山东省滕州市官桥中学2021学年度上学期单元测试九年级数学第二章 一元二次方程
第二章《一元二次方程单元测试卷》山东省滕州市滕东中学北师大版九年级上册数学
九年级上册数学《一元二次方程单元测试卷》一．选择题1．下列方程中，无论ｂ取什么实数，总有两个不相等实数根的是（ ）A ．B ．221x bx b +=+C ．20x bx b ++=D ．22x bx b +=2.若关于x 的一元二次方程（m －1）x 2+5x +m 2－3m +2=0的常数项为0，则m 的值等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．03.已知关于x 的方程()0112)2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 43>mB. 43≥mC. 43>m 且2≠mD. 43≥m 且2≠m4．县化肥厂今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A ．()21a x + B ．()21100a x + C ． ()21100x + D ．()2100a a x + 5.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是（ ）A. 22.1m元 B. 1.2m 元 C. 28.0m元 D. 0.82m 元6.如果关于x 的一元二次方程x 2－px+q ＝0的两根分别为x 1=3，x 2=1，那么这个一元二次方程是（ ）A ． x 2－4x-3＝0B ．x 2－4x+3＝0C ．x 2－3x+4＝0 D.x 2＋4x-3=0 7.对于任意实数x ，多项式10822+-x x 的值是一个（ ）A.非负数B.正数C. 负数D. 无法确定 8．关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－19.由下表估算一元二次方程2x 1.01.11.21.3x 2＋12x13 14.41 15.84 17.29A . x=1.0B ．X=1.2C ．x=1.1D ．x=1.310.已知直角三角形的两边长为y 、x 满足065422=+-+-y y x ，则第三边长为（ ）A.22B. 5或22C. 13或22D.22或511.一小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，求这个小组共有( ) 人．A. 8B.9C. 10D.1112.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )A ．32B ．126C ．135D ．144二．填空题（）1.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
【九年级】2021九年级数学上册第2章一元二次方程单元试题(附答案)
【九年级】2021九年级数学上册第2章一元二次方程单元试题（附答案）九年级上数学第二章一元二次方程测试题（时限100分钟，总分100分）班级姓名总分一、多项选择题（本题共有8个子题，每个子题得3分，共24分）1.方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（）a、 0b.c.d。
2.一元二次方程的常数项为（）a、 -1b.1c.0d.±13.一元二次方程的解是（）a、，bc.，d.，4.将等式左侧与完整的正方形匹配，正确的变形为（）a．b．c．d．5.方程的解为（）a．b．c．d．无解6.如果方程有两个相等的实根，则的值为（）a．－4b．4c．4或－4d．27.方程的解为（）a．有两个不相等的实数根b．没有实数根c、有两个相等的实根d。
有一个实根8.某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（）a、 200（1+a%）2=148b。
200（1－a%）2=148c.200(1－2a%)=148d.200(1－a2%)=148二、填空（本题共8个子题，每个子题3分，共24分）9.一元二次方程的一般形式是，其中一次项系数是．10.仔细观察以下方程式，并指出哪种方法更合适：(1)，应选用法；（2），可选使用；(3)，应选用法.11.要形成完整的平方公式，请添加12.若关于的方程的一个根是，则另一个根是．13.如果一个变量的二次方程没有实根，则14.以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是．15.从方形铁皮上切下一个2cm宽的矩形，剩余面积为48cm2，则原始方形铁皮的面积为16．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为，根据这个规则，方程的解为.三、回答问题（共52分）17.(本小题满分8分)用适当的方法求解以下方程：（1）（2）18.（本分题满分为6分）已知方程．（1）当k取什么值时，方程有一个实根；（2）k取何值时，方程有两个不相等的实数根；19.（本分题满分为6分）若关于x的方程有实数根．（1）找出a的值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．20.（本分题满分为10分）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？21.（本子题满分为10分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为为了迎接国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售，增加利润，降低成本少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要如果你想从每天销售这种童装中获得1200元的平均利润，每件童装的价格应该降低多少？22.(本小题满分12分)已知X的一元二次方程（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；（2）如果a:B=2:and，求a和B的值九年级数学第二章一元二次方程测试题参考答案一、多项选择题：1 c；2。
2020-2021学年度第一学期单元检测题九年级数学 第二章 一元二次方程(无答案)
2020-2021学年度山东省滕州市羊庄中学第一学期单元检测题九年级数学第二章一元二次方程一、单选题1．若关于的一元二次方程的一根为1，则的值为（）A．1B．C．D．02．关于的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为，可列方程为（）A．B．C．D．4．方程的根是（）A．B．t=2C．t1=2,t2=3D．t1=2,t2=15．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第( )象限．A．四B．三C．二D．一6．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )A．7B．3或7C．15D．11或157．定义新运算“a*b”: 对于任意实数a, b,都有a*b= (a+b)(a-b)-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x (k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．若m是方程的根，则的值为（）A．B．C．D．9．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（）A．0或2B．-2或2C．-2D．210．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．C．1D．-111．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（）A．1B．3C．－1D．－312．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）A．且B．C．D．二、填空题13．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程________．14．已知是方程的一个根，则代数式的值是________．15．关于的方程有实数根，则的取值范围是________________________．16．若关于x的一元二次方程x2＋2x－b＝0的值有两个相等的实数根，则b＝______．17．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．18．关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．19．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x的值为_____．20．关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则m的值为___________.三、解答题21．选择合适的方法解一元二次方程（1）（2x-1）2=9；（2）x2+10x+21=0；（3）2x2-3x-1=0 ；（4）x2+2x=0．22．已知关于x的方程.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.23．如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？24．某水果店销售一种水果的成本价是元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在元/千克时，每天可以卖出千克．在此基础上，这种水果的单价每提高元/千克，该水果店每天就会少卖出千克．若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是元，则单价应定为多少？在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？25．阅读下面的例题．解方程：．解：（1）当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）．（2）当时，原方程化为，解得，（不合题意，舍去）．∴原方程的解是，．请参照上述方法解方程．26．已知一元二次方程有两个根分别为．（1）求的取值范围；（2）若原方程的两个根满足，求的值．27．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．。
2021年秋九年级上册数学第二章一元二次方程单元测试卷
