一类积分算子的有界性质
一类Marcinkiewicz积分交换子的加权有界性
） （ 告 （ （ 一 （ Ｉ Ｂ （ ２ ２ ￣ ２Ｂ Ｉ ２ ２ 外 计 － 抖 ）２ Ｉ ｃ ｏ
∑㈦
２
一 ２
≤ Ｃ Ｉ － Ｉ ｓ ｏ（ 一 ｂＩ Ｉ Ｉ ｊＢ） Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ｎ Ｂ
” ２ 。 ） （ ） （（ Ｂ）１ Ｂ ｌ （ ｐ２‘Ｚ詈 ２ 。Ｚ 。 Ｄ ２ 一
可 ， 中 ｒ ｎ （ 一 。设 ｓ ｐ ａ（ Ｂ（ ，） 则 有 其 — ／ｎ ） ｕｐ ＝ ｚ， ＝
Ｉ，）： ［Ｉ，））３ｃ＋ Ｉ ））３ ］ （Ｉ Ｉ Ｉ ｎ ≤ （ Ｉｄ ÷ ［ ｌ． （ Ｉ ｘ （ ３ 『 （ ｔ ÷ “ ｒ］ ｏ ｒ “ ０ ｔ ａ
令 Ｓ一 示 Ｒ ≥ ２ 中 的单 位 球 面 ， 以 标 准 测 度 如 （ ， 一 ｚ ， ０ 表 （ ） 赋 ｚ ） ／ｆ ｆ ｚ≠ 。设 ｎ∈Ｌ （ ） 定 义 在 ｚ Ｒ 是
Ｒ 的 次 次 数 满 消 性 件』 （）（）。 ａｎｗｚ分 义 下见 献１： ” 零 齐 函 且 足 失 条 ａ ｚ一， ｋ ｉ 定 如 （文 ［） 上 ２ 如 Ｍｃｉｃ ｚ ｒｅ 积 ｉ ］
。
Ｌ；（ ） 界 的 ， 中 １ ｒ 有 其 ＜ ＜ ｎ且 １ １＝
定 理 设 ６ ｉｐＲ ） ０ ＜ １ ∈Ｌ ｐ （ ” ， ＜ ，
∈Ａ ， ∈ＲＨ ， ≥２ ｑ ２ ／ ｎ ） 若 ，￣ ｎ （ －ｐ ，
是 如上 所 设 的 ｎ 满
。
足对 数 型 Ｌｐ ｃ ｉ 条 件 的 Ｍａｃｎ ｉｗｉ 积分 算 子 ， ｉｓｈｔ ｚ ｒｉｋｅ ｃ ｚ 则
［
一
≤
［）ｂ）ｙｙ ｂ －ｙａ）Ｊ （ （（ ｘ ￣ｄ
ｌ 』
＋』 Ｃ 等
［）（ａｄ ） ｂ－ｙ（ｙ （ ｂ］）（ 专 ｘ ） ㈨ ｙ
一类算子在Triebel-Lizorkin空间的有界性
１ 预 备 知 识
设Ｒ 是具有通常范数 Ｉ Ｉ 的７ ２ 维欧氏空间， 单位球面为 Ｓ 一｛ Ｅ Ｒ ” ： ｌ ｚ Ｉ ＝ ＝ ＝ １ ） ， ， …， 是固定实
数． 对 于 每个 固定 的 ｚ一（ ｚ ， …， ｚ ）Ｅ Ｒ ， 函数 Ｆ（ ｘ， 』 Ｄ ） 一 ２是关 于 Ｉ Ｄ （ Ｐ ＞。 ）的
文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ １
到 了相 应 的结 果 ， 从 而 推 广 了 已有 结 果 ．
关 键 词 ：粗 糙 核 ；奇 异 积 分 算 子 ； Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ空 间
中 图分 类 号 ： Ｏ １ ７ ７ ． ６
设 Ｋ（ ｚ ）Ｅ Ｌ （ Ｒ ” ） 是定义在 Ｒ 上有紧支集的函数， 满足 Ｉ． Ｋ（ ） ｄ ｘ一０ ， 且存在某个 。 ＞０ ， 使得
Ｋ（ ）ｌ ≤ ｃ Ｉ ｌ 一 。 ．
对 每个 整数 ， 记
Ｋ （ ｚ）一 ２ － ￣ ａ Ｋ（ Ａ２
一
（ １ ）
一
个 严格 递减 函数 ， 因
此 存 在唯 一 』 ０ ： ： ： Ｊ Ｄ （ ） ， 使得 Ｆ（ ｘ， ｌ Ｄ ） 一１ ． 定义 ｌ ０ （ ｚ） 一ｔ 且Ｐ （ ０ ） 一０ ， 由文献 １ － １ ］知 ｌ ０ 是Ｒ 中的距 离 ， 且（ Ｒ ， Ｐ ）
称 为关 于 ｛ ｝ ？ 一 的混 合齐性 空 间．
Ｖｏ １ ． ４ ２ ＮＯ ．１
Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ３
一
类 算 子 在 Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ 空 间 的 有 界 性
李 晓 冬 ，牛 耀 明
krein空间上一类正常算子
krein空间上一类正常算子Krein空间是指满足Krein-Rutman条件的内积空间。
Krein-Rutman条件是指该空间上的压缩映射存在正的特征值，且存在一个正常的扩张。
在这样的空间中，存在一类重要的算子，称为正常算子。
本文将介绍这类算子的定义、性质和应用。
