一元二次方程根的分布与根的个数
必修一第三章根的分布
一元二次方程根的分布结论：设二次函数()f x 在区间(,)()m n m n <上递增（或递减），且()()f m f n 与异号，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。
（如图1）例1：设20x x m -+=在区间(1,3)-有两个不等实数根，求m的范围？解：令2()f x x x m =-+因为()f x 在1(1,)2-递减，在1(,3)2递增。
则(1)011()0224(3)0f f m f ->⎧⎪⎪<⇒-<<⎨⎪>⎪⎩ 点评：设2()(0)f x ax bx c a =++>，两个不等2均在区间(,)m n 内，由例1知：①()0,()0f m f n >> ②对称轴2b x a=-在区间(,)m n 内 ③224()040024b ac b f b ac a a--=<⇒->⇒∆> 对0a <情形，类似解决。
练习：若关于x 的方程210x ax -+=两个不等根均在(0,4)内，则a 的范围： 1724a << 推论：：设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠中()()f m f n 与异号()m n <，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。
（如图2）例2：若关于x 的方程20x x a -+=两实根分别在在(2,0),(0,3)-内，则a 的范围？解：(2)0(0)060(3)0f f m f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩练习：若关于x 的方程20x x a -+=两实根满足：122x x <<则a 的范围： 2a <-例3：设关于x 的方程2430ax ax -+=的两个不等实数根都在区间(1,)-+∞，求a 范围？ 解：当0a >时，由草图知03(1)0421f a x ∆>⎧⎪->⇒>⎨⎪=>-⎩当0a <时，由草图知03(1)0521f a x ∆>⎧⎪-<⇒<-⎨⎪=>-⎩综上所述：3354a a <->或 例4：设关于x 的方程2230x ax a --=在(0,3)有唯一实数根，求a 范围？解：设2()23f x x ax a =--（1）若0∆=，即03a a ==-或当0a =时，两根120(0,3)x x ==∉当3a =-时，两根123(0,3)x x ==∉（2）若0∆>，即03a a ><-或①001(0)(3)0a f f ∆>⎧⇒<<⎨<⎩ ②0(0)0(3)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解 ③0(3)0(0)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解综上所述：01a <<二：综合运用1、若方程20x x m -+=在实数R 上有解，则m 的范围14m < 2、若方程20x x m -+=在区间(1,3)-上有两个不等解，则m 的范围1(2,)4- 3、关于x 的方程220x x m -+=在(0,)+∞有两个不等的实根，求m 的范围？4、关于x 的方程20x x a -+=的两实根满足120,14x x <<<，则a 的范围：5、关于x 的方程222320kx x k ---=的两个根12,x x 满足121x x <<,求实数k 的范围? 04k k ><-或6、 求实数k 的范围, 关于x 的二次方程227(3)20x k x k k -++--=有两个实根,他们分别在区间(0,1)和(1,2)内.21k k ><-或7、 若关于x 的一元二次方程2210(0)ax x a -+=≠有一正根和一负根，则a 的范围 0a <8、已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围? 1m ≤9．已知{}2(/(2)10,A x x p x p R =+++=∈若A R -⋂=∅，则p 的范围0p < 10、关于x 的一元二次方程20x x a -+=在(2,2)-内至少有一个实根，则a 的范围？164a -<≤三：函数与方程1．已知函数2()2(2)f x x p x p =+-+，若在]0,1⎡⎣内至少存在一个实数c ，使得()0f c >，则p 的范围是CA (1,4)B (1,)+∞C (0,)+∞D (0,1)法一，若1p =检验法二，反面使得]0,1c ⎡∈⎣，有()0f c ≤即(0)0(1)0f f ≤⎧⎨≤⎩2．若方程2(5)80x a x a -+++=在(1,)x ∈+∞上有解，求a 的范围 解：法1 由2(5)80x a x a -+++=得2581x x a x -+=- 设2584()1311x x f x x x x -+==-+---因为1,10x x >-> 故413311x x -+-≥=- 即()1f x ≥ 故1a ≥法2 设2()(5)8f x x a x a =-+++则51(1)020a f +⎧>⎪<⎨⎪∆≥⎩或 则1a ≥ 点评：()a f x =在A 内有解，a 的范围为()f x 在A 上的值域。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f 同时检验00)(0)(=∆==或或n f m f 的情况()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f 同时检验00)(0)(=∆==或或n f m f 的情况()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f 同时检验00)(0)(=∆==或或n f m f 的情况()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布2