2021年秋九年级上册数学第二章一元二次方程单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2x+1=0B ．y 2﹣2x+1=0C ．2112x x +=D ．3（x+1）2=2（x+1）2．一元二次方程（x+3）（x ﹣3）=5x 的一次项系数是（ ）A ．﹣5B ．﹣9C ．0D ．53．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．4 4．一元二次方程234y y -=配方后可化为( ) A ．2112y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．21324y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．21324y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 5．某学习小组共同探究代数式x 2﹣4x+5的值的情况，得到如下结论，其中错误的是（ ） A ．当x 取大于2的实数时，x 2﹣4x+5的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值 B ．x 2﹣4x+5的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值C ．找不到实数x ，使x 2﹣4x+5 的值为0D ．只有当x=2时，x 2﹣4x+5的值为16．利用求根公式求5x 2+12=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ） A ．12，6 B ．6，12 C ．﹣6，12 D ．﹣6，﹣12 7．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2 B ．x 1+x 2＞0 C ．x 1•x 2＞0 D ．x 1＜0，x 2＜0 8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或9 9．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=11cm ，点P 从点A 出发沿AC 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，当它们相距10cm 时所需的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．3s 或1.4s二、填空题 10．对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q}表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x 2}＝1，则x ＝______． 11．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x 米，根据题意，可列方程为_____． 12．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______．三、解答题13．解下列方程：（1）x 2+10x+25=0（2）x 2﹣x ﹣1=0．14．已知x=2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣4m 2=0的一个根，求m （2m+1）的值．15．若关于x 的一元二次方程()22210x a x a -++=有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.16．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．17．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.18．阅读下列材料，解答问题（2x ﹣5）2+（3x+7）2=（5x+2）2解：设m=2x ﹣5，n=3x+7，则m+n=5x+2则原方程可化为m 2+n 2=（m+n ）2所以mn=0，即（2x ﹣5）（3x+7）=0解之得，x 1=52，x 2=﹣73请利用上述方法解方程（4x ﹣5）2+（3x ﹣2）2=（x ﹣3）219．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1，x 2，由求根公式x 1，2=2b a-±可推出x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a ，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程x 2﹣5x+3=0的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：（1）α+β= ，α•β= ；（2）11αβ+；（3）2α2﹣3αβ+10β．20．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n 的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加个相同的数值a ．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年因甲方案治理降低的Q 值相等，第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．参考答案1．D【解析】【分析】根据各个选项中的方程可以判断出是几元几次方程，从而可以解答本题．【详解】2x+1=0是一元一次方程，故选项A 不符合题意，y 2﹣2x+1=0是二元二次方程，故选项B 不符合题意，211x x=2是分式方程，故选项C 不符合题意， 3（x+1）2=2（x+1）可化为3x 2﹣4x+1=0是一元二次方程，故选项D 符合题意， 故选：D ．【点睛】考查一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确一元二次方程的定义，可以判断一个方程是几元几次方程．2．A【解析】化为一般式，得x 2﹣5x ﹣9=0，一次项系数为﹣5，故选A ．3．B【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．B【分析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，据此即可求解．【详解】解： 234y y -=， 2131444y y -+=+， 2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ， 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 5．B【解析】【分析】利用完全平方公式将原式配方变形后，判断即可．【详解】x 2﹣4x+5=x 2﹣4x+4+1=（x ﹣2）2+1，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，∴当x=2时，函数有最小值，没有最大值，最小值为1，故选：B ．【点睛】考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．C【分析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b 、c 的值．【详解】5x 2﹣6x+12=0，所以a=5，b=﹣6，c=12．故选C．【点睛】考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．故选A．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8．A【详解】因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：1x=2，2x=5，当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，故选A.9．D【解析】【分析】设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，根据题意得：4x2+（11﹣x）2=100，解得：x1=1.4，x2=3．故选D．【点睛】考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．-1或2【解析】【分析】首先理解题意，进而可得min{（x-1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x>0.5时和x<0.5时，进而可得答案．【详解】∵min{(x−1)2,x2}=1，当x=0.5时,x2=(x−1)2，不可能得出，最小值为1，∴当x>0.5时,(x−1)2<x2，则(x−1)2=1，x−1=±1，x−1=1，x−1=−1，解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，当x<0.5时,(x−1)2>x2，则x2=1，解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，故答案为2或−1.【点睛】本题考查了函数的最值及其几何意义，解题的关键是熟练的掌握函数的最值及其几何意义. 11．x（x+40）=1200．【分析】先表示出矩形场地的长，再根据矩形的面积公式即可列出方程．【详解】由题意可得，x（x+40）=1200，故答案是：x（x+40）=1200．【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．12．20%【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，整理得，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是20%．13．（1）x1=x2=﹣5；（2）x1，x2．【详解】解：（1）配方，得：（x+5）2=0，开方，得：x+5=0，解得x=﹣5，x1=x2=﹣5；（2）移项，得：x2﹣x=1，配方，得：x2﹣x+14=54，21524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，开方，得122x -=±，121122x x +==． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax 2+bx +c=0的形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax 2+bx =-c ；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为2b c x x a a+=-的形式；④配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，即22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤整理：把左边写成完全平方式，222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值. 14．2．【解析】【分析】根据x=2是关于x 的方程x 2-mx-4m 2=0的一个根，将x=2代入方程变形即可求得所求式子的值．