2020年高考数学第一轮复习小题必刷卷(九) 不等式与推理证明
2020年高考数学第一轮复习小题必刷卷(十) 不等式与推理证明
2020年高考数学第一轮复习小题必刷卷(十)不等式与推理证明1.[2017·抚州临川一中二模]已知集合A={x|y=},集合B={y|y=lg(x2+1),y∈Z},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.42.[2017·资阳二模]已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是()A.c a>c bB.>C.ba c>ab cD.log a c>log b c3.[2017·武汉武昌区调研]一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可以判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁4.[2017·泉州一模]已知x>1,y>1,且log2x,,log2y成等比数列,则xy有()A.最小值B.最小值2C.最大值D.最大值25.[2018·哈尔滨六中模拟]设x,y满足约束条件则z=lo(2x+y)的最大值为()A.-1-2log32B.-log37C.-4D.-16.[2017·孝义三模]如果x,y满足则z=的取值范围是()A.∪[3,+∞)B.C.∪D.∪7.[2017·山西三区八校二模]为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图X9-1,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1,且AC比AB长0.5,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC的长最短为()图X9-1A.1+B.2C.1+D.2+8.[2017·咸阳二模]观察下列式子:<2,+<,++<8,+++<.根据以上规律,第n个不等式是.9.[2017·泉州模拟]若a2+b2=c2(a,b,c∈N*),我们把a,b,c叫作勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41.以此类推,可猜测第5组勾股数的三个数依次是.图X9-210.[2017·淮北二模]如图X9-2,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于P1,过P1作AB的平行线交BC于点Q1,AQ1交BD于P2,过P2作AB的平行线交BC于点Q2……若AB=a,CD=b,则P n Q n=.(用a,b,n表示)1.C[解析]因为A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y≥0且y∈Z},所以A∩B={0,1,2},故选C.2.D[解析]由指数函数y=c x在R上单调递减可得c a<c b,选项A错误;-=<0,∴<,选项B错误;很明显ba c>0,ab c>0,且=,∵a>b>1,∴>1,又∵0<c<1,∴<1,∴ba c<ab c,选项C错误.故选D.3.B[解析]∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾.∴乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.故选B.4.A[解析]∵x>1,y>1,∴log2x>0,log2y>0.又∵log2x,,log2y成等比数列,∴=log2x·log2y.由基本不等式可得log2x+log2y≥2=,当且仅当log2x=log2y=时取等号,故log2(xy)≥,即xy≥,故选A.5.D[解析]约束条件表示的可行域如图所示,令t=2x+y,当直线y=-2x+t经过点B(1,1)时,t取得最小值,最小值为2×1+1=3,此时z=lo(2x+y)取得最大值-1.6.D[解析]作出可行域如图所示,z==1+2×.由图可知,≤-1或≥3,所以z=的取值范围是(-∞,-1]∪[7,+∞),故选D.7.D[解析]由题意设BC=x(x>1),AC=t(t>0),则AB=AC-0.5=t-0.5.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=(x>1),即t=x-1++2.因为x>1,所以t=x-1++2≥2+当且仅当x=1+时取等号,所以t的最小值为2+,故选D.8.++…+<[解析]不等式左边共有n项相加,第n项是,不等式右边的数依次是,,,,…,.故第n个不等式是++…+<.9.11,60,61[解析]由前4组勾股数可得第5组勾股数的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,∴(x+1)2=112+x2⇒x=60,∴第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.10.[解析]由题意得=,=⇒+=1⇒+=1⇒P1Q1=,=,=⇒+=1⇒+=1⇒P2Q2=,以此类推,可得P n Q n=.。
2020高考数学一轮复习 不等式、推理与证明章末大盘点课件 精品
故m∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．
[领悟] 对于(1)，抽象函数单调性的证明借助于定义，利 用拼凑条件，判断差的符号．对于(2)，后一步解不等式是 上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到 自变量的大小上来．对于(3)，转换视角变更主元，把m2－ 2am≥0看作关于a的一次函数，即g(a)＝－2ma＋m2在 a∈[－1,1]上大于等于0，利用g(a)是一条线段这一图象特 征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围．
每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品
要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得的利
润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个
生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，
那么该企业可获得的最大利润是
()
A．12万元
B．20万元
C．25万元
D．27万元
解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，则获得的利润为z ＝5x＋3y. 由题意得
答案：A
2．(2009·天津高考)设a＞0，b＞0，若 是3a与3b的等比中项，
则
的最小值为
()
A．8
B．4
C．1
D.
解析：由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1. 因为a＞0，b＞0，所以
当且仅当a＝b时，等号成立．y满足约束条件 函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则 的最小值为
三、分类讨论思想 对一些较为复杂的或含有字母(参数)的不等式，常需根
据问题的不同情景或字母的取值范围进行分类讨论，因为 某些字母的量变会导致结果的质变．运用分类讨论思想必 须注意分类的科学性及严密性，在同一次讨论中，只能确 定一个标准，并做到不重不漏．
2020年高考数学(理)复习【推理与证明】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【推理与证明】小题精练卷刷题增分练○41 一、选择题1．[2019·重庆马蜀月考]用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a ，b ，c ，d 中恰有一个偶数”时正确的假设为( )A ．自然数a ，b ，c ，d 都是奇数B ．自然数a ，b ，c ，d 都是偶数C ．自然数a ，b ，c ，d 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c ，d 中至少有两个偶数或都是奇数 答案：D解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a ，b ，c ，d 中至少有两个偶数或都是奇数．2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法C ．反证法 D ．归纳法 答案：B解析：综合法一般由已知条件和某些定义、定理等入手开始证明，分析法是从所要证明的结论入手寻找使其成立的条件，反证法一般先假设原命题不成立，然后得出矛盾，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，知本题的证明适合采用分析法．3．[2019·洛阳模拟]下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数B ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数C ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数D ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数 答案：B解析：A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C 、D 都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C 、D 都不正确，只有B 正确，故选B.4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案：B解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B.5．[2019·大连调研]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 答案：D解析：由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.故选D.6．[2019·安徽联考]某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇；③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或者都不去；⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A ．B ，D 两镇 B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇 D ．A ，C 两镇 答案：C解析：若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，再根据②知去D 镇，再根据④知去C 镇，再根据③可知不去B 镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为()A．435 B．465 C．478 D．496答案：B解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()2 017 2 016 2 015 2 014……65432 14 033 4 031 4 029…………11975 38 0648 060 (2016128)16 124 (362820)…………………………A．2 017×22 016B．2 018×22 015C．2 017×22 015D．2 018×22 016答案：B解析：由题意知第1行的最后一个数为2×2－1，第2行的最后一个数为3×20，第3行的最后一个数为4×21，……第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.二、非选择题9．[2019·河北唐山一中调研]用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增加的代数式为________．答案：2(2k＋1)解析：首先写出当n＝k时和n＝k＋1时等式左边的式子．