一、定义设H为Krein空间，T和T*分别为T的无界闭算子和其伴随算子。
如果T*T = TT*，则称T是正常的。
若T还满足T的特征值有界，则称T为有界正常算子。
否则称T为无界正常算子。
二、性质1. 特征值设T为H上的正常算子，那么它的特征值满足以下性质：（1）任意两个不同的特征值之间的乘积是正数。
（2）有限个特征值包含在实轴上。
设λ是T的一个特征值，v和w分别是属于λ的特征向量和特征向量的正交补空间的向量，则v和w相互正交，且它们的范数相等。
3. T的可对角化设T是H上的正常算子，它的特征向量构成了H的一个正交基，则T在这个基下是对角化的。
即T可以表示成如下形式：T = ∑ λkPk，其中Pk是投影算子。
4. 极谱分解设T是H上的正常算子，则存在H上的正交投影定理E，使得T = ∫ λdE(λ)。
其中E是一个跨越实轴和虚轴的谱度测量，称为T的极谱测度。
5. 关于T*的性质（1）T*和T的特征值相同。
（3）T*也是正常算子。
6. 正常算子的性质设T是H上的正常算子，则：（1）对于任意h ∈ H，有T*T(h) = T*T*T(h) = TT*T(h)。
（2）若T为有界正常算子，则T*也为有界正常算子。
（3）若T是无界正常算子，那么存在一个自伴扩张T_+和一个反自伴扩张T_-，使得T_+和T_-都是有界的正常算子。
（1）紧算子是一类重要的有界正常算子。
（3）弗雷德霍尔姆积分算子是一类重要的反自伴扩张算子。
三、应用正常算子在量子力学、信号处理、物理学中有着广泛的应用。
下面列举一些例子：1. 量子力学正常算子在量子力学中应用广泛。
量子力学中的算子通常都是正常算子。
第一类积分与第二类积分的区别和联系
第一类积分与第二类积分的区别和联系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1.第一类积分是指在确定曲线下方的面积，通常用来求解函数的定积分。
一类新广义的Hilbert型奇异积分算子的范数及其应用
（ ９ ）
（ ｙ ， Ａ ｌ ， ｇ ）≤ ｙ ｌ － － ￣ － ａ ｌ ｑ Ｂ（ １一Ａ Ｉ ｑ ， Ａ 一１＋Ａ １ ｇ ） ． （ ７ ） 证明 令 “＝ｙ ／ ｘ， 则有 ：
（ ｘ ， Ａ ２ ， ｐ ） ＝ 寿
小
ｖ
＝
［
．
由Ｈ ６ １ ｄ ｅ ｒ 不 等式 ｍ 得：
ｑ
Ｊ ０
Ｐ
引 理 设 ｐ ＞ ， 古 ＋ 寺 ＝ ・ ， Ａ ， Ａ ２ ∈
Ｒ， １ 一 Ａ ２ Ｐ＞０， １一 Ａ ｌ ｑ＞０， Ａ ＞ｍａ ｘ ｛ １一 Ａ ｌ ｑ ， １一Ａ ２ Ｐ｝， 定义 权 函数 （ ｘ ， Ａ ２ ， ｐ ）＝ （ ４ ）
这里 ， 常数 因－ ７ ： （
６
） ，
）＝
（ ５ ）
． ．个
ｓ ｕ ｐ
，
ｆ Ｉ ｒ ｆ ｌ Ｉ ｐ １
则有 ： （ Ｄ ＾ （ ， Ａ ２ ， ｐ ）≤ 一 ＾ 一 Ａ ２ 尸 （ １一Ａ ２ ｐ， Ａ 一１＋Ａ ２ ｐ ） ， （ ６ ）
Ａ
≤［ Ｂ（ １一Ａ ２ Ｐ， Ａ一１＋Ａ ２ Ｐ ） ］ Ｘ
， ＋ ＿
） 和
［ Ｂ（ ＋ 一 Ｐ
，
ｑ
） ］ 均 为最 佳． 当 Ａ ：１
‘ ‘
［ 收稿 日期 ］ ２ ０ １ ２—１ ０— ２ １ ［ 基金项 目］ 广 西教育厅科研项 目（ ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ ６ ７ ２ ） ． ［ 作者简介 ］ 唐慧羽（ １ ９ ７ ６一） ， 女， 广西都安人 ， 讲师 ， 主要从事基础数学理论及应用等方 面的研究 ［ 通讯作者］ 陈广生 ， 副教授 ， 硕士．
一类函数空间上的积分算子
一类函数空间上的积分算子函数空间上的积分算子是数学分析中一个重要的概念，它在计算中有着很广泛的应用。
一类函数空间上的积分算子通常是指对某个函数空间中的所有函数进行积分运算得到一个新的函数空间的算子。
下面，我们将从几个方面来阐述一类函数空间上的积分算子。
一、函数空间上的积分算子的定义函数空间上的积分算子指的是对一个函数空间中的所有函数进行积分运算，得到一个新的函数空间。
