3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子
第一章 希尔伯特空间
第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引
出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中
位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘
中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘
以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的
内积空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数， 可以把它们写成一个一列矩阵：
高等量子力学
主讲人：顾运厅
参考教材：《高等量子力学》（第二版），喀兴林，
高等教育出版社
第一章 希尔伯特空间
本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容： §1 矢量空间 §2 算符 §3 本征矢量和本征值 §4 表象理论 §5 矢量空间的直和与直积
§1 矢量空间
下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 （1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。
证明：
设在空间中有 1 和 2 ，对所有矢量 都满足
1 , 2
取第一式的 为 2 ，第二式中的 为 1 ，分别得
2 1 2 , 1 2 1
* * * （，）（ 2 （ ，） ， （ （（ 1） （，）（，） ，），* ，） ） ，） 2 （ ） 0 ，） ， 2，） ，） 22 （，） （ （ （，） （ 0 （ （ ，） 2 （ 2 2 2 2 2
2 2
2
1
2
1 2 2 2 ， ） 2（，） （ 2
由于
0 ，所以有 （，）
2
2
2
即 （，）
Hilbert空间中的线性算子
共轭（伴随）算子
• 定理 T B( H1 , H 2 ) 1 S B( H 2 , H1 )
s.t., (Tx, y) ( x, Sy), x H1 , y H 2 .
唯一的有界线性算子S 称为T 的共轭 * 算子记为 T 。
i.e., (Tx, y) (x, T y), x H1, y H2
b
a
a
x(t ) K ( s, t ) y ( s ) ds dt
a a
b
( x(t ),
*
b
a
K ( s, t ) y ( s ) ds )
( x, T y ) L2 [ a ,b ]
(T y )( t )
b a
K ( s , t ) y ( s ) ds
自伴算子
H R
n
n
U U UU I
T
T
T
正交矩阵
酉矩阵Βιβλιοθήκη H CU U UU I
T
投影算子
• 定义 L是Hilbert空间H中的一个闭子空 间，定义算子P：
x H ,Px是x在L上的投影，
则称P为H到L的投影算子。 投影算子的范数或是0或是1
• 定理
线性算子 P：HH，则P
* 2
2 2
求T的共轭算子。
(Tx, y ) ( K (t , s ) x( s )ds, y (t ) )
a
b
L2 [ a ,b ]
b
a
b
b
a
K (t , s ) x( s ) y (t ) ds dt
为Hilbert空间.
（3） 因 U 为一一到上，故U 1也一一到上，并 1 1 * ** 1 1 且由于(U ) U U (U ) ，所以 U 仍为酉 算子。 （4） 因U 及 V 为酉算子，故为一一到上映射， 所以U V 仍为一一到上映射，且
(U V ) V U V U (U V )
T
9.5自伴算子、酉算子和正常算子
在矩阵理论中，我们已经研究过 Hermitian 阵，酉阵和正常阵，下面我们要在Hilbert空间中 建立起相应的自伴算子、酉算子和正常算子的概 念，并讨论这些算子的一些基本性质。
定义 1 设 T 为 Hilbert 空间 X 到 X 中的有 * 界线性算子，若 T T ，则称 T 为 X 上的自伴 * * 算子；若 TT T T，则称 T 为 X 上正常算子； 若 T 是 X 到 X 的一对一映射，且 T * T 1 ，则 称 T 为 X 上的酉算子。
但 Tn自伴，故 lim Tn* T ，因此由极限的唯一
n
性，成立 T T 。证毕。 定理4 设U 及 V 是Hilbert空间 X 上两个酉 算子，那么
*
x X ，成立|| Ux |||| x ||； （1） U 是保范算子，即对任意
（2）当X {0} 时， || U || 1 ；
（3）U 1是酉算子；
UV 是酉算子； （4）
{U n }收 （5）若U n , n 1, 2, 是 X 上一列酉算子，且 敛于有界算子 A ，则 A 也为酉算子。
证明 （1）由酉算子定义
|| Ux ||2 Ux,Ux x,U *Ux x, x || x ||2
（2） 由（1）立即可得。
证明 若 T 为自伴算子，则对所有 x X ，
希尔伯特空间
希尔伯特空间在数学中，希尔伯特空间（以大卫·希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的方法从二维和三维欧几里得空间推广到可能具有无限维数的空间。
希尔伯特空间是一个具有内积运算的向量空间，它允许定义距离函数和垂直度（称为正交性）。
此外，对于这个距离，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制，可以使用微积分技术。
