【精选】福建省八县(市)一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年福建省福州市八县(市)协作校高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）1．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，3x＞0B．∀x∈R，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，x3＞1D．∃x∈R，sin x＝2．双曲线﹣＝1的实轴长为（）A．3B．4C．D．23．设函数f（x）＝x2+x，则＝（）A．﹣6B．﹣3C．3D．64．双曲线与椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程为（）A．B．C．D．5．有下列三个命题：（1）“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；（2）“面积相等的三角形全等”的逆命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m＝0有实数解”的逆否命题其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知函数f（x）＝x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）＝f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不能确定7．对于实数a，b，则“a＜b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．若函数f（x）＝e x﹣ax在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[1，+∞）C．[e+1，+∞）D．（e﹣1，+∞）9．已知定义在R上的函数f（x）的图象如图，则x•f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，2）B．（1，2）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）10．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且．若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为（）A．B．C．D．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，△ABO的面积为，O为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为（）A．B．（1，0）C．D．12．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．命题“∃x0∈R，1≤f（x0）＜3”的否定是．14．函数f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为．15．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为．16．已知函数f（x）＝alnx+，a∈R，对于∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞6，则a的取值范围是．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）17．已知命题p：“方程＝1表示双曲线”；命题q：“∃x0∈R，使得x02﹣（a﹣1）x0+1＜0”．若命题p∧￢q为真命题，求实数a的取值范围．18．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（2，m）到焦点F 的距离为3，直线y＝x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△AOB的面积S．19．已知x＝1时，函数f（x）＝ax3+bx有极值﹣2．（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）＝k有3个实数根，求实数k的取值范围．20．2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔．某校2021届高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某髙场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g（x）（单位：百件）与销售价格x（元/件）近似满足关系式g（x）＝+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数．已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式（Ⅱ）若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A，B两点，△F1AB的周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l使∠AOB为直角，若存在求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx﹣2ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）+e x≥e﹣2a在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年福建省福州市八县（市）协作校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）1．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，3x＞0B．∀x∈R，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，x3＞1D．∃x∈R，sin x＝【解答】解：∀x∈R，3x＞0，正确；因为x＝0时，（x﹣1）2＝0，所以∀x∈R，（x﹣1）2＞0，不正确，∃x∈R，x3＞1，例如x＝2，满足，所以正确；当x＝30°，sin x＝，所以∃x∈R，sin x＝，正确；故选：B．2．双曲线﹣＝1的实轴长为（）A．3B．4C．D．2【解答】解：双曲线﹣＝1，可得a＝2，所以双曲线﹣＝1的实轴长为2a＝4．故选：B．3．设函数f（x）＝x2+x，则＝（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6【解答】解：根据题意，＝f′（1），又由函数f（x）＝x2+x，则f′（x）＝2x+1，则f′（1）＝3；故＝3；4．双曲线与椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆方程为：，其焦点坐标为（±2，0）设双曲线的方程为∵椭圆与双曲线共同的焦点∴a2+b2＝4①∵一条渐近线方程是，∴②解①②组成的方程组得a＝1，b＝所以双曲线方程为．故选：C．5．有下列三个命题：（1）“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；（2）“面积相等的三角形全等”的逆命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m＝0有实数解”的逆否命题其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：（1）“若x+y＝0，则x，y互为相反数”的否命题：若x+y≠0，则x，y 不是相反数；否命题是真命题；（2）“面积相等的三角形全等”的逆命题：全等三角形面积相等；逆命题是真命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m＝0有实数解”的逆否命题：x2﹣2x+m＝0没有实数解，则m＞1，因为△4﹣4m＜0，可得m＞1，所以逆否命题是真命题，所以真命题有3个．6．已知函数f（x）＝x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）＝f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不能确定【解答】解：由f（x）＝x2+2xf′（1），求导得f′（x）＝2x+2f′（1），把x＝1代入得：f′（1）＝2+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣4x，∴f（﹣1）＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，f（1）＝12﹣4×1＝﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选：B．7．对于实数a，b，则“a＜b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a＜b＜0⇒＞，0＜a＜b⇒＞，但是a＜0＜b时，＞；故“a ＜b”推不出“”；反之，＞＞0⇒0＜a＜b；而0＞＞⇒a＜b＜0；但是＞0＞时，⇒a＞0＞b；故“＞“推不出“a＜b“．则“a＜b”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．8．若函数f（x）＝e x﹣ax在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[1，+∞）C．[e+1，+∞）D．（e﹣1，+∞）【解答】解：因为f（x）＝e x﹣ax，所以f′（x）＝e x﹣a，又函数f（x）＝e x﹣ax在[0，1]上单调递减，所以f′（x）＝e x﹣a≤0在x∈[0，1]恒成立，又f′（x）＝e x﹣a在x∈[0，1]为增函数，则只需f′（1）＝e﹣a≤0，即a≥e，故选：A．9．