【详解】∵x=2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣4m 2=0的一个根，∴22﹣2m ﹣4m 2=0，∴4=4m 2+2m ，∴2=m （2m+1），∴m （2m+1）=2．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答． 15．14a >-【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围．详解：∵关于x 的一元二次方程x 2-（2a+1）x+a 2=0有两个不相等的实数根，∴△=[-（2a+1）]2-4a 2=4a+1＞0，解得：a ＞-14． 点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．16．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可. 详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.17．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 18．x 1=54，x 2=23． 【分析】设m=4x-5，n=3x-2，则m-n=（4x-5）-（3x-2）=x-3，代入后求出mn=0，即可得出（4x-5）（3x-2）=0，求出即可．【详解】（4x ﹣5）2+（3x ﹣2）2=（x ﹣3）2，设m=4x ﹣5，n=3x ﹣2，则m ﹣n=（4x ﹣5）﹣（3x ﹣2）=x ﹣3，原方程化为：m 2+n 2=（m ﹣n ）2，整理得：mn=0，即（4x ﹣5）（3x ﹣2）=0，4x ﹣5=0，3x ﹣2=0，x 1=54，x 2=23． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x-5）（3x-2）=0是解此题的关键． 19．（1）5；3；（2）53；（3）35． 【解析】【分析】（1）根据韦达定理得出α+β=5，αβ=3．（2）将11αβ+变形为αβαβ+，再代入数值计算即可； （3）根据一元二次方程的解的定义得出α2﹣5α+3=0，即α2=5α﹣3，则2α2﹣3αβ+10β变形为10（α+β）﹣3αβ﹣6，再代入数值计算即可．【详解】（1）∵α，β是方程x2﹣5x+3=0的两根，∴α+β=5，αβ=3．故答案为：5；3；（2）1153αβαβαβ++==；（3）∵α方程x2﹣5x+3=0的根，∴α2﹣5α+3=0，即α2=5α﹣3，∴2α2﹣3αβ+10β=10α﹣6﹣3αβ+10β=10（α+β）﹣3αβ﹣6=10×5﹣3×3﹣6=35．【点睛】考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（1）0.3；（2）60家；（3）Q=20.5；a=9.5.【解析】分析：（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．详解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，解得：m1=12，m2=﹣72（舍去），∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则Q=20.5．设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，解法一：（30﹣a）+2a=39.5a=9.5x=20.5点睛：考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。
(好题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ） A ．12 B ．6或12 C ．8 D ．62．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a bad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式．若21171x x x +-=+，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．10 C ．±4 D ．23．欧几里得的《原本》记载，方程x 2+ax ＝b 2的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝BC ．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．CD 的长C ．AD 的长 D ．BC 的长 4．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A→B→C 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 6．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 7．已知点(3,44)P m m -为平面直角坐标系中一点，若O 为原点，则线段PO 的最小值为（ ）A ．2B ．2.4C ．2.5D ．3 8．关于x 的方程()()223x x a -+=（a 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根一个负根D ．无实数根 9．关于x 的一元二次方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0有实数根，则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠510．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．()222x -= B ．()222x += C ．()222x -=- D ．()226x -= 11．疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司2020年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为100万件和144万件，设该快递公司5月到7月投递总件数的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．100(12)144x +=B ．2100(1)144x +=C ．100(12)144x -=D ．2100(1)144x -=12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二、填空题13．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．14．所示，某小区规划在一个长为40m 、宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m 2，求甬路的宽度．15．将23220x x --=配方成2()x m n +=的形式，则n =__________．16．关于x 的方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．17．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有x 名同学则可列方程为________．18．如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程__________________________．19．若m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m ＝_____．20．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范是__________________．三、解答题21．计算（1）113m m -+ （2）()221x x x -=-（3）()()312255x x x x -=++ 22．某住宅小区在住宅建设时留下一块1248平方米的空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．请你计算出游泳池的长和宽．23．已知关于x 的一元二次方程2410x x m -++=有实数根．（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1211+x x =3，求m 的值． 24．解一元二次方程（1）22(1)3(1)x x +=+； （2）22980x x -+=．25．某商家将进货单价40元的商品，按50元出售能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件，商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？ 26．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可． 【详解】解：28120x x -+=，（x-6）（x-2）=0，∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2，∴菱形面积为162=62⨯⨯， 故选：D ．【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 2．A解析：A【分析】直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案．【详解】 解：由题意可得：21171x x x +-=+， 则（x+1）2-2（x-1）=7，解得：x=±2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．3．C解析：C【分析】在Rt ABC 中，由勾股定理可得222AC BC AB +=，结合AB AD BD =+，,2a ACb BD BC ===，即可得出22AD aAD b +=，进而可得出AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根．【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得222AC BC AB +=,2a ACb BD BC ===22222222a a a b AD AD aAD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴22AD aAD b +=22AD aAD b +=与方程22x ax b +=相同，且AD 的长度是正数∴AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长得出22AD aAD b +=是解题关键．4．D解析：D【分析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB 与BC 的积为24；当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，得到AB 与BC 的和为10，构造关于AB 的一元二方程可求解．