泛函分析之H空间上的有界线性算子

则 A()是 U 上的一个双线性埃尔米特泛函 定义：
A()是内积空间 U 上的双线性泛函，IF 存在 C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则 A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数 定理： T 是 H 空间 U 上的有界线性算子，则由等式 A(x,y)=(Tx,y)定义了 U 上的一 个有界线性泛函且||A||=||算子，M 为 T 的值域，N 为 T 的零空间，则 N=M ⊥
定理： T 是 H 空间 U 上的自伴算子，则 T 的任一特征值必为实数，且对应与不同特
征值的特征向量相互正交 定理：
T 是 H 空间 U 上的自伴算子， 令
m=inf{(Tx,x):x ∈ U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x ∈ U,||x||=1} 则
TT1≥0 定义：
U 是内积空间，A()是定义在 U 的二元泛函，IF 任意 x,y,z∈ U,αβ∈ C 有
A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z) A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)
则 A()是 U 上的一个双线性泛函，IF 任意 x,y∈ U,A(x,y)=A(x,y)~
||T||=max{|m|,|M|} 推论：
T 是 H 空间 U 上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈ U,||x||=1}
定义： U 是实 H 空间，T∈B(U)为自伴算子，IF 任意 x∈U,(Tx,x)≥0,则 T 为正算
子，记 T≥0 定义：
{Tn}为自伴算子列，if 任意 n 有 Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升 及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。 定理：
A 是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意 x∈ U,A()为实数且 A()有界。
A 是有界埃尔米特泛函，令 m=infA,M=supA,则||A||=max{|m|,|M|}
投影算子 定义：
Px=x1,则 P 为定义在 U 上的算子。P 为 L 上的正交投影算子，简称投影算子。 L 为 P 的投影子空间。 定理：
Hirbert 空间上的有界线性算子
LISE 定理：
H 空间 U 上的每个有界线性泛函 f ∃1 u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u||
伴随算子： (Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||
定理： T1,T2 是 H 空间上的自伴算子，则 T1T2 是自伴算子的的充要条件是 T1 与 T2 可交换
定理： 投影算子 P1,P2 的积 P1P2 为投影算子充要条件是 P1P2=P2P1
定理：
投影算子 P1,P2 的差 P1-P2 为投影算子充要条件是 P1P2=P2 或 L2 ⊂ L1 或 P2
≤P1
{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则 ∃1自伴算子 T，ST,{Tn}按强算子拓
扑收敛于 T 定理：
T 为正算子，则 ∃1正算子 S,S2=T,S 是 T 的某一多项式按强算子拓扑收敛的
极限。 推论：
T 为正算子，x0∈ U,if (Tx0,x0)=0,则 Tx0=0
推论： 自伴算子 T1≥T2 正算子 T 与 T1,T2 均可换，则 TT1≥TT2.特别的，T2=0 时
U 上的有界线性算子 P 为投影算子的充要条件是 P 自伴&&P2=P 推论：
P 为投影算子，则 P 为正算子
复 H 空间 U 上的有界线性算子 P 为投影算子的充要条件是任意 x∈ U,有
||Px||2=(Px,x)
定义： U 中两两互相正交的子空间 L,M 直接和称为正交和
定理： 投影算子 P1,P2 的和 P1+P2 为投影算子充要条件是 P1P2=0 或 L1 与 L2 正交