已知定义在R上的函数f（x）的图象如图，则x•f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（1，2）B．（1，2）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：不等式x•f′（x）＞0等价为当x＞0时，f′（x）＞0，即x＞0时，函数递增，此时1＜x＜2，或者当x＜0时，f′（x）＜0，即x＜0时，函数递减，此时x＜0，综上1＜x＜2或x＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2），故选：A．10．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且．若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为：，由题意知，2a＝6，a＝3．∵．BC＝2，可设C（y0﹣2，y0），∵B（﹣3，0），∴||＝2，解得y0＝，∴点C的坐标为C（﹣2，），∵点C在椭圆上，，∴b2＝，∴c2＝a2﹣b2＝，c＝，∴椭圆的焦距为：．故选：C．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，△ABO的面积为，O为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为（）A．B．（1，0）C．D．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y＝±x，又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x＝﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又由双曲线的离心率为2，所以＝2，即＝2，则＝，A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又△AOB的面积为，可得••p＝，得p＝2，抛物线Γ的焦点坐标为（1，0），故选：B．12．已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：构造函数g（x）＝，∴g′（x）＝，∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，∴g（x）＝是偶函数，∴c＝＝g（﹣3）＝g（3），∵a＝＝g（e），b＝＝g（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）13．命题“∃x0∈R，1≤f（x0）＜3”的否定是∀x∈R，f（x）＜1或f（x）≥3．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈R，1≤f（x0）＜3”的否定是：∀x∈R，f（x）＜1或f（x）≥3．故答案为：∀x∈R，f（x）＜1或f（x）≥3．14．函数f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．【解答】解：由f（x）＝xlnx，得f′（x）＝xlnx＝lnx+1，∴f′（1）＝1，即函数f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1．∴函数f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．15．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为4．【解答】解：由题意知bc＝2．∴a2＝b2+c2＝b2+≥2＝4，∴a≥2，当且仅当b＝时取“＝”．∴2a≥4，故答案为：4．16．已知函数f（x）＝alnx+，a∈R，对于∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞6，则a的取值范围是（9，+∞）．【解答】解：∵f（x）＝alnx+，x＞0，∴f′（x）＝，∵对于∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞6，∴f′（x）＝＞6，∴a＞6x﹣x2恒成立，故a＞（6x﹣x2）max，结合二次函数的性质可知，当x＝3时，6x﹣x2取得最大值9，则a＞9，故答案为：（9，+∞）．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）17．已知命题p：“方程＝1表示双曲线”；命题q：“∃x0∈R，使得x02﹣（a﹣1）x0+1＜0”．若命题p∧￢q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p为真，则（a﹣1）（a﹣7）＜0，即1＜a＜7；￢q：“∀x∈R，使得x2﹣（a﹣1）x+1≥0“，若￢q为真，则△＝（a﹣1）2﹣4≤0，即﹣1≤a≤3，∴若命题p∧￢q为真命题∴；∴1＜a≤3；∴实数a的取值范围为（1，3]．18．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（2，m）到焦点F 的距离为3，直线y＝x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△AOB的面积S．【解答】解：（1）由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝﹣，∵P（2，m）到焦点F的距离等于p到其准线的距离，∴2+＝3∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x．（2）解：由，并整理得，x2﹣6x+1＝0，设A（x，y），B（x'，y'），则x+x'＝6，由（1）知F（1，0）∴直线y＝x﹣1 过抛物线y2＝4x的焦点F，∴|AB|＝x+x'+p＝6+2＝8，又∵点O到直线y＝x﹣1 的距离d＝＝，∴三角形AOB的面积S＝|AB|•d＝＝2．19．已知x＝1时，函数f（x）＝ax3+bx有极值﹣2．（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）＝k有3个实数根，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝ax3+bx，∴f′（x）＝3ax2+b．又∵当x＝1时，f（x）的极值为﹣2，∴，解得；（2）由（1）可得f（x）＝x3﹣3x，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）．令f′（x）＝0，得x＝±1，当x＜﹣1或x＞1时f′（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x＝﹣1时f（x）取得极大值，f（﹣1）＝2，当x＝1时f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2，f（x）的大致图象如图：由图象知要使方程f（x）＝k有3个解，只需﹣2＜k＜2．故实数k的取值范围为：（﹣2，2）．20．2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔．某校2021届高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某髙场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g（x）（单位：百件）与销售价格x（元/件）近似满足关系式g（x）＝+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数．已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式（Ⅱ）若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大【解答】解：（I）将x＝3，y＝10代入g（x）＝+2（x﹣5）2，得：a+8＝10，即a＝2，故g（x）＝+2（x﹣5）2，2＜x＜5．（II）设商品A的利润为f（x），则f（x）＝g（x）（x﹣2）＝2+2（x﹣5）2（x﹣2），∴f′（x）＝4（x﹣5）（x﹣2）+2（x﹣5）2＝6（x﹣3）（x﹣5），∴当2＜x＜3时，f′（x）＞0，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，∴f（x）在（2，3）上单调递增，在（3，5）上单调递减，∴当x＝3时，f（x）取得最大值．即商品销售价格为3元时，可使商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A，B两点，△F1AB的周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l使∠AOB为直角，若存在求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，解得a＝，b＝，c＝1，所以求椭圆C的方程为＝1．（2）假设存在过点过F2（1，0）的直线l使∠AOB为直角，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝my+1，代入椭圆方程并整理得（2m2+3）y2+4my﹣4＝0，显然△＞0，则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣①，若∠AOB为直角，则＝0，则x1x2+y1y2＝0．将x1x2＝（my1+1）（my2+1）＝m2y1y2+m（y1+y2）+1代入②得（m2+1）y1y2＝+m（y1+y2）+1＝0，③由①③解得m2＝﹣，这是不可能的，故不存在直线l使∠AOB为直角．22．已知函数f（x）＝lnx﹣2ax，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）+e x≥e﹣2a在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）依题意，f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）＝＝，当a≤0时，1﹣2ax＞0，故f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0；综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（2）由题意得，当x≥1时，lnx+e x﹣2ax+2a﹣e≥0恒成立；令h（x）＝lnx+e x﹣2ax+2a﹣e，求导得h′（x）＝，设φ（x）＝，则φ′（x）＝，因为x≥1，所以e x≥e，，所以φ′（x）＞0，所以φ（x）在[1，+∞）上单调递增，即h′（x）在[1，+∞）上单调递增，所以h′（x）≥h′（1）＝1+e﹣2a；①当a≤时，h′（x）≥0，此时，h（x）＝lnx+e x﹣2ax+2a﹣e在[1，+∞）上单调递增，而h（1）＝0，所以h（x）≥0恒成立，满足题意；②当a＞时，h′（1）＝1+e﹣2a＜0，而h′（ln2a）＝＞0；根据零点存在性定理可知，存在x0∈（1，ln2a），使得h′（x0）＝0．当x∈（1，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以有h（x0）＜h（1）＝0，这与h（x）≥0恒成立矛盾，舍去；综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，]．。
