2015-2016学年北师大版选修2-2 反证法 课件 (15张)

C
•解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？
本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
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例4、 已知a≠0，
证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§3
反证法
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一、教学目标：结合已经学过的数学实例， 了解间接证明的一种基本方法──反证法； 了解反证法的思考过程与特点。 二、教学重点：了解反证法的思考过程与 特点。 教学难点：正确理解、运用反证法。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
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应用反证法的情形：
(1)直接证明比较困难; (2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少; （3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样 （4）结论为 “唯一”之类的命题；
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例1、已知a是整数，2能整除 a
2
，求证：
2能整除a. 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除 a ”。 因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（ m为整数），则 a 2 (2m 1) 2 4m2 4m 1 2(2m2 2m) 1 ，即 a 2 是奇数。所以，2不能整除 a 2 。这与 已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a” 这个假设错误，故2能整除a.
0 0 0
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解题反思： •证明以上题时，你是怎么想到反证法的？ •反设时应注意什么？ •反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻 辑矛盾归属哪一类？
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例3.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S D H A B7例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c 垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b 相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点 0 为P，b，c的交点为Q，如图所示，则 PMQ 。 0
这样 △MPQ 的内角和 PMQ MPQ PQM
PMQ 90 90 180 。 0 这与定理“三角形的内角和等于 180 ”相矛盾，这说明假设是错误的。 所以直线a与b不相交，即a与b平行。
归谬包括推出的结果与已知定义、公 理、定理、公式矛盾，或与已知条件、 临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种 情形.
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作业：课本 P 15 习题1-3： （3）、（4）
五、教后反思：
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复习
综合法特点： 由因导果
由已知 结论
分析法特点： 执果索因
即： 由结果
倒推
找条件
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思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都 撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析: 假设C没有撒谎, 则C真; 那么A假且B假; 由 A 假, 知 B 真 . 这与B假矛盾. 则C必定是在撒谎.
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例5、 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2= ， 2 2 n ∴ m = 2n ∴ m = 2n
∴m 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N ）
2
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k 2 ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！ 所以假设不成立，2是有理数成立。
由假设
推出矛盾.
那么假设“C没有撒谎”不成立; 推翻假设.
原命题成立. 4
反证法：
①假设原命题不成立，
反证法的基本步骤：
②经过正确的推理,得出矛盾，
③因此说明假设错误, ④从而证明原命题成立, 这样的的证明方法叫反证法
得出矛盾的方法：
四步
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
•解题反思： 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
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归纳总结：
练习： 课本 P 练习1. 14
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？
•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法； •具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或 含有“至多”、“至少”等不确定词， 此外，“存在性”、“唯一性”问题.
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2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬 得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？