003【总页数】4页(P9-11,18)【关键词】和式极限;夹逼准则;定积分;幂级数【作者】贾延【作者单位】北方民族大学信息与计算科学学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O172.1极限是研究数列和函数性质的一个重要工具，和式极限的求解是极限运算中的一个重要组成部分。
一般情况下，和式极限不易求出，常见的微积分教材中都曾零散地给出了一些解法，笔者对此做了比较详细的总结，归纳出了8种求和式极限的方法，并通过一些典型例子对这些方法做了进一步地分析和讨论。
根据和式的结构特点，运用初等数学的有关公式、定理和计算技巧，先求得和式的表达式，再计算出和式的极限。
1.1 利用拆项相消法求和式极限利用已知的公式，拆项相消后直接求和式极限。
即把通项拆成两项差的形式，在求前n项和时，除首尾两项外，其余各项均抵消掉。
1.3 利用乘系数法求和式极限夹逼准则是求和式数列极限的一个重要工具，只需构造出夹在左右两旁并能收敛于同一数值的数列即可。
当n个项按递增或递减排列时，选用夹逼准则求解。
例4 求极限将初等函数，尤其是基本初等函数的麦克劳林展开式反过来使用求得和式极限。
4.1 直接公式法在函数的傅里叶级数展开式中，特别是正、余弦展开式中，在其收敛域内选择恰当的χ值，可转化为讨论数项级数的收敛性来求和式极限。
和式极限抽象，计算繁杂，是极限运算中的重点，也是难点。
在求和式极限时，需要认真分析和式的特点，具体问题具体分析，除采用直接求和法计算其极限外，还可将其化为以上几种方法求解，有时还需要与其他方法结合起来使用，效果会更佳。
通过以上讨论，使初学者对和式极限有了更深入的理解，从而提高了学生解决数学问题的能力。
浅谈求无穷和式极限的若干方法
・112・当代教育实践与教学研究浅谈求无穷和式极限的若干方法东北林业大学理学院数学系 谭 畅摘 要：求无穷项和的极限是高等数学中求极限问题的难点，鉴于其重要影响，如何正确分析和探求和式极限变得 尤为关键。
本文对求无穷和式极限较常见的几种求法进行归纳，并做简单介绍。
关键词：无穷和式 极限 两边夹定理 定积分定义文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2017-03-0112极限是高等数学中研究数学问题最基本的方法，其思想贯穿高等数学始终，研究极限的计算方法与技巧显得尤为重要。
在极限计算中，求无穷和式极限是一类重要的极限问题。
众所周知，无穷多个无穷小的代数和极限不一定是0。
因此，我们无法用常规公式求无穷和式的极限。
通常是先求出无穷数列前n 项的和，再求和式极限。
但当数列的前n 项的和不易求出时， 求无穷和式极限不是一件容易的事，本文对其几种求解方法做简单介绍。
一、求前n 项和法极限的四则运算法则使用前提是有限个存在极限的函数的四则运算与极限运算可以换序。
因此，无穷和的极限需要先化为有限项，才可使用四则运算法则。
这种方法通常针对某些特殊的无穷和，如等比数列、等差数列的无穷和，或是采用一些特殊方法，如裂项、首尾相加、错位相减或分和等技巧能将无穷项和的前n 项部分和表达式求出，再对此表达式取极限。
但这种方法的局限在于需要能够求出前n 项部分和的解析式，然而大部分数列的前n 项和难于直接求出。
二、两边夹定理当无穷和式的部分和表达式不易直接求出时，可以考虑将求极限的和式作适当放大和缩小，使放大、缩小所得的新的表达式易于求极限，且两端极限值相等，最后利用两边夹定理得出极限。
这种方法可避免求部分和表达式，但难点在于对和式的放大与缩小要适度，需要保证放大和缩小后的数列极限相等。
三、定积分定义法将定积分定义的εδ-语言与极限定义的εδ-语言相比较，可以发现二者类似的陈述方式。
由定积分定义可知，当对积分区间的分划无限加细时，定积分可表示为无穷和式的极限。
数列求和与极限的专题讲解
[例 4] 求数列
2 4 6 2n , 2 , 3 ,⋅ ⋅ ⋅, n ,⋅ ⋅ ⋅ 前 n 项的和 . 2 2 2 2 2n 1 解：由题可知，{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n = + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n （设制错位） S n = 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + n +1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①－②得 (1 − ) S n = + 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + n − n+1 （错位相减） 2 2 2 2 2 2 2 1 2n = 2 − n −1 − n +1 2 2 n+2 ∴ S n = 4 − n −1 2
2) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( n + 1 − n )
1 2 n 2 + + ⋅⋅⋅ + ，又 bn = ，求数列 {bn }的前 n 项的和 . an ⋅ an+1 n +1 n + 1 n +1
解：
1 2 n n + + ⋅⋅⋅ + = n +1 n +1 n +1 2 2 1 1 ∴ bn = = 8( − ) n n +1 n n +1 ⋅ 2 2
1 1+ 2 , 1 2+ 3 1 ,⋅ ⋅ ⋅, 1 ,⋅ ⋅ ⋅ 的前 n 项和.