二面角主讲：张传风齐铁一中高一数学组例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（1）两个正根⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=∆00304)3(2m m m m {}1≤0m m <例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（2）有两个负根⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-≥--=∆00304)3(2m m m m {}9≥m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（3）两个根都小于1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-=-≥--=∆022)1(123204)3(2m f m a b m m {}9≥m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（4）两个根都大于21⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-=-≥--=∆0456)21(2123204)3(2m f m a b m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<165m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（5）一个根大于1，一个根小于1一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根的分布f(1)=2m-2<0⇒{}1<m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（6）两个根都在（0 . 2）内⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>=<-<≥--=∆023)2(0)0(2230 04)3(2m f m f m m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<1 32m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（7）两个根有且仅有一个在（0 . 2）内f(0)f(2)=m(3m-2)<0⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<1 32m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（8）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=<=>+-=-04)3(0 22)1(0 )0(010)2(m f m f m f m f Ø例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=-<=02320)0(m a b m f {}0<m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（10）一个根小于2，一个根大于4⇒⎩⎨⎧<+=<-=045)4(023)2(m f m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<54m m例：x 2+（m-3)x+m=0 求m 的范围（11）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（0 . 4）内⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=>+-=-045)4(0)0(010)2(m f m f m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-054m m小结两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kyxk kk⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆)(2kfkab⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆)(2kfkab一个根正，一个根负f(k)<0f(0)<0,正根大f(0)<0且02>-ab小结两个根有且仅有一个在（k.k)内12x1∈(m,n)x2∈(p,q)两个根都在（k.k)内21yxkk12k k12m n p q⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆)()(22121kfkfkabk f(k )f(k )<012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>)()()()(qfpfnfmf谢谢大家！。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
专题一元二次方程根的分布(解析版)
专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。
二次函数图像解题——根的分布
其交点横坐标便是方程的解，由图知： k 4时， 无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
3
4
y
x
结论： 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在区间上的
实根分布问题.
（） 1 一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0. b 2 4ac 0 a f ( m) 0 a f ( n) 0 m b n 2a
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
a f ( m) 0 充要条件是： a f ( n) 0 （4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的 充要条件是： 分两类： b 2 4ac 0 （） 在（m, n）右侧 a f (n) 0 b n 注：前提 m,n 2a 不是方程（1） b 2 4ac 0 （） 在（m, n）左侧 a f (m) 0 b m 2a
不等式组
2 x 变式题：m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
一元二次方程的根的分布
情形1 方程根的零分布 ：
结论1 一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0)有两个正根.
b2 x1 0 x 2 0 x1 x 2 y x1 x 2
c0 O x1
4ac 0 b 0 a c 0 a
2
k的根.