【详解】解：当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为6． ∴12AB·12BC=6，即AB•BC=24． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，∴AB+BC=10．则BC=10-AB ，代入AB•BC=24，得AB 2-10AB+24=0，解得AB=4或6，因为AB ＞BC ，所以AB=6．故选：D ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．5．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．6．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x 2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 7．B解析：B【分析】利用勾股定理求出两点的距离=，当16=25m 时，OP 最小=2.4即可． 【详解】(3,44)P m m -，=，= ∴16=25m ，OP 最小12=2.45=， 故选择：B ．【点睛】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键．8．C解析：C【分析】先将方程整理为一般形式，计算0∆＞，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之积为负数即可求解．【详解】解：整理关于x 的方程()()223x x a -+=得 2260x x a +--=，∴()22214162540a a ∆=-⨯⨯--=+＞， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴212601a x x --=＜， ∴方程了两个根一正一负．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．9．C解析：C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2﹣4ac ≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a ≥1且a ≠5，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．10．A解析：A【分析】先把方程变形为x 2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．【详解】解：x 2-4x=-2，x 2-4x+4=2，（x-2）2=2．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．11．B解析：B【分析】利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x ）2，进而得出等式求出答案．【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意，得100（1+x ）2=144，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出七月份完成投递的快递总件数是解题的关键．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去； 当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．14．2米【分析】设甬路的宽为xm 六块草坪的面积为根据面积之间的关系列方程解方程求解并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽【详解】解：设甬路的宽为xm 根据题意得整理得解得当x=44时不符合题意故舍去所 解析：2米．【分析】设甬路的宽为xm ，六块草坪的面积为()()40226x x --，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为xm ,根据题意得()()402261446x x --=⨯，整理得246880x x ，-+= 解得1244,2x x ==，当x =44时不符合题意，故舍去，所以x =2.答：甬路的宽为2米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤,把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键．15．【分析】先将二次项系数化为1再利用配方法变形即可得出答案【详解】解：∵3x2-2x-2=0∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用熟练掌握配方法是解题的关键 解析：79【分析】先将二次项系数化为1，再利用配方法变形即可得出答案．【详解】解：∵3x 2-2x-2=0， ∴222033x x --=， ∴221213939x x -+=+， ∴217()39x -=， 故答案为：79． 【点睛】 本题考查了配方法在一元二次方程变形中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 16．且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0求出m 的取值范围即可【详解】解：∵方程mx2−2x -1＝0有两个不相等的实数根∴△＞0且m≠0∴4+4m ＞0且m≠0∴解析：1m >-且0m ≠【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵方程mx 2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m ＞0且m≠0，∴m>-1，且m≠0，故答案为：m>-1且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△＝b 2−4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．17．x(x-1)=190【分析】根据题意x 名同学每个人送出（x-1）张贺卡由此列出方程【详解】由题意得故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用正确理解题意是解题的关键解析：x(x-1)=190【分析】根据题意x 名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程．【详解】由题意得(1)190x x -=，故答案为：(1)190x x -=．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．18．【分析】设道路的宽为将6块草地平移为一个长方形长为宽为根据长方形面积公式即可列方程【详解】设道路的宽为由题意得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用掌握长方形的面积公式求得6块草地平移 解析：(302)(20)786x x --=⨯【分析】设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为()302-x m ，宽为()20x m -．根据长方形面积公式即可列方程(302)(20)786x x --=⨯．【详解】设道路的宽为xm ，由题意得：(302)(20)786x x --=⨯，故答案为：(302)(20)786x x --=⨯．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．19．2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m2＝3m ﹣1然后把m2＝3m ﹣1代入2020﹣m2+3m 中后合并即可【详解】解：∵m 是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根∴m2﹣3m+1＝0∴m2解析：2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m 2＝3m ﹣1，然后把m 2＝3m ﹣1代入2020﹣m 2+3m 中后合并即可．【详解】解：∵m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，∴m 2﹣3m +1＝0，∴m 2＝3m ﹣1，∴2020﹣m 2+3m ＝2020﹣（3m ﹣1）+3m＝2020﹣3m +1+3m＝2021．故答案为2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．20．且【分析】方程有两不等的实数根得到判别式大于零求出a 的取值范围同时方程是一元二次方程二次项系数不为零【详解】根据题意得a-1≠0且△=(﹣2)2﹣4(a-1)＞0解得a ＜2且a≠1故答案为a ＜2且a解析：2a <且1a ≠【分析】方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．【详解】根据题意得a -1≠0且△=(﹣2)2﹣4(a -1)＞0，解得a ＜2且a ≠1．故答案为a ＜2且a ≠1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．解答这类题目时一定要注意方程的定义，其最高次项系数是否可以为0．三、解答题21．(1)()33m m +(2)1255,44x x +==3）x=14 【分析】（1）先通分然后计算；（2）先去括号，移项，把方程变为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；（3）方程两边同时乘以2x(x+5)后变为一元一次方程，求得一元一次方程的解后再检验即可得到原方程的解．【详解】解：（1）原式=()()333m m m m m m +-++ =()()3333m m m m m m +-=++； （2）原方程可变为：22510x x -+=，∵2a =，5b =-，1c =，∴()2245421170b ac =-=--⨯⨯=>，∴54x ±=，∴12x x ==； （3）方程两边同时乘以2x(x+5)可得：3x-2(x+5)=4，解之可得：x=14，经检验，当x=14时，2x(x+5)=28×19≠0，∴x=14是原方程的解．【点睛】本题考查分式运算及方程的求解，熟练掌握异分母分式的加减法则、用公式法解一元二次方程及分式方程的求解方法是解题关键．22．游泳池的长为40米，宽为20米．【分析】设游泳池的宽为x 米，而游泳池的长是宽的2倍，那么原来的空地的长为（2x +8），宽为（x +6），根据空地面积为1248平方米即可列出方程解题．