当n ＝k 时，左边等于(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(2k )，① 当n ＝k ＋1时，左边等于(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，②∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明，左边需增加的代数式是由②①得到(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)＝2(2k ＋1)．10．[2019·吉林长春质检]有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．答案：8月4日解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．11．[2019·河北联考]在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是________．答案：3 972解析：由题意可设第1组的数为1， 第2组的数为2,4， 第3组的数为5,7,9， ……所以第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63(63＋1)2<2 018<64(64＋1)2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9……第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.12．[2019·河南商丘实验中学模拟]如图所示，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．答案：S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．刷题课时增分练○41 一、选择题1．[2019·黑龙江哈尔滨模拟]用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1 答案：C解析：当n ＝k ＋1时，左边为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k项，故选C.2．[2019·山东菏泽模拟]设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m 三个数( )A ．都大于4B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于4 答案：D解析：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D.3．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的答案：A解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.4．[2019·荆州质检]若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为()A．29 B．30C．31 D．32答案：C解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和S n＝n[3＋(2n＋1)]＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31 2个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中．5．[2019·长春调研]分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”，则索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案：C解析：要证b2－ac<3a，需证b2－ac<3a2，因为a＋b＋c＝0，所以即证(a＋c)2－ac<3a2，即证a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0，即证－2a2＋ac＋c2<0，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a －b)>0.故选C.6．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案：A解析：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆的面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127 答案：D解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V 1V 2＝127.8．①已知p 3＋q 3＝2，证明：p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2.②若a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，且方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个根，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根的绝对值不都小于1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①的假设正确，②的假设错误C ．①与②的假设都正确D ．①的假设错误，②的假设正确 答案：D解析：对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；易知②中的假设正确，故选D. 二、非选择题9．[2019·四川成都七中模拟]如图，第n 个图形是由正(n ＋2)边形“扩展”而来的，n ∈N *，则在第n 个图形中共有________个顶点．(用n 表示)答案：(n ＋2)(n ＋3)解析：第n 个图形是在第(n ＋2)边形的基础上每条边加上n ＋2个顶点，因此顶点个数为(n ＋2)＋(n ＋2)(n ＋2)＝(n ＋2)(n ＋3)．10．[2019·山东日照模拟]有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为3,7,15，…，∴可猜想第n 个式子中左边应有2n ＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42，…，∴猜想第n 个式子中右边应为n ＋12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)．11．[2019·江西临川月考]观察下列等式1＝1； 第一个等式 2＋3＋4＝9; 第二个等式 3＋4＋5＋6＋7＝25; 第三个等式 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49; 第四个等式 照此规律下去… (1)写出第5个等式；(2)你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜测第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.证明：①当n＝1时显然成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时也成立，即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，而右边＝[2(k＋1)－1]2，也就是说n＝k＋1时等式也成立．根据①②知，等式对任何n∈N*都成立．。
2020届高考数学一轮复习单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)理科
单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <b <0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1bB.－a >－b C ．|a |>－b D.1a －b >1b答案 A解析 因为a <b <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，即1a >1b，A 不成立；－a >－b >0，－a >－b ，B 成立；－a ＝|a |>|b |＝－b ，C 成立；当a ＝－3，b ＝－1时，1a －b ＝－12，1b ＝－1，故1a －b >1b，D 成立． 2．不等式2x ＋13－x≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，3 C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[3，＋∞) 答案 C解析 不等式2x ＋13－x ≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(3－x )≤0，3－x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x －3)≥0，3－x ≠0，解得x ≤－12或x >3，∴不等式2x ＋13－x ≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式答案 C解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C 符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分． 4．“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 由1＋3x －1≥0，得x ＋2x －1≥0，等价于(x －1)(x ＋2)≥0，且x ≠1，解得x ≤－2或x >1.由(x ＋2)(x －1)≥0，得x ≤－2或x ≥1，所以“1＋3x －1≥0”能推出“(x ＋2)·(x －1)≥0”，“(x ＋2)(x －1)≥0”推不出“1＋3x －1≥0”，故“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的充分不必要条件，故选A. 5．若x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则xy 的最小值为( ) A ．8B ．14C ．16D ．64 答案 D解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8， ∴xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时取等号， ∴xy 的最小值为64，故选D. 6．已知实数a >0，b >0，1a ＋1＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是( ) A ．32B ．22C ．3D ．2 答案 B解析 ∵a >0，b >0，1a ＋1＋1b ＋1＝1， ∴a ＋2b ＝(a ＋1)＋2(b ＋1)－3＝[(a ＋1)＋2(b ＋1)]·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2＋2(b ＋1)a ＋1＋a ＋1b ＋1－3≥3＋22－3＝22， 当且仅当2(b ＋1)a ＋1＝a ＋1b ＋1，即a ＝2，b ＝22时取等号，∴a ＋2b 的最小值是22，故选B.7．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b 的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．4 答案 B解析 由题意知，已知圆的圆心C (－4，－1)在直线l 上，所以－4a －b ＋1＝0，所以4a ＋b ＝1.所以12a ＋2b＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝4＋b 2a ＋8a b ≥4＋2b 2a ·8a b ＝8，当且仅当b 2a ＝8a b ，即a ＝18，b ＝12时，等号成立．所以12a ＋2b的最小值为8.