《弹性力学》试题参考答案

x
x
yx
x
xy
y
y
y
X Y
0 0
(2) (3)
其中： X 0,Y 0 将式（1）代入式（2），有
x
x
xy
y
X
0
(2)
yx
x
y
y
Y
0
(3)
将（1）代入（2），有
xy
y
6q0 lh 3
x2 y
积分上式，得
xy
3q0 lh 3
x2 y2
f1 ( x)
利用边界条件： xy y h 0 2
3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，
材料的弹性模量E、泊松比 已知。试求薄板面积的改变量。
解：设当各边界受均布压力 q 时，两力作用点的
相对位移为 S ，由
1 (1 )q
E l l a2 b2 q a2 b2 (1 )
E
设板在力P作用下的面积改变为 S ，由功的互等定理有：
q S P l
将 l代入得： S 1 P a 2 b2
E
显然， S 与板的形状无关，仅与E、 、l 有关。
4．图示曲杆，在 r b 边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水
平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。
r rb q, r rb 0
r ra 0, r ra 0
ab dr P cos ab r dr P sin
b
a rdr
P cos
a
2
b
5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空 间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性 .
Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：
（1）变求多个位移函数 u(x, y),v(x, y), w(x, y) 或 ur (r, ),u (r, )
（提示：取应力函数为 Asin 2 B ）
解： d 很小，M Pd
可近似视为半平面体边界受一集中力偶 M 的情形。
将应力函数 (r, )代入，可求得应力分量：
r
1 r
r
1 r2
2 2
4 r2
Asin
2
2
r 2
0
r
r
1 r
பைடு நூலகம்
1 r2
(2Acos 2
B)
边界条件： （1）
0 0, r 0 0
为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。 （2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。
适用性： Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。
三、计算题 1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作 用，单位宽度上集中力的值为 P，设间距 d 很小。试求其应力分量， 并讨论所求解的适用范围。
r0
r0
0, r 0
r0
r0
代入应力分量式，有
1 (2A B) 0 r2
2A B 0 （1）
（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有： r , r ，和 M = Pd
由该脱离体的平衡，得
2
r
r
2
d
M
0
将代入 r 并积分，有
2 2
1 r2
2
(2Acos 2
B)r 2d
x( y3 3
1 h2 y) 4
f2 (x)
利用边界条件：
y yh 0 2
y
y h 2
q0 l
x
得：
6q0
lh 3 6q0
lh 3
x( h3 1 h3 ) 24 8
x( h3 1 h3 ) 24 8
f2 (x) f2 (x) 0
q0 l
x
由第二式，得
f2 (x)
q0 2l
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ，应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足：
平衡微分方程 ， 相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， 2 dxdy M 的物理意义是 : D 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值 的物理意义为
公式给出，试由平衡微分方程求出 xy , y，并检验该应力分量能否
满足应力表示的相容方程。
解：（1）求横截面上正应力 x
任意截面的弯矩为 M q0 x3 6l
截面惯性矩为 I h3
12
由材料力学计算公式有： x
My I
2q0 lh 3
x3 y
（2）由平衡微分方程求 y 、 xy
（1）
平衡微分方程：
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分 布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数 的分离
变量形式。
（a）
(x, y) ax2 bxy cy 2 (r, ) r 2 f ( )
(x, y) ax3 bx2 y cxy2 dy3 （b） (r, ) r 3 f ( )
边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
ij, j X i 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但 静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著 的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
有：
3q0 4lh 3
x2h2
f1 ( x)
0
f1 ( x)
3q0 4lh 3
x2h2
xy
3q0 lh 3
x2(y2
1 h2) 4
（4）
将式（4）代入式（3），有
6q0 x( y 2 1 h2 ) y 0
lh 3
4
y
y 6q0 x( y 2 1 h2 )
y
lh 3
4
积分得 ：
y
6q0 lh 3
M
0
Asin 2
B
2
M
0
得
B M 0
2
联立式（1）、（2）求得：
B
M
Pd
A
Pd
2
（2）
代入应力分量式，得
r
2Pd
sin 2
r2
0
r
2Pd
sin 2
r2
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附 近误差较大，离原点较远处可适用。
2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力 x由材料力学
x
将其代入第一式，得
q0 x q0 x q0 x
2l 2l
l
自然成立。
将 y、f2 (x) 代入的表达式，有
所求应力分量：
x
My I
2q0 lh 3
x3 y
xy
3q0 lh 3
x2(y2
1 h2) 4