福建省福州市八县一中2018-2019学年高二期末考《选修2-1》数学(理)答案
2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 1页 共4页2018---2019学年度第一学期八县（市）一中期末联考 高中二年 数学（理科）参考答案及评分参考一、选择题1． D 2． C 3． A 4． D 5． A 6． D 7． A 8． B 9． D 10． C 11． A 12． B 二、填空题13．-2 14．40≤≤a15. ±223 16．⎥⎦⎤ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--13334,3223,13343 17．解：（I ）方程112222=--m y m x 可改写为112222=-+m y m x若命题p 为真命题，则0122>->m m ， 2分所以1-<m 或121<<m 4分（II ）若命题q 为真命题，则⎪⎩⎪⎨⎧>+>3550m m 5分∴10>m ，所以命题q 为真命题时10>m 6分q p ∨为真命题且p q∧为假命题∴假真q p 或真假q p ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<<-<101211m m m 或或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≤≤-101211m m m 或 9分∴1-<m 或121<<m 或10>m 10分18．解：（I ） a B c C b A 3)cos cos (sin 2=+∴由正弦定理得A B C C B A sin 3)cos sin cos (sin sin 2=+ 3分 ∴23)sin(=+C B 4分，即23sin =A 又),0(π∈A ，∴3π=A 或32π=A 6分(少一个扣1分) （II ）3π=A ，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即bc c b -+=2225∴bc c b 3)(252-+=， 8分，而ABC △的面积为235∴235sin 21=A bc ∴10=bc 10分553025)(2=+=+c b ∴55=+c b ∴ABC △的周长为5+55 12分 19．解：(1)233)1(1-=⨯-+=n n b n 2分2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 2页 共4页∴n a n -=1)2(log 2∴n na 21= 4分∴211=+n n a a (常数)，∴{}n a 是等比数列 6分(2)n nn c 21)23(⋅-= 7分n n n S )21()23()21(7)21(421132⨯-++⨯+⨯+⨯= 8分132)21()23()21()53()21(4)21(121+⨯-+⨯-++⨯+⨯=n n n n n S （1）-（2）得132)21()23()21(3)21(3)21(32121+⨯--⨯+⨯+⨯+=n n n n S 10分132)21()23(1))21()21()21(21(321+⨯---+++=∴n n n n S1)21()23(1211))21(1(21321+⨯-----⨯=∴n n n n S1)21()23(1)21(3321+⨯---⨯-=∴n n n n S n n n S )21()34(4⨯+-=∴ 12分20．解：（1）设抛物线C 的方程为)0(22>=p py x ， )2,0(p F3=AF 322=+∴p2=∴p 2分抛物线C 的方程为y x 42= 3分242⨯=m 22±=∴m)2,22(±∴A 5分（只有一个扣1分）（2）由于直线l 的斜率存在，所以可设直线l 的方程为1+=kx y 6分联立⎩⎨⎧=+=y x kx y 412消去y 得0442=--kx x 7分2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 3页 共4页1，设),(11y x M ，),(22y x N那么⎩⎨⎧-==+442121x x kx x 8分16)4(442222121-=⨯=∴x x y y 1= 9分12+=y NF ，11+=y MF ∴)1(3113112+++=+y y MF NF =343112++y y 10分0,021>>y y ∴34332343123112+=+⨯≥+y y MF NF ，当且仅当33,321==y y 时MF NF 31+取得最小值34332+ 12分（21））解：（Ⅰ）取AB 中点O ，由于底面ABC 与三角形1ABB 均为等边三角形，∴∴AB O B ⊥1，AB CO ⊥…………………………………………1分在三角形OC B 1中31==OC O B ,61=C B∴21221C B OC O B =+，∴0190=∠OC B ∴OC O B ⊥1………………3分又O OC AB =⋂∴ABC O B 平面⊥1,而111A ABB O B 平面⊂∴平面 ………………6分(通过二面角 的平面角0190=∠OC B ，证明平面 也可)（Ⅱ）由（Ⅰ）知 两两垂直，取O 为原点， 方向作为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，∴ ． ··································································· 8分设平面1BCB 的法向量 ，由得 令1z =，得 ．∴平面1BCB 的一个法向量为 ． ……………………9分 ∵ ，……………………………………………………………………………10分∴，….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为． ························································· 12分2018-2019学年上学期期末考高二数学（理科）试卷第 4页 共4页（22）解：（I ）∵E 为线段PB 的垂直平分线上一点，∴EP EB = ∴4==+=+AP EA EP EA EB >2=AB 2分 ∴点E 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆，2a=4.c=1, ∴32=bE 的轨迹方程13422=+y x 4分 （II ）由于直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，所以可设l 方程为1+=ty x 5分联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x ty x 消去x 得096)43(22=-++ty y t 6分，设),(11y x M ，),(22y x N 则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+439436221221t y y t t y y 7分令)0,(0x D ,若直线DM 与DN 的倾斜角互补，则0=+DN DM k k 8分0110111x ty y x x y k DM -+=-=,0220221x ty y x x y k DN -+=-= 9分∴+-+0111x ty y 01022=-+x ty y ∴0)1()1(012021=-++-+x ty y x ty y 10分即0))(1(221021=+-+y y x y ty ∴0)436)(1()439(2202=+--++-t tx t t∴0)624(0=+-x t ∴0不恒为t ∴40=x ，所以存在)0,4(D 使直线DM 与DN 的倾斜角互补 12分。
福建福州八()一中2018-2019学度高二上学期年末联考数学(文)试题