故选B. 8．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为( ) A.23B.35C.29D.47 答案 C解析 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为12×3×32＝94，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为12×1×1＝12.所以点M 恰好落在第二象限的概率为1294＝29，故选C.9．(2018·河南名校联盟联考)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1，则z ＝3y －x 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6] 答案 D解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥－2，2y －x ≥1表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC 边界及其内部)．因为z ＝3y －x ，所以y ＝13x ＋13z .当直线y ＝13x ＋z3在y 轴上的截距有最小值时，z 有最小值；当在y 轴上的截距有最大值时，z 有最大值．由图可知，当直线y ＝13x ＋z3经过点A (－1,0)，在y 轴上的截距最小，z min ＝0－(－1)＝1；经过点C (0,2)时，在y 轴上的截距最大，z max ＝3×2－0＝6.所以z ＝3y －x 的取值范围为[1,6]，故选D.10．小王计划租用A ，B 两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A 型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为( ) A ．1000元 B ．2000元 C ．3000元 D ．4000元答案 D解析 设分别租用A ，B 两种型号的小车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则z ＝1000x ＋600y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋5y ≥30，6≤x ＋y ≤12，x ≥1，(x ，y ∈N )，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．易知当直线y ＝－53x ＋z600过点D (1,5)时，z 取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.11．(2018·贵州贵阳一中月考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，y ≥－x ，y ≤x ＋2，则t ＝y －2x －3的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，125 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，0答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．t ＝y －2x －3表示可行域内的点与点M (3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M 的连线与圆x 2＋y 2＝4相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，则有|3k －2|1＋k 2＝2，解得k ＝125或k ＝0，所以t ＝y －2x －3的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，故选B.12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x (单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z (单位：L)，其中装有体积为y (单位：L)的水(x <z ，y <z )．现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过n (n ∈N *)次操作之后，乙容器中含有纯酒精a n (单位：L)，下列关于数列{a n }的说法正确的是( ) A ．当x ＝y ＝a 时，数列{a n }有最大值a2B ．设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{b n }为递减数列 C ．对任意的n ∈N *，始终有a n ≤xy zD ．对任意的n ∈N *，都有a n ≤xy x ＋y答案 D解析 对于A ，若x ＋y >z ，每次倾倒后甲容器都有剩余，则a n <a2，故A 错误；对于B ，若x ＋y ＝z ，则每次操作后乙容器所含酒精都为xy x ＋y ，b n ＝0，故B 错误；对于C ，若x ＝1，y ＝1，z ＝3，则a 1＝12，xy z ＝13，则a 1>xy z ，故C 错误；对于D ，当n →＋∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x ＋y ≤z 时，a n ＝xy x ＋y，当x ＋y >z 时，a n <xyx ＋y，故选D. 第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [－2,4]解析 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，(x －1)2<0，无解，满足题意；当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}．要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，且a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,4]．14．已知x ≥32，则2x 2－2x ＋1x －1的最小值为__________．答案 22＋2解析 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12，所以2x 2－2x ＋1x －1＝2(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1t ＝2t 2＋2t ＋1t ＝2t ＋1t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝22时等号成立，所以所求最小值为22＋2. 15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持) 答案 影视配音解析 由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．16．(2018·重庆调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )为增函数，且函数y ＝f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，若实数a ，b 满足不等式f (4a －a 2)＋f (b 2－2b －3)≤0，则当2≤a ≤4时，a 2＋(b －1)2的最大值为______． 答案 20解析 易知f (x )是奇函数，又f (x )是增函数，∴4a －a 2≤－b 2＋2b ＋3，∴|a －2|≥|b －1|，在平面直角坐标系中画出⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|≥|b －1|，2≤a ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，a 2＋(b －1)2表示定点(0,1)到该平面区域内的动点(a ，b )的距离的平方，由图可知动点(a ，b )在图中点(4,3)或点(4，－1)处时，a 2＋(b －1)2取得最大值，最大值为42＋22＝20.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋2x ＋1. (1)若x ∈(－1，＋∞)，求f (x )的最小值，并指出此时x 的值； (2)求不等式f (x )≥2x ＋2的解集． 解 (1)由x ∈(－1，＋∞)可得x ＋1>0. 因为f (x )＝2x ＋2x ＋1＝2x ＋2＋2x ＋1－2≥4－2＝2，所以f (x )≥2， 当且仅当2x ＋2＝2x ＋1，即x ＝0时取等号． 故f (x )的最小值为2，此时x ＝0.(2)由f (x )≥2x ＋2，得－2xx ＋1≥0，所以－1<x ≤0，故所求不等式的解集为(－1,0]．18．(12分)已知函数f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b .(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，且a >0，b >0，求ab 的最大值；(2)当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，求z ＝a ＋b ＋2a ＋1的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，所以a ＋b －43＝203，即a ＋b ＝8.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，即4≥ab ，所以ab ≤16， 当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以ab 的最大值为16.(2)因为当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≤1，f (1)≤1，且2a ＋3b ≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a ≤1，b ＋2a ≤3，2a ＋3b ≥3，作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．由图可得经过可行域内的点(a ，b )与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，2，所以z ＝a ＋b ＋2a ＋1＝b ＋1a ＋1＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，3. 19．(13分)2019年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x 百辆新能源汽车，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，501x ＋10000x －4500，x ≥40.由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．(1)求该企业2019年的利润L (x )万元关于年产量x (单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)； (2)2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<x <40时，L (x )＝5×100x －10x 2－100x －2500＝－10x 2＋400x －2500； 当x ≥40时，L (x )＝5×100x －501x －10000x＋4500－2500＝2000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋400x －2500，0<x <40，2000－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥40.(2)当0<x <40时，L (x )＝－10(x －20)2＋1500，所以当0<x <40时，L (x )max ＝L (20)＝1500；当x ≥40时，L (x )＝2000－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x≤2000－2x ·10000x＝2000－200＝1800，当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，所以L (x )max ＝L (100)＝1800.