泛函分析之B空间上的有界线性算子

定理： {Tn}是 B 空间 E 到 B 空间 E1 的有界线性算子列，则{Tn}按强算子拓扑收敛
于 T ∈ B(E,E1) 的 充 要 条 件 是 {Tn} 一 致 有 界 && ∃ E 的 某 稠 密 子 集 G ， ST, ∀x∈G,{Tnx}在 E1 中收敛(当两个条件同时满足时，||T||≤Lim||Tn||)。
λ是 T 的正则值，则对 ∀μ是复数，|μ-λ|<||(λI-T)-1||-1时μ也是 T 的
正则值，且：
∑ (µI − T )−1 =
∞ n=
0
(
−1)
n
(
µ
−
n
λ ) (λI
−
T
)− (n+1)
|| (µI - T)-1 - (λI - T)-1 ||≤ | µ - λ ||| (λI - T)-1 || 2 1− | µ - λ ||| (λI - T)-1 ||
(1)x∈G 时，F0(x)=f(x)
(2)||F0||=||f||G,
推论：
G 是赋范线性空间 E 的子空间，x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则 ∃E 上的有界线性泛函 f,ST,||f||=1/δ,f(x0)=1,&&f(x)=0(x∈G)
G 是赋范线性空间 E 的子空间，x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则 ∃E 上的有界线性泛函 f1,ST,||f1||=1,f1(x0)=δ,&&f1(x)=0(x∈ G)
定理： E，E1 是实赋范线性空间，T 是由 E 的子空间 D 到 E1 中的连续可加算子，则
T 满足齐次性，因此 T 是连续线性算子。 E，E1 是赋范线性空间，T 是由 E 的子空间 D 到 E1 中的线性算子，则 T 有界
的充要条件是 ∃M>0,ST, ∀x∈D,||Tx||≤M||x||。
E，E1 是赋范线性空间，T 是由 E 的子空间 D 到 E1 中的线性算子，IF T 在
Banach 空间的有界线性算子
定义：
E 及 E1 都是实的线性空间，T:D ⊂ E→F ⊂ E1,IF, ∀ x,y∈ D,T(x+y)=Tx+Ty, 则 T 是可加的，IF ∀ 实数α&&x∈ D,有 T(αx)=αTx,则 T 是齐次的。可加齐次的
映射称为线性映射或线性算子。 T 是连续的，则 T 为连续线性算子。 IF T 将 是无界的
定义：
E 为赋范线性空间，E*的序列｛fn｝弱*收敛于 f0∈ E*,指 ∀ x∈ E，fn(x)→
f0(x) 定理：
E 是 B 空间，｛fn｝是 E 上的一个有界线性泛函序列，则｛fn｝弱*收敛于某
个 f∈E*的充要条件是：
（1）｛fn｝一致有界 （2）对 E 的某个稠密子集 G 中的每个 x,{fn(x)}收敛
定理： E，E1 是赋范线性空间，在 B(E,E1)中定义线性运算： (T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则 B(E,E1)是一赋范线性空间。
定义： 称 B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在 E 上的有界线性算子。
T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）
则||||1 与||||2 等价，所以（E,||||1）（E,||||2）拓扑同构
定理： E,E1 是赋范线性空间，T 是 E 的子空间 D 到 E1 的线性算子，则 T 为闭算子
充要条件是 ∀{xn} ⊂ D,IF {xn}{Txn}在 E，E1 中分别收敛于 x,y,则 x∈D&&Tx=y
闭图像定理： T 是 B 空间 E 到 B 空间 E1 的闭算子，则 T 有界。
赋范线性空间 E 是可分的，则由 E 上的 ∀一致有界的线性泛函序列中，必可
取出一个弱*收敛的子序列。
定义：
E 是赋范线性空间，｛xn｝ ⊂ E,x0∈ E，IF ∀ f∈ E*,Limf(xn)=f(x0),则｛xn｝
弱收敛于 x0
定理：
T∈ B(E,E1),则 T 有有界逆算子的充要条件是 T*有有界逆算子，且当 T 有有
收敛于 T 定理：
Tn,T∈ B(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于 T 的充要条件是｛Tn｝在任意
有界集上一致收敛于 T E1 是 B 空间，则 B(E,E1)也是 B 空间。
定义：
T,Tn∈ B(E,E1),IF ∀ x∈ E,Lim||Tnx-Tx||=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收
敛于 T
E 是具有基的 B 空间，T∈ B(E）则 T 为紧算子的充要条件是存在一列有限秩
算子 Tk，ST,Lim||T-Tk||=0 T 是 E 上的紧算子，λ≠0，则λI-T 的值域是 E 的闭子空间 T 是 E 上的紧算子,则：
∀y∈E，复数λ≠0，（λI-T）x=y 有解的充要条件是 y 与λI*-T*的零
某点 x0∈ D 连续，则 T 在 D 连续。
E，E1 是赋范线性空间，T 是由 E 的子空间 D 到 E1 中的线性算子，则 T 连续 的充要条件是 T 有界。
定义： E，E1 是赋范线性空间，T 是由 E 的子空间 D 到 E1 中的线性算子。ST ||Tx||
≤M||x||对 ∀x∈D 都成立的整数 M 的下确界为 T 的范数，记||T||.