[例 9] 求数列
探讨数学分析中求极限的方法x
探讨数学分析中求极限的方法摘要：极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念 ,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具 ,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法 ,对学好高等数学是十分重要的。
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法。
本文详细介绍了一些典型的极限计算方法 ,给出解题思路及相应技巧 ,并辅以典型的例题 ,最后还强调了求极限时的注意事项。
关键词：极限；类型；方法。
一、 利用函数连续性求极限由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。
由函数)(x f y =在x 0 点连续定义知，)()(lim 00x f x f x x =→。
例1 求)52(lim 22-+→x x x . 解 ∵52)(2-+=x x x f 是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。
即原式=2⨯2＋2⨯2－5=3 例2 求632lim 220++-→x x x x . 解 由于632)(22++-=x x x x f 在x=0处连续 所以2163632lim 220==++-→x x x x 例3 求1352lim 22+-+→x x x x分析 由于552225lim lim lim 2)52(lim 2222222=-+⨯=-+=-+→→→→x x x x x x x x 71231lim lim 3)13(lim 222=+⨯=+=+→→→x x x x x所以采用直接代入法解 原式=751235222)13(lim )52(lim 2222=+⨯-+⨯=+-+→→x x x x x二、利用无穷小的性质求极限我们知道无穷小的性质有：性质1：有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷。
性质2：在自变量同一变化的过程中无穷大量的倒数为无穷小。
关于和式极限求法的探讨
关于和式极限求法的探讨
和式极限求法：探讨
极限求法是一种重要的数学分析方法，有助于我们理解复杂的函数及
其生成的结果。
特别是和式极限求法，它以不同方式介绍函数的性质，并找到任意定义域上函数的行为极限值。
本文将探讨和式极限求法的
概念、原理和应用。
一、概念
和式极限求法是一种分析函数的数学方法，用于求出函数的极限。
它
的思路是：给定一个序列，在x值无穷小时，它的和约等于函数的极
限值；也就是说，通过把x的值无穷小，就可以求出极限，从而定义
函数的极限。
换句话说，和式极限求法可以将不同类别的限值表示成
求和形式，并且可以用一般性的极限解方程实现求解。
二、原理
和式极限求法的基本原理是：当x值趋于无穷小时，其函数和约等于
函数的极限值。
因此，和式极限求法是一种求函数极限的有效方法，
可以解决各类在给定定义域上无限次展开的极限。
三、应用
和式极限求法是极限计算的重要方法之一。
可以用来求解加减乘除等复杂的表达式的函数极限。
求解过程具有一致性和准确性，它可以表示函数的极限值或者表示极限的同质序列。
常见的应用场景包括解微分方程、定义概率函数等。
综上所述，和式极限求法是一种重要的数学分析方法，可以用来求解复杂的函数及其对应的极限值。
其原理是：当x的值趋于无穷小时，它的和等于函数的极限值；并且它有着广泛的应用，可以用于求解各类极限，也可用于解微分方程等多方面。
关于和式极限的探求
关于和式极限的探求极限的概念是数学里的一个很重要的概念，是对无限进行定义和分析的工具。
古希腊哲学家亚里士多德是最早提出极限的理论的主要创始人。
这种理论的重要性现在仍然受到广泛的重视，它具有重要的应用价值，被广泛用于数学和自然科学，特别是物理学和技术科学领域。
关于和式极限，这是一种当某值不断逼近某个值时，通过数学分析或计算，考察函数行为变化达到极限或尽头的学科。
它可以帮助我们探究和研究函数行为随其参数变化而出现的变化。
和式极限有三种分类，分别是有限极限、无穷极限和无穷无限极限。
有限极限是指当参数的值接近某个数字时，函数的值也接近某个数字，而不是某个数字本身。
无穷极限是指函数的参数趋近于某个无限大的数值，函数的值也趋近于某个无限大的数值，但不是它本身的无限大值。
