数列综合题(应用)

§7.6 数列综合题（应用）无棣一中 高天祥 杨雪峰理解等差、等比数列的概念、公式，并能通过构造等差、等比数列，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.数列的综合问题一类是等差、等比数列的综合问题，另一类是与其他章节以及内容结合的综合问题，因为数列、不等式、解析几何是新课标高考的重点内容，将其密切结合在一起命制综合题是历年高考的热点和重点。

数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及以函数为背景进行数列的构造命题，体现了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题者的首选。

再现型题组1.在圆225x y x +=内，过点5322⎛⎫⎪⎝⎭，有()n n N +∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a 为过该点最短弦的长，n a 为过该点最长弦的长，公差11,53d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么n 的值是 A ．2. B 3. C. 4. D. 5.2.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维护保养费为4910n +元()n N +∈，使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了A. 600天.B. 800天.C.1000天.D. 1200天.3. (06江苏卷)对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 4.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元. 5.如下图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为n ；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n ≥2）第2个数是_______________.12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6巩固型题组6.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()nn b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；7.甲、乙两大型超市，2001年的销售额均为p （2001年为第1年），根据市场分析和预测，甲超市前n 年的总销售额为)2(22+-n n P ，乙超市第n 年的销售额比前一年多12-n P .（I ）求甲、乙两超市第n 年的销售额的表达式；（II ）根据甲、乙两超市所在地的市场规律，如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售额的20％，则该超市将被另一超市收购，试判断哪一个超市将被收购，这个情况将在哪一年出现，试说明理由.8. 已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是的导数设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n = . (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-,(1,2,)n = .求数列{n b }的前n 项和n S ．提高型题组9.（08陕西）已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n = ，，；（Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．反馈型题组10.某工厂去年产值为a ，计划今后五年内每年比上一年产值增长10%，从今年起到第五年，这个工厂的总产值是 （ ）A 、1.14aB 、1.1(1.15－1)aC 、10(1.15－1)aD 、11(1.15－1)a 11．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象可能是12.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是A.32S B.34S C.36S D.38S 13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且S 1=1，点(,)n n S 在曲线C 上，曲线C 和直线10x y -+=，交于A 、B 两点，且b AB =，则这个数列的通项公式是A ．12-=n a nB ．2n 3a n -=C ．34-=n a nD ．45-=n a n14. 已知{a n }是递增的数列，且对于任意n ∈N *，都有2n a n n λ=+成立，则实数λ的取值范围是A.λ＞0B.λ＜0C.λ=0D.λ＞－315.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.16. 已知a n =log n +1（n +2）（n ∈N *），观察下列运算a 1·a 2=log 23·log 34=2lg 3lg ·3lg 4lg =2， a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6=log 23·log 34·…·log 67·log 78=2lg 3lg ·3lg 4lg ·…·6lg 7lg ·7lg 8lg =3. ……定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的k （k ∈N *）叫做企盼数.试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k =2008时，企盼数k =______________.17.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-(1,2,3,)n = ，数列{}n b中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上． ⑴ 求数列}{n a ，}{n b 的通项n a ，n b ；⑵ 若n T 为数列}{n b 的前n 项和，证明：当2≥n 时，n T S n n 32+>．§7.1 数列综合题（应用）(解答部分)再现型题组1.【提示或答案】D.提示：由225x y x +=得2225522x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（），过点5322⎛⎫ ⎪⎝⎭，最长的弦为直径5，最短的弦为4，则14,5n a a ==，公差为d ，有()15411n d n d =+-⇒=+，11,46,553d n n <<∴<<∴= . 【基础知识聚焦】本题考察圆的弦以及数列的有关性质，首先搞清圆内过定点的弦的最大和最小，当弦为直径时最长，当弦与圆心距垂直时最短，再结合数列知识即可得解. 2. 【提示或答案】B.提示：第n 天的维护保养费为4910n +元，构成一个等差数列，则使用n 天的总耗资费用为4495103.2102n n+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭⨯+，从而使用n 天的平均耗资为：43.210 4.9520n n ⨯++，当且仅当43.21020nn ⨯=时，取得最小值，此时800n =，故应选B.【基础知识聚焦】本题是等差数列的一个实际应用问题，并将此考点与不等式的最值问题相练习，同时也考察了函数与方程思想. 3. 【提示或答案】122n +-.提示：()1'1n n y nx n x -=-+，故切线方程为：()()12222n n y n x -+=-+⋅-，得()12n n a n =+⋅，21n na n ∴=+，有等比数列的求和公式可得到答案. 【基础知识聚焦】本题是导数、函数以及数列的综合问题，解题的关键是求出切线方程，将问题转化为等比数列的求和。

4. 【提示与答案】存款从后向前考虑（1+p ）+（1+p ）2+…+（1+p ）5=pp p ]1)1)[(1(6-++=p 1［（1+p ）7－（1+p ）］.注：2008年不再存款.【基础知识聚焦】生活中与增长率、复利计息等有关的问题往往可以建立等比数列模型加以解决。

5. 【提示或答案】222+-n n .提示：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，则1n n a a n +=+，累加得()21212312n n n a a n -+=+++++-=. 【基础知识聚焦】本题考察学生的归纳推理能力，问题的切入点是上下两行数字间的联系和规律。

【变式与拓展】（05广东）设平面内有()3n n ≥条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则()4f = 当4n >时()f n = . 【答案】()()()()2145,2n n f f n -+==.巩固型题组6. 【提示或答案】（I ）：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈ （II ）证法一：1211144...4(1).nn b b b b n a ---=+12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。

证法二：同证法一，得 1(1)20n n n b nb +--+= 令1,n =得1 2.b =设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立。