函数极限的几种特殊求法
极限求法总结
极限求法总结极限是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化趋势的基础。
在求解极限的过程中，我们常常会使用一些常用的技巧和方法。
下面我将对常见的极限求法进行总结，详细说明每种方法的步骤和应用场景。
一、直接代入法当函数在某个点有定义并且极限存在时，我们可以通过将变量直接代入函数中计算出极限的值。
例如，对于 f(x) = x^2 - 1，当 x -> 2 时，我们可以将 x 的值替换为 2，计算出 f(2) 的值。
这种方法适用于函数在该点有定义且不产生未定义结果的情况。
二、分子有理化法有些极限问题中，分子含有根式、分母含有分式等情况，为了便于计算，我们可以使用有理化方法。
主要有三种情况：有理化分母、有理化分子和有理化共轭。
1. 有理化分母：当分母中含有根式时，我们可以通过乘上分母的共轭形式，并利用差平方公式，将根式有理化为有理数。
例如，对于f(x) = 1/√x，当 x -> 4 时，我们可以乘上分母的共轭√x，得到f(x) = √x/√x^2，再利用 x^2 - a^2 = (x - a)(x + a) 的差平方公式，化简出分母为 (x - 4)。
接着我们可以直接代入计算。
2. 有理化分子：当分子中含有根式时，我们可以通过乘上分子的共轭形式，并利用和平方公式，将根式有理化为有理数。
例如，对于f(x) = √x + 1，当 x -> 2 时，我们可以乘上分子的共轭√x - 1，得到f(x) = (√x + 1)(√x - 1)/(√x - 1)，再利用 a^2 -b^2 = (a - b)(a + b) 的和平方公式，化简后得到 f(x) = (x - 1)/(√x - 1)。
接着我们可以直接代入计算。
3. 有理化共轭：当分式中含有复杂的分母，我们可以根据分母的共轭形式，将分式有理化为分子和分母之间关于负号的组合。
例如，对于 f(x) = 1/(x + 3)^2，当 x -> -3 时，我们可以将分子和分母都乘上 (x + 3)^2 的共轭 (-x - 3)^2，然后化简分子和分母。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
极限的六种求法
极限的六种求法1、代入法作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ如果自变量所趋近的值，能使函数有意义，就可以直接代入函数表达式中。
注：能使函数有意义，就是这个自变量在函数的定义域内。
【例】limx→2 x2x3 + 1− 2x + 3=( )。
2解：x2 − 2x + 3 = （x − 1）+ 2 ≥ 2 ≠ 0可见该函数的定义域是x3 + 1 R，所以可以直接将8 + 1x = 2 代入x3 + 1 。
x2 − 2x + 3limx→2 x2− 2x + 3 = limx→24 − 4 + 3= 3。
2、约公因子法如果自变量所趋近的值，使得函数没有意义。
可以考虑约公因子，将其约去。
因此经常运用因式分解。
【例】limx→3x2−x− 6x−3=( ) 。
解：这里发现，该函数的定义域为{x|x ≠ 3}。
如果x → 3，会使得函数没有意义。
因此考虑约公因子。
lim x→3x2−x−6x− 3= limx→3(x− 3)（x + 2）x− 3= lim(x + 2) = 5。
x→30 ⎩ x x x3、最高次幂法当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以使用最高次幂法求极限。
它的原理，就是分子分母同时除以自变量的最高次幂。
这样自变量趋近于无穷大时， 那些比最高次幂低的项，直接就变为 0 了。
最高次幂法也俗称抓大头。
a⎧ ，n = m ， a x m + a x m−1 + ⋯ + a⎪b 0lim 0 1 m = x→∞ b 0x n + b 1x n−1 + ⋯ + b n ⎨0，n > m ， ⎪∞，n < m 。
【 例 】10x 4 + 6x 3 − x 2 + 3( ) 。
1 limx→∞2x 4 − x 2 − 9x=首先，观察到函数是个分式的形式。
其次，分子跟分母的最高次幂都是 4；最后，求极限直接用最高次幂法，原式 = 10= 5。
2那么，不妨拿这个例子，验证一下最高次幂法的原理。
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
求极限的方法
求极限的方法在数学中，求极限是一种重要的技巧，用于分析函数在某个点的行为。
下面介绍几种常见的求极限的方法。
1. 代入法：当函数在某个点处存在有限的定义时，可以直接将该点的值代入函数中得到极限值。
例如，求函数f(x) = 2x在x=3处的极限，可以将x=3代入函数中，得到f(3) = 2 * 3 = 6。
2. 因式分解法：当函数可以进行因式分解时，可以利用因式分解的性质来求解极限。
例如，求函数g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x = 2处的极限，可以先进行因式分解得到g(x) = (x + 2)，然后将x = 2代入函数中，得到g(2) = 2 + 2 = 4。
3. 夹逼定理：当函数的极限难以直接求解时，可以利用夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是找到两个函数，它们的极限分别趋近于所求极限，然后利用夹逼定理来得到所求极限的值。
例如，求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限，可以通过夹逼定理，将h(x)夹在函数i(x) = 1和函数j(x) = x之间，显然，i(x)和j(x)的极限分别为1和0，因此根据夹逼定理，h(x)的极限为1。
