关于和式极限求法的探讨
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5! 利用定积分的定义求和式极限
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和式极限的求解方法
和式极限的求解方法贾延【摘要】极限是微积分学的重要内容,而无限多项的和式的极限是函数极限的难点,重点介绍了8种有关和式极限求解的计算方法,并通过例子对这些方法做了更进一步地分析和讨论.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(008)003【总页数】4页(P9-11,18)【关键词】和式极限;夹逼准则;定积分;幂级数【作者】贾延【作者单位】北方民族大学信息与计算科学学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O172.1极限是研究数列和函数性质的一个重要工具，和式极限的求解是极限运算中的一个重要组成部分。
一般情况下，和式极限不易求出，常见的微积分教材中都曾零散地给出了一些解法，笔者对此做了比较详细的总结，归纳出了8种求和式极限的方法，并通过一些典型例子对这些方法做了进一步地分析和讨论。
根据和式的结构特点，运用初等数学的有关公式、定理和计算技巧，先求得和式的表达式，再计算出和式的极限。
1.1 利用拆项相消法求和式极限利用已知的公式，拆项相消后直接求和式极限。
即把通项拆成两项差的形式，在求前n项和时，除首尾两项外，其余各项均抵消掉。
1.3 利用乘系数法求和式极限夹逼准则是求和式数列极限的一个重要工具，只需构造出夹在左右两旁并能收敛于同一数值的数列即可。
当n个项按递增或递减排列时，选用夹逼准则求解。
例4 求极限将初等函数，尤其是基本初等函数的麦克劳林展开式反过来使用求得和式极限。
4.1 直接公式法在函数的傅里叶级数展开式中，特别是正、余弦展开式中，在其收敛域内选择恰当的χ值，可转化为讨论数项级数的收敛性来求和式极限。
和式极限抽象，计算繁杂，是极限运算中的重点，也是难点。
在求和式极限时，需要认真分析和式的特点，具体问题具体分析，除采用直接求和法计算其极限外，还可将其化为以上几种方法求解，有时还需要与其他方法结合起来使用，效果会更佳。
通过以上讨论，使初学者对和式极限有了更深入的理解，从而提高了学生解决数学问题的能力。
浅谈求无穷和式极限的若干方法
・112・当代教育实践与教学研究浅谈求无穷和式极限的若干方法东北林业大学理学院数学系 谭 畅摘 要：求无穷项和的极限是高等数学中求极限问题的难点，鉴于其重要影响，如何正确分析和探求和式极限变得 尤为关键。
本文对求无穷和式极限较常见的几种求法进行归纳，并做简单介绍。
关键词：无穷和式 极限 两边夹定理 定积分定义文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2017-03-0112极限是高等数学中研究数学问题最基本的方法，其思想贯穿高等数学始终，研究极限的计算方法与技巧显得尤为重要。
在极限计算中，求无穷和式极限是一类重要的极限问题。
众所周知，无穷多个无穷小的代数和极限不一定是0。
因此，我们无法用常规公式求无穷和式的极限。
通常是先求出无穷数列前n 项的和，再求和式极限。
但当数列的前n 项的和不易求出时， 求无穷和式极限不是一件容易的事，本文对其几种求解方法做简单介绍。
一、求前n 项和法极限的四则运算法则使用前提是有限个存在极限的函数的四则运算与极限运算可以换序。
因此，无穷和的极限需要先化为有限项，才可使用四则运算法则。
这种方法通常针对某些特殊的无穷和，如等比数列、等差数列的无穷和，或是采用一些特殊方法，如裂项、首尾相加、错位相减或分和等技巧能将无穷项和的前n 项部分和表达式求出，再对此表达式取极限。
但这种方法的局限在于需要能够求出前n 项部分和的解析式，然而大部分数列的前n 项和难于直接求出。
二、两边夹定理当无穷和式的部分和表达式不易直接求出时，可以考虑将求极限的和式作适当放大和缩小，使放大、缩小所得的新的表达式易于求极限，且两端极限值相等，最后利用两边夹定理得出极限。
这种方法可避免求部分和表达式，但难点在于对和式的放大与缩小要适度，需要保证放大和缩小后的数列极限相等。
三、定积分定义法将定积分定义的εδ-语言与极限定义的εδ-语言相比较，可以发现二者类似的陈述方式。
由定积分定义可知，当对积分区间的分划无限加细时，定积分可表示为无穷和式的极限。
数列求和与极限的专题讲解
[例 4] 求数列
2 4 6 2n , 2 , 3 ,⋅ ⋅ ⋅, n ,⋅ ⋅ ⋅ 前 n 项的和 . 2 2 2 2 2n 1 解：由题可知，{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n = + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n （设制错位） S n = 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + n +1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①－②得 (1 − ) S n = + 2 + 3 + 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + n − n+1 （错位相减） 2 2 2 2 2 2 2 1 2n = 2 − n −1 − n +1 2 2 n+2 ∴ S n = 4 − n −1 2
2) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( n + 1 − n )
1 2 n 2 + + ⋅⋅⋅ + ，又 bn = ，求数列 {bn }的前 n 项的和 . an ⋅ an+1 n +1 n + 1 n +1
解：
1 2 n n + + ⋅⋅⋅ + = n +1 n +1 n +1 2 2 1 1 ∴ bn = = 8( − ) n n +1 n n +1 ⋅ 2 2
1 1+ 2 , 1 2+ 3 1 ,⋅ ⋅ ⋅, 1 ,⋅ ⋅ ⋅ 的前 n 项和.