因为1800>1500，所以当x ＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1800万元．20．(13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4S n 与2a n 的等差中项为3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式k (－1)n a 2n <S n (n ∈N *)恒成立；若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由； (3)设b n a n ＝n (n ＋2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n (n ∈N *)，若集合M ＝{n |b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解 (1)由4S n 与2a n 的等差中项为3，得 4S n ＋2a n ＝6，①当n ≥2时，4S n －1＋2a n －1＝6，② ①－②得a n ＝13a n －1.又因为在①式中，令n ＝1，得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，13为公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1(n ∈N *)．(2)原问题等价于k (－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫132(n －1)<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1(n ∈N *)恒成立． 当n 为奇数时，对任意正整数为k ，不等式恒成立；当n 为偶数时，原不等式等价于2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫132(n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－3<0恒成立，令⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝t,0<t ≤13，则原不等式等价于2kt 2＋t －3<0对0<t ≤13恒成立，k ∈N *.因为f (t )＝2kt 2＋t －3在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递增，故f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝29k －83<0，即k <12.综上，正整数k 的最大值为11.(3)由b n a n ＝n (n ＋2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n (n ∈N *)及a n ＝13n －1，得b n ＝n (n ＋2)2n，b n ＋1－b n ＝－n 2＋32n ＋1，当n ＝1时，b 2>b 1；当n ≥2时，b n ＋1<b n ， 且b 1＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 4＝32，b 5＝3532.由集合M ＝{n |b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，得3532<λ≤32，即实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤3532，32.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习专题4不等式、推理与证明课件文新人教A版
复习过程中要注意下面两个方面：(1)熟悉三种推理——归纳推理、类比推理与演 绎推理的原理、基本步骤与格式，清楚三种推理之间的联系与区别．(2)要把握归 纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推 理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证 明．
【例3】 (2018·沈阳质量监测)甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一 人是医生，已知丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小， 根据以上情况，下列判断正确的是( ) A．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C．甲是医生，乙是教师，丙是记者 A．甲是记者，乙是医生，丙是教师
跟踪训练 (2018·成都检测)若关于 x 的不等式 x2＋2ax＋1≥0 在[0，＋∞)上恒成立，
则实数 a 的取值范围为( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．[－1，＋∞)
解析：当x＝0时，不等式x2＋2ax＋1≥0，显然对任意a∈R恒成立；当x>0时，a≥ －1＋2xx2＝－12x＋1x恒成立，因为－12x＋1x≤－12×2＝－1(当且仅当x＝1时不等式 取等号)，所以a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．故选D. 答案：D
专题四 不等式、推理与证明
题型一 不等式的解法与应用 不等式的概念与性质是证明不等式、解不等式和应用不等式的基础，不等式是高 考的重要内容之一，几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，既可以以选择 题或填空题的形式出现，也可以与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等内 容相结合进行综合考查．
复习过程中抓住以下三个方面：(1)正确理解每一条性质成立的条件和结论，并能 灵活运用，要想准确、快速地解答涉及不等式性质的考题，需要在平时的学习中 多积累解题技巧和方法．(2)在不等式的解法中，一元二次不等式是整个不等式求 解的主要题型，一元二次不等式的求解是不等式的基础，需要熟练掌握其解法．(3) 利用均值不等式求解最值的问题，要根据代数式或函数解析式的特征进行灵活变 形，凑成积或和为常数的形式，条件最值问题要注意常数的代换，凑成均值不等 式的形式求解最值．
2020年 高考数学(理科)真题、模拟题 名师汇编专项训练 专题09 不等式、推理与证明
专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国II 卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABC．D2．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │3．【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．74．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.15．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A ．2 B ．3C ．5D ．66．【2019年高考天津卷理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．【2019年高考浙江卷】若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 128．【2019年高考浙江卷】若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件9．【2019年高考全国II 卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）10．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．11．【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=__________．12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理)试题）已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B =IA ．[]2,4- B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞13．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)数学试题】若x ，y 满足约束条件22201y xx y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为A ．35- B ．12C ．5D ．614．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-15．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D 16．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+17．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为A ．223+B ．3C ．2+D ．318．【浙江省三校2019年5月份第二次联考数学卷】已知log 2(a −2)+log 2(b −1)≥1，则2a +b 取到最小值时，ab = A ．3 B ．4C ．6D ．919．【北京市东城区2019届高三第二学期综合练习（一)数学试题】某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%20．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷数学试题】甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测： 甲说：获奖者在乙丙丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中的一人获奖； 丁说：乙猜测的是对的.成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是 A ．甲和丁 B ．甲和丙C ．乙和丙D ．乙和丁21．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是__________． 22．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知0x >，1y >-，且1=+y x ，则2231x y x y +++最小值为__________． 23．【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n *∈N ，满足a m a n 2=a 42，则2m +1n 的最小值为__________．24．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________．25．【陕西省延安市2019届高考模拟试题数学】甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A ，B ，C ，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作； ②在延安工作的教师不教C 学科； ③在咸阳工作的教师教A 学科； ④乙不教B 学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是__________、__________．。
