泛函分析之H空间上的有界线性算子
泛函分析之B空间上的有界线性算子
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λ为 T 的特征值，T 对应与λ的全部特征值及零元素组成 E 的一个闭子 空间，称为对应于λ的特征向量空间，此空间的维数为λ的重复度；
界逆算子时，(T-1)*=(T*)-1. 定义：
T∈ B(E），λ为一复数.
IF λI-T 有有界逆算子，则λ为 T 的正则值，正则值的全体是正则集 ρ (T).R(λ,T)表示λI-T 的有界逆算子(λI-T)-1,并称为 T 的预解式或预解算子；
IF λ不是 T 的正则值，则λ为 T 的谱点，谱点的全体是谱σ(T). σ(T)分为以下三种：
λ是 T 的正则值，则对 ∀μ是复数，|μ-λ|<||(λI-T)-1||-1时μ也是 T 的
正则值，且：
∑ (µI − T )−1 =
∞ n=
0
(
−1)
n
(
µ
−
n
λ ) (λI
−
T
)− (n+1)
|| (µI - T)-1 - (λI - T)-1 ||≤ | µ - λ ||| (λI - T)-1 || 2 1− | µ - λ ||| (λI - T)-1 ||
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映入 B 空间 E1,则 T 的值域或者是 E1 或者是 E1 中第一类集。 逆算子定理：
有界线性算子 T 将 B 空间 E 映射成 B 空间 E1 中的某个第二类集 F,且 T 是单 射，则 T 存在有界逆算子。 推论：
（E,||||1）（E,||||2）为 B 空间，IF ∃K>0,ST, ∀x∈E,||x||1≤K||x||2,
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。
从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。
《2024年Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题研究》范文
《Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题研究》篇一一、引言Hilbert空间作为数学领域中重要的函数空间，为各类数学问题提供了广阔的研究平台。
有界线性算子作为Hilbert空间中的核心研究对象，其扩张问题一直是学术界研究的热点。
本文将重点研究Hilbert空间中有界线性算子的几类扩张问题，以期为相关研究提供新的思路和理论依据。
二、有界线性算子与扩张问题的概述在Hilbert空间中，有界线性算子指具有有限特征向量集合的算子，其在信号处理、控制论和统计力学等领域有着广泛的应用。
然而，有界线性算子在某些特定情况下，需要经过一定的扩展才能在更广泛的范围内使用。
这些扩展问题包括：连续扩张、相似扩张以及混合扩张等。
本文将对这些问题进行深入研究。
三、连续扩张问题的研究连续扩张问题是有界线性算子扩张问题中的重要一环。
本部分将从以下几个方面对连续扩张问题进行研究：1. 问题的数学模型及假设条件的提出；2. 利用函数逼近的方法进行问题求解；3. 分析不同参数条件下解的性质及其在应用领域中的应用；4. 与现有方法进行对比分析，证明所提方法的有效性和优越性。
四、相似扩张问题的研究相似扩张问题与连续扩张问题紧密相关，同样是有界线性算子扩张问题的关键内容。
本部分将研究以下内容：1. 相似扩张的数学模型及其求解方法；2. 相似扩张在不同类型有界线性算子中的应用；3. 结合具体实例，分析相似扩张的优点和局限性；4. 提出改进相似扩张方法的新思路。
五、混合扩张问题的研究混合扩张问题是有界线性算子在特定条件下需要同时考虑连续和相似扩张的复杂问题。
本部分将探讨以下内容：1. 混合扩张的数学模型及其求解策略；2. 混合扩张在多领域应用中的实际效果；3. 分析混合扩张与其他扩张方法的异同点；4. 提出针对混合扩张问题的优化策略。
六、结论与展望本部分将对本文的研究成果进行总结，并展望未来可能的研究方向。
具体包括：1. 对本文所研究的几类有界线性算子的扩张问题进行归纳总结；2. 分析本文方法的优点和局限性，并指出进一步改进的方向；3. 探讨Hilbert空间中有界线性算子扩张问题在未来可能的研究趋势和挑战；4. 提出针对未来研究的建议和展望。
应用泛函分析-葛显良-习题解答第四章习题提示及解答
Tn x = ( 0, " , 0, ξ n +1 , ξ n + 2 , ") =
2 2
sup { Tn : n ∈ N } < ∞ ，同时存在 T ∈ B ( X , Y ) 使得 ∀ x ∈ X ， Tn x − Tx → 0 ，其中
Tx = lim Tn x = 0 ，即 T 是 0 算子．
或开球 B (Tx, ε ) 之外只有有限个 Txn ．否则，存在 ∀ε 0 > 0 ，开球 B (Tx, ε 0 ) 外有无穷 个 Txn ，由于 T 是紧算子，从中可选出收敛子序列 Txnk ，又 Y 是完备的，存在
W S W y0 ∈ Y ， y0 − Tx ≥ ε 0 ，使得 Txnk ⎯⎯ → Tx ， → y0 ，从而 Txnk ⎯⎯ → y0 ．另外 Txn ⎯⎯ W 由 144 页 11.2 定理， Txnk ⎯⎯ → Tx ，矛盾．
有收敛的子序列，所以 T ( M ) 是列紧集，所以 T 是紧算子．
W → x ，由 149 页习题 3， 3、 ⇒) 设 X 中的弱收敛点列 { xn } ， xn ⎯⎯
