2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.7 抛物线--教师用

§9.7 抛物线★知识梳理★1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2P y +；② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB 为抛物线pxy 22=的焦点弦，则=B A x x42p，=B A y y 2p -，||AB ＝p x x B A ++★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质★自主学习★1.设a ≠0,a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为 .基础自测答案⎪⎭⎫ ⎝⎛a 161,02.若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆62x＋22y＝1的右焦点重合，则p 的值为 .答案 43.抛物线y 2＝24ax(a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 . 答案 y 2＝8x 4.（2008·重庆文）若双曲线222163py x-＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为 . 答案 45.（2008·全国Ⅱ文）已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M （2，2），则△ABF 的面积等于 . 答案 2★典例剖析★例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A （3，2），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标. 解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6＞2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－21的距离为d ，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d ，当PA ⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27，即|PA|＋|PF|的最小值为27，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为（2，2）.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A （m,－3）到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出此抛物线的方程.解 ①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x 2＝－2py(p ＞0)， 这时准线方程为y ＝2p ,由抛物线定义知2p －(－3)＝5,解得p ＝4,∴抛物线方程为x 2＝－8y,这时将点A （m,－3）代入方程，得m ＝±26.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，从p ＝|a|知准线方程可统一成x ＝－2a的形式，于是从题设有⎪⎩⎪⎨⎧==+9252am m a，解此方程组可得四组解⎪⎩⎪⎨⎧==29111m a ,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=29122m a ,⎪⎩⎪⎨⎧==21933m a ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21944m a .∴y 2＝2x,m ＝29；y 2＝－2x,m ＝－29；y 2＝18x,m ＝21；y 2＝－18x,m ＝－21.例3（2008·山东改编）(16分)如图所示,设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0),M 为直线y ＝－2p上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M 点的坐标为(2,－2p)时,|AB|＝410.求此时抛物线的方程.(1)证明 由题意设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,211,B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,222,x 1＜x 2,M ()p x 2,0-. 由x 2＝2py 得y ＝px22,则y ′＝px ,所以k MA ＝px 1,k MB ＝px 2.2分因此,直线MA 的方程为y ＋2p ＝px 1(x －x 0),直线MB 的方程为y ＋2p ＝px 2(x －x 0).所以,px 221＋2 p ＝px 1 (x 1－x 0),①px 222＋2 p ＝px 2(x 2－x 0). ②5分由①、②得221x x +＝021x x x -+，因此，x 0＝221x x +，即2x 0＝21x x +.所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. 8分（2）解 由（1）知，当x 0＝2时， 将其代入①、②，并整理得：x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4 p 2＝0，所以，x 1、x 2是方程x 2－4x －4 p 2＝0的两根， 10分因此，x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4 p 2，又k AB ＝12212222x x px px --＝px x 221+＝px 0，所以k AB ＝p2.12分由弦长公式得：|AB|＝21k+212214)(x x x x -+＝241p+21616p+.又|AB|＝410，所以p ＝1或p ＝2，因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y. 16分★知能迁移★1.（2008·辽宁）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 . 答案2172.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），但|AF|＋|BF|＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程.解 设抛物线的方程为y 2＝2 p x(p ＞0), 其准线为x ＝－2p .设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),∵|AF|＋|BF|＝8，∴x 1＋2p ＋x 2＋2p ＝8，即x 1＋x 2＝8－p.∵Q （6，0）在线段AB 的中垂线上， ∴|QA|＝|QB|.即(x 1－6)2＋y 12＝(x 2－6)2＋y 22, 又y 12＝2px 1,y 22＝2px 2, ∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p)＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2,故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－ p －12＋2 p ＝0, 即p ＝4.从而抛物线的方程为y 2＝8x.3.已知以向量v ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1为方向向量的直线l 过点⎪⎭⎫⎝⎛45,0，抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上.（1）求抛物线C 的方程；（2）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m,直线OB 与直线m交于点N ，若OA ·OB ＋p 2＝0 （O 为原点，A 、B 异于原点），试求点N 的轨迹方程.