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第六单元不等式、推理与证明听课答案
本社目为敕和专用"第六单元不等式、推理与证明I便用建议■ SHIYONGJIANY1. 编写意图(1) 重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度，以基本的选题和细致全面的讲解进行组织，使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法，为不等式的应用打下良好的基础.(2) 二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题，是高考重点考查的两个知识点，我们不把探究点设置为简单的线性规划问题，而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题.(3) 对于合情推理，主要在于训练学生的归纳能力，重点在一些常见知识点上展开.2. 教学建议(1) 在各讲的复习中首先要注意基础性，这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础，大多数例题、变式题学生都可以独立完成，在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用，教师引导学生独立思考完成这些探究点，并给予适度的指导和点评.(2) 要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模，本单元涉及了较多的应用题，在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题，重视解题的过程.(3) 不等式在高考数学各个部分的应用，要循序渐进地解决，在本单元中涉及不等式的综合运用时，我们的选题都很基础，在这样的探究点上不要试图一步到位，不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务在本单元只涉及基本的应用，不要拔高.(4) 推理与证明是培养学生良好思维习惯，学习和运用数学思想方法，形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度，对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.3. 课时安排本单元共7讲,1个小题必刷卷,1个单元测评卷，建议每讲1个课时完成，小题必刷卷、单元测评卷各1个课时完成，本单元建议用9个课时完成复习任务.第34讲不等关系与不等式考试说明了解现实世界和日常生活中存在大量的不等关系；了解不等式(组)的实际背景.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1)> = < (2)> = <2. (1)b<a (3)> a+c>b+d (4)> < > (5)>对点演练2 2 21. (3,8)［解析］T 1<a<2,二1<a<4.又2<b<4,^3<a+b<8,即卩a+b 的取值范围为(3,8).2 22. f (x)>g(x)［解析］••fx)-g(x)=x-2x+2=(x- 1) +1>0,「.f (x)>g(x).2 2 o3.2 ［解析］①ac >bc,两边同时除以c可得到a>b,符合题意；②->-，当c<0时，不能得到a>b,不符合题2 2意③ >b，当a=-2,b=-1时，不能得到a>b,不符合题意;@由2018-a<2018-b，得-a<-b，则a>b,符合题意.综上可知①④符合题意，则能得到a>b的条件的个数为2.4. (-7,7)［解析］由题可知-1<a<2,-3<b<5,A - 2<2a<4,-5<-b<3,结合不等式的性质可得2a-b € (-7,7). 5(24,8)［解析］当-3<a< 0时-€ (-24,0］;当0<a<1时，一€ (0,8).综上可知-的取值范围是(-24,8).6.A > B ［解析］2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A-B=a +b - (ab+a+b-1)d(2a +2b - 2ab- 2a-2b+2)=_［(a +b -2ab)+(a -2a+1)+(b- 2b+1)］ = ［(a-b) + (a-1) +(b-21)］>0,故A>B.【课堂考点探究】2 2例1 ［思路点拨］(1)由于Q含有根号，所以可考虑先得到P-Q，然后利用因式分解与配方法进行变形，a b c确定P-Q的符号，进而判断P,Q的大小关系;(2)令3 =4 =6 =k将a,b,c转化为对数形式，然后作商比较大小.例2 ［思路点拨］(1)利用不等式的性质与特殊值法求解；(2)利用不等式的性质，特殊值法及函数的单调性求解.(1)B ⑵D ［解析］(1)v a<b<1,.・. a+<b+1<0, •••-------------- >0且> ，则2 2-------------• (a+1)<--------------- •(b+1),(a+1) >(b+1)，则一>一,• A,CD中不等式成立;由a<b<-1,知当a=-3, b=-2时,一=-1,——二一,—<——，因此B中不等式不成立，故选B⑵由a>b,c<0,得ac<bc,选项A错误设幕函数f (x)=X，因为c<0,所以f (x)在(0,+切上是减函数，又a>b>0, 所以a<b ，选项 B 错误取 a=4,b=2,c=-4,则 log a (a-c )=log 48<2,log b (b-c )=log 26>2,此时 log a (a-c)<log b (b-c), 选项C 错误;一一=-「_ =_ >0,所以=>「选项D 正确.故选D.变式题 (1)B (2)D ［解析］(1)由 2“>2：得 m>n.当 m>n» 时，可得 m>n,|卩 m|m|>n|n| 当 m»>n2 2 2 2时,m|m|>0>n|n| ;当 n<mO 时,-n>-m>0,可得 n >m,故-n <-m,即 m|m|>n|n|，故选 B⑵取 a=2,b=4,c=3,d=2,则 d-a=0,c-b=- 1,此时 d-a>c-b ,故 A 中不等式不成立；取a=2,b=3,x=-1,则-二,——=2, 此时-<——做B 中不等式不成立；取a=,b=3,c=1,d=-3,则b c =3,a d =8,此时b c <a d ，故 C 中不等式不成立; ----- = ——< 0,故D 中不等式成立.故选D.例3 ［思路点拨］(1)首先将已知不等式同时除以a,化为关于-厂的不等式组，然后利用不等式的性质可 求得-的取值范围;(2)首先根据函数解析式明确条件中的两个不等式 ，令2a-b=mf(1)+ nf (-1),通过比较系数求得mn 的值，即可根据条件中两个代数式的取值范围确定2a-b 的取值范围.(1)A (2)-—［解析］(1) •••三个正数 a,b,c 满足 a < b+c < 2a,b < a+c < 2b, • 1W- +- < 2-< 1+-< 2 •-，即-2 •-W -1- Y --，与 1 <-+- < 2 相加，得 1- 2 •-W -- K 2--,解得 -故选 A.⑵由函数的解析式可知 0<a+b<2,-1<-a+b<1,即令2a-b=m(a+b)+n(a-b),即2a-b=(m+na+(m-n)b,比较系数得 解得 即 2a-b=-(a+b)*(a-b).而0<-(a+b)<1,-Y-(a-b)<-,所以-Y-(a+b)k(a-b)<-,即 2a-b € -- 变式题 (1)A (2)(-1,0)［解析］(1)设 a +3 B =入(a + 3 )+V ( a +2 3 )=(入 +v) a +(入 +2v) B .比较系数得解得即 a +3 3 =-1( a + 3 ) +2( a +2 3 )，而-1 W - a - 3 W 1,2< 2 a +4 3 < 6,所以 1Wa +3 3< 7.故a +3 3的取值范围是［1,7］.故选A.<0.又•••a>b,.・.a -b>0,.・ --------------- <0,即-1<ab<0,故 ab 的取值范围是(-1,0).⑵•••&-—<・_,•••&--- -一 v0,「.备用例题JiAOSHI EJC YONG LlTl【备选理由】例1将不等式比较大小与函数进行交汇；例2利用作差法比较大小，并与对数的运算性质相结合,是对探究点一比较大小方法的深化；例3考查不等式性质在实际生活中的应用.例1 ［配合例1使用］［2018 •武汉4月调研］记min{a,b,c}为a,b,c中的最小值若x,y为任意正实数，则M=min - -的最大值是()A 1+ 一B 2C2+ 一 D -［解析］D 设a=2x,b=-,c=y+-=^-则M=min - 一=min{ a,b,-+1 .令a=b=4,得a=b= ― (1)当 aJ \W b W或b W a W时,c=-+-A —=+—==，所以min • a,b—+ - =a或b,其最大值为；(2)当a>b》或b >a> 时,C=-+-W=+== 所以min ‘ a,b,-+-} =c，其最大值为.综上所述,M的最大值为，故选D例2 ［配合例1使用］［2019 •长沙联考］设a=ln-,b=lo 一-,则（）Aa+b<ab<0 B.ab<a+b<0Ca+b<0<ab D.ab< 0<a+b［解析］B 由题得a=ln-<ln 1=0,b=lo ->lo 1=0所以ab<O.a+b=ln-+lo -=-ln 2+—=1 n 2—— =ln2 • ----- <0,ab- (a+b)=ab-a-b= ln_ • lo _-1n_- lo _=-ln 2 • 一+ln 2 - 一=ln 2 -一- 一=ln2 • —-_ =ln 2 •二<0,所以ab<a+b,故选 B.例3 ［配合例3使用］已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是()A2枝玫瑰的价格高B3枝康乃馨的价格高C价格相同D-不确定［解析］A 设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x,y元，则6x+3y>24,4x+4y<20，得2x+y>8,x+y<5,因此2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5X 8-8 X 5=0,因此2 枝玫瑰的价格高，故选A.第35讲一元二次不等式及其解法考试说明1 .会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.【课前双基巩固】知识聚焦2. {x|x<x 1 或X>X2} {x|x 工X’} R {X|X 1VXVX2} ? ?对点演练1. (-出，-2］U ［4,+^)［解析］由x2-2x-8=(x-4)(x+2)>0,解得x<-2 或x>4,即不等式的解集为(-，- 2］U ［4,+x).2. - ［解析］由题意可得A= - ,B={x| 1<x<2}, AAP B=- .2 23. a<- 3或a>6 ［解析］因为方程3x +2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根，所以△ =(2a) -4X 3X (a+6)>0, 解得a<-3或a>6.4. (-5,3)［解析］原不等式等价于(x+5)(x-3)<0,解得-5<x<3,即该不等式的解集为(-5,3).5. - -［解析］由(x+1)(3-2x)>0,得(x+1)(2x-3)< 0,二不等式的解集为- -. 工2时，必须满6. (-2,2］［解析］原不等式可整理为(2-m)x+(4-2n)x+4>0.当m=2时，不等式为4>0该不等式恒成立当m解得-2vm<2.综上知实数m的取值范围是(-2,2］.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］通过解一元二次不等式得到集合A,解一元一次不等式得到集合B然后求A n B;(2)首先根据一元二次不等式的解集，结合根与系数的关系得a,b的值,再解不等式.I2 t(1)D (2)A ［解析］(1)由题意得A={x|x -5X+6》0}={x|x <2 或x>3},B={x| 2x-1>0}= - ,AA n B=2 2⑵•••不等式ax+bx+2>0 的解集为{x|- 1<x<2},二ax +bx+2=0 的两根为-1,2,且a<0,二-1+2=-_,(-1)x 2二,解得a=-1,b=1,则2x2+bx+a>0可化为2x2+x-1>0该不等式的解集为变式题或-故选A(1)(-1,-lg2)［解析］(1)由一元二次不等式f(x)<0的解集为亠一U 一知f(x)>0的解集为一-，则一<10乂,得不等式的解集为x € (-1,-lg 2 ).