福建福州八（）一中2018-2019学度高二上学期年末联考数学（文）试题高中二年 数学 (文科) 试卷完卷时间：120分钟总分值：150分一、 选择题：(每题各5分，共60分) 1.假设命题为真为真，""""p q p ⌝∨，那么〔〕 A 、真真q p B 、假假q p C 、假真q p D.、真假q p2.函数xx y +=3的递增区间为〔〕 A 、),0(+∞B 、)1,(-∞C 、),(+∞-∞D.、),1(+∞3.设集合}2|{>=x x m ，}3|{<=x x p ，那么""p x m x ∈∈或是：）且（p m x ∈的〔〕A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件 4.“三个数a,b,c 不都为0”的否定为〔〕A 、a,b,c 都不是0B 、a,b,c 至多有一个为0C 、a,b,c 至少一个为0D 、a,b,c 都为0 5.命题："01,"23>+-∈∃x x R x 的否定是〔〕 A 、01,23≤+-∈∀x x R x B 、01,23>+-∈∀x x R x C 、01,23≤+-∈∃x x R x D 、01,23<+-∈∃xx R x 6.定点F F 21,，且8||21=F F ，动点P 满足8||||21=+F P F P ，那么动点P 的轨迹是〔〕A 、椭圆B 、圆C 、直线D 、线段 7.有以下四个命题：①“假设x+y=0，那么x,y 互为相反数”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“假设"1"≤q ，那么22=++q x x 有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题； 其中真命题为〔〕A 、①②B 、②③C 、①③D 、③④ 8.过〔0，2〕的直线与抛物线xy 42=仅有一个公共点，那么满足条件的直线共有〔〕A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条 9.假设函数)()(3x x a x f --=的递减区间为)33,33(-，那么实数a 的取值范围是〔〕A 、0>aB 、01<<-aC 、1>aD 、10<<a10.函数)0(23≠+++=a d cx x b x a y 的导函数为c bx xa y ++=232，不妨把方程0232=++=c bx x a y 称为导方程，其判别式)3(42ac b -=∆，假设0>∆，设其两根为x x 21,，那么当0,0≤∆<a 时，三次函数的图像是〔〕。
2018-2019学年福建省八县(市)一中高二上学期期末考试数学(文)试题 Word
()'=y f x 2018-2019学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学(文)科试卷考试日期：1月23日 完卷时间：120分钟 满分：150分第一部分 选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若命题p 为:[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+≤,则p ⌝为( ). A.[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+> B.[)00,1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+> C.[)0001,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+>D.(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤2．已知抛物线x y 82=，则它的焦点到准线的距离为( ). A.4B.8C.16D.23．曲线xy e =在(0,1)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( ). A.1B.12C.eD.2e4．已知双曲线()222=109x y m m-> 的左焦点为()15,0F -,则m =( ). A.9B.3C.16D.45．动点M 在圆2225+=x y 上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( ).A.22412525+=x yB.22412525+=x yC.22412525-=x yD. 22412525-=x y6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*21()n n S a n N =+∈，则5=a ( )． A ．16- B ．16 C ．31- D ．327．已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数()f x '的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是( ).()()()()1;>>f a f e f d()()[][]2,,函数在上递增，在上递减；f x a b b d()()3,;函数的极值点为f x c e ()()()4.函数的极大值为f x f bA.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)D.(1)(4)8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ,离心率为33,过2F 的直线l交C 于,A B 两点，若1AF B ∆的周长为43,则b 的值为( ). A.4 B.2C.2D.229．已知1(2)2m x x x =+>-，()2220x n x -=<则,m n 的大小关系是( ). A.m n < B.m n > C.m n ≤ D.m n ≥10．若函数()32236f x x mx x =-+在区间(2,)+∞上为增函数,则实数m 的取值范围为( ). A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．若原点O 和点F 分别为椭圆221925+=x y 的中心和焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则⋅OP FP 的最小值为( ).A.114 B.174 C.134D.15412．设函数()y f x =,()+∞∈,0x 的导函数为()x f ',且满足()()x f x f x 3<',则( ). A.201820198(2)(2)f f <B.201820198(2)(2)f f >C.201820198(2)(2)f f =D.不能确定20188(2)f 与2019(2)f 的大小第二部分 非选择题二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知()2sin f x x x =-,求(0)f '=__________.14．已知过抛物线26=x y 焦点F 的直线与抛物线交于、A B 两点,且6+=A B y y ,则=AB __________.15．已知实数,x y 满足不等式组010240≥⎧⎪++≤⎨⎪++≥⎩y x y x y ,则31-=-y z x 的最小值为__________.16．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若5,2=AF FB 则该双曲线的离心率为__________.三、解答题:(本大题共6小题，共70分)17.(本小题满分10分)已知p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >;q :实数x 满足lg(2)0x -≤. (1)若1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知a B c C b A 3)cos cos (sin 2=+. (1)求A ；(2)若A 为锐角,5=a ,ABC ∆的面积为235,求ABC ∆的周长.19.(本小题满分12分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(4,4)A -.(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)若平行于OA (O 为坐标原点)的直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于22，求直线l 的方程.20.(本小题满分12分)已知函数()32233=+++f x x ax bx c 在1=x 及2=x 处取得极值.(1)求、a b 的值；(2)求函数()=y f x 在[]0,3的最大值与最小值的差.21.(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为(3,0)-F ,过点F 做x 轴的垂线交椭圆于,A B 两点,且1=AB .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若P 为椭圆C 短轴的上顶点，直线l 不经过P 点且与C 相交于M N 、两点，若直线PM 与直线PN 的斜率的和为1-，问：直线l 是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.22.(本小题满分12分)设函数()()ln 1f x x a x =++,曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线l 与直线30x y -+=垂直.(1)求()y f x =的解析式; (2)求证:()0.f x >2018-2019学年度第一学期八县(市)一中期末联考高中二年数学(文)科参考答案一、选择题:(每小题5分，共60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CABDBACCBDAB二、填空题:(每小题5分，共20分)13、1- 14、 9 15、14 16、2147三、解答题:(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分10分)解：（1）:13,<<p x -------------------------------------------------- 1分:23,<≤q x --------------------------------------------------------- 3分 ∧p q 为真. ∴p 真且q 真, ------------------------------------------- 4分2 3.∴<<x --------------------------------------------------------- 5分(2) ():30,<<>p a x a a :23,<≤q x --------------------------------- 6分∵⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，------------------------------------------- 7分∴(]()2,3,3⊂a a ----------------------------------------------------- 8分∴233≤⎧⎨>⎩a a 即12<≤a . ---------------------------------------------- 10分 18.