【恒心】天津市五区县2014届高三第一次模拟考试数学(文科)试题及参考答案
2014年天津市高考数学试卷(文科)(含解析版)
2014 年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．+ i D．﹣+ i 2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）A．2B．3C．4D．53．（5 分）已知命题 p：? x＞0，总有（ x+1）e x＞ 1，则￢ p 为（）A．? x0≤ 0，使得（ x0+1）e≤1B．? x0＞0，使得（ x0+1）e≤ 1C．? x＞0，总有（ x+1）e x≤ 1D．? x≤ 0，总有（ x+1） e x≤1﹣ 24．（5 分）设 a=log2π， b=log π，c=π，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 5．（ 5 分）设 { a n} 的首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（）A．2B．﹣ 2C．D．﹣6．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．（5 分）如图，△ ABC是圆的内接三角形，∠ BAC的平分线交圆于点D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠ CBF；② FB2=FD?FA；③ AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．（5 分）已知函数 f（x）=sin ωx+cos ωx（ω＞ 0），x∈R，在曲线 y=f（x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（ 5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为m3．11．（ 5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为．12．（ 5 分）函数 f （x） =lgx2的单调递减区间是．13．（ 5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上， BC=3BE，DC=λDF，若 ? =1，则λ的值为．14．（ 5 分）已知函数 f（x）=，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）某校夏令营有3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．16．（13 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a﹣c= b，sinB= sinC，（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 cos（2A﹣）的值．417．（ 13 分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明 EF∥平面 PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣ AD﹣ B 为 60°，（i）证明平面 PBC⊥平面 ABCD；（ii）求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值．18．（ 13 分）设椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | AB| =| F1 F2| ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M ， | MF2| =2，求椭圆的方程．19．（ 14 分）已知函数 f （x）=x2﹣ax3（a＞0）， x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，求 a 的取值范围．20．（ 14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M={ 0，1，2，，n﹣1q﹣1} ，集合 A={ x| x=x1+x2q+ +x n q，x i∈M，i=1，2， n}．（Ⅱ）设 s，t ∈A，s=a1+a2q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i∈M，i=1，2，，n．证明：若 a n＜b n，则 s＜t ．2014 年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．+ i D．﹣+ i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 5N：数系的扩充和复数．【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选： A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】 7C：简单线性规划．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y=﹣，平移直线 y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣ 的截距最小，此时 z 最小．此时 z 的最小值为 z=1+2×1=3，故选： B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用， 利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．．（ 分）已知命题p ：? x ＞0，总有（ x+1）e x＞ 1，则￢ p 为（ ）3 5A ．? x 0≤ 0，使得（ x 0+1）e ≤1B ．? x 0＞0，使得（ x 0+1）e ≤ 1C ．? x ＞0，总有（ x+1）e x ≤ 1D ．? x ≤ 0，总有（ x+1） e x ≤1【考点】 2H ：全称量词和全称命题； 2J ：命题的否定．【专题】 5L ：简易逻辑．【分析】 据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为 ? x 0＞0，使得（ x 0+1）e ≤1，故选： B ．【点评】 本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．2﹣ 2）π， b=log π，c=π ，则（4．（5 分）设 a=logA ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a8【考点】 4M：对数值大小的比较．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c 的取值范围，即可得到结论．【解答】解： log2π＞，﹣ 2π＜，＜π＜ 1，1 log0 0即 a＞1，b＜0，0＜c＜ 1，∴ a＞ c＞b，故选： C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（ 5 分）设 { a n} 的首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（）A．2B．﹣ 2C．D．﹣【考点】 83：等差数列的性质； 87：等比数列的性质．【专题】 54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n 项和求出 S1，S2， S4，然后再由 S1，S2，S4成等比数列列式求解 a1．【解答】解：∵ { a n} 是首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，∴S1=a1， S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由 S1，S2， S4成等比数列，得：，即，解得：．故选： D．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．96．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】 KB：双曲线的标准方程．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，可得=2，结合 c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，令 y=0，可得 x=﹣ 5，即焦点坐标为（﹣ 5，0），∴ c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选： A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5 分）如图，△ ABC是圆的内接三角形，∠ BAC的平分线交圆于点D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠ CBF；② FB2=FD?FA；③ AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【考点】 2K：命题的真假判断与应用；NC：与圆有关的比例线段．【专题】 5B：直线与圆．【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠ DBC对应劣弧 CD，圆周角∠ DAC对应劣弧 CD，∴∠ DBC=∠DAC．∵弦切角∠ FBD对应劣弧 BD，圆周角∠ BAD对应劣弧 BD，∴∠ FBD=∠BAF．∵ AD 是∠ BAC的平分线，∴∠ BAF=∠DAC．∴∠ DBC=∠FBD．即 BD 平分∠ CBF．即结论①正确．又由∠ FBD=∠FAB，∠ BFD=∠AFB，得△ FBD～△ FAB．由，FB2=FD?FA．即结论②成立．