4. 泰勒展开法：当函数的极限无法通过以上方法求解时，可以利用泰勒展开来近似计算极限。
泰勒展开是将函数在某一点处展开成无穷项幂级数的形式，利用一定数量的项来近似原函数。
例如，求函数k(x) = e^x在x = 0处的极限，可以利用泰勒展开公式e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...，将x = 0代入泰勒展开公式中，得到k(0) = e^0 = 1。
以上是几种常见的求极限的方法，根据具体问题的不同，可以选用不同的方法来求解极限。
求极限的方法总结
求极限的方法总结求极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点的变化趋势，包括函数趋于无穷大、无穷小、某一常数以及其他特殊情况等。
在解题过程中，需要灵活运用各种极限的计算方法，掌握不同类型极限的求解技巧。
下面将对常见极限的求解方法进行总结。
一、几种常见的极限类型1. 无穷大与无穷小极限当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限值称为无穷大或无穷小极限。
在计算过程中，可以利用以下方法求解：（1）使用等价无穷小替换法，将复杂的函数替换为更简单的无穷小，从而求出极限；（2）利用夹逼准则，通过找到两个函数夹住待求函数，确定其极限范围；（3）使用洛必达法则，计算函数的导数与求导后函数的极限，进而求得原函数的极限。
2. 常数极限当自变量趋于某一常数时，函数的极限称为常数极限。
常见的求解方法包括：（1）直接计算法，将自变量带入表达式中，求解对应的极限值；（2）利用函数的连续性，根据定义进行计算；（3）使用复合函数的性质，将函数分解为多个部分，然后计算各部分的极限。
3. 极限的两侧性质当自变量趋于某一点的左右两侧时，函数的极限可能存在不同的值。
这时可根据函数的性质和定义来判断其左右极限是否相等，常用的方法有：（1）利用函数的连续性，判断函数在特定点处是否连续，以及左右极限是否相等；（2）使用夹逼准则，确定左右极限的取值范围。
4. 极限存在性的判定在有些情况下，函数的极限可能不存在。
判断函数是否存在极限的方法有多种：（1）使用保号性质，判断是否存在有界变量和无穷小数列；（2）利用函数的性质，如奇偶性、周期性等，判断函数在某一点的趋势。
二、极限的计算方法1.常用求极限的基本运算法则（1）常数运算法则：如果f(x)和g(x)的极限都存在，那么常数c * f(x)和f(x) ± g(x)的极限也存在，并且满足以下关系：lim(c * f(x)) = c * lim(f(x)),lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限的计算是数学中常见且重要的问题，对于深入理解函数行为和解决实际问题具有重要意义。
以下是一些计算函数极限的常见方法和技巧：1. 代入法：当函数只有一个变量的时候，可以通过将变量代入函数中来计算极限。
这种方法适用于简单的函数和简单的极限问题。
2. 四则运算法则：对于复杂的函数，可以利用四则运算法则简化极限计算。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法，通过对函数表达式进行合理的变形和简化，可以得到更简单的极限计算形式。
3. 夹逼定理：夹逼定理也称为挤压定理，是一种计算极限的重要方法。
当一个函数在某个点附近夹在两个已知函数之间时，可以利用这个夹逼关系来求函数的极限。
4. 分数分解法：对于含有分数的函数，可以利用分数分解法将其分解为分子和分母的极限，然后分别计算两个极限。
5. 洛必达法则：洛必达法则是计算极限的一种重要方法。
当求函数的极限遇到不确定型的形式（如0/0或∞/∞）时，可以利用洛必达法则，将函数转化为两个函数的极限比值，然后再进行计算。
6. 泰勒展开法：泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
当函数在某一点处极限求解困难时，可以用泰勒级数展开来近似计算极限。
7. 对数换底法：对数换底法是计算一些特殊形式的极限的一种有效方法。
当函数中含有对数函数，并且指数不同底时，可以通过换底公式将其转化为更简单的形式。
8. 常用极限：熟记一些常用的函数极限是计算极限的一个重要技巧。
常用的函数极限包括指数函数、对数函数、三角函数等的极限，可以通过记忆和推导得到。
计算函数极限的方法和技巧很多，选择合适的方法和技巧对于解决极限问题非常重要。
需要根据具体的函数形式和问题特点选取合适的方法，并在计算中灵活应用各种技巧，从而有效地计算函数的极限。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-27.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin lim sin x x xx→-． 解 由于()s i n t a ns i n 1c os c o s xx x x x-=-，而 ()sin ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()33sin ~0x x x →故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x →，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin limlim 0sin sin x x x x x xx x→→--==， 则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→． 