(本小题满分12分)解:(1) 2sin (cos cos )3A b C c B a +=∴由正弦定理得2sin (sin cos sin cos )3sin A B C C B A += --------------- 2分()3sin 2∴+=B C --------------------------------------------------- 4分即3sin 2A =又(0,)A π∈， ------------------------------------ 5分 ∴3A π=或23A π=----------------------------- 6分(少一个扣1分) (2)3A π=,由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=,即bc c b -+=2225 - 7分∴bc c b 3)(252-+=， ----------------------------------------- 8分而ABC ∆的面积为235，∴235sin 21=A bc ---------------------- 9分 ∴10=bc ---------------------------------------------------------- 10分2()253055b c ∴+=+= ---------------------------------------------- 11分∴55=+c b ∴ABC △的周长为555+ ---------------------------- 12分 19.(本小题满分12分)解：（1）将(4,4)-代入px y 22=，得2(4)24p -=⋅， --------------------- 1分所以2=p . ---------------------------------------------------------- 2分故所求的抛物线C 的方程为x y 42=， ----------------------------------- 3分 其准线方程为1-=x . ------------------------------------------------- 4分 （2）设平行于OA 的直线l 方程为.=-+y x t ----------------------------- 5分由24=-+⎧⎨=⎩y x ty x 得2440.+-=y y t --------------------------------------- 7分因为直线l 与抛物线C 有公共点,所以16160∆=+≥t ，解得1≥-t . ------------------------------------- 8分另一方面，由直线OA 与l 的距离等于2,44222--==td ------------ 9分可得4=t ，解得4=±t . -------------------------------------------- 10分因为[)41,-∉-+∞，[)41,∈-+∞， ------------------------------------ 11分所以直线l 方程为:40.+-=x y ---------------------------------------- 12分 20.(本小题满分12分)解：(1) 2()663f x x ax b '=++ ---------------------------------------- 2分 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． ------ 3分即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． ------------------------------------------------- 4分解得3,4=-=a b ，（经检验、a b 均符合题意） -------------------------- 5分(2)由（1）可知，c x x x x f ++-=1292)(23， --------------------------- 6分2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=------------------------------------ 7分 令0)(='x f 得：11=x ，22=x ------------------------------------- 8分 列表如下：x0 (0,1)1(1,2)2(2,3)3 ()f x '+-+()f xc↗极大值5c +↘极小值4c +↗+9c-------------------------------------------------------------------- 11分则当[]03，∈x 时，()f x 的最大值为(3)9f c =+，()f x 的最小值为(0)f c =． 故函数()=y f x 在0,3⎡⎤⎣⎦的最大值与最小值的差为9． ------------------- 12分 21.(本题满分12分)解：(1)由题意可知3=c ， ------------------------------------------- 1分令x c =-，代入椭圆可得2by a=±， ------------------------------------ 2分∴221=b a ----------------------------------------------------------- 3分 又223-=a b ，两式联立解得： 224,1==a b ， ---------------------------------------- 4分2214∴+=x y -------------------------------------------------------- 5分(2) ①当斜率不存在时，设()():t M M l x M t y B t y =-，，，，，1121M M PM PN y y k k t t t ----+=+==-，得2=t ，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意. ------------ 7分②当斜率存在时，设():1l y kx m m =+贡，()()1122M x y N x y ，，，，联立22440y kx mx y ì=+ïí+-=ïî，整理得()222148440k x kmx m +++-= ， -------- 8分1228,14km x x k -+=+21224414m x x k -?+， ----------------------------------- 9分121211PA PB y y k k x x --+=+()()()()()22221212121228888811414441114km k km kmx kx m x x kx m x k m k m x x m m k --++-++--+====--+-+，1m 贡，21m k \=--，此时64k D=-，存在k 使得0D>成立．---------11分∴直线l 的方程为21y kx k =--，即()()210k x y -++=， 当2x =，1y =-时，上式恒成立，所以l 过定点()21-，．----------------12分 22.(本小题满分12分)解：（1）函数()()ln 1f x x a x =++的定义域是：(0,)+∞ --------------- 1分 ∵()ln x af x x x+'=+， ---------------------------------------------- 2分 ∴(1)1f a '=+， ------------------------------------------------------ 3分因为切线l 与直线30x y -+=垂直，所以11a +=-，即2a =------------------- 4分则()y f x =的解析式为()(2)ln 1f x x x =-+. ---------------------------------------- 5分 （2）由（1）知, 22()ln ln 1x f x x x x x-'=+=-+， 又∵()f x '在(0,)+∞内单调递增， --------------------------------------------------------- 6分且(1)10,(2)ln 20f f ''=-<=>∴存在0(1,2)x ∈使得()0f x '=. ------------------------------------------------------------------ 7分 当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>∴000()()(2)ln 1f x f x x x ≥=-+. ------------------------------------ 8分 由0()0f x '=得002ln 1x x =- ∴000000024()()(2)ln 1(2)(1)15()f x f x x x x x x x ≥=-+=--+=-+. 令4()(12)r x x x x=+<<，则224(2)(2)()10x x r x x x +-'=-=< ----------- 10分 ∴()r x 在区间(1,2)内单调递减，所以()(1)5r x r <=∴4()5()550f x x x>-+>-=.综上，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x >. ----------------------------------------- 12分。
福建省2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案