由，得 AF?BD=AB?BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选： D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5 分）已知函数 f（x）=sin ωx+cos ωx（ω＞ 0），x∈R，在曲线 y=f（x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【考点】 H1：三角函数的周期性； H2：正弦函数的图象．【专题】 57：三角函数的图像与性质．【分析】根据 f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于 f（ x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期 T 的值．【解答】解：∵已知函数f（ x） = sin ωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线 y=f（ x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于 f（x）的周期的倍，设函数 f（x）的最小正周期为T，则=，∴ T=π，故选： C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【考点】 B3：分层抽样方法．【专题】 5I：概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300× =60，故答案为： 60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10（．5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【考点】 L!：由三视图求面积、体积．【专题】 5Q：立体几何．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为 2，底面直径为 4，∴几何体的体积V=π×12× 4+×π×22× 2=4π+π= π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（ 5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为﹣4．【考点】 EF：程序框图．【专题】 5K：算法和程序框图．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣ 8， n=2；第二次循环得到： S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣ 4．故答案为：﹣ 4．14能力．．（分）函数2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．12 5 f （x） =lgx【考点】 3G：复合函数的单调性．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】先将 f（x）化简，注意到x≠0，即 f（x） =2lg| x| ，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一： y=lgx2=2lg| x| ，∴当 x＞0 时， f（x）=2lgx 在（ 0，+∞）上是增函数；当 x＜0 时， f （x）=2lg（﹣ x）在（﹣∞， 0）上是减函数．∴函数 f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．故答案为：（﹣∞， 0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）为增函数；又 y=lgt 在其定义域上为增函数，∴ f（x）=lgx2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）为增函数，∴函数 f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．故答案为：（﹣∞， 0）．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg| x| 中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出 y=2lg| x| 的图象，得到函数的递减区间．13．（ 5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，点 E，F 分别在边 BC，DC上， BC=3BE，DC=λDF，若 ? =1，则λ的值为 2 ．【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵ BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，= + = += +，= + = += +，∵菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，∴ | | =| | =2，?=2× 2× cos120°=﹣2，∵? =1，∴（ +）?（ +） =++（1+） ?=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为： 2．【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（ 5 分）已知函数 f（x）=，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为（1，2）．【考点】 53：函数的零点与方程根的关系．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】由 y=f（x）﹣ a| x| =0 得 f （x） =a| x| ，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由 y=f（ x）﹣ a| x| =0 得 f（x）=a| x| ，16当 a≤0，不满足条件，∴ a＞ 0，当 a≥2 时，此时 y=a| x| 与 f（ x）有三个交点，当 a=1 时，当 x＜0 时， f （x）=﹣x2﹣5x﹣4，由 f（ x）=﹣x2﹣ 5x﹣4=﹣x得 x2+4x+4=0，则判别式△ =16﹣4×4=0，即此时直线 y=﹣ x 与 f（x）相切，此时 y=a|x| 与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣ a| x| 恰有 4 个零点，则 1＜a＜2，故答案为：（ 1， 2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）某校夏令营有3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15 个．（Ⅱ）用列举法求出事件M 包含的结果有 6 个，而所有的结果共15 个，由此求得事件 M 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X， Z ）、（Y，Z），共计 15 个结果．（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，则事件M 包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计 6 个结果，故事件 M 发生的概率为=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a﹣c= b，sinB= sinC，（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 cos（2A﹣）的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的 a，b 代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由 cosA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入 a﹣c=b，得： a﹣c=c，即 a=2c，∴ cosA=== ；（Ⅱ）∵ cosA=，A 为三角形内角，∴ sinA==，2﹣﹣，，∴ cos2A=2cosA1=sin2A=2sinAcosA=则 cos（2A﹣） =cos2Acos+sin2Asin =﹣× +× =．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（ 13 分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明 EF∥平面 PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣ AD﹣ B 为 60°，（ i）证明平面 PBC⊥平面 ABCD；（ ii）求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用； 5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面 PAB，可以先证明平面EFH∥平面 PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面 ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面 ABCD即可；（ii）由（ i）知， BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系 B﹣DAP，得到直线 EF的方向向量与平面 PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面 ABCD是平行四边形，∴ H 为 BD 中点，∵E 是棱 AD 的中点．∴在△ ABD中， EH∥ AB，又∵ AB? 平面 PAB，EH?平面 PAD，∴ EH∥平面 PAB．同理可证， FH∥平面 PAB．又∵ EH∩ FH=H，∴平面 EFH∥平面 PAB，∵EF? 