希尔伯特空间在数学和物理中自然而频繁地出现，典型的是无穷维函数空间。
在偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和传热的应用）和遍历理论（形成热力学的数学基础）中，它们是不可或缺的工具。
约翰·冯·诺伊曼创造了希尔伯特空间这个术语，用来描述这些不同应用的抽象概念。
希尔伯特空间方法的成功开创了一个非常富有成果的泛函分析时代。
除了经典的欧几里得空间外，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索伯列夫空间和全纯函数的哈代空间。
几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要的作用。
毕达哥拉斯定理和平行四边形定律在希尔伯特空间中有确切的类比。
在更深层次上，在子空间上的垂直投影在优化问题和理论的其他方面起着重要的作用。
希尔伯特空间理论是代数、拓扑和几何的融合。
在这个意义上，代数和几何之间的“相互作用”是相当平滑的。
不过，只要考虑到无限维线性空间，情况就会发生变化，这也是拓扑学出现的地方。
对于无限维线性空间，所有的线性算子都是连续的，算子的收敛具有单一的含义，任何线性空间都与它的双重对偶自然同构，而且封闭单位球是紧凑的。
这些便利条件在无限维的情况下并不存在。
虽然基数确实存在，但其存在的证明是非结构性的，而且往往不能明确地给出基数。
因此，依靠坐标和矩阵的技术通常是不合适的。
线性算子不一定是连续的，事实上，许多感兴趣的线性算子都不是连续的。
由两个线性空间之间的所有线性算子组成的空间带有两种不同的拓扑结构，因此也有两种不同的收敛概念。
对偶空间的正确概念是所有连续线性算子进入地五十度的空间，即使如此，原空间也只嵌入其双重对偶中。
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
几类算子
由条件得
0 Tv , v Tx Ty, x y
| |2 Tx , x Ty , y Tx , y Ty , x Tx , y Ty , x
令
(4)
i ，则 i ，此时由（4）式
(5)
Tx , y Ty , x 0
又若令
二 自伴算子、酉算子和正常算子的性质
引理1 设 T 为复内积空间 X上有界线性算 子,那么T 0 的充要条件为对一切 x X ,有
Tx, x 0
证明
(3)
若 T 0，显然有 Tx, x 0 ；
反之，如果（3）式对一切 x X 成立，对 任意 x, y X 及数 ，令 v x y ，由
U 是保范算子,即对任意 xX，有
U
证明 （1）由酉算子定义,有
|| Ux || Ux ,Ux x ,U Ux x , x || x ||
2 *
2
（2） 由（1）立即可得. （3） 因 U 为一一到上,故 U 1 也一一到上，
1 * ** 1 1 ( U ) U U ( U ) ，所以 并且由于 1 U 仍为酉算子. （4） 因 U 及 V 为酉算子，故为一一到上 映射，所以 U V 仍为一一到上映射，且
由自伴算子定义可知,若 T1 和 T 2 是 X上的 两个自伴算子，则 T1 T 2 也是自伴算子. 并且 有下列定理 定理2 设 T1 和 T2是Hilbert空间 X上两个自 伴算子,则 T1 T 2 自伴的充要条件为 T1 T2 T2 T1. 证明 由共轭算子性质，
(T1 T2 ) T2 T T2 T1 ,
Tx , x x , Tx Tx , x ,
酉算子的谱定理
酉算子的谱定理酉算子的谱定理是泛函分析中的一个重要定理，它涉及到线性算子和谱理论的概念。
在介绍酉算子的谱定理之前，我们首先需要了解一些相关的背景和术语。
1.酉算子：在数学中，特别是在泛函分析和线性代数中，酉算子（或称为幺正算子）是一种保持内积不变的线性算子。
对于复数域上的希尔伯特空间H，一个线性算子U: H → H被称为酉算子，如果对于H中的所有向量x和y，都有<Ux, Uy> = <x, y>。
2.谱定理：谱定理是数学中的一个基本结果，它描述了某些类型的自伴算子（或更一般地，正规算子）可以通过其谱（即特征值的集合）来完全描述。
对于自伴算子，谱定理表明存在一组正交的特征向量，它们构成希尔伯特空间的一个完备正交基，并且算子可以表示为这些特征向量的线性组合，其中系数是对应的特征值。
然而，酉算子的谱定理与自伴算子的谱定理有所不同。
酉算子的谱定理主要关注算子的谱性质和分解，而不是通过特征向量来表示算子。
具体来说，酉算子的谱定理表明，对于给定的酉算子U，存在一组正交投影算子（这些投影算子对应于U的特征子空间），使得U可以表示为这些投影算子的线性组合。
此外，这些投影算子的系数是复数域上的单位圆上的点，它们构成了U的谱。
酉算子的谱定理的一个关键结果是：酉算子的谱（即特征值的集合）都在单位圆上。
我们可以通过一个简单的例子来说明这一点。
考虑二维复数空间C^2，并定义一个线性算子U如下：U((x, y)) = (a x + b y, c x + d y)其中a, b, c, d是复数。
为了使U成为酉算子，它必须满足<U(x,y), U(z,w)> = <(x,y), (z,w)>对所有(x,y)和(z,w)成立。
这导致了一些限制条件，特别是矩阵[a b; c d]必须是酉矩阵，即它的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵。
现在，假设U是一个酉算子，并且它有一个特征值λ。
那么存在一个非零向量(x, y)使得U((x, y)) = λ*(x, y)。
自伴算子酉算子和正常算子ppt课件
(U V )* V * U * V 1 U 1 (U V )1
所以 U V 仍为酉算子.