通常来说，函数空间上的积分算子可以表达为：$Tf(x)=\int_{a}^{b}K(x,y)f(y)dy$其中，$K(x,y)$为积分核，$a$和$b$为积分区间，$f(y)$为函数空间中的一个函数。
二、函数空间上的积分算子的性质函数空间上的积分算子具有一些重要的性质，包括线性性、有界性、对称性等。
下面简要介绍几个常见的性质：1. 线性性。
对于函数空间上的积分算子，有$T(af(x)+bg(x))=aTf(x)+bTg(x)$，其中$a$和$b$为常数。
2. 有界性。
对于函数空间上的积分算子，它可以看作是一个映射，因此它肯定具有一定的有界性。
3. 对称性。
如果积分核$K(x,y)$是对称的，即$K(x,y)=K(y,x)$，那么函数空间上的积分算子$Tf(x)$也是对称的。
三、函数空间上的积分算子的应用函数空间上的积分算子在数学分析和物理学中都有广泛的应用。
它们可以用于求解微积分方程、偏微分方程、变分问题等。
下面列举一些常见的应用：1. 求解微积分方程。
函数空间上的积分算子可以用来求解类似于$f^{(n)}(x)=g(x)$这样的微积分方程。
2. 求解偏微分方程。
函数空间上的积分算子可以用来求解类似于$\frac{\partial u}{\partialt}=D\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+f(x,t)$这样的偏微分方程。
3. 变分问题。
函数空间上的积分算子可以用来求解经典的变分问题，如最小曲面问题、最小作用量问题等。
H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式
H型群上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Stein-Wiess不等式胡亭曦【摘要】研究了H型群上一类带权的HLS不等式,也就是所谓Stein-Wiess不等式,并由此得到了H型群上的HLS不等式.通过建立H型群上一类积分算子的Lp-Lq有界性,利用此积分算子与Stein-Wiess不等式的关系,得到所求不等式,从而推广了Heisenberg群上的Stein-Wiess不等式.%A Stein-Weiss inequality on H-type groups is studied.By the inequality,the HLS inequality on H-type groups is also derived.By proving the Lp-Lq estimate of an integral operator,the main result is established based on the relationship between the integral operator and the inequality,and this result implies Stein-Weiss inequality on Heisenberg group.【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2013(026)002【总页数】5页(P231-235)【关键词】HLS不等式;Stein-Wiess不等式;H型群【作者】胡亭曦【作者单位】西北工业大学应用数学系,陕西西安710129【正文语种】中文【中图分类】O1780 引言欧氏空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式［1-4］（简写为HLS不等式）在分析与几何中都有着重要的应用.欧氏空间RN上的HLS不等式为设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，且满足1／r+1／s+λ／N=2，记‖f‖p为函数f的Lp（RN）范数，则存在与函数f，g无关的正常数Cr，λ，N，使得Heisenberg群上的 HLS不等式由Folland和Stein得到［5］.