平面 EFH，∴ EF∥平面 PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结 PE，BE．∵BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，∴ BE=1，PE=2．又∵ E 为 AD 的中点，∴ BE⊥ AD，PE⊥AD，∴∠ PEB即为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角，即∠ PEB=60°，∴ PB= ．∵△ PBD中， BD2+PB2 =PD2，∴ PB⊥BD，同理 PB⊥BA，∴ PB⊥平面 ABD，∵PB? 平面 PBC，∴平面 PAB⊥平面 ABCD；（ii）由（ i）知， PB⊥BD，PB⊥ BA，∵ BA=BD= ，AD=2，∴ BD⊥BA，∴ BD，BA，BP 两两垂直，以 B 为坐标原点，分别以 BD，BA，BP 为 X，Y，Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣DAP，则有 A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面 PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故 =（1，1，0），∵ E， F 分别是棱 AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴ sin θ====﹣，即直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（ 13 分）设椭圆1、F2，右顶点+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为 F为 A，上顶点为 B，已知 | AB| = | F1 2| ．F（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M ， | MF2| =2，求椭圆的方程．【考点】 K3：椭圆的标准方程； K4：椭圆的性质； KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）分别用a，b，c 表示出 | AB| 和 | F1F2| ，根据已知建立等式求得a 和 c 的关系，进而求得离心率e．（Ⅱ）根据（ 1）中 a 和 c 的关系，用 c 表示出椭圆的方程，设出P 点的坐标，根据 PB 为直径，推断出BF1⊥ PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sin θ和 cos θ，表示出 P 点坐标，利用 P，B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出 | OB| ，| OF2| ，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=?2c，∵b2=a2﹣ c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e= = ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣ c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣ c，0）设 P 点坐标（ csin θ，ccosθ），以线段 PB 为直径的圆的圆心为 O，∵ PB为直径，∴ BF1⊥ PF1，∴ k BF1?k PF1=?=﹣ 1，求得 sin θ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知， P 在 x 轴下方和上方结果相同，只看在x 轴上方时，cos θ== ，∴P 坐标为（﹣ c， c），∴圆心 O的坐标为（﹣ c， c），∴ r=| OB| == c， | OF2| ==c，∵r2+| MF2| 2=| OF2| 2，∴+8= c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得 a 和 c 的关系；第（ 2）问较难，利用参数法设出P 点坐标是关键．19．（ 14 分）已知函数 f （x）=x2﹣ax3（a＞0）， x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，求 a 的取值范围．【考点】 6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由 f（ 0） =f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（ 0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，（fx）＜0．设集合 A={ f（x）| x∈（2，+∞）} ，集合 B={| x∈（1，+∞），f（x）≠0} ，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，等价于 A? B，分类讨论，即可求 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） f ′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令 f （′x）=0，解得 x=0 或 x=．当 x 变化时， f ′（x）， f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞， 0）0（0，）（，+∞）f （′x）﹣0+0﹣f（x）递减0递增递减所以，（fx）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当 x=0 时，有极小值 f（0）=0，当 x=时，有极大值 f（）=；24（Ⅱ）由 f（ 0） =f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（ 0，）时，f（x）＞0；当x ∈（， +∞）时， f（x）＜ 0．设集合 A={ f（x）| x∈（ 2，+∞） } ，集合 B={| x∈（ 1，+∞），f（ x）≠ 0} ，则对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（ 1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，等价于 A? B，显然 A≠?下面分三种情况讨论：①当＞2，即 0＜ a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0?B，∴ A不是B的子集；②当 1≤≤ 2，即时，f（2）≤ 0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故 A=（﹣∞， f（2）），∴ A? （﹣∞， 0）；由 f（ 1）≥ 0，有 f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞， 0），即（﹣∞， 0）? B，∴ A? B；③当＜1，即 a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴ A不是B的子集．综上， a 的取值范围是 [] ．【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（ 14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M={ 0，1，2，，n﹣1q﹣1} ，集合 A={ x| x=x1+x2q+ +x n q，x i∈M，i=1，2， n}．（Ⅱ）设 s，t ∈A，s=a1+a2q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i∈M，i=1，2，，n．证明：若 a n＜b n，则 s＜t ．【考点】 8E：数列的求和； 8K：数列与不等式的综合．【专题】 54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）当 q=2， n=3 时， M={ 0，1} ， A={ x| x=x1+x2?2+x3?22，x i∈M ，i=1，252，3} ．即可得到集合A．（Ⅱ）由于 a i，b i∈ M，i=1，2，，n．a n＜b n，可得 a n﹣b n≤﹣ 1．由题意可得 s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣ b2）q+ +（a n﹣1﹣ b n﹣1）q n﹣2+（ a n﹣b n）q n﹣1≤（ q﹣ 1） +（ q﹣ 1） q+ +（ q﹣ 1） q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当 q=2，n=3 时，M={ 0， 1} ，A={ x| x=x1+x2?2+x3?22， x i∈ M，i=1，2，3} ．可得 A={ 0，1，2，3，4，5，6，7} ．（Ⅱ）证明：由设s，t∈ A， s=a1+a2 q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i ∈M， i=1， 2，，n．a n＜b n，∴ s﹣t=（a1﹣ b1）+（a2﹣b2） q+ +（a n﹣1﹣ b n）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1﹣1≤（ q﹣1）+（q﹣1）q+ +（q﹣1）q n﹣2﹣ q n﹣1=（q﹣1）（1+q+ +q n﹣2）﹣ q n﹣1=﹣q n﹣ 1=﹣1＜0．∴s＜t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．26。
