第三节线性算子
1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
物理学中的拉普拉斯算子
物理学中的拉普拉斯算子在物理学中，拉普拉斯算子常常出现在各种方程中。
那么，什么是拉普拉斯算子呢？拉普拉斯算子是一个向量算子，通常表示为$\nabla^2$。
在三维笛卡尔坐标系下，它的表达式为：$\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partialx^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$可以看出，拉普拉斯算子是由三个二阶偏微分算子组成的。
在一个三维欧几里得空间中，拉普拉斯算子描述了一个点周围的曲率或弯曲程度。
因此，它被广泛应用于物理学、工程学等领域的方程中。
在自然科学中，拉普拉斯算子的应用十分广泛。
例如，在流体力学中，拉普拉斯算子常常用于描述流体中的速度场和压力场。
在电动力学中，它被用来表示电场和磁场的变化。
在热学中，它可以描述温度场和热流的分布。
总之，无论是哪个领域，只要涉及到连续性和光滑性，都可以使用拉普拉斯算子。
拉普拉斯算子还有一个重要的应用，那就是求解微分方程。
由于很多微分方程的解与拉普拉斯算子的特征函数有关，因此拉普拉斯算子可以用于求解各种微分方程。
这也是为什么它在物理学和工程学中如此重要的原因之一。
那么，拉普拉斯算子有哪些性质呢？首先，它是一个线性算子，满足以下性质：$\nabla^2(f+g)=\nabla^2f+\nabla^2g$$\nabla^2(af)=a\nabla^2f$其中，$f$和$g$是可导的标量函数，$a$是标量。
其次，拉普拉斯算子和向量算子$\nabla$存在一种联系。
在三维笛卡尔坐标系下，$\nabla$可以表示为：$\nabla=\dfrac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\dfrac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\dfrac{\partial}{\partial z}\hat{z}$那么，$\nabla^2$可以写成$\nabla\cdot\nabla$的形式。
第二章 线性算子与线性泛函
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
研究生矩阵论第讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换与坐标变换；3.子空间与维数定理；4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“•”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ•=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=•1；⑹ αα•=••)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα•+•=•+l k l k )(；⑻ βαβα•+•=+•k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
具有多项差分算子的三阶q-差分方程边值问题
具有多项差分算子的三阶q-差分方程边值问题杨小辉;李杰民【摘要】q-差分方程边值问题解的存在性已经引起国内外数学工作者的研究兴趣,并且得到许多有价值的结果.研究一类三阶q-差分方程边值问题,该问题是由一个三阶q-差分方程和3个具有多项q-差分算子为边界条件构成.这种边界条件可以看成是Sturm-Liouville边界条件的推广.利用Banach压缩映射原理和Krasnoselskii 不动点定理,获得了该类边值问题解的存在性和唯一性的充分条件.所得条件简洁,便于验证.结果推广和改进了已有文献中的定理.最后,举2个例子来演示所得结论的应用.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(038)006【总页数】9页(P875-883)【关键词】q-差分方程;q-微分;q-积分;边值问题【作者】杨小辉;李杰民【作者单位】广东警官学院计算机系,广东广州510230;岭南师范学院数学与计算科学学院,广东湛江524048【正文语种】中文【中图分类】O175.7q-差分方程历史悠久[1-4],q-差分方程在多个学科中已得到应用[5-8].近年来q-差分方程解的存在性问题是数学工作者研究的中心问题之一[9-17].Sturm-Liouville型边值问题一直是大家关注的问题[18-21].B. Ahmad等[12]研究了三阶q-差分方程两点边值问题解的存在性,其中是标准三阶q-差分算子.C. L. Yu等[15]研究了三阶q-差分方程两点边值问题正解的存在性,其中,0<q<1,Iq={qn:n∈N}∪{0,1},f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),α,β≥0,α+β>0且(α-β)/(α+β)≤q,α、β、q都是常数,注意到边值问题(1)和(2)仅涉及到一个q-差分算子Dq,而涉及多项q-差分算子的三阶q-差分方程边值问题的研究较少.