概率论 第六章数理统计

原点矩和中心矩
原点矩

随机变量X的n阶原点矩 an=E(Xn)
中心矩

随机变量X的n阶中心矩/X ~F（n2，n1）
推论 设X1 ,..., X n1 和Y1 ,..., Yn 2 是分别取自两个独立
2 2 2 2 正态总体N(1 , 1 )与N( 2 , 2 )的样本，S1 ,S2分别
为它们的修正样本方差，则
2 2 S1 1 F 2 2 ~ F(n1 1, n 2 1) S2 2
常用的统计量
顺序统计量 X(k) X(k)为X1,...,Xn的取值由小到大的第k个值。 X(n) max{X1,...,Xn }称为最大项统计量。 X(1) min{X1,...,Xn }称为最小项统计量。 极差 R X(n) X(1)
反映了观察值的波动幅度。
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
i 1 n
对于给定的α，0<α<1,称满足条件
P{ (n) (n)} 2 (x)dx
2 2 a a (n)
2 a (n) 为2 (n) 分布的上侧α分位点 的点

2 (n)分布的上侧α分位点可以通过查表得到
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
定理5 设X1 ,..., X n 是取自正态总体N(, 2 )的 样本，则有 1 n (1)X与S2 (Xi X) 2相互独立 n 1 i 1 （n-1）S2 (2) 2 (n 1) 2 定理6 （2分布的可加性） 若X : 2 1），Y : 2 2）， （n （n
t a (n)
(t)dt
的点
t a (n) 为
t 分布的上侧α分位点
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
定理8 设有两个随机变量U和V相互独立， 且U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n 2 ),则 U n1 F ~ F(n1 , n 2 ) V n2 F(n1,n 2 )是第一个自由度为n1, 第二个自由度为n 2
简单随 机抽样
独立地、重复地做随机试验
总体、个体与样本
对总体进行n次独立试验或n次独立观察， 即是从总体中抽取容量为n的样本，
以随机变量X1,...,Xn代表 每个Xi应与总体X有相同的分布。
在具体抽样后，得到了一组具体的数据， (x1 ,...,xn ) 称为样本观察值
总体、个体与样本

定义1 设X1,X2…Xn是来自总体X的容量为n的样本，若 X1,X2…Xn相互独立，且每个Xi（=1，2，…n）都是与 X有相同分布的随机变量，则称X1,X2…Xn 为总体X的 简单随机样本，简称样本，其中Xi（=1，2，…n）为 样本分量 简单随机样本（样本）是独立同分布的
X1， 2， X ...X n1和Y1， 2， Y ...Yn2分别是来自总体X与Y的样本，则统计量 （X-Y）-（1 -2） U ~ N（0，1） 2 2 1 / n 2 / n
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
定理4 设X1 ,..., X n 相互独立，都服从标准正态分布， 则2＝ Xi2服从具有n个自由度的2分布，记为2(n)
第六章 数理统计与参数估计
数理统计学
运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，根据观察或实验得到的数据,对研 究对象的客观规律作出各种合理的估计和推断。
数理统计与参数估计

随机样本与统计量 抽样分布 参数估计

点估计 区间估计
总体、个体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的每个基本单元，称为个体。
的F 分布
对于给定的α，0<α<1,称满足条件
P{X Fa (n1，n 2 )}

Fa (n1，n 2 )
(x)dx
的点 Fa (n1，n 2 ) 为 F 分布的上侧α分位点
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
对于F分布有
1 F1a (n1，n 2 ) Fa (n1，n 2 )
统计量：关于样本(X1,…,Xn)的函数g(X1,…,Xn)
其中g(X1,…,Xn)不含有未知参数,一般是样本的连续函数。 统计量也是随机变量。
常用的统计量
样本平均值 样本方差 修正样本方差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
1 n X Xi n i1 1 n 2 S0 (Xi X) 2 n i 1 1 n S2 (Xi X)2 n 1 i 1 1 n M k Xik n i 1 1 n vk (x i X)k k 1, 2,... n i 1
总体可以是具体事物的集合，如一批产品。
也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
例如： 总体 一批产品 一批灯泡 一年的日平均气温 数轴上某一线段 一批彩票 个体 每件产品 每个灯泡 每天日平均气温 线段中每一点 每张彩票 特征 等级 寿命 度数 坐标 号码
人们感兴趣的是总体的某一个或几个数量指标的分布 情况。每个个体所取的值不同，但它按一定规律分布。
以随机变量X代表总体的特征。
当总体数量很大时，只能从中抽取部分个体进行 研究。 从总体中取出的若干个体，称为样本。 样本中所含个体的个数，称为样本容量。 选取样本是为了从样本的特征对总体特征做出估计 和推断。 抽样必须尽可能多地反映总体的特征。 要求随机抽取： (1)代表性：总体中每个个体被抽取的机会是均等的, 样本的分布与总体相同。 (2)独立性：每个观察结果互不影响。
推论1设X1 ,..., X n 是取自正态总体N(, 2 )的样本，则 2 ) (1)X ~ N(, n (X ) (2) ~ N(0,1) n
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
2 2 推论2 设总体X N(1 , 1 ), 总体Y N( 2 , 2 ),且X与Y相互独立
数理统计中，较多使用正态总体，其样本X1,...,Xn的统 计量X与S2及其函数的分布很重要。
2 定理3 设X1,..., X n 相互独立，Xi 服从正态分布N(i , i )， n 则它们的线性函数Y aiXi (ai不全为零)也服从正态分 i1 n n 布，且 E(Y) aii , D(Y) a i22 i i1 i1
且X与Y相互独立，则 X+Y : 2 1 +n 2） （n
几个常见的统计量的分布（抽样分布）
定理7 设两个随机变量X与Y相互独立，且 X X ~ N(0,1), Y ~ (n)，则T Y
2
n
服从具有n个自由度的t分布
概率密度函 数关于Y轴 对称
对于给定的α，0<α<1,称满足条件
P{X t a (n)}
总体X的分布函数位F(x),X1,X2…Xn 为总体X的一个样本 则X1,X2…Xn 的联合分布函数为
F(x1 , x 2 ...x n ) F(x i )
n
X1,X2…Xn 的联合概率密度函数为 f (x1 , x 2 ...x n ) f (x i ) i 1
i 1
n
样本统计量