【详解】解：设游泳池的宽为x 米，依题意得（x +6）（2x +8）＝1248整理得x 2+10x ﹣600＝0，解得x 1＝20，x 2＝﹣30（负数不合题意，舍去），∴x ＝20，2x ＝40．答：游泳池的长为40米，宽为20米．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23．（1）3；（2）13． 【分析】（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可； （2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．【详解】解：（1）∵1是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的一个根，∴设α是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根，∴1+α=4，∴α=3，∴关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根是3；（2）∵12,x x 是方程2410x x m -++=的两个实数根，∴=16-4(1)0m ∆+≥，∴3m ≤，又∵1211+x x =3 而124x x +=且121x x m =+， ∴1211+x x =1212431x x x x m +==+， ∴13m =＜3， ∴m 的值是13． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．24．（1）11x =-，212x =；（2）1x =2x = 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法计算即可；（2）根据解一元二次方程的方法计算即可．【详解】解：（1）22(1)3(1)x x +=+ 22(1)3(1)0x x =-++（x+1）[2(x+1)-3]=0(x+1) [2x+2-3]=0(x+1) (2x-1)=0∴x+1=0或2x-1=0解得：11x =-，212x =； （2）22980x x -+=a=2，b=-9，c=8Δ=24b ac -=81-4×2×8=17＞0x=992224b a -±==⨯∴194x =，294x -= 【点睛】本题主要考察了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，选择适当的方法求解．25．60元/件或80元/件．【分析】设售价应定为x 元/件，则每件的销售利润为（x-40）元，能卖出4500(50)0.4x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦件，根据总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设售价为每件x 元，则每件的销售利润为（x-40）元，依题意，得：4405005080000.()[()]4x x ---=， 整理得214048000x x -+=，解得：160x =，280x =，且符合题意，答：售价应定为60元/件或80元/件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．（1）m ＜54；（2）-1． 【分析】（1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1， 利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54 故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根； （2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，∴3=.解得，m =﹣1（m ＜54） 故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．。
九年级数学上册_第二章_ 一元二次方程练习题 单元检测试卷【有答案】
九年级数学上册_第二章_一元二次方程单元检测试卷_考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.关于x的一元二次方程(m+1)x m2+1+4x+2=0中m的值是（）A.m=−12B.m=−1 C.m=1 D.m=122.一元二次方程x2−2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根3.方程2x(x−1)=4(x−1)的一次项是（）A.2xB.4xC.−6D.−6x4.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0有一根为0，则k=( )A.±1B.1C.−1D.05.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，则方程必有一根是（）A.0B.1C.−1D.±16.已知关于x的方程x2+mx+n=0有一个根是−n(n≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（）A.n+mB.nm C.n−m D.nm7.关于x的一元二次方程a(x+3)2+3=0的解的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定8.在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA，cosB是方程4x2−4x+1=0的实数根，则这个三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形9.用配方法解方程x2−8x+3=0，下列变形正确的是（）A.(x+4)2=13B.(x−4)2=19C.(x−4)2=13D.(x+4)2=1910.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC面积的比值是（）A.√5−22B.√5−23C.3−√52D.3−√53二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.一元二次方程12x2+x=3中，a=________，b=________，c=________，则方程的根是________．12.已知y=x2−4x+3，当x=________时，y=0；x=________时，y=2．13.对于实数a，b，我们定义一种运算“”为：ab=a2−ab，例如13=12−1×3．若x4=0，则x=________．14.若一元二次方程x2−6x=−m有实数根，则m的取值范围是________．15.已知(x2+y2+1)(x2+y2−3)=5，则x2+y2的值等于________．16.设x1，x2是方程x2−x−2013=0的两实数根，则x13+2014x2−2013=________．17.若关于x的方程x2+mx+16=0有两个不相等的整数根，则m的值为________（只要写出一个符合要求的m的值）．18.已知3−√2是方程x2+mx+7=0的一个根，则m=________，另一根为________．19.某校初三年级组织一次班级篮球赛，赛制为单循环（每两班之间都赛一场），需安排45场比赛，则共有________个班级参加比赛．20.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：设每盆花苗增加x株，可列一元二次方程为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.解方程：(1)(x+1)2−9=0．（2）x2+2x−5=0．（3）x(x−1)=2(x−1)． (4)(x−1)(x+3)=12．22.已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m−3=0．(1)求证：无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数根．(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．23.已知关于x的方程4x2−8nx−3n=2和x2−(n+3)x−2n2+2=0．问是否存在这样的n的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．24.如图，用一块正方形纸板，在四个角上截去四个相同的边长为2cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32cm3．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是xcm，请列出方程，并把它化成一般形式．25.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？26.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10cm，BC=6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动．已知点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．答案1.C2.D3.D4.C5.C6.A7.D8.B9.C10.C11.121−3x1=−1+√7，x2=−1−√712.3或12+√3或2−√313.0或414.m≤915.416.201417.1018.−63+√219.1020.(x+3)(3−0.5x)=1021.解：(1)移项得，(x+1)2=9，开方得，x+1=±3，解得x1=2，x2=−4．(2)由原方程，得x2+2x=5，配方，得x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，则x+1=±√6，解得：x=−1±√6．(3)由原方程，得(x−2)(x−1)=0．则x−2=0或x−1=0，解得x1=2，x2=1．(4)(x−1)(x+3)=12，整理得：x2+2x−15=0，分解因式得：(x+5)(x−3)=0，即x+5=0，x−3=0，解方程得：x1=−5，x2=3，∴方程的解是x1=−5，x2=3．22.(1)证明：△=4(m+1)2−4(m−3)=4m2+4m+16=4(m+12)2+15，∵4(m+12)2≥0，∴4(m+12)2+15>0，即△>0，∴无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数根；(2)解：根据题意得2(m+1)= 0，解得m=−1，则方程化为x2−4=0，解得x1=2，x2=−2，即m为−1时，方程的两根互为相反数，此时方程的解为x1=2，x2=−2，23.解：由△1=(−8n)2−4×4×(−3n−2)=(8n+3)2+23>0，知n为任意实数时，方程(1)都有实数根．设第一个方程的两根为α、β．则α+β=2n，αβ=−3n−24．于是，(α−β)2=(α+β)2−4αβ，=4n2+3n+2；由第二个方程得[x−(2n+2)][x+(n−1)]=0，解得两根为x1=2n+2，x2=−n+1；若x1为整数，则4n2+3n+2=2n+2．于是n1=0，n2=−14．当n=0时，x1=2是整数；n=−14时，x=32不是整数，舍去．若x2为整数，则4n2+3n+2=1−n．有n3=n4=−12．此时x2=32不是整数，舍去．综合上述知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根．24.解：正方形纸板的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x−2×2)厘米，高为2厘米，根据题意列方程得，(x−2×2)(x−2×2)×2=32，化为一般形式为：x2−8x=0．25.商场经营该商品原来一天可获利润2000元；(2)依题意得：(100−80−x)(100+10x)=2160，即x2−10x+16=0，解得：x1=2，x2=8，因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元．答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元．26.解：∵∠B=90∘，AC=10，BC=6，∴AB=8．∴BQ=x，PB=8−2x；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16cm2，则12×6×8−12x(8−2x)=16，整理得：x2−4x+8=0，∵△=16−32=−16<0，∴假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2．。