⑵解方程(x-a)(x+1)=0的两根为-1,a.①当a<-1,即-3<a<-1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>-1};②当a=-1时，原不等式的解集为{x|x € R且x工-1};③当a>-1,即-1<a<3时，原不等式的解集为{x|x<- 1或x>a}.综上所述，当-3<a<-1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>-1};当a=-1时，原不等式的解集为{x|x € R且X K -1};当-1<a<3时，原不等式的解集为{x|x<- 1或x>a}.例2 ［思路点拨］分a=0与a K 0两种情况讨论,结合二次函数的图像特征建立不等式组进行求解.2C ［解析］若a=0,则不等式等价于3>0,该不等式恒成立，满足条件；若a K0,要使ax+ax+a+3 >0对一切实数x恒成立，则解得a>0.综上可得实数a的取值范围是［0,+叼,故选C2 _________________________ __________ . . ____________________________ ___________________________________例3 ［思路点拨］可令f(x)=x +ax- 3a,由题意及二次函数图像可知，只要f (x)在-1和1处的函数值小于0即可;或将参数a分离岀来，转化为求函数的最值来解决.A ［解析］方法一:令f (x) =x2+ax-3a,则由题意及二次函数f(x)的图像知-即--解得a>-故选A.2方法二:由x+ax-3a<0,知a>_,由题意知当x € [-1,1]时,a> 一.令g(x)=—，当x=0 时,g(x)=O；当x€［-1,1］,且x 工0 时,g(x)=—= --- =---------- ,W g(x)max=g(i)=_.故a>,故选A.例4 ［思路点拨］将已知转化为关于a的不等式，然后利用一次函数的单调性求x的取值范围.2 2(-,2)U (4,+叼［解析］已知不等式等价于(x- 3)a+x - 6x+9>0,令g但)=(x-3)a+x-6x+9，由题意，知x +(a- 6)x+9- 3a>0对|a| < 1 恒成立，等价于g(a)=(x- 3)a+x-6x+9 当a€ ［-1,1］时的函数值恒大于0.当x=3 时,g(a)=O,不符合题意当x丰3时，由一次函数的单调性得- -- -解得x<2或x>4.故x的取值范围为(-g,2) U (4,+x).应用演练1. A ［解析］命题"ax -2 ax+3>0恒成立"是假命题，则ax - 2ax+3< 0有解.当a=0时,ax-2ax+3w 0不成立;当a^ 0时，要使ax2- 2ax+3< 0有解，则或a<0,解得a<0或a> 3.故选A2. D ［解析］•••对于满足K x< 4 的一切x,都有f (x)=ax-2x+2>0,「.a 工0,且a> ---- =2-- --- 对任意的1Wx w4恒成立，•.•-€-€ 1, —2 -- --- €-,二实数a的取值范围是- g，故选D3. (-g,1)U (3,+g)［解析］由题意，知对任意a€ ［-1,1］,f (x)=x+(a-4)x+4-2a>0 恒成立，等价于(x- 2)a+x - 4x+4>0 对任意a€ ［-1,1］恒成立.令g(a)=(x- 2)a+x -4x+4,当x=2 时,g(a)=0,不符合题意当X K 2 时，由一次函数的单调性得解得x<1或x>3.故x的取值范围是(-g ,1) U (3,+ g).例5 ［思路点拨］(1)由题意分Kt w 10,10<t w 15,15<t w20三种情况，分别求得日销售量，然后与相应的销售利润相乘可得F(t)的解析式；⑵结合(1)中的日销售利润函数分别求解对应的一元二次不等式即可.解：(1)由题意可得:2 2 2当1W t w 10 时，日销售量为10t+ (-t +20t )=-t +30t, 日销售利润为40 (-t +30t);2 2 2当10<t w 15 时，日销售量为-10t+ 200+(-t +20t )=-t +10t+200，日销售利润为40(-t +10t+ 200);当15<t w 20 时，日销售量为-10t+ 200+(-t +20t )=-t +10t+200，日销售利润为20(-t +10t+ 200).综上可得F(t)=2⑵当K t < 10 时由40(-t +30t)> 5000,得5< t < 10;2当10<t < 15 时，由40(-t +10t+200)> 5000,得10<t < 15;当15<t < 20 时,不等式20(-t 2+10t+ 200) > 5000 无解.故第5天至第15天产品甲给该公司带来的日销售利润不低于5000元.变式题解:(1)W=x&)- (16x+40)= ------------ - 16x+4360,10<x<100,即年利润W万元)关于年产量x(万件)的函数解析式为W=- ----------- 16x+4360(10<x<100).当WN760时，由- -解得x=50(万件).故年利润为2760万元时该公司一年内共生产电饭煲50万件.2QW= --------- - 16X+4360》2360,整理得x -125x+2500< 0,解得25<x< 100，又10<x<100，所以25<x<100.故为了让年利润W不低于2360万元,年产量x的取值范围是［25,100).备用例题I JiAOSlil 0CIYONG Lin ______________________________________________________________________________【备选理由】例1考查解含参数的一元二次不等式问题，需要对参数进行分类讨论；例2是一元二次不等式在给定区间上的存在性问题，能开阔视野、拓展思路，完善知识体系；例3考查另一种形式的一元二次不等式恒成立问题.2例1 ［配合例1使用］解关于x的不等式a(a-1)x-(2a-1)x+1>0，其中a€ R解:由题得(ax- 1)［(a- 1)x-1］>0.①当a<0 时,x € -x - u —g ;②当a=0 时,x € (-1，+g);③------------------------------ 当0<a<1时,x€④当a=1 时,x € (-g,1);⑤当a>i时,x € -K _ U OO .2例2 ［配合例3使用］若关于x的不等式x +ax- 2>0在区间［1,5］上有解，则实数a的取值范围为()A —°° B. -----C (1,+O) D. -O -一［解析］A 不等式x +ax-2>0可化为a ——-x.设f(x)=--x,x€ ［1,5］,由题意得a>f(x)mm.因为函数f(x)在［1,5］上是减函数，所以f (x)min=f(5)亠-5=- —，故选A例3 ［配合例2使用］［2018 •银川二中模拟］已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i= 1,2,3)都成立的x的取值范围是()A -B —C -D -2 2［解析］B (1-a i x) <1? x-2a i x<0? x -—<0,其解集为—.又0<—J<—,故选 B.第36讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试说明1 .会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【课前双基巩固】知识聚焦1. 边界边界公共部分2. 不等式(组)一次解析式一次解集合最大值最小值最大值最小值对点演练1.4 ［解析］作岀不等式组表示的平面区域，如图中△ ABC及其内部所示，则&ABC==4.2.—［解析］作岀满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，由z=3x+2y得y二-x+_，因此将求z=3x+2y的最大值转化为求直线y=--x+-的纵截距的最大值.易知直线2x+y=4与x+2y=4的交点为C- -，由图知当直线y二-x+一经过点C时,z取得最大值，其最大值为3X-+2 X-=一.3.350 ［解析］设每周生产空调x台、彩电y台，则生产冰箱120-x-y台，总产值为z千元，依题意得目标函数z=4x+3y+2(120-x-y )=2x+y+240，且x,y 满足- -€ €行域如图中阴影部分内的整点.解方程组得-- 即其可€ €即M(10,90).让目标函数表示的直线2x+y+240=z在可行域上平移，可得z=2x+y+240在M(10,90)处取得最大值，且z max=2 X 10+90+240=350(千元）.4•- ［解析］画岀满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示.易知当直线y=-x-_z 经过B--时,z 取得最大值，最大值为--2X -- —.2 2画岀可行域，如图中阴影部分所示，易求得点A(1,2),B(3,4).x +y 的几何意2 2义为可行域内的点到原点 o 的距离的平方.由图知，可行域内的点A 到原点的距离最小，所以x +y 的最2 9小值是1 +2 =5.6.1 ［解析］画岀不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由z=y-ax ，得 y=ax+z,要使z 取最大值时 的最优解有无数个，则直线y=ax+z 必平行于y-x+ 1=0，所以a=1.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)首先作岀满足条件的平面区域，然后观察区域的形状;(2)首先画岀不等式组表示的 平面区域，然后分析得岀直线y=kx+-将平面区域分为面积相等的两部分时所经过的定点，即可列方程求5.5 ［解析］由- (3,4)(1)C (2)- ［解析］⑴作岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知平面区域是一个等 腰三角形，故选C. ⑵画岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线y=kx —恒经过点A -，当直线 y=kx+_再经过BC 的中点D--时,平面区域被直线y=kx+-分为面积相等的两部分.将点D 的坐标代入 直线方程得-=-k+-,解得k=-. 变式题(1)A (2)m ：2［解析］(1)作岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.联立方程得A(1,0),所以平面区域的面积为-X 1 X 3亠,故选A(2)作岀_ 所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示.易知直线x=1与x- 2y+1=0的交点坐 得B(2,3)，标为理1,1).若使原不等式组所表示的平面区域的形状为三角形，则需满足点A位于直线x+y=m下方,据此有1+1<m即m的取值范围为m2例2 ［思路点拨］(1)首先画岀约束条件表示的可行域，然后通过平移等值线来确定目标函数的最值.(2)作岀可行域，求岀顶点的坐标，根据最优解的可能情况求岀a的值,再验证a的值是否符合题意.(1)B (2)B［解析］⑴作岀约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.由得A -.令z=x-4y,则y=-x--z,平移直线y=-x--z,由图可知，当直线y=-x--z经过点A时，直线y=x--z在y轴上的截距最小此时z 有最大值，为-4,故选B.(2)作岀约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(2,0),B(1,1).若z=ax+y过点A时取得最大值4,则2a=4,解得a=2,此时目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z.平移直线y=-2x+z,易知当直线经过A(2,0)时,y=- 2x+z在y轴上的截距最大，此时z的最大为4,满足条件.若z=ax+y过点B时取得最大值4,则a+1=4,解得a=3,此时目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z.平移直线y=-3x+z,易知当直线经过A(2,0)时,y=- 3x+z在y轴上的截距最大，此时z的最大值为6,不满足条件.综上所述，a=2.故选B.