福建省2018-2019学年上学期期末考试高二数学理试题满分150分，答卷时间2小时. 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．32()32f x ax x =++,若()41=-'f ,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2．若平面α与平面β的法向量分别是a ＝(4,0，－2)，与b ＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判定3．“a >1”是“11<a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝31，y ＝1B ．x ＝21，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝41- D ．x ＝1，y ＝－15.已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，双曲线的方程应是( )A.14-1222=y xB.112-422=y x C ．112-422=x y D ．14-1222=x y6.双曲线13-622=y x 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝ ( ) A.3 B ．2 C ．3 D ．6 7.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1， CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.35 B. 55 C.552 D.53 9．若曲线y ＝e 2x 的一条切线l 与直线x+2y-8=0垂直,则l 的方程为（ ）A ．y ＝21x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋110．已知命题p ：x 2-4x ＋3<0与q ：x 2-6x ＋8<0；若“p 且q ”是不等式2x 2-9x ＋a <0成立的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(9，＋∞)B ．{0}C ．(－∞，9]D ．(0,9]11．在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为32，则切点A 的坐标为（ ）A ．(1,1) B.（2，4） C.()2,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,2112．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则b 的取值范围是（ ）A.()2--，∞ B.()1--，∞ C.()13-， D.()∞+，1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分。
福州市八县(市)协作校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(文)试题(解析版)
福州市八县(市)协作校2018-2019学年第一学期期末联考高二文科数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上）1.下列命题中的假命题是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】A，由指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），可判定A；B，当x＝1，＝0，可判定B；C，当x=2时，, 可判定C；D，当x=时，, 可判定D.【详解】对于A，由指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），可判定A正确；对于B，当x＝1，＝0，不满足大于0，故B不正确；对于C，当x=2时，故C正确，对于D，当x=时，，故D正确．故选：B．【点睛】本题考查了命题真假的判定，对于存在性命题，只需要找到符合条件的即可说明，属于基础题．2.双曲线的实轴长为( )A. 3B. 4C.D. 2【答案】B【解析】【分析】利用双曲线方程求解实轴长即可．【详解】双曲线，焦点在y轴上，可得a＝2，b，双曲线的实轴长为：2a＝4；故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程及简单性质的应用，属于基础题．3.设函数,则( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】由导数的定义可知f′（1），求导，即可求得答案．【详解】根据导数的定义：则f′（1），由f′（x）＝2x+1，∴f′（1）＝3，∴，故选：C．【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题．4.双曲线与椭圆共焦点,且一条渐近线方程是,则此双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线中满足c2＝a2+b2，结合题中双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a，b；写出双曲线方程．【详解】椭圆方程为：，其焦点坐标为（±2，0）设双曲线的方程为∵椭圆与双曲线共同的焦点∴a2+b2＝4①∵一条渐近线方程是，∴②解①②组成的方程组得a＝1，b所以双曲线方程为．故选：C．【点睛】本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程，其中椭圆中三系数的关系是：a2＝b2+c2；双曲线中系数的关系是：c2＝a2+b2，做题时需要细心.5.函数则的大小关系为( )A. B. C. D. 无法确定【答案】C【解析】试题分析：由f（x）＝x2＋2x f ′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=-2，∴，∴f（-1）=5，f（1）=-3，则f（-1）＞f（1）．考点：导数的运算6.对于实数则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】举例说明不满足充分性和必要性.【详解】当时，不一定有．比如a=-1，b=2.故不是充分条件；反之，若，不一定有，比如a=2，b=-1.故不是必要条件；故选D.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，一般采用举反例说明不成立.7.若函数在[0,1]上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．【详解】∵在[0,1]上单调递减，∴f′（x）＝e x﹣a≤0，在[0,1]上恒成立，∴a≥e x在[0,1]上恒成立，∵y＝e x在[0,1]上为增函数，∴y的最大值为e，∴a≥e，故选：A．【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．8.已知定义在上的函数的图象如图所示,则的解集为( ).A. B. C. D.【答案】A试题分析：不等式等价为当时,,即时,函数递增,此时,或者当时,,即时,函数递减,此时,综上或,即不等式的解集为,所以A选项是正确的.考点：单调性和导数之间的关系.9.设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程，由条件结合条件得到点的坐标，代入椭圆的方程，求解，进而求得的值，得到答案.【详解】设椭圆的方程为，由题意可知，得，即椭圆的方程为，因为，如图所示，可得点，代入椭圆的方程，即，解得，所以，即，所以椭圆的焦距为，故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据三角形的性质，得到点的坐标，代入椭圆的方程求解得值，再借助求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出双曲线双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【详解】∵双曲线（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y＝±x又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又由双曲线的离心率为2，所以2，则，A，B两点的纵坐标分别是y＝±，即=,又△AOB的面积为，且轴，∴，得p＝2．抛物线的焦点坐标为：（1，0）故选：B．【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨．11.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数g（x），由g′（x），可得函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断．【详解】构造函数g（x），∴g′（x），∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，∴g（x）是偶函数，∴c g（﹣3）＝g（3），∵a g（e），b g（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故选：D．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）12.命题的否定是____________。
福建省八县(市)一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