数学_2014年天津市五区县高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年天津市五区县高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知全集U=R，集合A=﹛x|x−2>0﹜，B=﹛x|x|≤1﹜．则(∁U A)∪B=()A {x|−1≤x≤1}B {x|−1≤x≤1或x>2}C {x|−1≤x≤2}D {x|x≤2}2. 设双曲线x z−y z=1的两条渐近线与直线x=3围成的平面区域D内（包括边界）的任一点为(x, y)，则目标函数z=x+4y的最大值为（）A 15B 12C 9D 03. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A 2013×1006B 2013×1007C 2015×1007D 2015×10084. “a>1”是“函数y=x2−2ax+a有两个零点”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 点P(2, −1)为圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A x+y−1=0B 2x+y−3=0C x−y−3=0D 2x−y−5=06. 当x∈[−π2, π2]时，函数f(x)=sinx+√3cosx的最大值与最小值分别是（）A 1，−1B 1，−12C 2，−2D 2，−17. 已知x=log32，y=log95，z=0.5−0.2，则（）A x<y<zB z<x<yC z<y<xD y<z<x8. 定义一种新运算：a⊗b={b,a≥ba,a<b，已知函数f(x)=(1+2x)⊗3log2(x+1)，若方程f(x)−k=0恰有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为（）A (−∞, 3)B (1, 3)C (−∞, −3)∪(1, 3)D (−∞, −3)∪(0, 3)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. i是虚数单位，5i3−4i=________．10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于________．11. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x2−y2=2的右焦点重合，则p的值为________．12. 在△ABC中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60∘，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若AM →=λAB →+μBC →，则λ+μ=________．13. 如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，且DF =CF =√2，E 是AB延长线上一点，AF:BF:BE =4:2:1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．14. 若满足ab =a +b +3的任意正数a ，b 均有|x −6|≤ab ，则实数x 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为110．（1）请完成列联表；（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率． 16. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2√3，cosA =−12，b =2． （1）求c 的值；（2）设f(x)=cos2x +2sin 2(x +B)，求函数f(x)的单调递增区间．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，AC =CB =CC 1=2，∠ACB =90∘，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． (1)求证：C 1D // 平面A 1BE ；(2)求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ；(3)求直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值．18. 在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a 1=b 1=1，b 2⋅b 4=16，{a n }的前8项和S 8=92．（1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）令T n =a 1bn+1+a 2bn+2+...+an b 2n⋅n ∈N ∗，求T n ．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，D(1, 0)，过椭圆C 的焦点F(√2, 0)且垂直于1x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，OA →⋅OB →=53． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点D 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若MD →=2DN →，求直线MN 的方程； （3）设直线y =kx +2交椭圆于P ，Q 两点，若DP →⋅DQ →=0，求k 的值．20. 已知函数f(x)=x 3−3x 的图象和函数g(x)=2x 2+x +m 的图象在y 轴右侧有两个不同的交点，设两个交点分别为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． （1）求实数m 的取值范围；（2）设直线AB 的斜率为k ，求证：x 1x 2<2(x 1+x 2−2)<k ．2014年天津市五区县高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. A3. B4. A5. C6. D7. A8. C9. −45+35i 10. 54π 11. 4 12. 2313. √72 14. [−3, 15]15. 解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为110，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为812×6=4人，…从乙班抽取的人数为412×6=2人…（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A．…所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，…由古典概型可得P(A)=615=25…16. 解：（1）在△ABC中，由a=2√3，cosA=−12，b=2，∴ cosA=b2+c2−a22bc =4+c2−124c=−12，解得：c=2或c=−4（舍去），则c的值为2；（2）∵ cosA=−12，A为三角形的内角，∴ A=2π3，∵ b=c=2，∴ B=C=π6，∴ f(x)=cos2x+2sin2(x+π6)=cos2x+1−cos(2x+π3)=cos2x−12cos2x+√32sin2x+1=12cos2x+√32sin2x+1=sin(2x+π6)+1，即f(x)=sin(2x+π6)+1，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得到kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k∈Z)．17. (1)证明：取AB的中点F，连接DF交A1B于点M，可知M为DF中点，连接EM，易知四边形C1DME为平行四边形，所以C1D // EM．又C1D⊄平面A1BE，EM⊂平面A1BE，所以C1D // 平面A1BE．(2)证明：因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1．因为BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥C1D．所以C1D⊥平面AA1B1B．又C1D // EM，所以EM⊥平面AA1B1B．又EM⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AA1B1B.(3)解：如图建立空间直角坐标系C −xyz ，则B(0, 2, 0)，C 1(0, 0, 2)，E(0, 0, 1)，A 1(2, 0, 2)， 所以BC 1→=(0, −2, 2)，EA 1→=(2, 0, 1)，EB →=(0, 2, −1)． 设平面A 1BE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{2x +z =0，2y −z =0，令x =1，则n →=(1, −1, −2)， 所以cos <BC 1→，n →>=BC 1→⋅n→|BC 1→||n →|=−√36， 所以直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为√36.18. 解：（1）设{an}解得的公差为d ，{bn}的公比为q ，q >0依题意 S 8=8+8×72×d =92，b 2⋅b 4=b 32=q 4=16解得d =3，q =2．∴ a n =1+(n −1)×3=3n −2， b n =1×2n−1=2n−1 （2）T n =12n +42n+1+72n+2+⋯+3n−222n−1①12T n=12n+1+42n+2+72n+3+⋯+3n−522n−1+3n−222n②①-②得12T n =12n +3(12n+1+12n+2+12n+3+⋯+122n−1)−3n−222n=12n +3×12n+1(1−12n−1)1−12−3n −222n =42n −3n +422n ∴ T n =82n −6n+822n19. 