山东省滕州市育才中学2021--2022学年九年级数学上册 第二章 一元二次方程 单元测试
山东省滕州市育才中学北师大数学九年级上册第二单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下列等式中是关于x的一元二次方程的是()A. 3(x+1)2=2(x+1)B. 1x2+1x−2=0C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=x2−12.一元二次方程x2−6x+5=0配方后可化为()A. (x−3)2=−4B. (x+3)2=−14C. (x−3)2=4D. (x+3)2=143.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−4x+k=0的两个根，则k的值为()A. 3B. 4C. 3或4D. 74.已知x1是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，若M=(ax1+1)2，N=2−ac，则M与N的大小关系为()A. M>NB. M<NC. M=ND. 不能确定5.已知关于x的一元二次方程x2−3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，若a2−ab+b2=18，则ab +ba的值是()A. 3B. −3C. 5D. −56.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条宽均为x m的小路(阴影)，余下部分作为草地，草地面积为551m2，根据图中数据，设小路宽为x m，则x满足的方程是()A. (30−x)(20−x)=551B. (30+x)(20+x)=551C. (30−x)(20−x)+x2=551D. (30−x)(20−x)−x2=5517.若一元二次方程−x2+bx−5=0配方后为(x−3)2=k，则b，k的值分别是()A. 6，4B. 6，5C. −6，5D. −6，48.若一元二次方程x2−7x+5=0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9.若2−√3是方程x2−4x+c=0的一个根，则c的值是()A. 1B. 3−√3C. 1+√3D. 2+√310.若m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则m2+4m+n的值是()A. 4B. 5C. 6D. 1211.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了3782张相片.若全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A. x(x−1)=3782B. x(x−1)2=3782C. 2x(x−1)=3782D. x(x+1)=378212.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为()A. 500(1+2x)=7500B. 5000×2(1+x)=7500C. 5000(1+x)2=7500D. 5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500二、填空题（本大题共6小题，共24分）13.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a=______．14.关于x的一元二次方程2x2−4x+m−32=0有实数根，则实数m的取值范围是______．15.已知实数x满足x2+1x2+x+1x=0，则x+1x的值为．16.若(x2+y2)2−5(x2+y2)−6=0，则x2+y2=______．17.若a2+5ab−b2=0，则ab的值为______．18.一元二次方程4x(x−2)=x−2的解为______．三、计算题（共60分）19.用指定的方法解下列方程：（每小题5分，共20分）(1)(x+1)(2−x)=1(公式法)(2)x2−4x−5=0(配方法)(3)x(x+3)=x+3(因式分解法)(4)(x+2)2−3(x+2)+2=0(选择合适的方法) 20.（本题8分）已知关于x的一元二次方程(x−1)(x−4)=p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解.(直接写出1个，不需说明理由)21.（本题8分）已知关于x的一元二次方程(m2−m)x2−2mx+1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若m为整数且m<3，a是方程的一个根，求代数式2a2−3a−2a2+1+2的值．422.（本题8分）某村2018年的年人均收入为20000元，2020年的年人均收入为24200元．(1)求2018年到2020年该村年人均收入的年平均增长率;(2)假设2021年该村年人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的年人均收入是多少元?23.（本题8分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价)(1)若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？(2)单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？24.（本题8分）如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，设时间为x秒．(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？(2)经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的1？12。
(好题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知方程240x x n ++=可以配方成()23x m +=，则()2015m n -=（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．42．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ） A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2 3．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定 4．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调．某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为（ ） A ．10% B ．15% C ．20% D ．25% 5．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（ ）A ．()()3022023020=++⨯x xB ．()()30203020++=⨯x xC ．()()30220223020--=⨯⨯x xD ．()()30220223020++=⨯⨯x x 6．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（ ）A ．4.4%B ．12%C ．20%D ．24% 7．关于x 的方程()11340a a xx ++-+=是一元二次方程，则（ ） A ．1a ≠±B ．1a =-C ．1a =D ．1a =± 8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 9．一元二次方程22410x x ++=的两根为1x 、2x ，则12x x +的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2-D ．2 10．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 11．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．10（1﹣x ）2=16B ．16（1﹣x ）2=10C ．16（1+x ）2=10D ．10（1+x ）2=1612．若关于x 的一元二次方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥94 B ．k ≤94且k ≠0 C ．k ＜94且k ≠0 D ．k ≤94二、填空题13．若关于x 的方程20x mx n +-=有一个根是3，则3m n -的值是________． 14．所示，某小区规划在一个长为40m 、宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m 2，求甬路的宽度．15．方程2(1)9x -=的根是___________．16．如果关于x 的方程22(1)210x a x a -+++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是_______________．17．已知2x =是方程220x bx +-=的一个根，则方程的另一个根为____．18．