无穷无穷极限则是指函数的参数和值都接近于某个无穷大的数值，它们都接近于它本身。
和式极限可以帮助我们解决许多数学问题，其重要性可以从三方面来体现。
首先，它可以帮助我们代入不同的参数来推理出不同的函数的行为变化，从而得到函数的实际行为情况。
其次，它可以帮助我们研究某个函数行为变化的特征和性质，同时将函数中多个参数与函数结果之间的联系分析出来，以便对函数行为变化有更深入的了解。
最后，它为我们提供了探究和分析某个函数中参数变化与函数行为变化之间有何关联的工具，可以帮助我们更深入地探索和研究函数的行为变化。
和式极限的运用非常广泛，它可以应用在微积分的各个方面，如函数的微分、积分和微分方程等，以及统计学、力学和物理学等数学领域。
在实际应用中，和式极限可以辅助我们研究函数变化的性质，以及函数变化与其他变量之间的联系，从而得出精准的结论。
例如，它可以帮助我们研究单位球面的曲率，可以帮助我们对导数的概念有更深入的了解，并且可以帮助我们计算复杂的微积分函数。
总之，和式极限具有重要的应用价值，它可以为用来推理函数行为变化的研究提供有力的支持，为理解参数之间的联系和函数行为变化提供了可靠的数据基础。
定积分是确定的和式的极限
=
f
(x,
y)dxdy 。定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。1§二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
2、
平面薄片的质量 定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。§1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
设 f (x, y)在闭区域 D 上连续，则 f (x, y) 在 D 上的二重积分一定存在。
定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。§二1重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它以是面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
设有一平面薄片在 xOy 面上的区域 D ， D 上任一点 (x, y) 的面密度为
( x,
y) ，设
( x,
y) 在
D
上连续，求薄片的质量 定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。§1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
考研数学：用定积分的定义求极限
f ( x)
在 区 间
[ a, b]
上 有 界 ， 在 ， 这 样
[ a, b]
内 任 意 插 入
n 1
个 分 点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就 被 分 为 了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。 我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分 的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限 基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 的 定 积 分 ， 记 令
称
f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 可 积 ， 该 极 限 称 之 为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。 例题:求 lim
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
!5
! 5 $"
!5
" 5… 5 $"
!5
$ 6$ $"
3 ! $% 012
$$ 4
$ （ $ 5 !） ! 3 ! $% " " $"
…5 （
!
$ ! 5 " 6 !） $ 3 ! （
$
"$ 利用阿贝尔法求和式极限
阿贝尔法就是构造幂级数法， 通过逐项微分或
［ "］ 积分求得和函数， 再取适当的 7 值即可 。
& 6 !） & 3! $" ! （ "）3 ! ! 5 " 6 !， （ # "）3 " 令! "
!