（5）当 n 时，因 Un A ，
所以
||
U
* n
A*
|||| Un
A
||
0
即
U
* n
A* ,
因此
A* A
limU
n
n*U
n
I
.
同理可证 AA* I . 故 A 为酉算子.证毕.
13
定理4中的（1）的逆命题不一定成立， 即保范算子不一定为酉算子.
11
U
证明 （1）由酉算子定义,有
||Ux ||2 Ux,Ux x,U*Ux x, x || x ||2
（2） 由（1）立即可得.
（3） 因U 为一一到上,故U 1也一一到上， 并且由于 (U 1)* U ** U (U 1)1，所以 U 1仍为酉算子.
（4） 因U 及V 为酉算子，故为一一到上 映射，所以 U V 仍为一一到上映射，且
反之,如果对所有 x X ，Tx, x 都为实数,则
Tx , x Tx , x x , T x T x , x , 所以 (T T )x, x 0 . 由引理1，T T* ， 即 T 自伴算子，证毕.
8
由自伴算子定义可知,若T1 和 T2 是 X上的
两个自伴算子，则 T1 T2 也是自伴算子. 并且 有下列定理
16
下面介绍正常算子的一些基本性质.
设 T是复 Hilbert 空间 X 上的有界算子,令
T T*
T T*
A
,B
2
2i
容易证明 A和 B是自伴算子,并且有 T A iB
称 A和 B分别为算子 T 的实部和虚部，并称
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3.5.1 自伴算子 定义3.5.1（自伴算子）设 H 为希尔伯特 空间， T：H → H 为有界线性算子，若 T 的希尔伯特伴随算子 T* 满足 T* = T ，即 有关系
< T x , y > = < x , T y > （x，y ∈ H ）
则称 T 为自伴算子或厄米特算子。
定义3.5.7（正规算子）
设பைடு நூலகம்H 为希尔伯特空间，T：H→H 是
有界线性算子，若T T* = T* T，则称 T 为
正规算子。
3.5.3 正算子
自伴算子可以比较大小：
定义3.5.8（正算子）设 H 为复希尔伯特
空间， T：H→H 为自伴算子，如果 T ≥
0，即
< T x， x > ≥ 0 任意 x ∈ H
必要条件是其乘积可交换，即有
T1 T2 = T2 T1
定理 3.5.4
设 T 为希尔伯特空间 H 的自伴算子，
I 为恒等算子，λ 为实数，则 λ I - T 也 是自伴算子。
3.5.2 酉算子和正规算子
定义3.5.5（酉算子）设 H 为希尔伯特空 间，T：H → H 是有界线性算子，若 T 是
一双射且 T* = T-1，则称 T 为酉算子。
定理3.5.2（自伴性）
设 H 为复希尔伯特空间，T 为 H 到自
身的有界线性算子，则 T 为自伴的充分必
要条件是，对任意的 x ∈ H ，< T x , x >
为实数。 证明：板书。
定理3.5.3（算子积的自伴性）
设 T1 和 T2 是希尔伯特空间 H 上的有
界自伴线性算子，则其乘积也自伴的充分
则称 T 为正算子或非负算子。
定义3.5.10（正定算子）
设 T 是希尔伯特空间 H 上的正算子，
若存在常数 C ＞ 0，使得
< T x，x > ≥ C‖x‖
x∈H
则称 T 为 H 上的正定算子。