变式题(1)B (2)C ［解析］(1)画岀约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示).由z=-2x-y得y=- 2x-z.平移直线y=-2x-z,由图可得，当直线y=-2x-z经过点A时,直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值.由-解得故点A(2,3),.・.z min=-2X 2-3=-7，故选B(2)作岀可行域，如图中厶ABC及其内部所示，并作直线l:2x-y=0,平移直线丨，易知当丨经过点A —时,z取得最小值，.•• 2X ------ =- 4,解得a=3，故选C例3 ［思路点拨］设运送甲种货物x件，乙种货物y件，可获利润为乙然后根据已知条件确定x,y满足的不等式组和目标函数，再画岀平面区域，平移等值线找到最优解.62 ［解析］设运送甲种货物x件，乙种货物y件,可获利润为乙则由题意得即€且z=8x+10y.作岀不等式组对应的平面区域如图中阴影部分内的整点.由z=8x+10y得y=-」+—,平移直线y二_x+—,由图可知当直线y=-_x+—经过点B时,直线在y轴上的截距最大，此时z最大.由得即B(4,3),故Z max=8X 4+10 X 3=62,即一次运输获得的最大利润为62元.目标函数为z=60x+25y,画岀可行变式题A ［解析］设总收视人次为z.依题意得域如图中阴影部分所示.由图易知，目标函数在点M(6,3)处取得最大值.故选A2 2例4 ［思路点拨］(i)(x-1)+ y的几何意义为可行域内的点到点(1,0)的距离的平方，据此可求岀z的最小值;(2)利用z=——=2 •—的几何意义，即平面区域内的点(x,y)与定点 -的连线的斜率的2倍求解.(1)C (2)C2 2［解析］(1)作岀不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.(x-1) + y的几何意义为可行域内的点到点(1,0)的距离的平方，由图可得，点P(2,1)到点(1,0)的距离最小，此时z的值最小，最小值z min=(2-1) +1 =2, 故选C(2)作岀不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.目标函数z—=2 •二表示平面区域内的点与点 -的连线的斜率的2倍.由图可得，目标函数在点qi,2)处取得最大值，最大值Z max=—一=3,在点B(2,1)处取得最小值，最小值Z min = ------ =—--- =—. 故目标函数Z=—的取值范围是-，故选C 变式题(1)B (2)B2 2［解析］⑴由题意，作岀约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.由方程x+y+6y-k=o,得2 2X +(y+3) =9+k,则此问题可转化为求可行域内的点到定点C(0,- 3)的距离最小时实数k的值.点C到直线x+2y+2=0的距离d=——=一==,易知点C到直线x+2y+2=0的距离即为点C到可行域内的点的距离的最小值,则有9+k==，解得k=-—.故选B.⑵由题意，作岀不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.不等式kx-y+k < 1等价于 X——，- 的几何意义是平面区域内的点与点(-1,-1 )连线的斜率，记P(-1,-1),由题意知k< Z min.由图可知点P与B(1 ,0)连线的斜率最小，所以Z min=——=_所以实数k的取值范围是-^-，故选B.tMV备用例题JIAOSHI 0C YONG UM【备选理由】 例1需要先由已知条件确定不等式组中的参数 ，再求目标函数的最值，增加了解题难度 例2是已知目标函数的最值求参数问题；例3考查线性规划在实际问题中的应用，进一步强化应用意识 例4与例5为非线性目标函数的问题，考查斜率型目标函数与距离型目标函数的最值 .例1 ［配合例2使用］［2018 •杭州二中模拟］已知不等式组 为9,若点P(x,y)€ S,则z=2x+y 的最大值为 ( )A3 B 6C 9D 12［解析］C 作岀不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示 则A(a,a),B(a,-a),所以平面区域的面积 S=- - a - 2a=9,解得a=3,此时A(3,3),B(3,- 3).由图可得当z=2x+y 过点A(3,3)时,z=2x+y 取得最大值9,故选 C例2 ［配合例2使用］［2018 •汕头二模］设变量x,y 满足约束条件 最小值为-4,则a 的值是()A 1B 0C- 1 D -表示的平面区域S 的面积 目标函数z=3x- 2y 的［解析］C 作岀约束条件所对应的可行域(如图中阴影部分所示).目标函数z=3x-2y可化为y二x-_z,平移直线y=»-J,由图可知，当直线经过点A时直线在y轴上的截距最大，此时z最小.由- -解得-•••A(a-1,a),「. 3(a-1)-2a=-4,解得a=-1,故选C.例3 ［配合例3使用］［2018 •南昌模拟］某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资本地养鱼场和远洋捕捞队.对本地养鱼场的调研结果是平均年利润率为0. 3,对远洋捕捞队的调研结果是平均年利润率为0. 4,为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于对本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，明年该公司投资这两个项目的利润之和最大为_________________ 千万元.［答案］2.2［解析］设该公司对本地养鱼场的投资金额为x千万元，对远洋捕捞队的投资金额为y千万元，利润之和目标函数z=0. 3x+0. 4y.画岀约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由z=0. 3x+0. 4y得y=-z--x,由图可知，当直线y=-z--x经过点M(2,4)时,z取得最大值此时Z max=0. 3 X 2+0. 4X 4=2. 2,所以最大利润为2. 2千万元.则目标函数z=——的例4 ［配合例4使用］［2018宜昌三模］若实数x,y满足不等式组最大值是()A 1 B- 一［解析］B 画岀 - 表示的可行域，如图中阴影部分所示.将z=— 变形为z=1-—表示可 行域内的点与 理3,5）连线的斜率，由图知可行域内的点P 与点A 连线的斜率最小，目标函数在点P 处取得 最大值.由 即 P(0,1).则 Z ma = —二-,故选 B.例5 ［配合例4使用］［2018 •河南名校考前预测］已知实数x,y 满足-的取值范围为( )A[2, —] B — —C —D [4,10]2 2［解析］C 作岀- 表示的可行域，如图中阴影部分所示.（x-i ）+（y+i ）的几何意义为可行域 内的点（x,y ）与MU ）的距离的平方.由图可知，点M 到直线x- 2y+1=0的距离的平方，就是目标函数的最 2 2 小值，最小值为 ,点M 到C(0,2)的距离的平方，就是目标函数的最大值，最大值为1+3=10.所 2 2 以z=(x-1) +(y+1)的取值范围为— ，故选C 可得 2 2则z=(x-1)+(y+i)第37讲基本不等式考试说明1 .了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【课前双基巩固】知识聚焦1. (1) a>0,b>0 (2)a=b2. (1)2ab (2)23. ——两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4()2 一(2)-对点演练1.2 ［解析］当x>0时,x+-> 2 -=2,当且仅当x=1时等号成立，则x+-的最小值为2.2. ---------------------------------------------------------------------------------------- - ［解析］•••正实数x,y 满足2x+3y=2,「. xy= x2x - 3y <- ------------------------------------------- 二，当且仅当2x=3y=1,即x=-,y=-时等号成立,即xy的最大值为-.2 __3. 81 m ［解析］设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,二x+y=8,「.矩形菜园的面积S=xy< --------- =—=81 (m),当且仅当x=y=9时取等号，二当菜园的长和宽都为9 m时，菜园的面2 积最大,为81 m .4.1-2 一［解析］J x<0,.・・f(x)= -------- =2xi+仁-- -+K-2 - —+1=1-2 一，当且仅当-2x=—,即x二一时，等号成立，「.f (x)的最大值为1- 2 .5.3 ［解析］设x+2=t则x+一=t+_-2.又由x> 2得t >4,而函数y=t+--2在［2,+^ )上是增函数，因此当t=4时,t+ _-2即x+一取得最小值，最小值为4+--2=3.6.9 ［解析］2a+_= _ - 一=5+—+—> 5+2 •=9,当且仅当一=一，即a=3,b=9 时取等号••• 2a，的最小值为9.【课堂考点探究】例1 ［思路点拨］(1)根据已知等式凑岀定值，然后利用基本不等式求最大值；(2)根据所求式子凑岀定值然后利用基本不等式求解.(1)- ⑵2 一+2 一［解析］(1) •/ x»,y>0,「. xy= X 2x X 3y< ---------------- =-，当且仅当2x=3y=3,即x=,y=1 时，等号成立，故xy的最大值是-.⑵2a+——+—=a+b+a-b+——+—,丁a>b»,「. a+b —>2 _,当且仅当a+b= _时取等号,a-b+一>2 _,当且仅当a-b= 一时取等号，联立_ 解得 ___ •••当___时,a+b+a-b+——+—>2 _+2 一,即2a+——+ —取得最小值2 一+2 一例2 ［思路点拨］(1)设数列｛a n｝的公比为q,由题意可得到关于mn的等式,则可利用常数代换法求岀-+-的最小值;(2)首先将已知等式变为一+—=1,然后采用常数代换法将a+b变换为(a+b)——展开后再利用基本不等式求最值.m n 4(1)A (2)2+ ［解析］(1)设数列｛a n｝的公比为q(q^ 0).根据题意，得a m=q ,a n=q ,a4=q ,m+2n 8由a m =，得q =q ,•- m+?n=8, •- ---- =1,又mn € N,---------- +------ —>-+2 —=1，当且仅当一=—，即卩m=4,n=2 时取等号(2)因为3a+b=2ab,所以一+—=1,又a>0,b>0,故a+b=(a+b) _ — =2+—+_> 2+ 一,当且仅当一=_时取等号即a+b的最小值为2+ 一例3 ［思路点拨］首先根据条件等式用a,b表示岀c,并代入一中，利用基本不等式通过求最值确定a,b 的关系，进而将a+b-c转化为关于b的式子，最后通过配方求解.C ［解析］根据题意得c=a2-ab+4b2,所以一=— ------ =_+一-1》2 _-1=3，当且仅当-J,即a=2b时取等2 2 2 2号，所以a+b-c=2b+b-4b +2b -4b =-6b +3b=-6 -一+_,所以当b=时,a+b-c 取得最大值-，故选C应用演练2 2 2 2 2 21. A ［解析］T 0< =••• 0<x ~,1-4x >0,则y=x (1-4x ) = X (4x ) X (1-4x ) ------- —匚,当且仅，等号成立，即y=x (1- 4x )的最大值为一，故选A— 2 2 当x= 士一时2. D ［解析］因为a=-［(a+b)+(a-b)］,所以a+—+一=(a+b) +—+-(a-b)—又因为-(a+b) +—>2 ，当且仅当-(a+b)=——时取等号，-(a-b)+—>2 -= 一,当且仅当-(a-b)=—时取等号，所以a—+—>3 一,当且仅当-即 -时取等号，故选D.3. C ［解析］由函数的解析式可得M1,1),则-+-=1(a>0,b>0),则a+b=(a+b) - - =2—+- >2+2 - •- =4,当且仅当a=b=2时等号成立.综上,a+b的最小值为4,故选C4. 8+4 ［解析］由题得-+-= - - • (2x+3y)=8—+—> 8+2 —• —=8+4 ，当且仅当一=—，即x=——,y=——时等号成立.5. 8 ［解析］Ta,b,c 均为正数，且abc=4(a+b),「. c= --- ,• a+b+c=a+b+ ------ =a+b+4 >2 • -+2 • -=8,当且仅当a=2,b=2时取等号,• a+b+c的最小值为8.