[例 9] 求数列
探讨数学分析中求极限的方法x
探讨数学分析中求极限的方法摘要：极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念 ,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具 ,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法 ,对学好高等数学是十分重要的。
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法。
本文详细介绍了一些典型的极限计算方法 ,给出解题思路及相应技巧 ,并辅以典型的例题 ,最后还强调了求极限时的注意事项。
关键词：极限；类型；方法。
一、 利用函数连续性求极限由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。
由函数)(x f y =在x 0 点连续定义知，)()(lim 00x f x f x x =→。
例1 求)52(lim 22-+→x x x . 解 ∵52)(2-+=x x x f 是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。
即原式=2⨯2＋2⨯2－5=3 例2 求632lim 220++-→x x x x . 解 由于632)(22++-=x x x x f 在x=0处连续 所以2163632lim 220==++-→x x x x 例3 求1352lim 22+-+→x x x x分析 由于552225lim lim lim 2)52(lim 2222222=-+⨯=-+=-+→→→→x x x x x x x x 71231lim lim 3)13(lim 222=+⨯=+=+→→→x x x x x所以采用直接代入法解 原式=751235222)13(lim )52(lim 2222=+⨯-+⨯=+-+→→x x x x x二、利用无穷小的性质求极限我们知道无穷小的性质有：性质1：有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷。
性质2：在自变量同一变化的过程中无穷大量的倒数为无穷小。
关于和式极限求法的探讨
关于和式极限求法的探讨
和式极限求法：探讨
极限求法是一种重要的数学分析方法，有助于我们理解复杂的函数及
其生成的结果。
特别是和式极限求法，它以不同方式介绍函数的性质，并找到任意定义域上函数的行为极限值。
本文将探讨和式极限求法的
概念、原理和应用。
一、概念
和式极限求法是一种分析函数的数学方法，用于求出函数的极限。
它
的思路是：给定一个序列，在x值无穷小时，它的和约等于函数的极
限值；也就是说，通过把x的值无穷小，就可以求出极限，从而定义
函数的极限。
换句话说，和式极限求法可以将不同类别的限值表示成
求和形式，并且可以用一般性的极限解方程实现求解。
二、原理
和式极限求法的基本原理是：当x值趋于无穷小时，其函数和约等于
函数的极限值。
因此，和式极限求法是一种求函数极限的有效方法，
可以解决各类在给定定义域上无限次展开的极限。
三、应用
和式极限求法是极限计算的重要方法之一。
可以用来求解加减乘除等复杂的表达式的函数极限。
求解过程具有一致性和准确性，它可以表示函数的极限值或者表示极限的同质序列。
常见的应用场景包括解微分方程、定义概率函数等。
综上所述，和式极限求法是一种重要的数学分析方法，可以用来求解复杂的函数及其对应的极限值。
其原理是：当x的值趋于无穷小时，它的和等于函数的极限值；并且它有着广泛的应用，可以用于求解各类极限，也可用于解微分方程等多方面。
关于和式极限的探求
关于和式极限的探求极限的概念是数学里的一个很重要的概念，是对无限进行定义和分析的工具。
古希腊哲学家亚里士多德是最早提出极限的理论的主要创始人。
这种理论的重要性现在仍然受到广泛的重视，它具有重要的应用价值，被广泛用于数学和自然科学，特别是物理学和技术科学领域。
关于和式极限，这是一种当某值不断逼近某个值时，通过数学分析或计算，考察函数行为变化达到极限或尽头的学科。
它可以帮助我们探究和研究函数行为随其参数变化而出现的变化。
和式极限有三种分类，分别是有限极限、无穷极限和无穷无限极限。
有限极限是指当参数的值接近某个数字时，函数的值也接近某个数字，而不是某个数字本身。
无穷极限是指函数的参数趋近于某个无限大的数值，函数的值也趋近于某个无限大的数值，但不是它本身的无限大值。
无穷无穷极限则是指函数的参数和值都接近于某个无穷大的数值，它们都接近于它本身。
和式极限可以帮助我们解决许多数学问题，其重要性可以从三方面来体现。
首先，它可以帮助我们代入不同的参数来推理出不同的函数的行为变化，从而得到函数的实际行为情况。
其次，它可以帮助我们研究某个函数行为变化的特征和性质，同时将函数中多个参数与函数结果之间的联系分析出来，以便对函数行为变化有更深入的了解。
最后，它为我们提供了探究和分析某个函数中参数变化与函数行为变化之间有何关联的工具，可以帮助我们更深入地探索和研究函数的行为变化。
和式极限的运用非常广泛，它可以应用在微积分的各个方面，如函数的微分、积分和微分方程等，以及统计学、力学和物理学等数学领域。
在实际应用中，和式极限可以辅助我们研究函数变化的性质，以及函数变化与其他变量之间的联系，从而得出精准的结论。
例如，它可以帮助我们研究单位球面的曲率，可以帮助我们对导数的概念有更深入的了解，并且可以帮助我们计算复杂的微积分函数。
