双曲线的简单几何性质教学设计
双曲线的简单几何性质(优秀教案)
1 / 7 教案
普通高中课程标准选修2-1
2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）
教材的地位与作用
本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。
（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。
）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。
二、教案目标
（一）知识与技能
1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
（二）过程与方法
通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。
（三）情感态度与价值观
让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。
三、教案重点难点
双曲线的渐近线既是重点也是难点。
四、教案过程
(一)课题引入
1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的
几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。
）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。
【板书】：双曲线)0,0(122
22b a b y a x 的性质
2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。
）
3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。
（讨论）。
教学设计3：2.3.2 双曲线的简单几何性质
(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图。
分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠ 例4.如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．例5.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m）．练习反馈1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2－9y2=144；(2)16x2－9y2=－144．限时训练2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．课堂小结作业布置提高。
教学设计2：3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
21yb的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程21yb，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线21,(0,0)ya bb的角度分析）类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程2221x yb研究双曲线的范21yb，可以直观发现双曲线上的（，纵坐标的范围是y R．“数”的角度：根据方程22221x y ab ①， 得到222211x y a b，∴x ≤－a ，或x ≥a ；y R ．由（x ，y ）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线x a 及其左侧，以及直线x a 及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．“数”的角度：用−x 代x ，−y 代y ，−x ，−y 分别代x ，y ，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x 轴有两个交点A 1（－a ，0）和A 2（a ，0），与y 轴没有公共点．这与椭圆不同. “数”的角度：令y =0，得到x =a 或x =−a ，所以A 1（－a ，0）和A 2（a ，0）， 令x =0,y 2=−b 2,没有实数解。
追问2：能否类比椭圆把B 1（0，－b ），B 2（0，b ）两点画在y 轴上？线段B 1B 2有何几何意义？师生活动：引导学生画图，学习线段B 1B 2称为双曲线的虚轴，△22A OB 是直角三角形，且2OA a ，22A B c ，2OB b ，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．追问3：在双曲线29x －24y ＝1位于第一象限的曲线上画一点M ，测量点M 的横坐标x M 以及它到直线3x －2y＝1的距离d ，向右拖动点M ，观察x M 与d 的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB 软件作图，在向右拖动点M 时，点M 的横坐标M x 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0.经过两点A 1，A 2作y 轴的平行线x ＝±3，经过两点B 1，B 2作x 轴的平行线y ＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy ．可以发现，双曲线22194x y 的两支向外延伸时，与两条直线032x y 逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线22221x y ab （0a ,0b ）的两支向外延伸时，与两条直线0x ya b逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。
教学设计1：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。
双曲线的简单几何性质教学设计
双曲线的简单几何性质教学设计本教学设计旨在向学生介绍双曲线的简单几何性质，帮助他们理解双曲线的形状及其应用。
教学设计分为三个部分：引入教学、知识讲解及应用实践。
引入教学：
1. 导入：以一个真实生活的例子开始引入，比如一辆汽车以恒定速度在一条高速公路上行驶时，汽车与高速公路之间的距离是如何变化的。
2. 提问：通过向学生提问，引导他们思考距离的变化是否会随着时间变化而改变，进一步引出双曲线的概念。
知识讲解：
1. 定义：简要介绍双曲线的定义，即平面上距离差的绝对值为常数的点的集合。
2. 性质讲解：
a. 双曲线的对称性：双曲线关于两条虚轴对称。
b. 双曲线的渐近线：解释双曲线具有两条渐近线的特点，并引导学生思考渐近线与双曲线的关系。
c. 双曲线的焦点与准线：定义焦点和准线，并说明双曲线焦点到准线的距离是常数。
d. 双曲线的离心率：详细解释双曲线的离心率概念，并介绍离心率与双曲线形状之间的关系。
应用实践：
1. 练习题：给学生提供一些双曲线的练习题，让他们运用所学知识解答。
例如，给定一个双曲线方程，要求学生画出该双曲线及其渐近线，并计算其焦点、离心率等。
2. 实际应用：引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，如双曲线在天体力学、射影几何等领域的应用，并鼓励学生自行寻找双曲线的实际应用案例。
通过以上教学设计，学生可以对双曲线的简单几何性质有一个基本的了解。
教师可以通过观察学生在引入教学及应用实践环节的表现来评估学生对双曲线的理解程度。
此外，教师还可以鼓励学生之间的合作与讨论，以促进他们对双曲线概念的深入理解。
高中数学《双曲线的简单几何性质》教学设计2套附反思
2.3.2双曲线的简单几何性质教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
一.自学导引双曲线的简单几何性质注：实轴和虚轴等长的双曲线叫做_________.其离心率_________,渐近线方程_______________典例分析【例1】求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.双曲线5y 2-4x 2=20的实轴长为________,虚轴长为________,渐近线方程为________, 离心率为________.【例2】 求一条渐近线方程是3x +4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率.学习札记与双曲线16922y x =1有共同的渐近线,并且经过点(-3,32)的双曲线方程为___________.【例3】过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30的直线交双曲线于A,B 两点，求AB针对训练双曲线22194x y -=与直线1y kx =-只有一个公共点，求k 的值随堂训练1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.14422=-y x B.14422=-x y C.18422=-x yD.14822=-y x 2.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x ,则双曲线方程为…( )塘沽滨海中学高二数学备课组 主备人：李志芳 审核A.x 2-y 2=96B.y 2-x 2=160C.x 2-y 2=80D.y 2-x 2=243.实轴长为54且过点A (2,-5)的双曲线的标准方程是( )A.1162022=-y x B.1162022=-x y 1 C.1201622=-y x D.1201622=-x y 4.双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线的夹角是( )5.已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.35或67 C.45或35 D.56或45 6.中心在坐标原点,离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )A.x y 45±=B.x y 54±=C.x y 34±=D.x y 43±=7.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A.32636338.过双曲线116922=-y x 的右焦点作一条渐近线的平行线,它与此双曲线交于一点P ,求P 与双曲线的两个顶点A 、A ′所构成的三角形的面积.2.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)教学设计一、教学目标：（1）运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；（2）掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近线 的概念；（3）能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
《双曲线的简单几何性质》教学设计
《双曲线的简单几何性质》教学设计【教材分析】1.教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。
教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）数学核心素养目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
3.重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。
因此，在教学过程中我利用一首情歌《悲伤的双曲线》引入今天的课题，这样一来渐近线的出现学生也易接受。
因此结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。
4.教学方法这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。
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双曲线的简单几何性质（3）
课后反思：
本节课采用“先学后教，当堂训练”的教学模式，学生带着明确的学习目标来学习，通过阅读教材完成老师设置的问题，整堂课基本上由学生自主完成，多数学生参与进来，互相讨论、交流，老师适当的点拨。
由于本节课是类比椭圆的几何性质来学习，所以学生理解上相对比较轻松，只是有些学生还是会把a,b,c 的值跟椭圆混淆，在这方面要加强训练，由于本节课课堂容量比较大，所以很多时候学生思考的时间不是特别充足，以后要充分给学生思考时间，更能培养学生的创新能力！。