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．19．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．20．某兴趣班的同学在元旦节期间每个同学用手机给班级其他同学各发一条短信问候节日快乐．如果全班同学共发出短信90条，那么该兴趣班共有____人．三、解答题21．关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，求出该方程两根．22．龙岩市某村2017年的人均收入为7500元，落实精准扶贫工作后，2019年人均收入为14700元．求人均收入的年平均增长率．23．解方程∶（1）213(1)x x -=-（2）241x x -=-24．小虎同学用配方法推导一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的求根公式时，对于240b ac -≥的情况，他是这样做的：由于0a ≠，方程20ax bx c ++=变形为：2b c x x a a+=-， 第一步 22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 第二步222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 第三步24b x a a+=， 第四步4b x a-=． 第五步 （1）小虎的解法从第_______步开始出现错误；事实上，当240b ac -≥时，方程20(a 0)++=≠ax bx c 的求根公式是：_____________________．（2）用配方法解方程：2640x x ++=．25．已知：关于x 的方程x 2+kx -6＝0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是3，求另一个根及k 值．26．用一条长60cm 的绳子怎样围成一个面积为2200cm 的矩形？能围成一个面积为2230cm 的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m 、n 的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x +m ）2＝3，得：x 2+2mx +m 2﹣3＝0，∴2m ＝4，m 2﹣3＝n ，∴m ＝2，n ＝1，∴（m ﹣n ）2015＝1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =， ∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--⨯=，，即b=-2，c=-12 ∴21214b c +=--=-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 3．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．4．C解析：C【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意得，250（1-x ）2=160，解得，x 1=0.2，x 2=1.8（舍去），答：该药品平均每次降价的百分率为20%；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程．5．D解析：D【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．C解析：C【分析】利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意，得102(1)x +=14.4，解得x=0.2或x=-2.2（舍去），所以x=0.2即平均增长率为20%，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.7．C解析：C【分析】 根据一元二次方程的定义可得1a +=2，且a+1≠0，解方程即可；．【详解】 解：由题意得1a +=2，且a+1≠0，，解得：a=±1，因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 8．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．9．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：12x x +=-b a =4-2=-2． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记12x x +=-b a ，12c x x a⋅=． 10．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据第一年的养殖成本×(1+平均年增长率)2=第三年的养殖成本，列出方程即可．【详解】设增长率为x ，根据题意得210(1)16x +=． 故选：D ．【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1)a x b ±=．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）． 12．B解析：B【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有实数根，∴()203410k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩＝， ∴k≤94且k≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．二、填空题13．-9【分析】把3代入方程求解即可；【详解】∵3是方程的一个根∴∴；故答案是-9【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解准确计算是解题的关键 解析：-9【分析】把3代入方程求解即可；【详解】∵3是方程20x mx n +-=的一个根，∴930m n +-=，∴39m n -=-；故答案是-9．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确计算是解题的关键．14．2米【分析】设甬路的宽为xm 六块草坪的面积为根据面积之间的关系列方程解方程求解并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽【详解】解：设甬路的宽为xm 根据题意得整理得解得当x=44时不符合题意故舍去所 解析：2米．【分析】设甬路的宽为xm ，六块草坪的面积为()()40226x x --，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为xm ,根据题意得()()402261446x x --=⨯，整理得246880x x ，-+= 解得1244,2x x ==，当x =44时不符合题意，故舍去，所以x =2.答：甬路的宽为2米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤,把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键．15．【分析】把1-x 看作是一个整体直接开平方解方程即可【详解】即直接开平方得：移项得：∴故答案为：【点睛】本题考察解一元二次方程－直接开平方法掌握平方根性质及意义是解题的关键解析：1242x x ==-，【分析】把1-x 看作是一个整体，直接开平方解方程即可．【详解】()219x -=，即()219x -=，直接开平方得：13x -=±，移项得：13x =±，∴14x =，22x =-，故答案为：1242x x ==-，．【点睛】本题考察解一元二次方程－直接开平方法，掌握平方根性质及意义是解题的关键． 16．<a<0【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根再利用有一个小于1的正数根这一条件确定a 的取值范围【详解】解：根据方程的求根公式可得：x==解得x1=1x2=2a+1∵x1=1∴小于1的正数根 解析：12-< a<0 【分析】 先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a 的取值范围．【详解】解：根据方程的求根公式可得：()2+22+12a a a a ±=±， 解得x 1=1，x 2=2a+1∵x 1=1，∴小于1的正数根只能为2a+1，即0＜2a+1＜1， 解得12-< a<0． 故答案为：12-< a<0． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，求解问题的关键是正确理解有且仅有一个小于1的正数根，将能将其转化为函数在（0，1）内仅有一个0点．17．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积计算即可【详解】设方程的另一个根为x ∵是方程的一个根∴根据根与系数关系定理得2x=-2解得x=-1故答案为：x=-1【点睛】本题考查了已知一元解析：1x =-.【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之积,计算即可.【详解】设方程220x bx +-=的另一个根为x ，∵2x =是方程220x bx +-=的一个根，∴根据根与系数关系定理，得 2x=-2，解得x=-1，故答案为：x=-1.【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根求另一个根，熟练运用一元二次方程根与系数的关系定理，选择合适的计算方式是解题的关键.18．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵解析：111<<m【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．19．【分析】令x2-3x-1=0求出方程的两个根即可把多项式x2-3x-1因式分解【详解】解：令x2-3x-1=0∵a=1b=-3c=-1∴b2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0∴∴故答案解析：(-x x 【分析】令x 2-3x-1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x-1因式分解．【详解】解：令x 2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∴x =∴23331()(2x 2+----=x x x故答案为：(-x x 【点睛】 此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的20．10【分析】设该班级共有同学名互相发短信每两个人之间产生2条短信根据共发出90条短信可得方程然后求解即可【详解】解：设该班级共有同学名根据题意得：解之得：故答案为：10【点睛】本题考查了由实际问题抽 解析：10【分析】设该班级共有同学n 名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程，然后求解即可．