解：（1）由已知得A(√2, b 2a )，B(√2, −b 2a )， ∴ OA →⋅OB →=2−b 4a 2=53，得b 4a 2=13，又a 2=b 2+2，∴ a 2=3，b 2=1， ∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）若直线MN 的斜率为0，则MD →≠2DN →， 若直线MN 的斜率不为0，设MN:x =ty +1， 代入x 23+y 2=1，得(t 2+3)y 2+2ty −2=0， 由MD →=2DN →，得y 1=−2y 2， y 1+y 2=−y 2=−2t t 2+3，y 1y 2=−2y 22=−2t 2+3，整理，得−2(2tt 2+3)2=−2t 2+3，解得t =±1， 直线MN 的方程：x =±y +1，即y =x −1或y =−x +1． （3）将y =kx +2代入x 23+y 2=1，得(3k 2+1)x 2+12kx +9=0，(∗)记P(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，则x 3+x 4=−12k 3k 2+1，①，x 3x 4=93k 2+1，②，PD →⋅QD →=(x 3−1, y 3)⋅(x 4−1, y 4)=(x 3−1)(x 4−1)+y 3y 4=0， 又y 3=kx 3+2，y 4=kx 4+2，∴ (k 2+1)x 3x 4+(2k −1)(x 3+x 4)+5=0，③ 将①②代入③，得： k =−76，此时(∗)中，△>0．∴ k =−76．20. （1）解：f(x)=x 3−3x ，g(x)=2x 2+x +m ， 令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 3−2x 2−4x −m ， 则ℎ′(x)=3x 2−4x −4．由ℎ′(x)=0，得：x =−23，x =2．当x ∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为增函数； 当x ∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为减函数． 又ℎ(0)=−m ，ℎ(2)=−8−m ．且f(x)与g(x)的图象的两个交点都在y 轴右侧， ∴ {−m >0−m −8<0，解得：−8<m <0；（2）证明：由（1）知，0<x 1<2，x 2>2．∴ (x 1−2)(x 2−2)<0，即x 1x 2−2(x 1+x 2)+4<0， x 1x 2<2(x 1+x 2−2)．∵ y 1=2x 12+x 1+m ，y 2=2x 22+x 2+m ．∴ y1−y2=(x1−x2)(2x1+2x2+1)．∴ k=y1−y2x1−x2=2(x1+x2+12)．∵ 2(x1+x2+12)>2(x1+x2−2)，∴ x1x2<2(x1+x2−2)<k．。
2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A .xED CBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .（3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ （A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFD AFB ??， 所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ??，排除A 、C .又FBDEAC DBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫， 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2014年天津市高考文科数学试卷及答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，复数=++ii 437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得C.1)1(,0000≤+>∃x e x x 总有D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.21 D .21 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④8.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2π B.23π C.π D.2π 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________. 13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上， 3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.（14）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =（1）求A cos 的值；（2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点. （1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， ① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分） 设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=. （1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-， （1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；（2）设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.（3）。
2014年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．解答：解：复数==，故选A．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）（2014•天津）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．解答：解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．点评：本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）（2014•天津）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．解答：解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．专题：直线与圆．分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．解答：解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值．解答：解：∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f （x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）（2014•天津）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为﹣4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．解答：解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（2014•天津）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．解答：解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间．13．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2014•天津）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．解答：解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）（2014•天津）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）分别用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e．（Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF1⊥PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．解答：解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）设P点坐标（csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O，∵PB为直径，∴BF1⊥PF1，∴k BF1•k PF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，cosθ==，∴P坐标为（﹣c，c），∴圆心O的坐标为（﹣c，c），∴r=|OB|==c，|OF2|==c，∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键．19．（14分）（2014•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅下面分三种情况讨论：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．点评：本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