不久前Frank和Lieb［6］又给出了Heisenberg群上r=s条件下HLS不等式的最佳形式，其中的证明没有用到对称递减重排.Stein和Wiess在文献［7］中建立了RN上带权的HLS不等式，即Stein-Wiess 不等式：设1＜r，s＜∞，0＜λ＜N，α+β≥0，且满足λ+α+β≤N，α＜N／r′ （r′为r的共轭数），β＜N／s′ （s′为s的共轭数），1／r+1／s+λ／N=2，则存在与函数f，g无关的正常数Cα，β，r，λ，N，使得最近Han等人［8］将这一结果推广到Heisenberg群上.本文将Stein-Wiess不等式推广到H型群上，由此得到H型群上的HLS不等式.1 H型群和主要结果1.1 H型群关于H型群的更多信息可参见文献［9］.一个H型群N是一个二步Carnot群，其李代数n=V⊕T上的内积记为〈·，·〉；对每个z∈V可以定义V上的自同构映射Jz满足而且〈z，z〉=1时，Jz 是正交映射.记n= （1／2）dimV，m=dimT，在群N 上固定一个坐标u= （z，t），则z∈R2n，t∈Rm，群运算具有形式其中 Uj是适当的反对称矩阵.H型群是齐次群，因此在群N上自然地具有一族各向异性的伸缩δr：群N的齐次维数定义为Q=2n+2m.通过指数映射可以将李代数n上的Lebesgue 测度提升到群N上而获得群上的双不变Haar测度，记为du，且有（d◦δr）（u）=rQdu.群N上任意元素u的齐次模定义为其中 |z|，|t|是z∈R2n，t∈Rm的Euclid范数；与齐次模相关的拟距离记为d（u，v）=|u-1v|.用B（u，r）= ｛v∈N|d（u，v）＜r｝表示以u为圆心，r为半径的拟球；记｛|u|＜1｝为以单位元为圆心，1为半径的拟单位球.在群N上定义带w权的Lp范数为将带w权Lp范数有限的可测函数全体构成的空间记做Lp（N，w）.1.2 主要结果定理1 设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足则存在与函数f，g 无关的正常数Cα，β，r，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.推论1（H型群上的HLS不等式）设1＜r，s＜∞，0＜λ＜Q，满足1／r+1／s+λ／Q=2，则存在与函数f，g 无关的正常数Cr，λ，Q，使得其中 u= （z，t），v= （z′，t′）.2 定理1的证明2.1 等价定理与引理为证明定理1，先给出2个与之等价的定理.定理2 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与f 无关的正常数，算子T 形为注意到式（2）等同于选取f（u）=g（u）／|u|β，可得定理2的等价叙述.定理3 设1＜p≤q＜∞，0＜λ＜Q，α+β≥0且满足α＜Q／q，β＜Q／p′，1／q=1／p+（λ+α+β）／Q-1，那么有‖Sg‖q ≤C‖g‖p，其中C=Cα，β，p，λ，Q 是与g 无关的正常数，虽然定理1与定理2、定理3中对参数的要求不一样，但是若选取r=q′，s=p，经计算会发现几个定理对参数的要求是一致的.引理1 定理1和定理3等价.证明设定理1成立，利用对偶讨论得于是定理3的结论成立.设定理3的结论成立，由计算得于是定理1的结论成立.引理1证毕.于记K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，将之代入式（3）中有另外d（u，v）是规范距离，满足三角不等式［10］考虑N上的测度wdu，若存在正常数C，使得对任意一对同心球B和B′，当r （B）=2r（B′）时有则称测度wdu满足二重性质.注意到可知|u|-αqτdu是N 上满足二重性质的测度，同理|u|-βp′τdu也是N 上满足二重性质的测度.文献［11］在齐型空间上建立了与式（4）相关的一类算子的有界性，这里的H 型群是齐型空间，所以可以将之应用到H型群上.引理2［11］（Sawyer-Wheeden）设w1（u）和w2（u）是N上的非负可测函数.由式（5）定义的算子T是Lp（N，w2）到Lq（N，w1）的有界算子的一个充分条件是下面两条成立：（1）∃ε＞0，使得对任意一对球B和B′，若满足B′⊆4B，则有其中 r和r′分别是球B 和B′的半径，这里φ（B）=sup｛K（u，v）|u，v∈B，d（u，v）≥9-1r｝，它对所有半径为r的球B⊆G有定义；Cε是只依赖于ε的正常数.