【详解】解：设该班级共有同学n 名，根据题意，得：(1)90n n ，解之得：10n =故答案为：10．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 三、解答题21．（1）7；（2）1244x x ==【分析】（1）由关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根，则a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a ≥0，解不等式得到a 的取值范围，最后确定a 的最大整数值；（2）将a 的最大整数值代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，即可求出该方程两根．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x+9＝0有实数根，∴a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a≥0， 解得：779a ≤； ∴a 的取值范围为779a ≤且a≠6， 所以a 的最大整数值为7； （2）将a ＝7代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，得x 2﹣8x +9＝0，∵△＝64﹣36＝28，∴x．∴1244x x ==本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．22．40%【分析】设人均收入的年平均增长率为x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】解：设人均收入的年平均增长率为x根据题意得：()275001+14700x =解得：0.4x =或 2.4x =-（舍去）∴人均收入的年平均增长率为40% ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．23．（1）11x =，22x =；（2）12x =22x =【分析】（1）移项后，运用因式分解法求解即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】解：（1）213(1)x x -=- (1)(1)3(1)x x x +-=-(1)(1)3(1)0x x x +---=(1)(13)0x x -+-=(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=11x ∴=，22x =；（2）241x x -=-24414x x -+=-+2(x 2)3-=2x ∴-=12x ∴=+22x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24．（1）四；x =；（2）13x =-23x =-． 【分析】（1）观察小虎的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；（2）利用配方法求出方程的解即可．【详解】解：（1）小虎的解法从第四步开始出现错误；当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是x ；故答案为：四；x =2b a-±； （2）移项得:264x x +=-，配方得：x 2+6x +9=-4+9，即（x +3）2=5，开方得：x解得：x 1= - x 2=【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 25．（1）见解析；（2）k=-1，另一根为-2【分析】（1）由于方程有两个不相等的实数根，则△＞0，据此列出关于k 的方程，解答即可； （2）将x ＝3代入方程x 2+kx -6＝0，求出k 的值，根据求出的k 的值，得到一元二次方程，从而求出方程的根．【详解】解：（1）证明：2240k =+＞∴方程x 2+kx -6＝0有两个不相等的实数根；（2）把x =3代入方程x 2+kx ﹣6＝0，得：9+3k-6=0，解得k=-1，将k=-1代入原方程得x 2-x -6＝0，解得123,2x x ==-∴k=-1，另一根为x =-2．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握根的判别式和一元二次方程的解法．26．用一条长60cm 的绳子能围成一个面积为200cm 2的长方形，它的长为20cm ，宽为10cm ；不能，理由见解析【分析】设围成面积为200cm 2的矩形的长为xcm ，则宽为（30-x ）cm ，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；设围成面积为230cm 2的矩形的长为ycm ，则宽为（30-y ）cm ，根据矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△＜0即可得出该方程无解，进而即可得出结论．【详解】解：设长为cm x ，则宽为(30)cm x -，根据题意，得(30)200x x -=，即：2302000x x -+=23042009008001000∆=-⨯=-=>，此方程有解，解方程得110x =，220x =∴所围成的长方形长为20cm ，宽为10cm ．∴用一条长60cm 的绳子能围成一个面积为2200cm 的长方形，它的长为20cm ，宽为10cm ；用一条长60cm 的绳子不能围成一个面积为2230cm 的长方形，理由如下：设围成面积为230cm 2的矩形的长为ycm ，则宽为（30-y ）cm ，根据题意得(30)230y y -=，即2302300y y -+=，2304230900920200∆=-⨯=-=-<，此方程无解，∴用一条长60cm 的绳子不能围成一个面积为2230cm 的长方形，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
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山东省滕州市官桥中学2020-2021学年度上学期单元测试
九年级数学第二章一元二次方程
一、单选题
1．下列各式是一元二次方程的是（）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的两根分别为和，则为（）
A．B．C．2 D．
3．一元二次方程配方后化为（）
A．. B．C．D．
4．．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1
5．一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）
A．50（1+x）²=182B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182
C．50(1+2x)=182 D．50+50(1+x)+550（1+x）²=182
7．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
8．从正方形铁片，截去宽的一条长方形，余下的矩形的面积是，则原来的正方形铁片的面积是（）A．B．C．D．
9．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（）
A．0 B．C．1 D．
10．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
11．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（）A．B．C．D．0
12．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）
A．10 B．9 C．8 D．7
13．关于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列说法正确的是（）
A．一定是一个一元二次方程
B．a＝﹣1时，方程的两根x1和x2满足x1+x2＝﹣1
C．a＝3时，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1
D．a＝1时，方程无实数根
14我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是
A．，B．，C．，D．，
15．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根
二、填空题
16．一元二次方程的解为__________．
17．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是___．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+x+a2﹣2a＝0的一个根是x＝0，则系数a＝_____．
19．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
20．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为______.
21．已知菱形的一条对角线的长为，边的长是的一个根，则菱形的周长为____．三、解答题
22．解方程：
（1）（2）
23．对于实数a，b，定义运算：如下，若，求x的值．
24．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
25．网店店主小李进了一批某种商品，每件进价10元.预售一段时间后发现：每天销售量（件）与售价（元/件）之间成一次函数关系：.
（1）小李想每天赚取利润150元，又要使所进的货尽快脱手，则售价定为多少合适？
（2）小李想每天赚取利润300元，这个想法能实现吗？为什么？
26．已知关于x的方程，
(1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)给选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
27．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0．
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意．舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0．
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意．舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2．
（2）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0．。