2014年高考文数天津卷试题及详细答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学 (文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷参考公式:·如果事件A ,B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B ). ·圆柱的体积公式V=Sh.其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高.·圆锥的体积公式V=13Sh.其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数734ii+=+=( ). A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+ 【答案】A 【解析】7+i 3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=21−28i+3i+425=1-i .2.设变量x , y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+2y 的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5 【答案】B【解析】作出约束条件的可行域如图中阴影所示.∵z=x+2y ,∴y= - 12x+12 z.∴直线y=-12x+12z 在y 轴上的截距越小,z 就越小. 作直线l 0:x+2y=0,平移l 0,当过A 点时, 直线y= - 12x+12z 在y 轴上的截距最小.由{y =1,x +y -2=0,解得A (1,1),∴z min =1+2×1=3.3.已知命题p :∀x>0,总有(x+1)e x >1,则p ⌝为( ).A.∃x 0≤0,使得(x 0+1)e x 0≤1B.∃x 0>0,使得(x 0+1)e x 0≤1C.∀x>0,总有(x+1)e x ≤1D.∀x ≤0,总有(x+1)e x ≤1 【答案】B【解析】由全称命题∀x ∈M , p (x )的否定为∃x 0∈M ,p ⌝(x ),可得p ⌝:∃x 0>0,使得(x 0+1)e x 0≤1.故选B .4.设2212log ,log ,a b c πππ-===,则( ).A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a 【答案】C【解析】∵a=log 2π > log 22=1,b=lo g 12π<lo g 121=0,c= π-2= 1π2∈(0,1),∴a>c>b.故选C .5.设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列, S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ).A.2B.-2C.12D.- 12【答案】D【解析】由题意知S 22=S 1·S 4,则(a 1+a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1= - 12.故选D .6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ). A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1【答案】A【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±bax.∵一条渐近线平行于直线y=2x+10,∴ba=2.①对直线y=2x+10,令y=0,解得x= -5. ∴由题意知c=5.② 又∵a 2+b 2=c 2,③联立①②③,解得a 2=5,b 2=20, ∴所求双曲线的方程为x 25−y 220=1.故选A .7.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE=BE ·DE ;④AF ·BD=AB ·BF. 则所有正确结论的序号是( ). A.①② B.③④C.①②③D.①②④【答案】D【解析】如右图,在圆中,∵∠1与∠3所对的弧相同,∴∠1=∠3.又BF 为圆的切线,则∠2=∠4.又∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4. ∴BD 平分∠CBF.故①正确.在△BFD 和△AFB 中,∵∠F 为公共角,且∠4=∠2, ∴△BFD ∽△AFB.∴BF AF=DF BF=BD AB.∴BF 2=AF ·DF ,BF ·AB=BD ·AF.故②正确,④正确. 由相交弦定理可知③不正确,故选D .8.已知函数f (x )=√3sin ωx+cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为( ).A .π2 B.2π3C.πD.2π【答案】C【解析】f (x )=√3sin ωx+cos ωx=2sin (ωx +π6).设距离最小的相邻两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 2-x 1=π3.∴ωx 1+π6=2k π+π6, k ∈Z 或ωx 2+π6=2k π+56π,k ∈Z .∴ω(x 2-x 1)=56π - π6=23π.∴ω3π=23π.∴ω=2.∴T=2π2= π.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60 【解析】300×44+5+5+6= 60(名).10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m 3. 【答案】203【解析】由三视图知该几何体上面为圆锥,下面为圆柱.V=13π×22×2+π×12×4=203π.11.阅读下边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为 . 【答案】4【解析】初始时,S=0,n=3;第1次运作,S=0+(-2)3=-8,n=3-1=2; 第2次运作,S=-8+(-2)2=-4,n=2-1=1, 此时满足n ≤ 1,输出-4.12.函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是 . 【答案】(-∞,0)【解析】函数f (x )=lg x 2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).∵f (x )=lg x 在(0,+∞)上为增函数,y=x 2在[0,+∞)上为增函数,在(-∞,0]上为减函数, ∴f (x )=lg x 2的单调减区间为(-∞,0).13.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC=3BE , DC=λ DF ,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则 λ 的值为 . 【答案】2【解析】∵四边形ABCD 为菱形,且边长为2,∠BAD=120°,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .由题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1λ×4+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×4=4λ+(1+13λ)×2×2×(-12)+43=1. ∴4λ - 2 -23λ+43 =1.∴1λ(4−23)=3 - 43.∴λ=2. 14.已知函数f (x )={|x 2+5x +4|,x ≤0,2|x -2|,x >0,若函数y=f (x )-a|x|恰有4个零点,则实数a 的取值范围为 . 【答案】(1,2)【解析】分别作出函数y=f (x )与y=a|x|的图象, 由图知,a<0时,函数y=f (x )与y=a|x|无交点; a=0时,函数y=f (x )与y=a|x|有三个交点,故a>0. 当x>0,a ≥2时,函数y=f (x )与y=a|x|有一个交点;当x>0,0<a<2时,函数y=f (x )与y=a|x|有两个交点;当x<0时,若y=-ax 与y=-x 2-5x-4(-4<x<-1)相切,则由Δ=0得a=1或a=9(舍). 因此当x<0,a>1时,函数y=f (x )与y=a|x|有两个交点; 当x<0,a=1时,函数y=f (x )与y=a|x|有三个交点; 当x<0,0<a<1时,函数y=f (x )与y=a|x|有四个交点.所以当且仅当1<a<2时,函数y=f (x )与y=a|x|恰有4个零点.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)某校夏令营有3名男同学A ,B ,C 和3名女同学X ,Y ,Z ,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1) 用表中字母列举出所有可能的结果;(2) 设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.分析: (1)用列举法写出从6人中选2人的所有结果.(2)先写出事件M 发生时所含的所有结果,再运用古典概型概率公式求解. 解: (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ,B },{A ,C },{A ,X },{A ,Y },{A ,Z },{B ,C },{B ,X },{B ,Y },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },{C ,Z },{X ,Y },{X ,Z },{Y ,Z },共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ,Y },{A ,Z },{B ,X },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },共6种.因此,事件M 发生的概率P (M )=615=25.16.(本小题满分13分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a-c=√66b ,sin B=√6sin C. (1) 求cos A 的值;(2) 求cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.