福建省八县（市）一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“存在，0”的否定是（）A. 不存在,＞0B. 存在,≥0C. 对任意的,≤0D. 对任意的,＞0【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，可知命题“存在，”的否定是“对任意的，”，故选C.考点：全称命题与存在性命题的关系.2.在空间直角坐标系中点关于平面对称点的坐标是（）A. （1，﹣5，6）B. （1，5，﹣6）C. （﹣1，﹣5，6）D. （﹣1，5，﹣6）【答案】B【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于平面xOy对称点Q的坐标是（a，b，﹣c）．【详解】在空间直角坐标系中，点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（1，5，﹣6）．故选：B．【点睛】题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果.【详解】已知充分性：若因为，所以,所以,所以；必要性：若，则当时，，所以必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.4.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.故选A.5.若满足约束条件，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式组作出平面区域，将求的范围即转化为直线在轴截距的取值范围问题，结合图像即可求解.【详解】根据不等式组，作出平面区域如图：化目标函数为,则的范围即转化为直线在轴截距的取值范围问题，由图像可得当直线过点时，截距最小为1，当直线过点，截距最大为6，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题型.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若,则| ( )A. ,z=1B. ,z=1C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的运算法则，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中。
福建省福州市八县(市)协作校2018-2019学年高二上学期期末联考数学(文)试题及解析
福州市八县(市)协作校2018-2019学年第一学期期末联考高二文科数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．）1.下列命题中的假命题是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】A，由指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），可判定A；B，当x＝1，＝0，可判定B；C，当x=2时，, 可判定C；D，当x=时，, 可判定D.【详解】对于A，由指数函数y＝3x的值域为（0，+∞），可判定A正确；对于B，当x＝1，＝0，不满足大于0，故B不正确；对于C，当x=2时，故C正确，对于D，当x=时，，故D正确．故选：B．【点睛】本题考查了命题真假的判定，对于存在性命题，只需要找到符合条件的即可说明，属于基础题．2.双曲线的实轴长为( )A. 3B. 4C.D. 2【答案】B【解析】【分析】利用双曲线方程求解实轴长即可．【详解】双曲线，焦点在y轴上，可得a＝2，b，双曲线的实轴长为：2a＝4；故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程及简单性质的应用，属于基础题．3.设函数,则( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】由导数的定义可知f′（1），求导，即可求得答案．【详解】根据导数的定义：则f′（1），由f′（x）＝2x+1，∴f′（1）＝3，∴，故选：C．【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题．4.双曲线与椭圆共焦点,且一条渐近线方程是,则此双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线中满足c2＝a2+b2，结合题中双曲线的渐近线方程列出方程组，求出a，b；写出双曲线方程．【详解】椭圆方程为：，其焦点坐标为（±2，0）设双曲线的方程为∵椭圆与双曲线共同的焦点∴a2+b2＝4①∵一条渐近线方程是，∴②解①②组成的方程组得a＝1，b所以双曲线方程为．故选：C．【点睛】本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程，其中椭圆中三系数的关系是：a2＝b2+c2；双曲线中系数的关系是：c2＝a2+b2，做题时需要细心.5.函数则的大小关系为( )A. B. C. D. 无法确定【答案】C【解析】试题分析：由f（x）＝x2＋2x f ′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=-2，∴，∴f（-1）=5，f（1）=-3，则f（-1）＞f（1）．考点：导数的运算6.对于实数则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】举例说明不满足充分性和必要性.【详解】当时，不一定有．比如a=-1，b=2.故不是充分条件；反之，若，不一定有，比如a=2，b=-1.故不是必要条件；故选D.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，一般采用举反例说明不成立. 7.若函数在[0,1]上单调递减，则实数的取值范围是 （ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解． 【详解】∵在[0,1]上单调递减，∴f ′（x ）＝e x﹣a≤0，在[0,1]上恒成立， ∴a ≥e x在[0,1]上恒成立， ∵y ＝e x 在[0,1]上为增函数， ∴y 的最大值为e ， ∴a ≥e ， 故选：A ．【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零． 8.已知定义在上的函数的图象如图所示,则的解集为( ).A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：不等式等价为当时,,即时,函数递增,此时,或者当时,,即时,函数递减,此时,综上或,即不等式的解集为,所以A 选项是正确的.考点：单调性和导数之间的关系.9.设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程，由条件结合条件得到点的坐标，代入椭圆的方程，求解，进而求得的值，得到答案.【详解】设椭圆的方程为，由题意可知，得，即椭圆的方程为，因为，如图所示，可得点，代入椭圆的方程，即，解得，所以，即，所以椭圆的焦距为，故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据三角形的性质，得到点的坐标，代入椭圆的方程求解得值，再借助求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出双曲线双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【详解】∵双曲线（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y＝±x又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又由双曲线的离心率为2，所以2，则，A，B两点的纵坐标分别是y＝±，即=,又△AOB的面积为，且轴，∴，得p＝2．抛物线的焦点坐标为：（1，0）故选：B．【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨．11.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数g（x），由g′（x），可得函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x）为偶函数，即可判断．【详解】构造函数g（x），∴g′（x），∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，∴g（x）是偶函数，∴c g（﹣3）＝g（3），∵a g（e），b g（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故选：D．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）12.命题的否定是____________。
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福建省八县（市）一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“存在，0”的否定是（）A. 不存在,＞0B. 存在,≥0C. 对任意的,≤0D. 对任意的,＞0【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，可知命题“存在，”的否定是“对任意的，”，故选C.考点：全称命题与存在性命题的关系.2.在空间直角坐标系中点关于平面对称点的坐标是（）A. （1，﹣5，6）B. （1，5，﹣6）C. （﹣1，﹣5，6）D. （﹣1，5，﹣6）【答案】B【解析】【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于平面xOy对称点Q的坐标是（a，b，﹣c）．【详解】在空间直角坐标系中，点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（1，5，﹣6）．故选：B．【点睛】题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由判断是否能推出，再由判断是否能推出，即可得出结果. 【详解】已知充分性：若因为，所以,所以,所以；必要性：若，则当时，，所以必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型.4.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.故选A.5.若满足约束条件，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式组作出平面区域，将求的范围即转化为直线在轴截距的取值范围问题，结合图像即可求解.【详解】根据不等式组，作出平面区域如图：化目标函数为,则的范围即转化为直线在轴截距的取值范围问题，由图像可得当直线过点时，截距最小为1，当直线过点，截距最大为6，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题型.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若,则| ( )A. ,z=1B. ,z=1C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的运算法则，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中。