（2）∃τ＞1，使满足二重性质，且对任意的球B⊆G有其中Cτ是只依赖于τ的正常数.2.2 定理2的证明利用引理2可验证定理2.事实上，选取w1（u）=|u|-αq，w2（u）=|u|βp，只需要验证引理2中的条件（7）和（8）对式（5）中定义的算子成立.为验证式（7），注意到 K（u，v）=|u-1v|-λ =d（u，v）-λ，可得φ（B）=9λr-λ，φ（B′）=9λ（r′）-λ，因此因为0＜λ＜Q，可选取足够小的ε＞0，使得Q-λ-ε＞0，那么由B′⊆4B有这验证了条件（7）.为验证条件（8），记M3=，然后分别估计 Mi （i=1，2，3）.设即就有直接计算得若αqτ＜Q，若βp′τ＜Q，由条件α ＜ Q／q，β ＜ Q／p′ 得知 min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝＞ 1，此式保证存在τ 满足 1 ＜τ ＜min｛Q／（αq），Q／（βp′）｝，于是αqτ＜Q 和βp′τ＜Q 成立，可知条件（8）左端这验证了条件（8）.最后利用引理2就完成了定理2的证明.2.3 定理1的证明由引理1，定理1与定理3等价.定理2与定理3等价.故可知定理1成立.【相关文献】［1］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.Some properties of fractional integrals（1）［J］.Math Z，1928，27（1）：565-606.［2］HARDY G H，LITTLEWOOD J E.On certain inequalities connected with the calculus of variations［J］.J London Math，1930，5（1）：34-39.［3］SOBOLEV S L.On a theorem of functional analysis［J］.Mat Sbornik，1938，4：471-479.［4］LIEB E H.Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities ［J］.Ann of Math，1983，118（2）：349-374.［5］FOLLAND G B，STEIN E M.Estimates for the（∂）bcomplex and analysis on the Heisenberg group［J］.Comm Pure Appl Math，1974，27（4）：429-522.［6］FRANK R L，LIEB E H.Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group［J］.Annals of Mathematics，2012，176（1）：349-381.［7］STEIN E，WEISS G.Fractional integrals on n-dimensional Euclidean space［J］.J Math Mech，1958，7：503-514.［8］HAN X，LU G，ZHU J.Hardy-Littlewood-Sobolev and Stein-Weiss inequalities and integral systems on the Heisenberg group［J］.Nonlinear Anal，2012，75（11）：4 296-4 314.［9］KAPLAN A.Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms［J］.Trans Amer Math，1980，258（1）：147-153. ［10］HEBISCH W，SIKORA A.A smooth subadditive homogeneous norm on a homogeneous group［J］.Studia Math，1990，96：231-236.［11］SAWYER E，WHEEDEN R.Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and homogeneous spaces［J］.Amer J Math，1992，114（4）：813-874.。