受到文献[12-13]的启发,本文研究具有4个q-差分算子的三阶q-差分方程两点边值问题其中,0<q<1,f∈C(I×R,R),I=[0,1],参数pi∈(0,1)(i=1,2,3),α、β、γ都是常数,且α,β,γ≥0,记首先介绍相关概念,然后给出2个引理.定义 2.1[8] 设0<q<1,g在R上有定义,g在t∈R点的q-差分为定义 2.2[8] 设0<q<1,g在R上有定义,g在t∈R点的高阶q-差分为定义 2.3[8] 设0<q<1,t>0,函数g(t):[0,t]→R在区间[0,t]上的q-积分记为Iqg(t),定义为). (该级数收敛)若g在[a,b]上有定义,函数g(t)定义在区间[a,b]上的q-积分定义为注意到IqDqg(t)=g(t)-g(0)(g(t)在t=0处连续).引理 2.4[8] q-差分算子有如下性质:r.引理 2.5 设y(t)∈C[0,1],则u为边值问题u(0)-αDp1u(0)=0,u(1)+βDp2u(1)=0,的解当且仅当β(1+p2)]y(s)dqs+(1-p2)dqs}.证明设u为(4)式的解.在[0,t]上对方程进行q-积分得到对(6)式在[0,t]上进行q-积分得到对(7)式在[0,t]上进行q-积分得到其中,a0、a1、a2是常数.当t≠0时,注意到}.又有还有同理此时,可知Dpiu(0)=a1.当t≠0时,于是有].类似(10)和(11)式可得利用(4)式的边值条件可以得到把(13)式代入(8)式,并令t=1得到由(9)式知所以利用u(1)+βDp2u(1)=0得到s.(15)式两边通乘以1+q,左边等于β(1+p2)+γβ(1+p3)]=a2Δ,右边等于β(1+p2)]y(s)dqs+s.整理得β(1+p2)]y(s)dqs+(1-p2)dqs}.把(16)式代入(13)式,可得a0和a1,把a0、a1和a2代入(8)式得到(5)式,所以u满足(5)式.反之,设u满足(5)式,容易验证u满足(4)式.证毕.为了进一步的分析,设X=C[I,R]表示从I到R的所有连续函数集合,定义范数‖X‖=sup{|x(t)|,t∈I}.这时X为Banach空间.记(1+p2)q](1-p2+β)}.定理 3.1 设f∈C(I×R,R),I=[0,1],且满足Lipschitz条件∀t∈I, u,v∈R,L为Lipschitz常数,则当LH<1时,(3)式有唯一解,其中H为(17)式定义.证明构造X上的非线性算子F为β(1+p2)]f(s,u(s))dqs+(1-p2)dqs}, u∈X.由f的连续性容易证明F:X→X是全连续算子,u为(18)式的解当且仅当u∈X为F 的不动点.设先取δ使LH≤δ<1,再取r使r≥MH/(1-δ).设Br={u∈X:‖u‖≤r},当u∈Br时,有|u(t)|≤r,t∈[0,1],所以β(1+p2)]f(s,u(s))dqs+(1-p2)dqs}|≤f(s,0)|+|f(s,0)|)dqs+(1+β)(1+q)qs+β(1+p2)]×(|f(s,u(s))-f(s,0)|+|f(s,0)|)dqs+(|f(s,u(s))-f(s,0)|+|f(s,0)|)dqs]}≤(1+β)(1+q)qs+β(1+p2)|dqs+β(1+p2)dqs+(1+p2)q](1-p2+β)]}≤(1+p2)q](1-p2+β)]}≤(Lr+M)H=LHr+MH≤LHr+(1-δ)r=(LH+1-δ)r≤r.(H为(17)式所定义.)这表明FBr⊂Br.设u,v∈X有[f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs+β(1+p2)][f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs+[f(s,u(s))-f(s,v(s))])dqs}|≤L‖u-v‖β(1+p2)|dqs+L‖u-v‖L‖u-v‖(1+p2)q](1-p2+β)]}=LH‖u-v‖.当LH<1时,F是压缩映射.由Banach压缩映射原理,F在Br内有唯一不动点u.利用引理2.5,u是(3)式的唯一解.引理 3.2[18](Krasnoselskii不动点定理) 假设K是Banach空间X的一个非空有界闭凸子集.若算子F1和F2是满足条件:(i) F1x+F2y∈K,x,y∈K;(ii) F1是全连续算子;(iii) F2是压缩算子,那么存在z∈K使得z=F1z+F2z.定理 3.3 设f∈C(I×R,R),且满足条件:(A1) |f(t,u)-f(t,v)|≤L|u-v|,L为Lipschitz常数;(A2) 存在φ∈C(I,R+)使得|f(t,u)|≤φ(t), ∀(t,u)∈I×R,若Lh<1,其中则(3)式至少有一解.