第二章线性有界算子
4+运筹学与控制论(硕)
运筹学与控制论Operating Research and Control Theory（070105）●培养方案（一）培养目标和要求1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、硕士应达到的要求：(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。
(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。
(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
5、本专业主要学习运筹学与控制论的基础理论与方法，侧重于动力系统与控制、鲁棒控制、最优化理论与方法、分支与混沌、变分不等式理论与算法等专业知识的学习，以及了解现代控制、动力系统、最优化与变分不等式理论方法在社会、经济、生物和自然科学等领域中的应用。
要求本专业的硕士毕业生具有系统、扎实的动力系统与控制和变分不等式理论的基础，熟练掌握一门外国语，能够独立从事本专业的理论研究、实际应用及教学工作。
可在高等院校、科研机构、政府机构和其他企事业单位工作。
（二）研究方向与简介1、动力系统与控制：主要研究无穷维动力系统与偏微分方程、常微分方程定性理论与动力系统分支理论及其应用。
在非自治动力系统的渐近行为、周期解、同异宿分支及亚调和解和不变流形的分支等方面建立了新的理论和方法。
在《J. Diff. Eqns.》、《Nonlinearity》、《Quarterly of Appl. Math.》、《Physica D》、《Disc. Contin.Dyna. Syst.》、《Inter. J. Bifurcation and Chaos》等国内外有重要影响的学术刊物上发表论文100余篇。
第二章 线性算子与线性泛函
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
第一节 有界线性算子的谱
第一节 有界线性算子的谱一、算子代数定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。
性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m nm n T T T m n +=∈N ；2、()()()ST S T S T ααα==；3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；4、单位算子I 满足：IT TI T ==；5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1T -，并称T 为可逆算子。
以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。
6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且11111(),()()n n ST T S T T -----==。
当()T GL X ∈时约定10()(0),nn T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。
注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)nn ST S T TT n ≤≤≥；3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。
定义：设T 属于某算子代数，称010()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞===++++∑、（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。
性质：设通常幂级数0()nnn f λαλ∞==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数（3.1.1）绝对收敛：nn n n T T αα≤<∞∑∑。
引理3.1.1 设()T L X ∈，则1()n n I T T ∞-=-=∑只要其右端级数收敛。
特别，当1T <时上式必成立。
推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则1110()()n n T S T ST ∞---=+=-∑，只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。
泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲一、泛函分析课程说明(一) 课程代码 08130013(二) 课程英文名称:Functional Analysis(三) 开课对象: 数学与应用数学专业本科生(四) 课程性质:泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。
本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。
通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》(五) 教学目的通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础(六) 教学内容本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。
通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。
习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。
(七) 学时、学分数及学时数具体分配教学时数：72学时学分数： 4 学分教学时数具体分配(八) 教学方式以教师讲解为主的课堂教学方式(九) 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。