一类Marcinkiewicz积分交换子的有界性
成 的交 换子 的有界 性进 行 了讨 论 ， 助 于 Ｍａｃ ｋｅ ｉｚ 分 交换 子 的加 权 Ｌ 借 ｒｉ ｉｗ ｃ 积 ｎ 有 界
性 ， 用原 子 Ｈａｄ 利 ｒ ｙ空 间理论证 明了该交 换 子是从 Ｈ ｃ 到 Ｌ （ 有 界 的 。 （） Ｕ Ｒ ）
关键 词 ：Ｍａｃ ｋｅ ｃ 积分 ；交换 子 ；Ｂ ｒｉ ｉ ｚ ｎ ｗｉ ＭＯ； ；有界性 权
第２ 卷 第 ３ ５ 期 ２０１２年 ８月
青 岛 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩ ＮＧＤＡＯ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔｏ Ｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ）
Ｖｏ１ ５ ．２ ＮＯ． ３
Ａ ｕｇ ２０ １ ２ ．
ｌ 主 要 概 念 和 引 理
定义 １ 设 ｌ ＜ ｏ 称 一个 定义 在 Ｒ ＜ｐ ｏ 上 的非 负局 部可 积 函数 ６ ０属于 Ａ 权 ， 果存 在 常数 Ｃ Ｏ使得 如 ＞ 对 于任 意 的一 个方 体 ＱＥＲ 有
（ 击
大算子 。
ｃ 。１ｉ ） Ｃ ） Ｏ（ｃ出 ≤ （ Ａｐｚ ＿＿ ／）
６
青 岛 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
第 ２ ５卷
最近 ， 月香 等在 文献［ ］ 何 ４ 中证 明 了在式子 （ ） （ ） １ 和 ２ 的条 件 下 Ｍａｃ ｋｅ ｃ 积 分 与加 权 Ｂ ｒｉ ｉｗｉ ｎ ｚ ＭＯ 函数 生 成 的交 换子 在加权 的 Ｌ 空 间上 的有 界性 。另一 方 面 ， 文献 ［ ］ ， 自强 等 给 出 了满足 一 定 条件 的 Ｍａ— 在 ５中 赵 ｒ
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为此 ， 我们 先来 介绍 一些 相关 的概 念和 记 号． 对 ７≥ １ ， 令 △ 表示 如下 定义 在 Ｒ＋ ×Ｒ＋ ＝｛ （ ｓ ， ｔ ）∈ Ｒ ｘ Ｒ， ｓ ， ＞０ ｝ 上 可测 函数类 ：
＝
／ ｂ （ ｓ ， ｔ 川
（ ＝ ｓ ｕ ｐ 。
Ｉ ｂ （ ｓ ， ｔ
专 ＜＋
（ ２ ）
利用 Ｈ ｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式 易知若 １ ｓ ７ ｌ
２＜＋∞ 时 ， 则有 Ｌ （ Ｒ ×Ｒ ）＝ △ ｃ△ ． Ａ ， △１ ．
设 函数 （ ｓ ， ｔ ） 是 一个 非 负 的定 义在 （ ０ ， ａ 。 ）×（ ０ ， ∞）上 的连 续 函数 ， 且 满足 如下 性质 ： （ Ｉ ） （ ｓ ， Ｃ ）且 、 ｌ ｒ （ Ｃ， ｔ ）是分 别关 于 ｓ ， ｔ 单调 递增 的 ；
２ ０１ ３正
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ｏ． ６
Ｄｅ ｌ ３ ． ２ ０１ ３
第六 期
一
类 积 分 算 子 的有 界 性 质
马 丽， 谢 显 华
２
㈣ １ ｌ ， （ ｓ ， ｔ ）
一
赣南 师范 学院 学报
Ｃ ｓ ｔ ， Ｖ ｓ ， ｔ＞ ０ ．
●
２ ０ １ ３正
＿ 卜ｌ
一 Ｒ
一 ２
一 Ｒ
个 重要 的例 子是 函数 （ ｓ ， ￡ ）＝ｌ ０ （ ａ＋ｓ ） ｌ ｏ （ ｂ＋ｔ ） ， 其 中 ， ：＞０且 ０ ， ｂ ２ ． 定义 （ ｓ ， ｔ ）＝ 中 ， ● Ｉ ＿ ● 一 Ｊ Ｏ ２ ～ 尺
（ Ⅱ ） （ ２ ｓ ， Ｃ ） Ｃ （ ｓ ， Ｃ ）且 （ Ｃ ， ２ ｔ ） Ｃ １ Ｉ ， （ Ｃ， ） ， Ｖ ｓ ， ｔ＞０ ； （ ３ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ６—１ ５