例4 ［思路点拨］(1)首先利用导数与函数单调性的关系将问题转化为一个不等式恒成立问题，然后转化为求函数的最值问题，最后利用基本不等式求函数的最值；(2)首先利用基本不等式确定两个对数MN 中的真数的取值范围，由此得到MN的取值范围，然后计算岀Q的值，进而得到MN,Q的大小关系.(1)D (2)B ［解析］(1)函数f (x)的定义域为(0,+ V,f' (x)=4x+--a.由已知有f (x)> 0在定义域上恒成立, 所以4x+-a >0对于x € (0,+s)恒成立，即a< 4x+_恒成立,所以a< - .因为4x+_ >2 • -=4, 当且仅当x=-时等号成立，所以a < 4,故选D⑵•••f(a)=f(b),.・.|lg a|=| lg b|,「.lg a+lg b=0,即ab=1. J _= = ------- = ---- <—=—,••. Nlog 2 _= <-2. ---------------- >_乂，二Mlog ------ >-2.又•.•Q=n _=-2,二M>Q>故选B.变式题(1)A (2)- 懈析］(1)由题意得f' (x)=3ax +2bx+c.因为函数f (x)在R上单调递增，所以可得c>-，且a>0所以^>———> --------------------- =1,当且仅当c=b=3a时等号成立，所以——的最小值为1,故选A⑵易得函数f(x)=e x-e-x+x3+3x在R上单调递增，且为奇函数,又f (2a-1)+f (b-1)=0，即f (2a-1)=-f (b-1)，所以2a-1=1-b,即2a+b=2.所以一+——= ---------- -- ---------- +b+-=2(a+1)+b+—+--4 —+-= 一-［2(a+1)+b］ x-=- x —— ------ >-x (5+4)=-,当且仅当a=-,b=-时取等号.例5 ［思路点拨］(1)首先求岀运输到第x年年底该大货车运输累计收入与总支岀的差，然后令其大于0,即可得到结论;(2)利用利润=累计收入+销售收入-总支岀，可得年平均利润，再利用基本不等式即可得结论.解:(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，2 *则y=25x- ［6x+x(x-1 )］-50=-x +20x- 50(0<x< 10,x € N),由-x2+20x- 50>0，可得10-5 -<x< 10.••• 2<10-5 _<3,A大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支岀.⑵•/利润=累计收入+销售收入-总支岀，。
高中数学不等式证明题目训练卷及答案
高中数学不等式证明题目训练卷及答案一、选择题1、若\（a ＞ b ＞ 0\），则下列不等式中一定成立的是（）A ＼（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼）B ＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＞＼frac{b}｛a}＼）C ＼（a ＼frac{1}｛b} ＞ b ＼frac{1}｛a}＼）D ＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＞＼frac{a}｛b}＼）答案：A解析：因为\（a ＞ b ＞ 0\），所以\（a b ＞ 0\）。
A 选项：＼（（a ＋＼frac{1}｛b}）（b ＋＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋（＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＋＼frac{a b}｛ab}＞ 0\），所以\（a ＋＼frac{1}｛b} ＞ b ＋＼frac{1}｛a}＼），A 选项正确。
B 选项：＼（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1} ＼frac{b}｛a} ＝＼frac{a(b＋ 1) b(a ＋ 1)｝｛a(a ＋ 1)｝＝＼frac{a b}｛a(a ＋ 1)｝＼），因为\（a(a ＋ 1) ＞ 0\），但\（a b\）的正负不确定，所以\（＼frac{b ＋ 1}｛a ＋ 1}＼）与\（＼frac{b}｛a}＼）大小不确定，B 选项错误。
C 选项：＼（（a ＼frac{1}｛b}）（b ＼frac{1}｛a}）＝（a b) （＼frac{1}｛b} ＼frac{1}｛a}）＝（a b) ＼frac{a b}｛ab}＼），当\（ab ＞ 1\）时，＼（（a b) ＼frac{a b}｛ab} ＜ 0\），C 选项错误。
D 选项：＼（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＝＼frac{b(2a ＋ b) a(a ＋ 2b)｝｛b(a ＋ 2b)｝＝＼frac{b^2 a^2}｛b(a ＋2b)｝＼），因为\（b^2 a^2 ＜ 0\），＼（b(a ＋ 2b) ＞ 0\），所以\（＼frac{2a ＋ b}｛a ＋ 2b} ＼frac{a}｛b} ＜ 0\），D 选项错误。
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2020年高考数学第一轮复习
小题必刷卷(九)不等式与推理证明
题组一真题集训
1.[2014·四川卷]若a>b>0,c<d<0,则一定有()
A.>
B.<
C.>
D.<
2.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()
A
.-3,
-B
.-3
,C
.1
,D
.,
3
3.[2017·山东卷]设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()
A.(1,2)
B.(1,2]
C.(-2,1)
D.[-2,1)
4.[2015·福建卷]若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于()
A.-
B.-2
C.-
D.2
5.[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
6.[2016·山东卷]若变量x,y满足则x2+y2的最大值是()
A.4
B.9
C.10
D.12
7.[2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
8.[2017·山东卷]若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()
A.a+<<log2(a+b)
B.<log2(a+b)<a+
—1 —
C.a+<log2(a+b)<
D.log2(a+b)<a+<
9.[2014·全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D,有下面四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是()
A.p2,p3
B.p1,p2
C.p1,p4
D.p1,p3
10.[2017·全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.10
11.[2014·全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.
12.[2015·全国卷Ⅰ]若x,y满足约束条件则的最大值为.
13.[2017·天津卷]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.
14.[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为
900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
小题必刷卷(九)
1.B[解析]因为c<d<0,所以<<0,即->->0,与a>b>0对应相乘得,->->0,所以<,故选B.
2.D[解析]集合A=(1,3),
B=,
+∞,所以A∩
B=,
3.
3.D[解析]由4-x2≥0得-2≤x≤2,所以A={x|-2≤x≤2};由1-x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|-2≤x<1},故选D.
4.A[解析]可行域如图所示,当直线y=2x-z过点A时,z取得最小值,且z min=-.
—2 —
5.D[解析]由于甲不知道自己的成绩,故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好,所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩,乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩.故选D.
6.C[解析]可行域如图所示,
设z=x2+y2,联立得由图可知,当圆x2+y2=z过点(3,-1)时,z取得最大值,即(x2+y2)max=32+=10.
7.D[解析]设2x=3y=5z=t(t>1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以
2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lo t,5z=5log5t=lo t,又t>1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,,的大小即可.因为()6=8<9=()6,所以<.因为()15=35=243>125=()15,所以<.因为()10=32>25=()10,所以<,所以<<,所以3y<2x<5z.
8.B[解析]利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.
9.B[解析]不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示,设目标函数z=x+2y,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,-1)处取得最小值,且z min=2-2=0,即x+2y的取值范围是[0,+∞),故命题p1,p2为真,命题p3,p4为假.
—3 —
10.A[解析]根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,根据抛物线定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4≥8+4×2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为16.
11.[解析]根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cos A==,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为×4×=.
12.3[解析]的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率.画出可行域,如图中阴影部分所示.
由得C(1,3),由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大,且最大值为3.
13.4[解析]由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以=≥=4ab+≥2=4,当且仅当a2=2b2=时,等号成立.
14.216 000[解析]设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则
即目标函数为z=2100x+900y.
作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.
—4 —
由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.
解方程组得M的坐标为(60,100),
所以当x=60,y=100时,z max=2100×60+900×100=216 000.
—5 —。