分析: (1)利用条件中角的关系,利用正弦定理化为边的形式,结合已知,用c 表示出a ,b ,运用余弦定理求解cos A.(2)由(1)可先求sin A ,再用二倍角公式求sin 2A ,cos 2A 的值,利用两角差的余弦公式求解.解:(1)在△ABC 中,由b sinB=c sinC,及sin B=√6sin C ,可得b=√6c. 又由a-c=√66b ,有a=2c.所以,cos A=b 2+c 2-a 22bc=2222√6c 2=√64. (2)在△ABC 中,由cos A=√64,可得sin A=√104. 于是cos 2A=2cos 2A-1= - 14,sin 2A=2sin A ·cos A= √154. 所以,cos (2A -π6)=cos 2A ·cos π6+sin 2A ·sin π6=√15-√38. 17.(本小题满分13分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,BA=BD=√2, AD=2,PA=PD=√5,E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点. (1) 证明:EF ∥平面PAB ; (2) 若二面角P-AD-B 为60°. ①证明:平面PBC ⊥平面ABCD ;②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.分析:(1)由线线平行证明线面平行.从而在平面PAB 中,寻求过A 点与EF 平行的直线即可.可借助于中位线构造平行四边形求证.(2)①由线面垂直可证面面垂直.先由二面角定义找出二面角P-AD-B 的平面角,结合长度在△PEB 中,运用勾股定理,证明BE ⊥PB.再证明BE ⊥BC ,进而证明BE ⊥平面PBC ,再证得平面PBC ⊥平面ABCD.②由①易知∠EFB 为所求角.再在△EBF 中,利用EF 与BE 的边长求正弦值. (1)证明: 如图,取PB 中点M ,连接MF ,AM. 因为F 为PC 中点,故MF ∥BC 且MF= 12BC.由已知有BC ∥AD ,BC=AD.又由于E 为AD 中点,因而MF ∥AE ,且MF=AE , 故四边形AMFE 为平行四边形,所以EF ∥AM. 又AM ⊂平面PAB ,而EF ⊄平面PAB. 所以EF ∥平面PAB. (2) ①证明: 连接PE ,BE.因为PA=PD ,BA=BD ,而E 为AD 中点,故PE ⊥AD ,BE ⊥AD. 所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角. 在△PAD 中,由PA=PD=√AD=2,可解得PE=2. 在△ABD 中,由BA=BD=√2,AD=2,可解得BE=1. 在△PEB 中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°.由余弦定理,可解得PB=√3,从而∠PBE=90°,即BE ⊥PB. 又BC ∥AD ,BE ⊥AD ,从而BE ⊥BC ,因此BE ⊥平面PBC. 又BE ⊂平面ABCD ,所以,平面PBC ⊥平面ABCD. ②解:连接BF.由①知,BE ⊥平面PBC , 所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角. 由PB=√3及已知,得∠ABP 为直角. 而MB= 12PB=√32,可得AM= √112,故EF=√112. 又BE=1,故在直角三角形EBF 中,sin ∠EFB=BE EF=2√1111.所以,直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为2√1111. 18.(本小题满分13分)设椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A ,上顶点为B.已知|AB|=√32|F 1F 2|. (1) 求椭圆的离心率;(2) 设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ,|MF 2|=2√2.求椭圆的方程.分析:(1)由条件求出|AB|,|F 1F 2|,用a ,b ,c 表示,结合平方关系,求出离心率e= ca 的值.(2)利用(1)中离心率的值,可将椭圆方程中a 2,b 2用c 2表示,设出P 点坐标(x 0,y 0),表示出F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,利用以线段PB 为直径的圆过点F 1,可得F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得出x 0,y 0的关系,结合P 在椭圆上,解出x 0,y 0用c 表示.从而求出圆心、半径,并用c 表示,再利用l 与圆相切及|MF 2|=2√2,结合勾股定理求出c ,得椭圆方程. 解: (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0). 由|AB|=√32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2, 又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12.所以,椭圆的离心率e=√22.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.故椭圆方程为x 22c +y 2c =1.设P (x 0,y 0).由F 1(-c ,0),B (0,c ), 有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,y 0),F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,c ).由已知,有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x 0+c )c+y 0c=0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c=0.① 因为点P 在椭圆上,故x 022c +y 02c =1.②由①和②可得3x 02+4cx 0=0. 而点P 不是椭圆的顶点,故x 0= - 43c ,代入①得y 0= c3,即点P 的坐标为(-4c 3,c 3).设圆的圆心为T (x 1,y 1),则x 1=-43c+02= - 23c , y 1=c3+c 2=23c ,进而圆的半径r=√(x 1-0)2+(y 1-c)2=√53c. 由已知,有|TF 2|2=|MF 2|2+r 2,又|MF 2|=2√2,故有(c +23c)2+(0−23c)2=8+59c 2,解得c 2=3.所以,所求椭圆的方程为x 26+y 23=1.19.(本小题满分14分)已知函数f (x )=x 2 - 23ax 3(a>0),x ∈R . (1) 求f (x )的单调区间和极值;(2) 若对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1.求a 的取值范围. 分析:(1)第一步:求导,解f ' (x )=0的根,第二步:列表,判断函数f (x )的单调性求出极值,第三步:结论.(2)设集合A={f (x )|x ∈(2,+∞)},B={1f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则可将已知条件转化为A ⊆B 的问题.由(1)知f (x )=0的根为x=32a,再讨论32a与1,2的大小关系,进而分三种情况分别讨论“A ⊆B”是否成立,求出a 的范围. 解: (1)由已知,有f'(x )=2x-2ax 2(a>0). 令f ' (x )=0,解得x=0或x=1a .当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x(-∞,0)(0,1a) 1a(1a,+∞)所以, f (x )的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭;单调递减区间是(-∞,0),1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当x=0时,f (x )有极小值,且极小值f (0)=0; 当1x a =时, f (x )有极大值,且极大值2113f a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)由f (0)=f (32a)=0及(1)知,当x ∈(0,32a )时, f (x )>0;当3,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时, f (x )<0. 设集合A={f (x )| x ∈(2,+∞)},集合()()()11,,0B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 则“对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1”等价于A ⊆B ,显然,0B ∉.下面分三种情况讨论: ①当32a>2,即0<a<34时,由f (32a)=0可知,0∈A ,而0B ∉,所以A 不是B 的子集.②当1≤32a≤ 2,即34≤ a ≤ 32时,有f (2)≤0,且此时f (x )在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞,f (2)),因而A ⊆(-∞,0);由f (1) ≥ 0,有f (x )在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)⊆B ,所以,A ⊆B. ③当32a<1,即a>32时,有f (1)<0,且此时f (x )在(1,+∞)上单调递减,故()1,01B f ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭, A=(-∞, f (2)), 所以A 不是B 的子集.综上,a 的取值范围是[34,32].20.(本小题满分14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M ,i=1,2,…,n }. (1) 当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;(2) 设s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n. 证明:若a n <b n ,则s<t.分析:(1)先由已知写出M ,及描述法的集合A ,再对x i 值的情况讨论,写出A 的列举法表示.(2)证明s<t ,可用作差法,即判断s-t<0.作差后利用放缩法,将差式转化为等比数列求和判断差的符号.(1) 解: 当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2) 证明: 由s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1−q- q n-1= -1<0.所以,s<t.。
