【赢在课堂】高考数学一轮复习 11.3直接证明与间接证明配套课件 理 新人教A版

1 .设 a=lg2+lg5,b=ex (x<0),则 a 与 b 大小关系为( A.a>b B.a<b C.a=b D.a ≤b 【答案】A 【解析】∵ a=lg2+lg5=lg10=1, 而 b=ex<e0=1,∴ a>b.
)Байду номын сангаас
2 .用反证法证明命题“ 2 + 3是无理数”时,假设正确的是( A.假设 2是有理数 B.假设 3是有理数 C.假设 2或 3是有理数 D.假设 2 + 3是有理数 【答案】D
������
2
������
+ ≥a+b+c.
������
������ 2
【证明】∵ a ,b ,c>0,∴ 根据基本不等式, 可得 +b ≥2a , +c≥2b , +a ≥2c.
������ ������ ������ ������ 2 ������
2
������ 2
上述三式相加得 +
������
5 .在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将 结论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的正确性. 例如:在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB>∠APC,求证:∠ BAP<∠CAP,用反证法证明时应分:假设 和 两类. 【答案】∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
������ + ������.
由待证结论出发,步步寻求使该结论成立的充分条件,直至 一显然成立的结论 .
【证明】要证 +
������
������
������ ������
≥ ������ + ������,
只要证 a ������+b ������ ≥ ������������( ������ + ������)=a ������+b ������, 即证 a ( ������ − ������)≥b ( ������ − ������), 也就是( ������ − ������)(a-b )≥0. 整理得( ������ − ������)2( ������ + ������)≥0, ∵ a ,b 为正实数,∴ ������ + ������>0, 即证 ( ������ − ������)2≥0,该式显然成立. 故原不等式 +
也即证(x1-x2)2>0.此式显然成立.故原不等式得证.
4 .用反证法证明命题“如果 a>b ,那么3 ������ > 【答案】3 ������ ≤
3
3
������”时,假设的内容是
������ +������ ������+ ������
> .
������
������
>
������ ,由于 a ,b ,m 都是正数 , ������
只需证 a (b+m)<b (a+m), 只需证 am<bm, 因为 m>0,所以只需证 a<b. 又已知 a<b ,所以原不等式成立. (说明 :本题还可用作差比较法、综合法、反证法)
) B.y= ������ D.y=x3
【答案】C 【解析】可以根据图象直观观察 .对于 C 项证明如下 : 欲证 f 需证
������1 +������2 2
< <
������ (������1 )+f(������2 ) 2
,
������1 +������2 2 2
2 ������2 1 +������2 2 2 ,即证 (x1+x2)2<2������1 +2������2 , 2
T 题型一综 合法
例 1 已知 a ,b ,c>0,求证:a 3+b 3+c3≥ (a 2+b 2+c2)(a+b+c).
3 1
因为不等式中的 a,b ,c 为对称的 ,所以从基本的不等式定理 入手 ,先考虑两个正数的基本不等式,再根据不等式性质推导出证明的结论.
【证明】∵ a 2+b 2≥2ab ,a ,b ,c>0, ∴ (a 2+b 2)(a+b )≥2ab (a+b ), 即 a 3+b 3+a 2b+ab 2≥2ab (a+b )=2a 2b+2ab 2. 于是 a 3+b 3≥a 2b+ab 2. 同理 ,b 3+c3≥b 2c+bc2,a 3+c3≥a 2c+ac2. ∵ 将上述三式相加可得 2(a 3+b 3+c3)≥a 2b+ab 2+b 2c+bc2+a 2c+ac2, ∴ 3(a 3+b 3+c3)≥(a 3+a 2b+a 2c)+(b 3+b 2a+b 2c)+(c3+c2a+c2b )=(a+b+c)(a 2+b 2+ c2). 故 a 3+b 3+c3≥ (a 2+b 2+c2)(a+b+c).
1 .证明命题:“函数 f(x)=ex + ������在(0,+∞)上是增函数”,某同学给出的证明如下:
e
1
∵ f(x)=ex+ ������,∴ f'(x)=ex - ������.
e e
1
1
又 x>0,∴ ex >1,0< ������<1.因此 ex - ������>0,也就是 f'(x)>0.
4 .分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证 ������ 2-ac < 3a”索的因应是( A .a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b )(a-c)>0 D.(a-b )(a-c)<0 )
【答案】C 【解析】 ������2 -ac < 3a ⇔b 2-ac<3a 2 ⇔(a+c)2-ac<3a 2 ⇔a 2+2ac+c2-ac-3a 2<0 ⇔-2a 2+ac+c2<0⇔2a 2-ac-c2>0 ⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b )>0.
e e
1
1
故函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,这位同学所使用的证明方法是( A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 【答案】A
)
2 .用反证法证明“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根,那 么 a ,b ,c 中至少有一个是偶数”的过程中,下列假设正确的是( ) A .假设 a ,b ,c 都是偶数 B.假设 a ,b ,c 都不是偶数 C.假设 a ,b ,c 至多有一个偶数 D.假设 a ,b ,c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】 “至少有一个”的否定为“都不是”.
第 3 讲 直接证明与间接证明
考纲展示
1. 了解直 接证明的 两种 基本方法 : 综合法和分析 法 ;了解综合法和分析法 的思考过程和特点. 2. 了解间 接证明的 一种 基本方法: 反证法; 了解反 证法的思考过程和特点.
考纲解读
1. 从近几年的高考试题来看, 综合法、反证法证明问 题是高考的热点,题型大多为解答题,难度为中高档. 2.证明问题主要是在知识交汇点处命题,如数列 ,立体 几何中的平行、垂直 ,不等式 ,解析几何等都有可能考 查,在考查数学基本概念的同时,注重考查等价转化、 分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力.
)
3 .要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只要证明( A .2ab-1-a 2b 2≤0 B.a +b -1(������ +������) C. 2
2 2 2
)
������ 4+������4 2
≤0
-1-a 2b 2≤0
D.(a 2-1)(b 2-1)≥0 【答案】D 【解析】因为 a 2+b 2-1-a 2b 2≤0⇔(a 2-1)(b 2-1)≥0,所以应选 D.
������ ������ ������ ������
≥ ������ + ������成立
逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成 立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
2 .已知 a ,b ,m 都是正数,且 a<b ,求证:
������ +������ 【证明】要证明 ������+ ������
T 题型三反 证法
例 3 若 a ,b ,c 均为实数,且 a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求 证:a ,b ,c 中至少有一个大于 0. 如果直接从条件推证,方向不明,过程不可推测,较难 ,可以使 用反证法.
π 2 π 3 π 6
【证明】假设 a ,b ,c 都不大于 0,即 a ≤0,b ≤0,c≤0, 则 a+b+c≤0. ∵ a+b+c= ������ -2y +
1 .直接证明
内容 综合法 利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论 成立的一种证明方法. 由因导果 P⇒ Q1 → Q1⇒ Q2 →…→ Qn⇒ Q 因为…… 所以…… 或由…… 得…… 分析法 从要证明的结论出发,逐步寻求使 它成立的充分条件 ,直至最后, 把 要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止的一种证明方 法 实质 框图 表示 文字 语言 执果索因 Q⇐ P1 → P1⇐ P2 →…→ 得 到 一个 明显 成立的条件 要证……只需证…… 即证……