总之，和式极限具有重要的应用价值，它可以为用来推理函数行为变化的研究提供有力的支持，为理解参数之间的联系和函数行为变化提供了可靠的数据基础。
定积分是确定的和式的极限
=
f
(x,
y)dxdy 。定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。1§二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
2、
平面薄片的质量 定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。§1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
设 f (x, y)在闭区域 D 上连续，则 f (x, y) 在 D 上的二重积分一定存在。
定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。§二1重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它以是面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
设有一平面薄片在 xOy 面上的区域 D ， D 上任一点 (x, y) 的面密度为
( x,
y) ，设
( x,
y) 在
D
上连续，求薄片的质量 定积分是确定的和式的极限14第七章重积分定积分是确定的和式的极限现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。§1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念曲顶柱体的体积设有一立体，它是以面上的闭区域为底，以的边界曲线为颊腐剩庆筋幅叙俭绷模腺鸿倍馅腋谴伟庞腥氟蔚呆陆刽胳核灰箱凰慈裹摘过份奸糙墩赫媚兼尊捆撰苑款鼓艰剃虎赏地巧娃绘旱滚的懒企船铲何尼记
考研数学：用定积分的定义求极限
f ( x)
在 区 间
[ a, b]
上 有 界 ， 在 ， 这 样
[ a, b]
内 任 意 插 入
n 1
个 分 点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就 被 分 为 了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。 我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分 的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限 基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 的 定 积 分 ， 记 令
称
f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 可 积 ， 该 极 限 称 之 为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。 例题:求 lim
最新和式极限的几种求法 毕业论文名师资料汇编
和式极限的几种求法摘要 和式极限是分析学的基础和重要工具，也是高等数学教学中一个难点.本文着重介绍了利用数列部分和公式求和式极限，利用定积分定义求和式极限，利用幂级数的展开式求和式极限，利用数项级数收敛性等几种求和式极限的方法.关键词 和式极限 数列 积分 无穷级数 1 引言极限是数学分析中非常重要的概念，极限思想始终对于解决分析学中的许多问题起着非常关键的作用，而且和式极限是极限论中的重难点问题.对于如何计算无限多项和式的极限问题，虽然在很多数学教材里均有所涉及，但是少有专题研究它的求法.当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形式(简称无穷和式),就不能用这些常规的方法了.通常是先求出无穷数列前项n 的和,再求和式的极限.但当数列的前n 项的和不易求出时,我们就可以考虑用定积分的定义来求它的极限是微分学的灵魂，极限的计算是极限理论的重要内容.本文将详细地归纳出求解和式极限的几种基本方法和运用相关定理求解和式极限的方法. 2 求解和式极限的几种方法一般而言，求解和式极限有求和、夹逼准侧、定积分的定义以及无穷级数展开式求和等方法，以及应用托布利兹（Toeplitz ）定理和施笃兹（Stolz ）定理求解相关问题，下面以例题的形式介绍一下这几种方法的具体应用. 2.1利用求和的方法求和式极限是指使用初等的方法——数列求和、裂项相消等——求出1nkk a=∑的和，然后再求其极限.例1 求极限222333112(1)lim []nn k n nn n →+∞=-++⋅⋅⋅+∑. 解 222333112(1)lim []nn k n n n n →+∞=-++⋅⋅⋅+∑31(1)(21)lim []6n n n n n →+∞--=⋅13=. 例2 求极限111lim[]1223(1)n n n →+∞++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+.解1111,12223=-⋅⋅11,23=-,⋅⋅⋅1(1)n n ⋅+111n n =-+叠加得111223+⋅⋅1(1)n n +⋅⋅⋅+⋅+11n+1=- 所以lim n →+∞11[1223++⋅⋅⋅+⋅⋅1](1)n n ⋅+ lim n →∞=1(1)n+1-1=. 