平时成绩占30％，期末成绩占70％。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章度量空间和赋范线性空间教学要点:1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X3 有理点集是可数稠密集4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间教学时数:12学时教学内容第一节度量空间第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间第三节连续影射第四节柯西点列和完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间考核要求：第一节度量空间（识记）第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间（领会与应用）第三节连续影射（领会与应用）第四节柯西点列和完备度量空间（领会与应用）第五节度量空间的完备化（领会）第六节压缩映射原理及其应用（领会与应用）第七节线性空间（领会与应用）第八节赋范线性空间和Banach空间（领会与应用）第二章有界线性算子和连续线性泛函教学要点:1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间3 掌握线性同构的概念教学时数：16学时教学内容第一节有界线性算子和连续线性泛函第二节有界线性算子空间和共轭空间第三节广义函数考核要求：第一节有界线性算子和连续线性泛函（识记、领会、应用）第二节有界线性算子空间和共轭空间（识记、领会、应用）第三节广义函数（领会）第三章内积空间和Hilbert空间教学要点:1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系教学时数：20学时教学内容：第一节内积空间的基本概念第二节投影定理第三节 Hilbert空间中的规范正交系第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函第五节自伴算子,酉算子和正常算子考核要求：第一节内积空间的基本概念（识记，领会，应用）第二节投影定理（领会，应用）第三节 Hilbert空间中的规范正交系（领会，应用）第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函（领会，应用）第五节自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）第四章Banach空间中的基本定理教学要点:1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理2 掌握弱收敛和强收敛的概念3 理解Baie纲定理教学时数：16学时教学内容第一节泛函延拓定理第二节 C[a,b]的共轭空间第三节共轭算子第四节纲定理和一致有界定理第五节强收敛,弱收敛和一致收敛第六节逆算子定理第七节闭图象定理考核要求：第一节泛函延拓定理（领会，应用）第二节 C[a,b]的共轭空间（领会，应用）第三节共轭算子（识记，领会，应用）第四节纲定理和一致有界定理（领会，应用）第五节强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）第六节逆算子定理（领会，应用）第七节闭图象定理（领会，应用）第五章线性算子的谱教学要点:1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广2 赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集3 用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程教学时数：8学时教学内容第一节谱的概念第二节有界线性算子谱的基本性质第三节紧集和全连续算子第四节自伴全连续算子的谱论第五节具对称核的积分方程考核要求：第一节谱的概念（识记，领会）第二节有界线性算子谱的基本性质（领会，应用）第三节紧集和全连续算子（领会，应用）第四节自伴全连续算子的谱论（领会，应用）第五节具对称核的积分方程（领会，应用）三、推荐教材和参考书目《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社《实变函数论与泛函分析概要》,王声望, 第二版，高等教育出版社《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社Introduction to Functioal Analysis,A.B.Tayor,New york Functional Analysis.Walter Rudin,New York:Mcgraw-Hill Book Com。
现代信号理论讲义4(信号空间的线性算子)
(t , s )
例：信号的频域表示
(t , s ) e j 2 st
X , Y 表示输入信号x(t )和输出信号y (t )的傅里叶变换; 若网络的冲激响应为h(t ) 则对基函数 (t , s ) e j 2 st的响应为
(t , s ) h(t , )e j 2 s d ,
S
t T
傅立叶变换
X ( f ) U ( f ) ( f ) 1 U( f ) X(f ) ( f )
代表什么？
u (s) x(t ) ( s t )dt ,
T
sS
例：Hilbert变换
x(t ) 1 H [ x ](s ) H [ x]( s ) dt x(t ) ds s t s t 1
7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式？
算子的特征矢量： S {x; Lx x
算子的特征值
C}
特征矢量
M n是由{i S,i=1,2,...,n}张成的空间，则 x(t ) aii (t )
i 1 n n
xMn
n
Lx(t ) ai Li (t ) ai ii (t )
T
sS
其中
u ( ) L( s, )d
S
y(t ) u (s) (t , s)ds,
S
t T
L( s, )= (t , ) ( s, t ) d dt
T
变换核函数
x (t ) u (s) y (t )
线性网络 L ( s, )
v( s )
(t , s )
数乘算子+时延算子
信号空间算子的实例:
hilbert空间上线性有界算子关系式ab-ba≠i的一个证明
hilbert空间上线性有界算子关系式ab-
ba≠i的一个证明
空间上的线性有界算子是指在一个Hilbert空间上，用线
性方程组来定义的算子。
这种算子常常用来表达特定的空间性质，比如它可以用来描述空间中物体的运动规律，或者表达某种程度的不变量。
本文将讨论关系式AB-BA≠I这一结论，它
表明空间上线性有界算子AB和BA不等价，这也是Hilbert空间上线性有界算子的一个重要特性。
首先，我们来看看Hilbert空间上线性有界算子的定义。
Hilbert空间上的线性有界算子是指从Hilbert空间到自身的线
性算子，它的特征是它的范数是有限的。
也就是说，它的范数是一个有界的数字，表示它的力量是有限的。
另外，它还有一个特性，即它的力量是越来越大的，但总是有一个上限，即它的范数。
现在我们来看AB-BA≠I这个结论。
由于AB是一个线性
有界算子，因此它的范数是有限的，这意味着它的力量是有限的。
另外，BA也是一个线性有界算子，它的范数也是有限的，但是它的力量可能比AB大，因为它的范数可以比AB大。
因此，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。
综上所述，AB-BA≠I是空间上线性有界算子的一个重要
性质。
它表明，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。
这也是Hilbert空间上线性有界算子的特性之
一，它可以帮助我们更好地理解和分析空间中的特性。
