考点19 线性规划-2018届高考数学(理)30个黄金考点精析精训

2018届高三数学30个黄金考点精析精训考点19 线性规划 【考点剖析】1.最新考试说明：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.命题方向预测：预计2018年高考对本节内容的考查仍将以求区域面积和目标函数最值（或取值范围）为主，考查约束条件、目标函数中的参变量取值范围，题型延续选择题或填空题的形式，分值为4到5分.3.课本结论总结：画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化，确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线，特殊点定域，即在直线0Ax By C ++=的某一侧取一个特殊点00(,)x y 作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当0C ≠时，常把原点作为测试点；当0C =时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点；线性规划的综合运用问题，通常会考查一些非线性目标函数的最值，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.4.名师二级结论：（1）平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．（2）求最值：求二元一次函数(0)z ax by ab =+≠的最值，将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． （3）解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．5.课本经典习题：(1)新课标A 版必修5第86页，练习1 不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的（ ） A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方【解析】如图所示，在平面直角坐标系中坐出直线260x y -+=，原点(0,0)满足不等式，因此可知不等式260x y -+>表示的区域为直线的右下方.【经典理由】通过具体的例题，给出了利用特殊点定二元一次不等式所所表示的平面区域的一般方法.（2）新课标A 版必修5 第91页，练习1（1） 求2z x y =+的最大值，使x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩【解析】如图，坐出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线l ：20x y +=，则可知，当2,1x y ==-时，max 3z =.【经典理由】结合具体实例，给出了利用线性规划求线性目标函数最值的一般方法.6.考点交汇展示：(1)线性规划与基本不等式相结合设O 为坐标原点，第一象限内的点(,)M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩，(,)(0,0)ON a b a b =>> ，若OM ON的最大值为40，则51a b+的最小值为（ ） A.256B.94C.1D.4【答案】B(2)线性规划与平面向量相结合在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足 ||OA ||2OB OA OB ==⋅=，则点集{|POP λ= OA + OB μ，||||1λμ+≤，λ，}R μ∈所表示的区域的面积是________．【答案】【解析】由 ||OA ||2OB OA OB ==⋅= ，知1cos 2AOB ∠=，∴3AOB π∠=，又A ，B 是两定点，可设A ，(0,2)B ，(,)P x y ，由 OP λ= OA + OB μ，可得2x y λμ⎧⎪⇒⎨⎪⎩，＝＋32x y x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因为||||1λμ+≤x＋12y x ≤，当0330336x y x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－＋由可行域可得0122S =⨯=，所以由对称性可知点P所表示的区域面积04S S ==. 【考点分类】热点1 求目标函数的最值1.【2017北京，理4】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.2.【2016高考山东文理】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（ ）（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点31A -（，）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.3.【2017课标1，理13】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5-【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小所以，当直线直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值 所以z 取得最小值为3(1)215⨯--⨯=-4.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.【解题技巧】求约束条件下的二元函数的最值是典型的线性规划问题，求解这类问题时，目标函数所对应的直线的截距十分关键，即把目标函数z ax by =+中的zb看作直线在y 轴上的截距，其中b 的符号要特别小心：当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上的截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大，例如第1题，利用平移的方法，考查直线在可行域内在y 轴上的截距，即可求得最值. 【方法规律】把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界，求目标函数的最大值或最小值，必须先画出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值.热点2 与其它知识点交汇1.已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B.2.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不．唯一．．，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 【答案】D2.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.3.【2018陕西西安西北工业大学附属中学模拟】若平面区域30{230230x yx yx y+-≥--≤-+≥，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这条平行直线间的距离的最小值是( )A.B.D.【答案】D【解析】作出平面区域如图所示：∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等.联立方程组30{230x yx y+-=--=,解得A(2,1)，联立方程组30{230x yx y+-=-+=,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x−1，y=x+1，即x−y−1=0，x−y+1=0.本题选择D选项.4.【2018浙江嘉兴第一中学模拟】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】表示直线的右上方，若构成三角形，点A 在的右上方即可。

又，所以，即.故选C.5.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点(,)P x y 是区域D 内任意一点，则2x y +的取值范围是 .【答案】 1[2,]2-。