2.2利用夹逼准则求和式极限需要构造两个和式或数列将要求极限的和式夹在中间，并使得两边的极限相等，这时往往使用放缩的方法.例3 求极限n lim →+∞+⋅⋅⋅+.解≤≤且limn lim1n ==所以n lim 1→+∞⋅⋅⋅+=.例4 求极限lim 0)n x ≥.解（1）当01x ≤≤时，01nx ≤≤，20()12nx ≤≤则1≤又lim1n =，所以当01x ≤≤时，1n = （2）当12x <≤时，01x <<，202x x <≤则x ≤，lim n x →+∞=所以当12x <≤时lim n x = （3）当2x >时，2012x <<，202x x <<则22x ≤≤ 又2lim 2n x = 所以当2x >时2lim 2n x =综上所述21,01lim ,12,22n x x x x x ⎧⎪≤≤⎪=<≤⎨⎪⎪>⎩. 2.3利用定积分的定义求解和式极限和式极限是一个基本的数学问题,由于解法的多样性,也是一个难题.讨论一类用定积分定义求和式极限的方法,同时这种方法充分表现了和式极限与积分这两个不同的数学概念之间的紧密联系,也表现出求和式极限的多样性与灵活性.和式极限是一类基本的极限,其一般的方法是先求和,然后取极限.但是,有些和式求和并非易事,而有些和式甚至不能求和,怎么求它的极限呢?我们知道,“和”与“积分”是有紧密联系的,有些和式极限,在满足特定的条件下,可以转化为积分.一般需要将极限化为11lim ()n n k kf n n →∞=∑的形，然后根据定积分的定义将极限转化为积分1()x f x d ⎰计算.例5求lim n →+∞+⋅⋅⋅+.解 设n S=+1n=+⋅⋅⋅+=11n i n =由此可知，n S可看作()f x =在[0,1]上的积分和式1()niii f x ξ=∆∑其中i ξ=,i n i x ∆=1n,(1,2,),i n =⋅⋅⋅于是 原极限1x ==⎰1ln(xln(1=.例6求极限limn 解令n a ==则11ln ln(1)n n k k a n n==+∑有11lim lim ln(1)n n n n k ka n n →+∞→+∞==+∑10ln(1)2ln 21x x d =+=-⎰所以limn2ln 214e e -==.2.4利用幂级数展开式求和式极限讨论由幂级数列0{()}n n a x x -所产生的函数项级数200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (1)它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它是可以看作室多项函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别是在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有很多新的了解和认识.下面将着重讨论00x =.即：20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑（2） 的情形，因为只要把（2）中的x 换成0x x -，就得到（1）.（阿贝尔定理）若幂级数（2）在0x x =≠收敛，则对满足不等式||||x x <的任何x ，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在x x =时发散，则对满足不等式||||x x <的任何x ，幂级数（2）发散.在函数的幂级数(特别是麦克劳林)展开式中，选取适当的x 值，即可能转化为通过论数列级数的收敛性求和极限.例7 计算12lim[]2!3!(1)!n n n →+∞++⋅⋅⋅++即计算1lim (1)!nn k kk →+∞=+∑.解 21112!!xn e x x x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 2001112!!x x xn x x e d x x x d n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⎰⎰211112!!(1)!n n x x x x n n +=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 1x e =-在上两式中令1x =得111112!3!!e n =++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅01!k k ∞==∑ （3）01111112!3!!(1)!k e n k ∞=-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+∑ （4）（3）—（4）得001111lim ()!(1)!(1)!n k k k kk k k ∞∞∞→∞====-=++∑∑∑ 所以12lim[]12!3!(1)!n nn →+∞++⋅⋅⋅+=+.例8 求2331313(1)3lim[()()()()]43454214n n n n →+∞--+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-，收敛域[.