基 金项目： 国家 自然科学基金 （ １ １ ３ ６ １ ０ ０ ４） ； 江西省 自然科学基金 （ ２ ０ １ ２ Ｂ Ａ Ｂ ２ ０ １ ０ １ ４） ； 江西省科技计划项 目（ Ｇ Ｊ Ｊ １ ３ ６ ５ ９ ） 作者简介 ： 马丽 （ １ ９ ８ ３ 一） ， 女， 福建 明溪人 ， 赣南师范学院数学与计算 机科学学 院讲师 ， 主要从事泛函分析研究 ； 谢显华 （ １ ９ ７ ８ 一） ， 男， 江 西兴 国人 ， 赣南师范学 院数学与计算机科学学院副教授 ， 主要从 事泛函分析研究．
亩 上 Ｉ ６ （ １ Ｉ － １ ｓ ） ） （ １ ｌ － １ ｓ ） ） ｌ ｄ ｓ ｃ （ １ ｌ ｌ ＋ 】 ｌ ｆ ｌ ） Ｃ ．
相 关 的结论 请参 阅文献 ［ ２—１ ３ ］ ．
一
个 自然 的 问题 是 ： 将定 理 Ａ中积 分核 推 广 至 乘积 域 上 结论 是 否 仍 然成 立 ？本 文 主 要解 决 这 一 问题 ．
３ ４ １ ０ ０ ０ ） （ 赣南师范学 院 数学 与计算机科学学 院 ， 江西 赣州
摘
一
要： 主 要 研 究 一 类 特 殊 积 分 算 子
．
．
３积 分核 ６ （ １ ｌ （ ｓ ） ， ｌ Ｉ （ ￡ ） ） （ Ｉ 中｝ （ ｓ ） ， Ｉ 中ｌ （ ） ）满 足
△ ： ＝｛ ６ （ ￡ ） ：Ｉ ｌ ｂ
利用 Ｈ ｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等 式易 知若 １
Ｐ （
’ ６ （ ￡ ） ｌ ｄ ） 专 ＜＋∞｝ ・
△１ ．
ｌ ｓ ２＜＋。 。时 ， 则有 ￡ （ Ｒ ） Ａ ｃ△ ｙ Ａ
设 函数 （ ｔ ）是一个 非 负 、 单 调定 义在 （ ０， ∞ ）上 的连续 函数 ， 且满 足如 下性 质 ： （ Ｉ ） （ ） 是 单 调递增 的 ；
， ＪＩ＿●Ｊ
Ｏ
，
于是 我们 得到 如下结 论 ：
呸， Ｊ ＿ ● Ｊ Ｊ Ｏ
定 理 １ 设 （ ｓ ） ， （ ｓ ， ｔ ）如 （ １ ） 、 （ ３ ）所 述 ， 其 中 （ ｓ ， ｔ ） ， （ ｓ ） ， （ ｓ ， ｔ ）分 别 为 一 有 界 函数 ， 当 ｂ∈ Ａ （ ｙ １ ）时 ， 有ｂ （ Ｉ Ｉ Ｉ １ （ ｓ ） ， Ｉ ｌ Ｉ １ （ ｔ ） ） （ Ｉ ｌ （ ｓ ） ， ｌ Ｉ － １ （ ｔ ） ）∈Ａ （ Ｙ １ ） ， 即
（ Ⅱ ） （ ２ ｔ ） Ｃ （ ） ， Ｖ ｔ＞０ ； ㈣ （ ￡ ）≥ Ｃ ． （ １ ）
Ｄ ｉ ｎ ｇ Ｙ ｏ ｎ ｇ ， Ｘ ｕ ｅ Ｑ ｉ ｎ ｇ － ｙ ｉ ｎ ｇ和 Ｋ ６ ｚ ６ Ｙ ａ ｂ ｕ ｔ ａ在 ［ １ ］ 中研究 了 当算子 积分 核为 ｂ （ Ｉ Ｉ （ ｓ ） ） （ Ｉ 中ｌ （ ｓ ） ）
的△ （ １ ）的有 界性 ， 即
定 理 Ａ［ ¨ 设非 负 、 单 调 且连续 函数 满足条 件 （ １ ． １ ） ， 定义 （ ）＝
（ １ ） ， 那么 ｂ （ Ｉ Ｉ （ ｓ ） ） （ １ ｌ （ ｓ ） ） ∈Ａ ， 即
为一 有界 函数 ， 若 ６∈ △
１ 引言
设是 Ｒ （ Ⅳ ＝ｍ 或
２ ）是 Ⅳ 一维 欧 氏空 间 ， Ｓ Ⅳ ． 为 中赋 予 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 测度 ｄ ｏ ＂＝ｄ ｏ ＂ （ ・ ）的单 位球
．对 ≥ １ ， 令 △ 表 示如 下定 义在 ［ ０ ，＋∞ ） 上 可测 函数 类 ：
面． 对非 零 点 ∈ Ｒ ， 记 ＝
＂
－
定 的尺 寸条件 下建立起 了算子 中图分类号 ： ０ １ ７ ７ ． ６
在 乘积域 上的 △ （
１ ）有界性 ．
关键词 ： 积分核 ；尺寸条件 ； △ 有界性
文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ４— ８ ３ ３ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ０ １— ０ ２