证明设Banach空间X如第二节定义.算子F1和F2分别如下定义:(1+β)(1+q)qs+β(1+p2)]f(s,u(s))dqs+(1-p2)dqs}, u∈X.由引理3.2知u为(3)式的解当且仅当u满足u=F1u+F2u.设r≥‖φ‖H且固定,取K={u∈X:‖u‖≤r}.证明分3步完成.第1步:证当u,v∈K时,F1u+F2v∈K.β(1+p2)]f(s,v(s))dqs+β(1+p2)]|f(s,v(s))|d qs+(1-p2+β)|f(s,v(s))|/(1-p2)dqs}|≤‖φ‖(1+p2)q](1-p2+β)]}≤‖φ‖(1+p2)q](1-p2+β)]}≤‖φ‖H≤r.因此F1u+F2v∈K,这表明引理3.2的(i)成立.第2步:证F1是全连续算子.由条件(A2)知F1是连续,又K有界,于是可设∀t1,t2∈I,且t1<t2,u∈K有qs(t1-t2)]f(s,u(s))dqs|=→0, t1→t2.上式表明F1(K)是相对紧的.由Arzelá-Ascoli定理知F1在K上是紧的,所以F1是全连续算子.因此引理3.2的(ii)成立.第3步:证F2是压缩算子.设u,v∈K时有[f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs+[f(s,u(s))-f(s,v(s))]dqs}|≤|f(s,u(s))-f(s,v(s))|dqs+|f(s,u(s))-f(s,v(s))|dqs]}≤L‖u-v‖(1+p2)q](1-p2+β)]}≤Lh‖u-v‖.结合(19)式知F2是压缩算子.因此引理3.2的所有条件都成立.由引理3.2知存在u∈K满足u=F1u+F2u.所以(3)式至少有一解,即定理3.3成立.证毕.例 4.1 考查如下边值问题t∈[0,1], L>0,u(1)+D1/4u(1)=0,则当0<L<1/1.604 5时,(20)式有唯一解.证明与(3)式对应,易知q=1/2,p1=1/3,p2=1/4,p3=1/5,α=1/4,β=1,γ=1,容易验证Δ=99/20,H≈1.604 5,f=L[t3+cos t+1+sin u(t)],且|Lsin u-Lsin v|≤L|u-v|,当0<L<1/1.604 5时,有LH<1,所以定理3.1的条件完全满足,则(20)式有唯一解.证毕.例 4.2 考查如下边值问题t∈[0,1], L>0,u(1)+D1/4u(1)=0,则当0<L<3 213/4 070时,(21)式有唯一解.证明与(3)式对应,易知q=1/2,p1=1/3,p2=1/4,p3=1/5,α=1/4,β=1,γ=2,易算得Δ=153/20,h=4 070/3 213,且当0<L<3 213/4 070时,有Lh<1,所以定理3.3的条件完全满足,则(21)式有唯一解.证毕注 4.3 文献[12-13]中的定理不能应用到(20)和(21)式.致谢刘玉记教授对本文提供了指导,广东警官学院青年项目(2013-Q01)和湛江师范学院自然科学研究项目(QL1101)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] Jackson F H. 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第四章4.1-4.3线性泛函与线性泛函的延拓定理(短)
T 是线性算子。 {Tn }是基本列 0, N , 当 n, m N 时，Tn Tm Tn Tm Tn 为基本数列 Tn 有界，设 Tn M , ( n 1, 2,3, ) Tn x Tn x M x Tx M x（n ） T 是有界算子 T B ( X , Y )
注：1）定义中，D为算子T的定义域; M是算子T的界值；T(D)={Tx|xD}称
为算子T的值域 2）有界算子与有界函数不同。例如 f(x)=x 无界函数 有界算子: |f(x)|=|x|<2|x|
3) T是连续算子 T在D上处处连续
2. 有界线性算子的性质 定理1 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY 是线性算子，则
x X
定理2 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1) ||Tx||||T|| ||x||, xD (2)
T sup Tx Y sup Tx Y
x 1 xD x 1 xD
(即||T||是有界线性算子T的最小界值） （可作为范数定义）
x 1 x D
则B (X,Y)成为线性赋范空间，称之为（有界）线性算子空间。
2. 线性算子空间中的极限理论 定义4 （算子序列的一致收敛与强收敛）设X、Y是两个线性赋范 空间，Tn, TB(X,Y), n=1,2,…
(1) 如果||Tn-T||0, 则称算子序列{Tn}按范数收敛于T, 或称{Tn}一致收敛于T. (2) 如果xX,||Tnx -Tx||0, 则称算子序列{Tn}强收敛 于T, 或称{Tn}按点收敛于T.