解 令 211(1)3()()214n n n n s x x n ∞-=-=⨯-∑2101(1)3[()]'214n xn n x n x d n ∞-=-=⨯-∑⎰ 220113[(1)()]4xn n x n x d x ∞==-⨯∑⎰ 222013()34xx x d x x -=+⎰x = 取1x =，即得1(1)3(1)()214n nn s n ∞=-=⨯-∑x =. 2.5利用傅里叶级数展开式求和式极限一般地说，若f 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数，则可按公式1()cos ,0,1,2n xa f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰ 1()sin ,0,1,2n xb f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰计算出n a 和n b ，它们称为函数f （关于三角函数系）的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑称为f （关于三角函数系）的傅里叶级数，记作01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑.这里的记号“→”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数.由公式知道，若01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑得右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数f 的傅里叶级数，即此时01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑中的“→”号换成等号.然而，若从以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数f 出发，按公式:1()cos ,0,1,2n xa f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰1()sin ,0,1,2n xb f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑，这时还需要讨论此级数是否收敛.如果收敛，是否收敛于f 本身.在函数的傅氏（特别是正、余弦）展开式中在其收敛域内选取适当x 的值，即可转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限.例9 求211limnn k k→+∞=∑. 解 将()2||f x x =+在[1,1]-展开成余弦级数1002(2)5x a x d =+=⎰102(2)cos()n x a x n x d π=+⎰1cos()x x n x d π=⎰222(cos 1),(0,1,2)n n n ππ-==⋅⋅⋅因为所给函数在[1,1]-上满足狄氏收敛定理 因此()2||f x x =+22152(cos 1)cos()2n n n x n πππ∞=-=+∑22154cos(21)2(21)n k xk ππ∞=+=-+∑ [1,1]x ∈- 令0x =时，则22154cos(21)22(21)n k xk ππ∞=+=-+∑ 所以2201(21)8k k π∞==+∑ 222000111(21)(2)k k k n k k ∞∞∞====++∑∑∑ 2201111(21)4k n k n ∞∞===++∑∑ 故22001413(21)k k nk ∞∞===+∑∑ 2438π=⋅26π=. 例10 计算121(1)lim k nn k k +→+∞=-∑. 解 将2()2f x x =在[,]ππ-展开成余弦级数22002423x a x πππ=⎰d =220282cos (123)nn x a x nx n nππ==⋅⋅⋅⎰d =(-1)，，， 且该余弦级数在[,]ππ-满足狄利克莱充分条件，因此:22128()(1)cos 3n f x nx n π∞==+-∑ [,]x ππ∈-令0x =，则0=22128(1)3n n π∞=+-∑ 所以122111(1)12n n n π∞+=-=∑ 故121(1)lim k nn k k +→∞=-∑2112π=. 另外，2211lim (21)8nn k k π→+∞==-∑，2211lim 6nn k kπ→+∞==∑. 2.6利用数项级数收敛性求和式极限1nn u∞=∑收敛的充分必要条件是lim n n S →∞存在.因此可以通过讨论数项级数的收敛性和式n S的极限.一般地，可以将所给和式扩充为一个级数来讨论，也可以通过讨论某级数的收敛性来求和式的极限.例11 计算2lim (cos cos 2cos )nn q q q n ααα→+∞++⋅⋅⋅+及2lim (sin sin 2sin )n n q q q n ααα→+∞++⋅⋅⋅+(||1)q <.