用，，，表示出，即可求出结果.【详解】因为在在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，,所以,因此.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，属于基础题型.7.过的直线与抛物线相交于C,D两点，若A为CD中点，则直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先设C,D两点坐标，由抛物线方程可表示出直线斜率，再由A点坐标可求出直线斜率，进而可求出直线方程.【详解】设，由题意可得，作差得，整理得：；因为为CD中点，所以直线的斜率，所以直线的方程是，整理得.【点睛】本题主要考查曲线中点弦的问题，属于基础题型.8.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】以D点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意可得，，,，所以,,设异面直线与所成的角为，则与向量和的夹角相等或互补，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的方法求异面直线所成的角，属于基础题型.9.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可求解.【详解】设椭圆方程为,由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐标分别为,将A点坐标代入椭圆方程得：,所以故离心率为.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于常考题型.10.设为平面，为直线，则下面一定能得到的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理即可得出结论.【详解】A.因为,所以,而，并不垂直内所有直线，所以和可能不垂直，故A错；B.只垂直内一条直线，所以不能推出，故B错；C.因为，所以，又所以，故C正确；D. 由，不能推出，所以由不能推出，故D错.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，属于基础题型.11.若点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由椭圆的参数方程先设点P坐标，再由向量数量积的坐标运算表示出，即可求出结果.【详解】因为点P为椭圆上的任意一点，所以设点P坐标为，又点F为椭圆的焦点，不妨令,所以，，所以，当且仅当时，取最小值.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于常考题型.12.用［x］表示不超过x的最大整数，如,，数列满足, (),若，则的所有可能取值构成的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由裂项相消法求出，根据题意判断的范围，再根据前几项的值，即可求出结果. 【详解】对两边取到数，整理得；所以由得，即数列为增函数，因为，所以；因此，其整数部分为0；，其整数部分为1；故的所有可能取值构成的集合为.【点睛】本题主要考查数列的应用，难度较大.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知,,则=_________ 。
【答案】-2【解析】【分析】由空间向量的数量积运算公式即可求出结果.【详解】因为,，所以.【点睛】本题主要考查向量的数量积，属于基础题型.14.命题，若p是真命题，则实数的取值范围为____【答案】【解析】【分析】用分类讨论的思想，讨论和两种情况，结合对应方程的根即可求出结果.【详解】当时，原不等式可化为，显然恒成立，故满足题意；当时，由恒成立可得：，解得;综上，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，属于常考题型.15.已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物线C的焦点．若，则k＝____________________【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，再由根与系数关系结合抛物线定义和，列出方程组，即可求出结果.【详解】由题意，设，由抛物线定义可得,，因为,所以，即①；联立,整理得,所以,故,又,由①②③解得满足题意.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的应用，属于中档题型.16.已知，是双曲线C的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为k的直线上，为等腰三角形，，若C的离心率则k的取值范围是__________________。
【答案】【解析】【分析】先由推出点P坐标，再由点P在过A且斜率为k的直线上，根据斜率公式可表示出k,结合离心率即可求出k的范围.【详解】由题意可得，, ;因为为等腰三角形，，可得或，所以，又，所以，故所以，因此.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于中档试题.三、解答题17.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围。
【答案】（1）或；（2）或或.【解析】【分析】(1)由方程表示焦点在轴上的椭圆，结合椭圆的标准方程即可求出结果;(2)先设命题为真命题，求出对应m的范围，再由若为真命题且为假命题推出p 真q假或p假q真，结合(1)中结果，即可求解.【详解】（I）方程可改写为若命题为真命题，则，所以或.（II）若命题q为真命题，则，所以命题q为真命题时,为真命题且为假命题p真q假或p假q真或,或或。
【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围，属于基础题型. 18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．【答案】（1）或；（2） .【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.【详解】（I）由正弦定理得，，即又，或。
（II），由余弦定理得，即，而的面积为。
的周长为5+。
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.19.已知数列是首项为b1=1，公差d=3的等差数列，（n∈N*）．(1)求证是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前n项和S n。
【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1)直接根据等比数列的定义证明即可；(2)先由(1)得到，再由错位相减法即可求出数列的前n项和. 【详解】(1)(常数)，是等比数列。
(2)8分（1）-（2）得。
【点睛】本题主要考查等比数列的定义和数列的求和，属于基础题型.20.已知顶点为原点，焦点F在轴上的抛物线过点A（m,2），且.（1）求抛物线的标准方程及点A的坐标；（2）过点F的直线交抛物线于M、N两点，试求的最小值。
【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题意先设抛物线方程为，再由即可得到关于p的方程，解之即可得到p,从而可得所求结果;(2)由题意先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由根与系数关系以及基本不等式即可求出结果.【详解】（1）设抛物线的方程为抛物线的方程为（2）由于直线的斜率存在，所以可设直线的方程为联立消去y得，，设，那么，=，，当且仅当时取得最小值。
【点睛】本题主要考查抛物线的方程和抛物线的简单几何性质，属于中档试题.21.如图，三棱柱中，底面与三角形均为等边三角形，，．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1)根据面面垂直的判定定理结合题中条件即可得出结论;(2)由(1)可得两两垂直，然后以O为原点，方向作为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量的方法求线面角的正弦值即可.【详解】（Ⅰ）取中点O，由于底面与三角形均为等边三角形，∴，，在三角形中,∴，∴∴又∴,而∴平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，取O为原点，方向作为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则，∴．设平面的法向量，由得令，得．∴平面的一个法向量为．∵，∴，∴与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于常考题型.22.设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与x轴不重合，设P为圆A上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA于E（1）证明为定值，并写出E的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，问：在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补，若存在求出D点的坐标，否则说明理由。