8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例1 求极限21cos limtan x xxπ→+．解 由于()2l i m 1c o s l i m t a n 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos lim tan x xxπ→+2s i nl i m 2t a n s e cx x x x π→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=． 8.利用定义求极限1．()()()000'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例1 求极限2222x x p p x q q→+-+-()0,0p q >>．分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x =则x → ()()()()000lim00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =p q=．9. 利用归结原则求极限归结原则设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例1求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．分析 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解 令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在10.利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nn f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．例1 求极限2240cos limx x x e x -→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224x x x x ο=-++，()22452128x x x ex ο-=-++，()2452cos 12x x x ex ο--=-+．因而求得()24524400cos 112limlim 12x x x x x x ex x ο-→→-+-==-．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例１证明()()211lim 212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有 ()()23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----， 取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ----61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1m i n ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有 ()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim 212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 ex 100 n →∞ x 1
n 1 ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x4 ) …( 1 + x 2 ) 1- x n 1 ( 1 - x 4 ) ( 1 + x 4 ) …( 1 + x 2 ) = 1- x n+ 1 1 ( 1 - x2 ) = … 1- x n+1 1 1 ( 1 - x2 ) = ∴ 原式 = lim n →∞ 1 - x 1- x 3. 有理化法 有理化方法是指对被求极限的算式乘除同一适当因式 以达到消去无穷小因式或者不定式的目的 。
x →∞
( 1 ) 用 Mat hematica 5. 0 的 文 件/ 控 制 面 板/ B asic T y peseti n g ( 基本排版) 、 B asic I n p ut ( 基本输入) ( 2) 在 Mat hematica5. 0 软件中 ,调用命令语句 ,其格式 为 :Limit [ f [ x ] , x - > a]. 其中 a 既可以是常数 ,也可以是无穷大 ,其中 + Infinity 表示正无穷 , - Infinity 表示负无穷 . In[ 9 ] : = Limit [ Sqrt [ x ∧z + x ] - Sqrt [ x ∧z + 1 ] ,x → + Infinity ] 1 Out [ 9 ] = 2 以上归纳了九种函数求极限的特殊求法和利用数学软件 求极限方法。有时需要综合运用上述常用求法和特殊求法。 [参 考 文 献]
n
n
nnn=源自1 π 1 2 ( ) π π 0 sin x d x = π - co s x | 0 = π 9 . 用收敛级数 、 泰勒 ( 或麦克劳林) 展开式求极限
∫
nn e2 ; ( 2) lim n →∞ ( n !) n →∞ ∞ nn 解 : ( 1) 考虑 6 2 的收敛性 n = 0 ( n !)