解 首先讨论1nim n qe α∞=⋅∑的收敛性：因为1nim n qeα∞=⋅∑为等比数列，且||||||1i r qe q α==<所以1nim n qe α∞=⋅∑收敛且其和为(cos sin )1(1cos )sin i i qe q i Z qe q iq αααααα+==--- 2222{(1cos )cos sin (1cos )sin qq q q q ααααα=---- [(1cos )sin cos sin ]}i q q αααα+-+222cos sin 12cos 12cos q q q iq q q q αααα-=++-+- 又11(cos sin )nim n n n qeq n i n ααα∞∞==⋅=⋅+∑∑22(cos cos2cos )(sin sin 2sin )n n q q q n i q q q n αααααα=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅22lim (cos cos 2cos )lim(sin sin 2sin )n n n n q q q n i q q q n αααααα→+∞→∞=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+所以222cos lim (cos cos 2cos )12cos nn q q q q q n q q ααααα→+∞-++⋅⋅⋅+=+- 22sin lim (sin sin 2sin )12cos n n q q q q n q q ααααα→+∞++⋅⋅⋅+=+-.2.7利用等价无穷小替换求和式极限定理 若()0F x >0(),lim1,()x F x f x →=则当,,0k n n a →∞→时 ,,11lim ()lim ()n nk n k n n n k k F a f a →∞→∞===∑∑.例12 求)n n →∞.解因为n1)1)1)=++⋅⋅⋅+11)nk==∑令1()1,()2F x f x x==则()lim1()xF xf x→=当,2,0,(1,2,,)k nkn a k nn→∞=→=⋅⋅⋅故原式)nn→∞211lim1)lim2n nn nk kkn→∞→∞====∑∑2(1)lim4nn nn→∞+=14=.例13求22212lim()nn n nna a a n→∞++⋅⋅⋅+-(0)a>.解因为22212nn n na a a n++⋅⋅⋅+-12(1)(1)(1)nn n na a a=-+-+⋅⋅⋅+-21(1)knnka==-∑令()1,()lnxF x a f x x a=-=则()lim1()xF xf x→=当,2,0,(1,2,,)k n kn a k n n→∞=→=⋅⋅⋅ 故原式2211lim(1)lim ln k nnn n n k k ka a n→∞→∞===-=∑∑2(1)1ln lim ln 22n n n a a n →∞+==. 2.8构造母函数求和式极限母函数法是一种生产函数法，它充分具体现了由特殊到一般及由一般到特殊的关系，把问题“化整为零”，把分散的问题归总起来，可收“事半功倍”之效.例14 求证123lim[]22482n n n→∞+++⋅⋅⋅+=. 证明 构造1,2,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的母函数，即231()23nnn f x x x x nx nx∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑，亦即()f x 是1nn nx∞=∑的和函数由,11()n n f x x nx ∞-==∑有=11()n n f x nx x ∞-=∑积分得1100111()1()1xx x n n n x x x n n n f x d nx d nx d x x x ∞∞∞--=======-∑∑∑⎰⎰⎰ (||1)x < 再微分得21(),(1)f x x =-故有2()(1)xf x x =- (||1)x <取1,2x =即得 21111232()lim lim[]21222482(1)2k n n n n k n f ∞→∞→∞===+++⋅⋅⋅+==-∑. 2.9利用托布利兹（Toeplitz ）定理求和式极限托布利兹（Toeplitz ）定理 若()lim1()n x x φϕ→∞=其中()0x ϕ>且当n →∞时，20(1,2,).ik i n n→=⋅⋅⋅则有1212lim[()()()]lim[()()()]n n nn n n nn n n a a a a a a φφφϕϕϕ→∞→∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.例15 求极限2222lim[sinsin sin ]n k k nkn n n →∞++⋅⋅⋅+.解 因为sin lim 1,x x x →∞=而且当n →∞时，20(1,2,)iki n n→=⋅⋅⋅又因为2222lim[sin sin sin ]n k k nk n n n →∞++⋅⋅⋅+2(1)2lim 2n n n kk n →∞+== 由利用托布利兹（Toeplitz ）定理即得：2222lim[sinsin sin ]n k k nk n n n →∞++⋅⋅⋅+2k=. 例16 求极限22212lim()nn n n n a a a n →∞+++- (0)a >.解 我们知道11lim()1ln x x a x a→∞-⋅= 当n →∞时2ln 0(1,2,)ia i n n →=⋅⋅⋅ 又因为222121lim[()ln ]ln 2n n a a n n n →∞++⋅⋅⋅+= 因而由由利用托布利兹（Toeplitz ）定理即得222121lim()ln 2nn n n n a a a n a →∞+++-=. 2.10利用施笃兹（Stolz ）定理求和式极限施笃兹（Stolz ）定理设{}n x 和{}n y 是两个数列，若满足条件： 1)存在自然数，当0N n >时 1;n n y y +> 2) lim n n y →∞=+∞;3) 11limn nn n nx x y y +→∞+--存在（有限或者是±∞）.