第二章-赋范线性空间
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
有界线性算子和连续线性泛函.ppt
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
Txn n xn
对于线性泛涵，我们还有下面的定理 定理2 设X 是赋范线性空间，f 是 X 上线性泛涵，那么 f 是X 上连续泛涵的
充要条件为 f 的零空间 ( f )是 X 中的闭子空间。
证明 设 f 是连续线性泛涵，当 xn ( f ) n 1,2,, 并且 xn x(n ) 时，由 f
的连续性，有
f
(x)
Tx c x
（3）
则称 T是 A(T )到 Y 中的有界线性算子，当 A(T) X时，称 T 为X 到 Y中的有界线性
算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。
定理1 设 T是赋范空间 X 到赋范空间 Y中的线性算子， 则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子。
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
（7）
III 有界线性算子和连续线性泛涵的例子
例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx x 是有界线性 算子，且 T a ，特别
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14.证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明 证明： 空间H上的正交投影算子 证明：设P是Hilbert空间 上的正交投影算子， 是 空间 上的正交投影算子， 15.设P1,P2是Hilbert空间 上的正交投影算子， 空间H上的正交投影算子 设 空间 上的正交投影算子， 证明： 证明：P2P1是H上的正交投影算子 P P2 = P2P 上的正交投影算子 1 1
（3）线性空间 n[x]中，T(f(x))=f(x+1)(f∈Rn[x] ）线性空间R 中 ∈
2.在R3中，x1=(-1,0,2)T,x2=(0,1,2)T,x3=(3,-1,0)T是 在 一组基，线性变换T关于该基的象 关于该基的象Tx 一组基，线性变换 关于该基的象 1=(-5,0,3)T, Tx2=(0,-1,6)T,Tx3=(-5,-1,9)T。求T在该基下的矩阵。 1 在该基下的矩阵。 在该基下的矩阵
5
13.设M是Hilbert空间 的闭子空间 设 是 空间H的闭子空间 空间 的闭子空间,P:H→M是 是 正交投影算子,x 证明： ∈ 正交投影算子 0∈H,证明：y∈M,y≠Px0,有 证明 有 ||x0-Px0||<||x0-y|| 即
|| x0 Px0 ||= inf || x0 y ||
7
3.已知线性变换 在基 已知线性变换T在基 已知线性变换
η1 = (1,1,1) , η2 = (1,0,1) , η3 = (0,1,1)
T T
T
下的矩阵为
1 0 1 1 1 0 1 2 0
在基ε 求T在基ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T, ε3=(0,0,1)T下的矩 在基 阵。 4.设T是线性空间 是线性空间V(F )上的线性变换，证明： 上的线性变换， 设 是线性空间 上的线性变换 证明： T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 的不同特征值对应的特征向量是线性无关的 证明： 证明：设λ1，λ2，…，λs为T的所有不同的特征 ， 的所有不同的特征 值，相应的特征向量分别为x1,x2, …,xs. 相应的特征向量分别为
2
ห้องสมุดไป่ตู้
5.设U,V是线性赋范空间 设 是线性赋范空间,T:U→V是线性有界算 是线性赋范空间 是线性有界算 子,证明 证明:N(T)={x∈U|Tx=θ}是U中闭子空间。 ∈ θ 是 中闭子空间。 证明 中闭子空间
6.在C [a, b]上定义:
(1)
ax ax : x∈C(1)[a, b],|| x ||= m | x(t) | + m | x′(t) |, 证明
a≤t≤b a≤t≤b
(1) || x || 是x的范数 ; d (1) D (2)微分算子 = : C [a, b] →C a, b]是线性有界算子 [ . dt 7.设k(x,y)在区域 在区域0≤x,y≤1上连续， 上连续， 设 在区域 上连续
(Tu)(y) = ∫ k(x, y)u(x)dx.
6
16.设T是Hilbert空间 上的有界线性算子，证 设 是 空间H上的有界线性算子 空间 上的有界线性算子， 是正交投影算子 明：T是正交投影算子T=T*T。 是正交投影算子 。 17.设T是Hilbert空间 上的正交投影算子，证 设 是 空间H上的正交投影算子 空间 上的正交投影算子， 明： x∈H, 有|| Tx ||≤|| x || .
且它也是线性有界算子 。
4
1
11.设X是Hilbert空间，T∈L(X,X),证明 设 是 空间， ∈ 证明: 空间 证明 (1)当T是正规算子时有 || T T ||=|| T ||; 当 是正规算子时有
* 2
(2)当T是自共轭算子时 必为正规算子 当 是自共轭算子时 必为正规算子. 是自共轭算子时,T必为正规算子 12.设X是Hilbert空间，U∈L(X,X),证明 设 是 空间， ∈ 证明: 空间 证明 (1)U是酉算子U*U=UU*=I; 是酉算子 是酉算子 (2)U为酉算子时必为正规算子 为酉算子时必为正规算子; 为酉算子时必为正规算子 (3)U为酉算子时 为酉算子时,||U||=1. 为酉算子时
1 0
证明： 是线性连续算子。 证明：T:C[0,1] →C[0,1]是线性连续算子。 是线性连续算子
3
8.设X,Y是R上的线性赋范空间 证明 设 上的线性赋范空间,证明 是 上的线性赋范空间 证明:L(X,Y)是 是 R上的线性空间。 上的线性空间。 上的线性空间 9.设V是线性赋范空间 是线性赋范空间,T:V→V是线性算子 是线性算子. 设 是线性赋范空间 是线性算子 证明: 在 上连续 上连续 在 上一致连续 上一致连续. 证明 T在V上连续T在V上一致连续 10.设X,Y为线性赋范空间 设 为线性赋范空间,T:X→Y是线性有界 为线性赋范空间 是线性有界 算子,且是满射 若存在正数 使对一切x∈ 算子 且是满射.若存在正数 使对一切 ∈X, 且是满射 若存在正数b,使对一切 有 || Tx ||≥ b || x ||, 则T : Y → X存在
第二章 线性有界算子
1.判断下面定义的变换，哪些是线性的?哪些 判断下面定义的变换，哪些是线性的 哪些 判断下面定义的变换 不是？ 不是？ （1）在R3中，x=(a1,a2,a3)T,Tx=(a21,a2+a3,a23)T; ）
× （2）给定 0∈Rn×n,X∈Rn×n,TX=A0X-XA0; ）给定A ∈ ×