几何图形中线段和差最值问题word版本
初中几何中线段和(差)的最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm A B mA Bmn mnnmnnn mB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：mnm nm nm2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：练习题1．如图1，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为．mmQ Q3、如图3，在锐角三角形ABC 中 ，AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 。
几何图形中线段和差最值问题
中考数学压轴题解题策略几何图形中线段和差最值问题的解题策略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图31.如图，在锐角ABC △中，45AB BAC =∠=°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．2．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．3、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且FA=2，点P 是BD 上一动点，则 AP+PF 的最小值为 .4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则其最小值为A B CD N M （第1题第2题图 D A B C P M N5.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．6.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N 是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）A．B．6 C．D．49.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的最小值是 .10.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P 是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．11.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为____12.如图，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．13. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1．点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动．在整个运动过程中，求点B 到原点的最大距离.14. 如图，已知A (－2,0)、B (4, 0)、(D -．设F 为线段BD 上一点（不含端点），连结AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？15.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点E 是BC 边上的点，连结AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，求AF 的最小值．16.如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．17.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8，O 为AC 的中点，过O 作OE⊥OF ，OE ，OF 分别交射线AB ，BC 于E ，F ，连接EF ，则EF 长度的最小值为_______．18.如图，在Rt AOB ∆中，OA OB ==,⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线长PQ 的最小值为 ．O B F E A19、在三角形ABC中，AB=AC=2,∠ABC=30°，点M,N分别在边AB,AC上，将三角形AMN沿MN 翻折，点A落到点A’处，则线段BA’长度的最小值是ANMA'B C20.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．。
几何图形中线段和差的最值问题
（2）平移抛物线ｙ＝ａｘ２ ，记平移后点Ａ的对应点为Ａˊ，点Ｂ的 对应点为Ｂˊ，点Ｃ（-2，0）和Ｄ（-4，0）是Ｘ轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置
时，ＡˊＣ＋ＣＢˊ最短，求
此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，
y A
8
是否存在某个位置，使四边
6
形ＡˊＢˊＣＤ的周长最短？若 存在求出此时抛物线的解析式；
确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最
短路程的长
y
(0,2)A •
(0,1)P•1
F
oC E
P’ -1
A’(5,2) X
课堂练习 2
• 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原 点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3， OB=4，D为边OB的中点.
• （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长 最小时，求点E的坐标；
• （Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当 四边形的周长最小时，求点E、F的坐标.
课堂练习 2
课堂练习 2
课堂练习 3
如图：已知点Ａ（-4，8）和点Ｂ（2，ｎ）在抛物线ｙ＝ａｘ２ 上，
（1)求ａ的值及点Ｂ关于Ｘ轴对称点Ｐ的坐标，并在Ｘ轴上找一点Ｑ， 使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出点Ｑ的坐标；
课本例题或常见题
考题
1.分清定点、动点、对称轴 2.利用对称性构造三点共线
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小， 请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型
要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：建水站！
第二步 计算——勾股定理
初中几何中线段和与差最值问题
v1.0可编辑可修改初中几何中线段和(差)的最值问题、两条线段和的最小值。
基本图形解析:)、已知两个定点:1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小;(1 )点A B在直线m两侧:(2)点A B在直线同侧:*A'2、在直线m n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+Q最小。
(1)两个点都在直线外侧:B(2)一个点在内侧，一个点在外侧:QB' (3)两个点都在内侧:m22（4 ）、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧,在直线m二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线 m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ）1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:围成的四边形ADEB 周长最短.n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+Q 周长最短.A"33（二）动点在圆上运动点B 在O O 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：三）、已知A B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定 在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+Q 的值最小。
（原理用平移知识解）（1 ）点A 、B 在直线m 两侧:A■- m作法：过A 点作AC// m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为 P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：2、点与圆在直 m线同侧：基础题1.如图1, / AOB45。
，P是/ AOB^一点，PO1Q, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR周长的最小值为 _____________________________分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为___________________________3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是______________ 。
初中几何中线段和和差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：mmBmABmnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、nmnnnmm 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：m nmn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：mnmmmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：QPQ练习题1．如图1，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图3，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。
初中数学几何最值存在性问题(word版+详解答案)
几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。