!5
［ （6 例 &$ 求 012
$$ 4
& ! & " ! & &am; %
则 012
"$’
! （ "） 3! （ # "） & （ & 3 !， "， …， $） $’ ， $"
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 朱小红： 关于和式极限求法的探讨
# （ % $） ’ # &# % $ （ ） " # " $ &# % $ ( # " # （ % $） ’ &# % $ "* ［ ! （ ） " ］ $%" ) # " $ &# % $ ( #
5! 利用定积分的定义求和式极限
$ ， 而余下部分可用通式写 # 成 # 项和形式， 一般用定积分定义做。 $ $ * * … 例 : ! 求 123（ & & & #$ # # *$ # * && ! ! $ ） & # * #& ! $ $ $ 解! 设 ) # " * *… & & & & & # *$ # *& # * #& ! ! ! $ $ $ " ［ * * # $ & & & $* （ ） （ ） $* # # $ …* # & （ ） $* # $ $ # " ! # * "$ * & $* （ ） # $ 由此可知， ; / 可看作 （ ’ "）" 在 ［)， $］ 上 $ * "& ! 凡每一项均可提出
:! 利用夹逼定理求和式极限
$ 后， 余下的部分不能用通式表 # 示， 但具有单调性的用夹逼定理做。验证单调性有三 凡每一项提出
)Y 种方法： （!） 考察
武汉工程职业技术学院学报* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * #%%)/ !*
!" " ! 是否大于 !； （#） ! " " ! $ ! " 是否 !" 大于 %； （&） 由 ! " 找出一个连续函数 （ # $） ， 使 !" ’ # （ "） （ " ’ !， #， ……） ， 考察是否恒有 #% （ $） 大于 % 或 #% ! ［ (］ （ $） 小于 %， 其中 ! " 为各项提出后 剩余的部分 。 " ! # 例 ) * 求 +,-（ # " # " … "$ . " " " "! " " " "# " " & ）’ +,- ! # # " & ’ ! . $ " "" "" " "" "& & & & 解* 因为 # （& ’ ’ ’ " " " " " "# " " " & "# " " " ! !， #， …" ） ， 所以 " " " & & & ! # ’! # ’! # & ’! " " " " " & ’! " " " " & & ’! " " " " ! " & # 又 +,- ! # ’ +,- # ’ +,"$ . & ’ ! " " " " " "$ . " " " " " "$ . # " "" ! ’ # （ "# " # " ） #
# # # & ")
!
!
!
!
的积分和式 ! （ ’ #* ） "" *
* "$
#
!
* $ ， （ * " $， &， …# ） ， 于是 "" * " ， # # $ %" " $ # （" * ! $ * "& ） 4$ 原极限 " *$ ) ) " & $ *" ! 其中 # * " $# （$ * ! &）
’! 利用傅立叶级数展开式求和式极限
在函数的傅氏 （ 特别是正、 余弦） 展开式中在其 即可转化为通过对数项 收敛域内选取适当的 0 值， ［ ’］ 。 级数收敛的讨论求和式极限 # $ 例 (! 求 123 ! & #$ # & " $ & 解! 将 （ ’ "）" & * 4 " 4 在 ［ % $， $］ 展成余弦级数： $ () " & *（ %" " 5 ) & * "） & $ ( # " *（ & * "） -67 （ #""） %" " *$ （ #""） %" ) " -67 $ ) & （ -67#" % $ ） " ， （ # " $， &， …） # & "& 因为所给函数在 ［ % $， $］ 上满足狄氏收敛定 理， 因此 5 #（ & -67#" %$） （ ’ "） "& * 4" 4 " * ! -67 （#""） ! ［ %$， $］ # "$ & #&"& 5 ( # （ -67& & * $ ） "" " % &! & & " & " ) （&& * $） 5 ( # （ -67& & * $ ） "" 令 " " ) 时， 则&" % &! & & " & " ) （&& * $） & # $ " 所以 ! " & & ") （&& * $ ） 8 $ $ $ & " ! & * ! & & " ) & " ) # （&& * $） （ & &） # $ $ # $ " ! ! & * & ") （ & & * $ ） ( # " $ #& # $ ( # $ 故 ! & " ! & # "$ # ’ & ") （&& * $） ( "& "& " 9 " ’ 8 : 以上几种求和式极限的方法有一定的难度， 下 面介绍几种更常用的方法。
$$ 4 & 3 ! $
3 012
$$ 4
!
$ （ $ 5 !） ! 3 % % $"
" $
!
!5
$ & & 3 012 ! " 6 !） $ 3 ! & 4 $ $ " $"
例 "$ 求 012 （ % $" 5 % $" 5 … 5 % $" 6 $ ） $ （ % / ’）
!$ 利用等价无穷小替换求和式极限
$
& $"
例 !$
求 012（
"$4
!
!5
! 5 $"
!
!5
" 5 … 5 $"
当 $ $4 ， % &， $ 3
!
!5
$ 6 $） $"
故$ 原式 3 012 ! （%
$$ 4 & 3 !
6 ! ）3 012 !
$
$$ 4 & 3 !
& ! $% $"
解 $ 因为
! ! ! ! " 3 （ ! 5 6 ! ）5 （ !5 6 ! ）5 !$ !$
$
3 ! （ % $" 6 ! ）