y
a0 0 x2 b k 2a
a0 0 x2 O b 0 k 2a
k x1 O
x
k x1
x
情形2： 方程根的k分布
结论2 一元二次方程ax 2 bx c 0(a〉 有两个小于 0) k的根. b 2 4ac 0 b 2 4ac 0 x1 k ( x1 k ) ( x 2 k ) 0 b k x2 k ( x k )( x k ) 0 2a 1 2
x x
一个正根和一个负根， 求k的范围。
x
结论4 一元二次方程ax bx c 0(a 0)在区间
2
(k1 , k2 )内有且只有一根x1.即k1 x1 k2
f (k1 ) f (k 2 ) 0
y
f (k1 ) 0
a0
x1 O k1
k2
x2
x
f (k 2 ) 0
结论4 一元二次方程ax bx c 0(a〉 的根满足 0)
求函数的零点有两种方法： ①代数法:求方程f(x)=0的实数根； ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联 系起来,并利用函数的性质找出零点。
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)· f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得 f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布1.一元二次方程的跟的基本分布—零分布所为一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系，比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说两个根分布在零的两侧设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x 且12x x ≤定理12121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩定理2：2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<⇔+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩定理3：121200c x x x x a<<⇔=< 2.一元二次方程的根的非零分布----k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x 且12x x ≤，k 为常数，则一元二次方程的k 分布（即12,x x 相对于k 的位置）有以下若干定理（请画出图形分析） 定理1：21240()02b ac k x x af k b k a⎧⎪∆=-≥⎪<≤⇔>⎨⎪⎪->⎩定理2：21240()02b ac x x k af k b k a⎧⎪∆=-≥⎪≤<⇔>⎨⎪⎪-<⎩定理3：12()0x k x af k <<⇔<推论1：1200x x ac <<⇔<推论2：121()0x x a a b c <<⇔++<定理4：有且仅有11k x <（或2x ）2k <12()()0f k f k ⇔<定理5：11121222120()0()0()0()0a f k k x k p x p f k f p f p >⎧⎪>⎪⎪<<≤<<⇔<⎨⎪<⎪⎪>⎩或12120()0()0()0()0a f k f k f p f p <⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎪<⎩定理6：211221212400()0()02b ac a k x x k f k f k b k k a ⎧⎪∆=-≥⎪>⎪⎪<≤<⇔>⎨⎪>⎪⎪<-<⎪⎩或21212400()0()02b ac a f k f k b k k a ⎧⎪∆=-≥⎪<⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪<-<⎪⎩训练一（1） 若一元二次方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=有两个正根，求m 的取值范围。
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f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
(m 3) 4m 0 b 3 m 1 2 2a f ( 1 ) 2 m 2 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（7） 两个根有且仅有一个在（0 ,2）内
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
m 0 m
2 3
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
2
m m 9
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
1 （4） 两个根都大于 2 ( m 3) 2 4m 0 b 3 m 1 m 2 2 2a 1 6m 5 f( ) 0 2 4
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
一个根正，一个根负
f(0)<0 ,
正根
大
b f(0)<0且 0 2a
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x∈ (p,q) 2
k1
k2
x
k1
k2
m
n p
q
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)
在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,
这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判 断函数在指定区间内存在零点。
y
a
b
b
b
x
根的个数问题： 1、方程3x+4x=8的根的个数 2、方程lnx+3x-8=0的根的个数
作业:
1.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的一根小于1, 另一根大于1,则实数k的取值范围.
2.若方程x2-2ax+2=a的一根为负数,另一 根在区间(1,2)内,则实数a的取值范围.
二面角
课堂练习：
2 1．函数 f ( x) Inx 的零点所在的大致区间是（ B ） x 1 A． 1, 2 B． 2,3 C． 1, 和 3,4 D． e, e
B） 2．若方程 2ax2 x 1 0 在 0,1 内恰有一解，则 a 的取值范围（
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
一个根小于 K ，一个 根大于K
k
x
k k
0 0 b b k k 2a 2a f (k ) 0 f (k ) 0
f(k)<0 ,
与根有关的问题利用图象法求解
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（1） 两个正根
(m 3) 4m 0 {m | 0 m 1} 3 m 0 m 0
2
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>01 a 1
D． 0 a 1
分析：令 f ( x) 2ax2 x 1在 0,1 内恰有一解，则 f (0) f (1) 0 。
即 1 2a 2 0
a 1
忆一忆
零点存在判定依据:勘根定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不
f (0) m 0 b 3 m 0 2 2a
m m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（10）一个根小于2，一个根大于4
f (2) 3m 2 0 m m 4 5 f ( 4 ) 5 m 4 0
5 m 1 6
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（5） 一个根大于1，一个根小于1
f(1)=2m-2 <0
m m 1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（11）一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（0 ,4）内
f (2) m 10 0 4 m m 0 f ( 0) m 0 5 f ( 4) 5 m 4 0
f(k )f(k )<0
1 2
f f f f
( m) 0 ( n) 0 ( p) 0 (q) 0
练习
1.已知方程2x2 －(m +1)x + m = 0有且仅有一个 实根属于(0,1),求实数m的取值范围。
2.已知二次方程mx2 + (3m－2)x +2m－2 = 0有 一个大于－2的负根,一个小于3的正根,求实数m 的取值范围。