T su p T x T x 0 m ax
算子代数的分类
算子代数的分类算子代数学是一门探讨操作、特征和结构之间关系的数学分支。
它分为两个大类，代数算子代数和几何算子代数。
本文介绍了代数算子代数的分类，包括抽象代数算子和有限维算子代数等。
一、抽象代数算子代数抽象代数算子代数是研究算子代数结构与性质而不考虑具体元素的一种数学。
此类算子代数状态下，算子是一个未知的集合，给定一组条件，研究它们之间的关系和结构。
抽象代数算子代数的结构一般是复杂的，其结构关系有时也非常复杂。
抽象代数算子代数有两个主要的分支：抽象线性算子代数和抽象非线性算子代数。
抽象线性算子代数是研究满足线性相关性的算子代数。
它通常分为两个分支：有限维线性算子代数和无限维线性算子代数。
抽象非线性算子代数指的是研究满足非线性关系的算子代数。
它也可以分为有限维和无限维的分支。
二、有限维算子代数有限维算子代数是研究矩阵空间的阶为有限的算子代数。
它是研究抽象代数算子代数的一种细分。
有限维算子代数的研究方法主要有两种，一是基于矩阵的方法，二是基于算子的方法。
基于矩阵的方法是指从矩阵原理出发，分析矩阵之间的联系。
基于算子的方法是指从算子角度出发，分析算子之间的联系。
有限维算子代数可以分为四类：数值算子代数、线性算子代数、多项式算子代数和微分算子代数。
数值算子代数是指从标量到矩阵的算子代数；线性算子代数是指只包括线性函数的算子代数；多项式算子代数是指只包括多项式的算子代数；微分算子代数是指只包括微分的算子代数。
三、无限维算子代数无限维算子代数是研究空间阶无限的算子代数。
它主要通过极限来研究无限维的算子代数结构，具体有几类：抽象无限维算子代数、常微分算子代数、哈密顿算子代数、拉格朗日算子代数等。
抽象无限维算子代数是指研究超出有限维空间的算子结构的算子代数。
它是抽象代数算子代数的一种衍生形式，主要是研究无限维空间中的算子的特点。
常微分算子代数是指不仅研究常微分算子，而且是研究常微分算子在整个无限空间中的算子代数结构。
线性代数
九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际 上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九 章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施 行初等变换，消去未知量的方法。
凯莱矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式 定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空 间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机 广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基 础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的 逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们 不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性 化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代 数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符 号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统 一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪 几类，以及他们分别都有什么性质。
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第三节 线性映射与线性算子
设X1,X 2是数域K上的线性空间，映射T
:
X1
X
2称为X1到X
的一个
2
线性映射,如果T（ x y）=T (x) T ( y),x, y X1,, K。
显然：T : 。
当T
是双射时，称T
是一个线性同构，称X1
,
X
是线性同构的。
2
例子：n阶方阵A是Rn Rn的线性映射，可逆矩阵都是线性同构。
||x||1
||x||1
.