几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC 交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x =相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y 轴相交于A 点，与x 轴相交于B 、C 两点，且点C 在点B 的右侧，设抛物线的顶点为P ．（1）若点B 与点C 关于直线x ＝1对称，求b 的值；（2）若OB ＝OA ，求△BCP 的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h ，求出h 与b 的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ； （4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x =-+的图像与坐标轴交于A 、B 两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(,)2QQ b y+在抛物线上，当22AM QM+的最小值为3324时，求b的值．16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为610？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P→M→N→A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm B mA Bmn mnn mnnn m（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：m nmnm nmmm2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：基础题 1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为．2、如图2，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．m O A Pm O ABm A B E Q P mA B Q mAQ mA C Q P3、如图3，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。
经典几何中线段和差最值含答案
何中线段和差最值冋题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键•通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例般处理方法:平移平移转化使点在线异侧_ I使点在线同侧II使目标线段与定常用两点之间，线段最三角形三边关系定两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）M N分别在边OA 0B上运动，若/ AOB45°, OP=3、、2，则△ PMN勺周长的最小值为62.如图，当四边形PABN勺周长最小时，a=_7____________—43. 如图，AB两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM4,点B到直线的距离BN=1,且MN4，P为直线上的动点，| PA- PB的最大值为__5 __________ .4. 动手操作：在矩形纸片ABC［中，AB=3, AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P Q也随之移动•若限定点P、Q分别在AB AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为_2 1.如图：点P是/ AOB^一定点，点________________ .5. 如图，直角梯形纸片ABCD ADLAB AB=8，AD=CDM，点E、F分别在线段AB AD上，将△ AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABC［内部时，PD的最小值等于 4 5-8 .6. 如图，/ MON900,矩形ABC啲顶点A B分别在边OM 0N±，当B在边0N±运动时，A随之在OMh运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为-.：:'2 17. 如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ ACD和等腰直角厶BCE那么DE长的最小值是 2 ________ .8. 如图，菱形ABCDK AB=2，Z A=120°，点P, Q K分别为线段BC C［ BD上的任意一点，贝y PK+QK勺最小值为______ _2 _____ .9•如图所示，正方形ABC啲边长为1,点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过BCD作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C、D‘，则BB +CC +DD 的取值范围是 ____________ 期JBB +CC +DD 2 .10 .如图，菱形ABCD^,/ A=60°, AB=3,O A O B的半径分别为2和1, P、E、F分别是边CD O A和O B上的动点，贝9 PE+PF的最小值是 ____________ .11. 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得PA PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值A最小的点，贝V OP OQ = 3F .12. 如图，在厶ABC中, AB=6, AC=8, BC=10, P 为边BC上一动点，PEI AB 于E, PF 丄AC于F, M为EF中点，贝9 AM勺最小值为_2.4 _____ .13. 如图，点P在第一象限，△ ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1 ____________ .若将△ ABP中边PA的长度改为2匹，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为V5 1 ___________ .14. 动手操作：在矩形纸片ABCDK AB=3,AD=5 .如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A处，折痕为PQ当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之解答题：1. 如图，直角梯形纸片ABCD ADLAB AB=8, A[=C[=4,点E、F分别在线段ABAD上，将△ AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.(1)当P落在线段CD上时，PD的取值范围为8-4 3 PD」_ ;(2)当P落在直角梯形ABCD3部时，PD的最小值等于多少？ 4 5-82. 如图，四边形ABC兎正方形，△ ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点) 上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。
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中考数学压轴题解题策略
几何图形中线段和差最值问题的解题策略
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．
三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A 与PB 的差的最大值就是AB ，此时点P 在AB 的延长线上，即P ′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
1.如图，在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC 于点分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是D M N
，、___________ ．
2．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N
分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．
3、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且FA=2，点P 是BD 上一动点，则 AP+PF 的最小值为 .
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对
角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则其最小值为
A B C D N M （第1题第2题图 D A B C P M N E D
A B C P
5.如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．
6.如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N 是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是．
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF 沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（）
A．B．6 C．D．4
9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的最小值是 .
10.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P 是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．
11.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为____
12.如图，已知A (0, 2)、B (6, 4)、E (a , 0)、F (a ＋1, 0)，求a 为何值时，四边形ABEF 周长最小？请说明理由．
13. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1．点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 也随之在y 轴上运动．在整个运动过程中，求点B 到原点的最大距离.
14. 如图，已知A (－2,0)、B (4, 0)、(5,33)D -．设F 为线段BD 上一点（不含端点），连结AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
15.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点E 是BC 边上的点，连结AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，求AF 的最小值．
16.如图，抛物线21442
y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．
17.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE ，OF 分别交射线AB ，BC 于E ，F ，连接EF ，则EF 长度的最小值为_______．
如图，在Rt AOB ∆中，32OA OB =
=,⊙O 的半径18.
为
1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线（点Q 为切点），则切线长PQ 的最小值为 ． PQ
19、在三角形ABC 中，AB=AC=2,∠ABC=30°，点M,N 分别在边AB,AC 上，将三角形AMN 沿MN 翻折，点A 落到点A ’处，则线段BA ’长度的最小值是
A
M
A'
N B
C
20.如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．
O
B F E A Q P B
O A。