解 （1）由题意可得直线l 的方程为y ＝21x ＋45,① 过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x.②解①②得x ＝－21.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上， ∴－2p ＝－21×2, p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),N(x,y),由题意知y ＝y 1.由OA ·OB ＋ p 2＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0, 又y 12＝4x 1,y 22＝4x 2,解得y 1y 2＝－8,③ 直线ON ：y ＝22x y x ，即y ＝24y x.④由③、④及y ＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0).★活页作业★一、填空题1.若点P 到点F （0，2）的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为 .答案 x 2＝8y2.设F 为抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点，点P 在抛物线上，且其到y 轴的距离与到点F 的距离之比为1∶2，则|PF|＝ . 答案2a3.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛4,27，则|PA|＋|PM|的最小值是 . 答案294.已知抛物线y 2＝4x,过焦点的弦AB 被焦点分成长为m 、n （m ≠n)的两段，那么m ＋n 与mn 的大小关系是 . 答案 相等5.设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA ·OB ＝ . 答案 －436.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点.若FA ＋FB ＋FC ＝0,则|FA |＋|FB |＋|FC |＝ . 答案 67.（2008·全国Ⅱ理，15）已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点.设|FA|＞|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于 . 答案 3＋228.（2008·江西理，15）过抛物线x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则FBAF ＝ .答案31二、解答题9.已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x,求抛物线的方程. 解 因为一直角边的方程是y ＝2x, 所以另一直角边的方程是y ＝－21x.由⎪⎩⎪⎨⎧==px y x y 222，解得⎪⎩⎪⎨⎧==p y p x 2,或⎩⎨⎧==00y x （舍去），由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y xy 2212,解得⎩⎨⎧-==py p x 48,或⎩⎨⎧==00y x （舍去）,∴三角形的另两个顶点为⎪⎭⎫⎝⎛p p,2和（8 p,－4p ）.∴22)4()82(p p p p ++-＝213.解得p ＝54,故所求抛物线的方程为y 2＝58x.10.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线2222by ax -＝1（a ＞0,b ＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎪⎭⎫⎝⎛6,23，求抛物线与双曲线方程.解 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c.抛物线方程为y 2＝4cx.∵抛物线过点⎪⎭⎫⎝⎛6,23，∴6＝4c·23.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x. 又双曲线2222by ax -＝1过点⎪⎭⎫⎝⎛6,23，∴22649ba -＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1.∴221649a a--＝1.∴a 2＝41或a 2＝9（舍）.∴b 2＝43，故双曲线方程为4x 2－342y ＝1.11.如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|－|FP|cos2α为定值，并求此定值. （1）解 由已知得2 p ＝8,∴2p＝2,∴抛物线的焦点坐标为F （2，0），准线方程为x ＝－2.（2）证明 设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），直线AB 的斜率为k ＝tan α,则直线方程为y ＝k(x －2),将此式代入y 2＝8x,得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0, 故x A ＋x B ＝22)2(4kk+,记直线m 与AB 的交点为E （x E ,y E )，则 x E ＝2BA x x +＝22)2(2kk+,y E ＝k(x E －2)＝k4, 故直线m 的方程为y －k4＝－k 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2242k k x ,令y ＝0,得点P 的横坐标x P ＝2242kk+＋4,故|FP|＝x P －2＝22)1(4k k+＝α2sin4,∴|FP|－|FP|cos2α＝α2sin4(1－cos2α)＝αα22sinsin 24⋅＝8,为定值.12.已知点P （－3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴非负半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA ·AM ＝0，AM ＝－23MQ.（1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设轨迹C 的准线为l,焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n,且n ∩l ＝E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.解 （1）设M （x,y ）为轨迹上任意一点， A （0,b ）,Q(a,0)(a ≥0),则AM ＝（x,y －b ），MQ ＝(a －x,－y), ∵AM ＝－23MQ，∴（x ，y －b ）＝－23（a －x ，－y ），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=y b y x a x 23)(23，从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y b x a 2131.∴A ⎪⎭⎫⎝⎛-y 21,0，且PA ＝⎪⎭⎫⎝⎛-2,3y ,AM＝⎪⎭⎫⎝⎛y x 23,.∵PA ·AM ＝0， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,3y ·⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 23,＝0，即3x －43y 2＝0,∴y 2＝4x,故M 点的轨迹方程为y 2＝4x.(2)轨迹C 的焦点为F （1，0），准线为l:x ＝－1,对称轴为x 轴.设直线m 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0), 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xyx k y 4)1(2⇒ky 2－4y －4k ＝0,设G （x 1,y 1）,H(x 2,y 2),则由根与系数的关系得，y 1y 2＝－4, 又由已知OE ＝（－1，y 1),OH ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y ,∴(－1)×y 2－y 1×422y ＝－y 2－421y y ·y 2＝－y 2＋y 2＝0,∴OE ∥OH ,故O ，E ，H 三点共线.。