E 是赋范线性空间，A ⊂ E 是准紧集，{fn}是 E 上一致有界线性泛函列， IF ∀x∈A,{fn(x)}收敛，则｛fn｝在 A 一致收敛
定理:
E,E1 是赋范线性空间，T∈ B(E，E1)是紧算子，则 T*∈ B(E1*，E*)也是紧算
子
E 是具有基的 B 空间，A 为 E 的子集，则 A 准紧的充要条件是：A 有界&& ∀ε》 0， ∃K>0,ST,k>K 时||Rkx||<ε对 ∀x∈A 同时成立
界逆算子时，(T-1)*=(T*)-1. 定义：
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λI-T 有有界逆算子，则λ为 T 的正则值，正则值的全体是正则集 ρ (T).R(λ,T)表示λI-T 的有界逆算子(λI-T)-1,并称为 T 的预解式或预解算子；
IF λ不是 T 的正则值，则λ为 T 的谱点，谱点的全体是谱σ(T). σ(T)分为以下三种：
特征值（点谱）、只有零解（连续谱、剩余谱） 值域是 E 的真子空间，且在 E 稠密，称为连续谱 值域之闭包是 E 的真子空间，称为剩余谱 定理：
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λ为 T 的特征值，T 对应与λ的全部特征值及零元素组成 E 的一个闭子 空间，称为对应于λ的特征向量空间，此空间的维数为λ的重复度；
E 是赋范线性空间，E≠｛0｝，则 ∀ x0∈ E，x0≠0, ∃E 上的有界线性泛函
f,ST,||f||=1,f(x0)=||x0||
定义： E 上的有界线性泛函的全体按它的线性运算及范数构成的赋范线性空称为 E
的对偶空间或共轭空间，记 E*=B(E,K),||f||=sup|f(x)|/||x|| 定理：
T∈ B(E，E1)，若 T 是紧算子，则 T 将 E 中弱收敛点列映射成 E1 中按范数收
敛的点列
T∈B(E，E1)，若 T 是紧算子，则 T 的值域可分 赋范线性空间 E、B 空间 E1，IF 紧算子列｛Tn｝ ⊂ B(E，E1)按一致算子拓扑 收敛于 T∈B(E，E1),则 T 也是紧算子
赋范线性空间 E、B 空间 E1，则由 E 到 E1 的全部紧算子组成的集按算子的 线性运算及算子的范数是 B(E，E1)的闭子空间，因此它本身也是 B 空间 引理：
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映入 B 空间 E1,则 T 的值域或者是 E1 或者是 E1 中第一类集。 逆算子定理：
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映射成 B 空间 E1 中的某个第二类集 F,且 T 是单 射，则 T 存在有界逆算子。 推论：
（E,||||1）（E,||||2）为 B 空间，IF ∃K>0,ST, ∀x∈E,||x||1≤K||x||2,
引理：
设 f 是复赋范线性空间 E 上的有界线性泛函，令φ(x)=Ref(x)(x∈E),则φ
是 E 上的实有界线性泛函&&f(x)=φ(x)-iφ(ix) 定理：
G 是赋范线性空间 E 的子空间，f 是定义在 G 上的有界线性泛函，则 f 可以 延拓到整个 E，且保持范数不变，即存在定义于 E 上的有界线性泛函 F0,ST:
集映成 E1 中的准紧集，则 T 为紧算子或全连续算子 定理：
T∈B(E，E1),S∈B(E1，E2),E、E1、E2 都是赋范线性空间，IF T,S 中有一
个是紧算子，则 ST 也是紧算子 推论：
赋范线性空间 E、E1 中至少有一个是无限维的，T∈B(E，E1)是紧算子，则 T
不可能存在有界逆算子 定理：
定理： 对 B 空间 E，成立： (a) B(E)中可逆算子的全体是 B(E)中的开集
(b) ∀T∈B(E),ρ(T)是复平面的开集，σ(T)是复平面的有界闭集
(c) R(,T)作为定义在ρ(T)上的算子值函数是解析的
(d) 设 E 含有非零元素，则 ∀ T∈ B(E)，σ(T)非空
定义：
T∈B(E)，称 rT
定义：
E 为线性空间，p 为定义于 E 的泛函，IF ∀x,y∈E,p(x+y)≤p(x)+p(y),则 p 为次可加的，IF ∀ α≥0&& ∀x∈ E,p(αx)=αp(x),则 p 为正齐次的
共鸣定理： ｛Tα｝为定义于 B 空间 E 上值域包含在赋范线性空间 E1 的有界线性算子族，