则11limlim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-=-.例17 求极限1111lim(1).ln 23n n n →∞+++⋅⋅⋅+解 令1111,ln 23n n x y n n=+++⋅⋅⋅+=由施笃兹（Stolz ）定理即得1111lim(1)ln 23n n n →∞+++⋅⋅⋅+11lim lim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-==-11lim ln(1)ln n n n n→∞+=+-111lim11ln ln(1)n n en→∞+===+.结束语本文系统地阐述了求解和式极限的几种方法，并以例题的形式给出示范.正文中主要提到10种求解方法，前面8种是常见的基本方法，而后面两种是通过对托布利兹（Toeplitz ）定理和施笃兹（Stolz ）定理的巧妙应用来求解和式极限的.当然求解和式极限的方法远远不止这10种，所以需要大家共同去探索研究.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M],北京:高等教育出版社,2001. [2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉:崇文书局,2003.[3] 朱小红,关于和式极限求法的探讨[J],武汉工程职业技术学院学报,19：1(2007),74-76. [4] 翟龙余,一类和式极限的求解[J],宜春学院学报,30：4(2008),20-22. [5] 陈传璋,数学分析[M], 复旦大学出版社,1983.[6] 佐里奇,Mathematical Analysis [M],世界图书出版公司2006.Several Ways to Evaluate the Sum LimitAbstract The sum limit is the foundation and an important tool of analysis, it is also a difficult point in higher mathematics teaching. This paper mainly introduces several ways to evaluate the sum limit , namely, the evaluation by using the partial sum formula of sequence of number, the evaluation by using the definition of definite integral, the evaluation by using the expanded form of power series, the evaluation by using the convergence of series of constant term, etc.Keywords sum limit sequence of number integration infinite series。
求极限的方法与技巧
求极限的方法与技巧求极限是微积分中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、经济学等许多领域都有广泛的应用。
正确理解和应用极限的方法和技巧对于解决复杂问题至关重要。
在本文中，我将分享一些求极限的方法和技巧。
一、代入法代入法是求解极限最基本的方法之一、当函数在特定点不可求值或复杂时，我们可以通过代入该点的相邻值来近似求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2，要求极限lim(x->2)f(x)，我们可以尝试代入x=2附近的数字，如1.9、1.99、1.999等，通过逐渐逼近2，来估算极限的值。
当代入的数字越接近2时，得到的极限值越接近真实值。
二、基本极限法则基本极限法则是求极限过程中的重要工具，它基于一系列基本的极限结果。
以下是常用的基本极限法则：1. 常数法则：lim(x->a)c=c，其中c为常数；2. 幂函数法则：lim(x->a)x^n=a^n，其中n为正整数，a为实数；3. 指数函数法则：lim(x->0)(1+x)^n=1，其中n为正整数；4. 三角函数法则：lim(x->0)sin(x)/x=1，lim(x->0)(1-cos(x))/x=0；5. 对数函数法则：lim(x->1)ln(x)=0。
通过灵活运用这些基本极限法则，可以简化复杂的极限计算过程。
三、夹逼法夹逼法是求解极限中一种常用的思路。
当我们需要求解一个函数f(x)在特定点的极限时，可以通过构造两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x->a)g(x)=lim(x->a)h(x)=L，则根据夹逼定理，可以得到lim(x->a)f(x)=L。
通过灵活选择g(x)和h(x)，我们可以利用夹逼法求解复杂的极限问题。
四、换元法换元法是极限求解中一种常用的技巧。
通过进行变量替换，可以将复杂的极限问题转化为简单的形式。
例如，对于极限lim(x->0)sin(2x)/x，我们可以进行变量替换令u=2x，得到lim(u->0)sin(u)/(u/2)，进一步化简为lim(u->0)2sin(u)/u。