注 ： 1.一 般 说 来 ， 赋 范 线 性 空 间 B ( X ,Y )未 必 是 完 备 的 ；
2 . 赋 范 线 性 空 间 X 上 的 有 界 线 性 泛 函 的 全 体 B ( X , R )， 按 前 面 引 入 的 运 算 与 范 数 || f || su p || f ( x ) || 构 成 一 个 B an ach
||x||1
(2) || T || sup || Tx ||| | sup || Tx ||| | || T ||;
||x||1
||x||1
(3) || T1 T2 || sup || (T1 T2 )x || sup || T1x T2 x ||
||x||1
||x||1
sup || T1x|| sup || T2x |||| T1 || || T2 ||
3 .T B ( X , Y ), S B (Y , Z ), 则 复 合 算 子 S T B ( X , Z ), 且 ||| S T |||| S || || T || 。
|| x || 1
空 间 , 我 们 称 之 为 X 的 共 轭 空 间 ， 记 为 X *； (a)如 果 赋 范 线 性 空 间 X 等 距 同 构 于 X *,则 称 X 是 自 共 轭 的 ； ( b ) 如 果 赋 范 线 性 空 间 X 等 距 同 构 于 ( X *）* , 则 称 X 是 自 反 的 。
(2.)T : L1[a, b] L1[a, b]时 , || T || b a
•一 般 来 说 ， 求 一 个 具 体 算 子 的 范 数 并 不 容 易 ， 很 多 场合中只能对其范数做出估计
.
• 注：设f是赋范线性空间X上的线性泛函，则 （1） f连续当且仅当f的零空间N(f)是X的闭
子空间； （2）非零线性泛函f不连续当且仅当N(f)在X
中稠密。 N(f)={x;f(x)=0}
.
.
有界线性算子空间
算子T B( X ,Y )的范数 || T || sup || Tx || sup || Tx || sup || Tx ||
||x||1
||x||1
||x||0 || x ||
验证算子算子范数 || • || 满足以下条件：
(1) || T || sup || Tx || 0,|| T || 0 T 0(B( X ,Y )中零元)
.
.
赋范线性空间
.
.
内积空间
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三个空间的关系
• 赋范线性空间都是距离空间：(x，y)= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : (ax, ) | a | (x, ), 范数定义 || x || ( x, )。
• 内积空间都是赋范线性空间 :|| x || (x, x) 12；反之， 范数满足中线公式：|| x y ||2 || x y ||2 2 || x ||2 2 || y ||2 , 内积定义 (x，y)= 1 (|| x y ||2 || x y ||2 i || x yi ||2 i || x yi ||2 )
•定 理 1.设 X ,Y 是 赋 范 线 性 空 间 ,T : X Y 是 线 性 算 子 ， 则 （a）T 在X 上连续当且仅当T 在X中的某点x0处连续;特别的
等 价 于 若 xn ( X 中 零 元 )， 则 Txn (Y中 零 元 ).
(b)当X的维数有限时，T在X 上是连续的。
取函数列{sinnt}，显然||sinnt||1,但 || d (sinnt)||n||cosnt||n(n)
dt 因此，微分算子d :C1[0,1]C[0,1]是无界算子。
dt件是T是有界的。
•算 子 T的 范 数 || T ||:式 || T ( x) || M || x || ， x D (T )中 M 的 下 确 界 。
有限阶矩阵的研究，线性代数、高等代数和矩阵论中都有涉及； 我们泛函分析中主要研究是无穷维线性空间（Banach空间）上的 线性映射。
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• 因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所 以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维 数相等。
• 绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性 算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性 问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。 人们在处理这类问题的方法： 一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法； 二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问 题转化为线性问题
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•设X是赋范线性空间，a是一常数。映射T:T(x)ax称为 相似算子，a1时，称为恒定算子或单位算子，记为I。
•例1.定义:Tx(t)at x()d, f(x)abx()d,xC[a,b],
则T是C[a,b]上的一个线性算子，f是一个线性泛函。
• 例2. 区间[0,1]上的连续可微函数全体按极大模是赋范 线性空间，其上的微分算子是无界线性算子
可 以 证 明 :|| T || sup || Tx || sup || Tx || sup || Tx ||
||x||1
||x||1
||x||0 || x ||
例 ： L1[a , b ]上 算 子 T : (Tf )( x ) x f (t )dt, f L1[a , b ] a
(1.)T : L1[a, b] C [a, b]时 , || T || 1
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•当 X Y时 ， 称 T 是 线 性 变 换 ， 当 Y K时 ， 称 T 是 线 性 泛 函 。 •相关概念：核空间ker T、线性同构。
•称 T 在 x点 连 续 ， 是 指 对 任 意 点 列{xn}, 若 xn x, 则 Txn Tx； 若T在X的每一点都连续，则称T 在X 上连续。