6. 导数定义法 若 y = f ( x) 在 x 0 处 有 定 义 , 则 利 用 导 数 定 义 lim
h→ 0
例3 求 lim (
n →∞
x+
x+
x -
x)
f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) ( x 0 ) , 可常常求自变量趋向于零的 = f′ h
极限 。
[ 收稿日期 ]2009 - 04 - 21 [ 作者简介 ]蒋志强 (1959 - ) ,男 ,江苏常州人 ,常州轻工职业技术学院副教授 ,研究方向为课程与教学论 、 高等职业教育 。
・122 ・
例 6 设 f ′( a ) 存 在 且 f ( a ) ≠ 0 , 求 H = lim
f (a+ f (a-
n →∞
用比值判别法
lim
n →∞
1
n
n
) , n ∈Z. )
1 ) - 1n f ( a - 1 ) ]
n n n →∞
1
n
解 : 原式 = H = lim en[ 1n f ( a +
= lim e I , 而
n →∞
1n f ( a + 1/ n) - 1n f ( a) 1n f ( a - 1/ n) - 1n f ( a) I = lim + n →∞ 1/ n - 1/ n ( a) / f ( a) = 2 [ 1n f ( x) ]′ | x = a = 2 f′ ( a) / f ( a) 所以 H = e2 f ′ 7. 解方程法 因为单调有界数列必有极限 , 对某些单调有界数列的 极限问题可用此法 : ( 1) 验证数列单调 。 ( 2 ) 找数列的上界 ( 或者下界 ) 。 ( 3 ) 设数列的极限为 x 。 ( 4 ) 解关于 x 的方 程。
2009 年第 5 期 牡丹江教育学院学报 No1 5 , 2009 ( 总 第 1 1 7期) J OU RNAL O F MUDANJ IAN G COLL EGE O F EDUCA TION Serial No1 117
函数极限的几种特殊求法
0 ” 型 ,但无法直接应用洛必达法则 , 0 需换元后再用洛必达法则 。 1 令 2 = t , 则 x →∞ 时 , t →+ ∞
解 : 此题虽然属 “
x
原式 = lim
t →+ ∞
t50 ∞ 50 t49 50 ! ( ) = lim = …= lim t =0 t →+ ∞ t →+ ∞ e et ∞ et
人弗拉基米尔 ・伊万诺维在其诗 《在叶赛宁的故乡》 中所 写“ : 你像一滴永远不干的眼泪 , 残留在俄罗斯母亲的脸 上。 ” 这滴眼泪 ,是乡村之梦 、 信仰之梦 、 爱情之梦纷纷破碎 的悲伤凝结而成的 。这正印证了费尔巴哈的那句名言 : 痛 苦是诗歌的源泉 。 [参 考 文 献]
蒋 志 强
( 常州轻工职业技术学院 , 江苏 常州 213164 )
[ 摘 要] 对函数极限问题的求法进行探究 , 得到通项分解法 、 通项归一法 、 有理化法 、 两边夹法则 、 换元 法、 导数定义法 、 解方程法 、 定积分法 、 级数收敛 ( 泰勒级数展开式) 法等等 。学习掌握这些特殊方法 ,对于学好微 积分颇有益处 。
而 lim k n = 1 , lim a k = a
n →∞
中 | x| < 1 解: ∵
=
n 1 ( 1 + x) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x4 ) …( 1 + x 2 ) 1- x
由两边夹法则知 :原式 = a 5. 换元法 部分一元函数求极限时需用变量换元法 ,问题往往迎 刃而解 。 例5 求 lim
求 lim x n 3 xn , n = 1 ,2 ,3 , …
n →∞