2014届高三数学上册第一次月考文科试题(有答案)
2014届高三数学上册第一次月考文科试题（有答案）望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题时120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1.若集合,,则（）A.B.C.D.答案：A解析：集合A＝{}，A＝{}，所以，2．设是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C【解析】若复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数，则，所以“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的充要条件。
3．已知为等差数列，若，则的值为（）A．B．C．D．答案：D解析：因为为等差数列，若，所以，，4.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．B．C．D．答案：C【解析】A、D既不是奇函数，也不是偶函数，排除，B只是在区间上递增，只以C符合。
5.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（）A．当时，，B．当时，，C．当时，，D．当时，，答案：B解析：函数求导，得：，得两个极值点：因为函数f（x）过定点（0，－2），有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：因此，可知，，只有B符合。
6.函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．4π答案：B【解析】函数,所以周期为.7.函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．答案：D【解析】＜0，＞0，所以，在上有零点。
8．设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：；②；③；④（）A．①④B．②③C．①②D．①②④答案：A【解析】①中，集合中的元素是极限为1的数列，∴在的时候，存在满足0＜|x－1|＜a的x，∴1是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即｜x－1｜≥1对于某个a＞1，不存在0＜|x－1|，∴1不是集合的聚点③对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣1|=0或者|x﹣1|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣1|＜0.5，从而1不是整数集Z的聚点④＞0，存在0＜|x－1|＜0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点故选A9.一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A．12种B．15种C．17种D．19种答案：D解析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。
2014年高考文科数学天津卷及答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：●如果事件A ,B 互斥,那么●圆锥的体积公式13VSh = ()()()P A B P A P B =+.其中S 表示圆锥的底面面积,●圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高.其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数7i34i+=+( )A .1i -B .1i -+C .1731i 2525+ D .1725i 77-+ 2.设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧⎪⎩-⎪-⎨≥≤≥则目标函数2z x y =+的最小值为( )A .2B .3C .4D .5 3.已知命题p ：0x ∀>,总有(1)e 1xx +>,则p ⌝为( )A .00x ∃≤,使得00(1)e 1x x +≤B .00x ∃>,使得00(1)e 1x x +≤C .0x ∀>,总有(1)e 1x x +≤D .0x ∀≤,总有(1)e 1x x +≤ 4.设2log πa =,12log πb =,2πc -=,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .a c b >>D .c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若1S ,2S ,4S 成等比数列,则1a =( )A .2B .2-C .12D .12-6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .221520x y -=B .221205x y -=C .2233125100x y -= D .2233110025x y -=7.如图,ABC △是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠； ②2FB FD FA =； ③AE CE BE DE =； ④AF BD AB BF =. 则所有正确结论的序号是( )A .①②B .③④C .①②③D .①②④8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,x ∈R .在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则()f x 的最小正周期为 ( )A .π2B .2π3C .πD .2π第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3m .11.阅读下边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为 .12.函数2()lg f x x =的单调递减区间是 .13.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1AE AF =,则λ的值为 .14.已知函数2|54|,0,()2|2|,0,x x x f x x x ⎧++=⎨-⎩≤＞若函数()||y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________俯视图侧视图正视图数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）某校夏令营有现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b,c .已知a c b -=,sin B C .（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求πcos(2)6A -的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,BA BD ==,2AD =,PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点.（Ⅰ）证明：EF平面PAB ；（Ⅱ）若二面角P AD B --为60, （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； （ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b b+=>>的左、右焦点为1F ,2F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12||||AB F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ,2||MF =求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数232()(0)3f x x ax a =->,x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =.求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q =-,集合{|A x x ==121,,1,2,,}n n i x x x x q M i n q -+∈=++.（Ⅰ）当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设s ,t A ∈,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,其中i a ,i b M ∈,1,2,,i n =⋅⋅⋅.证明：若n n a b <,则s t <.2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)答案解析此时z的最小值为1213z=+⨯=，故选：B.14S，即(2aFD FA。