1 2 1 1 2 2 x + + o ( x4 ) x 2 2! 2 1 2 1 4 co s x = 1 x + x + o ( x4 ) 2! 4! 1 4 x + o( x 4 ) 12 1 原式 = lim = = n →∞ 12 x4 10. 用数学软件 Mat hematica 求极限 在 Mat hematica 系统中 ,求 lim f ( x) 的方法有两种 :
e2
=1-
x→ a
显然 , 此数列 x 1 = 3 , x 2 = 3 3 , x 3 = 3 3 3 … 为单调递增的 , 用数学归纳法可以证明 x n < 3 . 数列 { x n } 有 上界 , 所以 lim x n 存在 。
n →∞
解 : 设 lim x n = x 则 lim x n + 1 即 3x= x
n →∞ n
n →∞
1+ = lim =
n →∞
1
x
= 1 + 1
1+
1
x
1 2
+
x3
本题通过对分子有理化消去不定式 (
x ) 而得到结果 。 4 . 两边夹法则
n
x+
x+
x
两边夹法则是指 :当 x n ≤y n ≤z n 且 lim x n = lim z n =
n →∞ n →∞
A , 则 lim y n = A
un + 1 1 1 = lim ( 1 + ) n ・ = e・ 0=0<1 n →∞ un n 1+n n ∞ n 故6 2 收敛 n = 0 ( n !) nn 所以 lim 2 =0 n →∞ ( n !) ( 2) 由麦克劳林展开式知 :
x2
例 7 x 1 = 3 , x n + 1 =
n →∞ n →∞
所以解得 : x = 3 ( x = 0 不合题意 , 舍去) 8 . 极限的定积分法 对于某些和式的极限 , 可以考虑用定积分定义求 。 例8 求下列极限 π 1 2π n- 1 π lim sin + sin + …+ sin
x →∞
n
n
n
n
解 :原式 = π π 1 0π 2π n- 1 π sin + sin + sin + …+ sin π lim
n →∞
例4 求 lim
a=
n
n
n →∞
n n a1 + a2 + …+ an k , ai > 0 , i = 1 , 2 , …, k.
解 :记 a = max{ a1 , a2 , …, ak } 则
an <
1
n n n a1 + a2 + …+ an ka n = a k k ≤ n n →∞ n n
[ 关键词 ] 高职数学 ; 函数极限 ; 方法 [ 中图分类号 ] O174 [ 文献标识码 ] A
[ 文章编号 ] 1009 - 2323 ( 2009) 05 - 0122 - 02
解 : 原式 = lim
x+ x+ x+ x x + x
函数极限是高职数学课程中的基本运算技能 , 通常的 方法有 : 四则运算法 、 重要极限法 、 连续函数性质法 、 数列求 和法 、 无穷小性质求法 、 罗比达法 、 等量替换法等 。现就高 职数学中函数极限的特殊方法与技巧进行探讨研究 。 1. 通项分解法 通项分解法是指将数列通项或者因式分解经相约而化 简 ,或者通过积化和差经相消而化简的求极限的方法 。 1 2 n 例1 设 xn = + + …+ , 求 lim x n ( n + 1) ! n →∞ 2! 3! 解 :将通项 x n 中的通项 ( 进行积化和差 : n + 1) ! n n+1 - 1 1 1 = = ( n + 1) ! ( n + 1 ) ! n ! ( n + 1) ! 1 1 1 1 1 1 xn = + + …+ 1! 2! 2! 3! n ! ( n + 1) ! 1 =1( n + 1) ! 1 lim x n = lim 1 =1 ( n + 1) ! n →∞ n →∞ 2. 通项归一法 通项归一法是将数列通项乘除同一适当因式使其化为 一个简单式子 ,或者用其他方法化为一个简单的式子 。 例2 求 lim ( 1 + x ) ( 1 + x2 ) ( 1 + x4 ) …( 1 + x2 ) 其