W S Txn ⎯⎯ → Tx ，下证 Txn ⎯⎯ → Tx ，即证 ∀ε > 0 ，存在 n0 ，当 n ≥ n0 时， Txn − Tx < ε
{ }
⇐) 此处证明需要 X 上任一个有界的序列 { xn } 都有弱收敛的子序列这一结
论．相关的结论是：Banach 空间是自反的当且仅当任一有界序列包含弱收敛的自 序列，具体可以参照著作：[日]吉田耕作（Yosida）．《泛函分析》．吴元恺等 译，北京：人民教育出版社，1981．120 页，Eberlein-Shymulyan 定理． 4、本题修改为证明 R (T ) 是可分的． 对 n = 1, 2, " ，考虑 X 上的有界集 An = { x : x ∈ X , x ≤ n} ， T 是紧算子保证
应用泛函分析修订版(后两章)
赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §1.2.1 §1.2.2 §1.2.3 赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 对偶空间 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
§1.1 赋范线性空间上的有界线性算子
§1.1.1 有界线性算子
定义 1.1.1 设X, Y是同一数域K上的赋范线性空间, T : X → Y是线性算子. 若存在正常 ∥T x∥ ≤ c∥ x∥, 则称T 为X上的有界线性算子. 在(1.1.1 )中, ∥ x∥是表示 x在X中的范数, ∥T x∥ 是表示 T x 在 Y中的范数. 至于在定义中 用“有界”二字是基于下面一个的事实: T : X → Y是有界线性算子, 当且仅当线性算 子 T 把 X 中的任一有界集映成 Y 中的有界集. 考察不等式(1.1.1 ), 对所有的 x ∈ X, x θ, 由(1.1.1 )得 (1.1.2) ∥T x∥ ≤c ∥ x∥
§2.4
曲线拟合的最小二乘法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 §2.4.1 §2.4.2 曲线拟合的最小二乘问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 最小二乘解的求法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
有界线性算子和连续线性泛函.ppt
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
Txn n xn
对于线性泛涵，我们还有下面的定理 定理2 设X 是赋范线性空间，f 是 X 上线性泛涵，那么 f 是X 上连续泛涵的
充要条件为 f 的零空间 ( f )是 X 中的闭子空间。
证明 设 f 是连续线性泛涵，当 xn ( f ) n 1,2,, 并且 xn x(n ) 时，由 f
的连续性，有
f
(x)
Tx c x
（3）
则称 T是 A(T )到 Y 中的有界线性算子，当 A(T) X时，称 T 为X 到 Y中的有界线性
算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。
定理1 设 T是赋范空间 X 到赋范空间 Y中的线性算子， 则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子。
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
（7）
III 有界线性算子和连续线性泛涵的例子
例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx x 是有界线性 算子，且 T a ，特别
泛函分析之H空间上的有界线性算子
Hirbert空间上的有界线性算子LISE定理：H空间U上的每个有界线性泛函f 1∃ u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u|| 伴随算子：(Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||定理：T1,T2是H空间上的自伴算子，则T1T2是自伴算子的的充要条件是T1与T2可交换定理：T是H空间U上的自伴算子，M为T的值域，N为T的零空间，则N=M⊥定理：T是H空间U上的自伴算子，则T的任一特征值必为实数，且对应与不同特征值的特征向量相互正交定理：T是H空间U上的自伴算子，令m=inf{(Tx,x):x∈U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x∈U,||x||=1}则||T||=max{|m|,|M|}推论：T是H空间U上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈U,||x||=1}定义：U是实H空间，T∈B(U)为自伴算子，IF任意x∈U,(Tx,x)≥0,则T为正算子，记T≥0定义：{Tn}为自伴算子列，if任意n有Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。
定理：{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则1∃自伴算子T，ST,{Tn}按强算子拓扑收敛于T定理：T为正算子，则1∃正算子S,S2=T,S是T的某一多项式按强算子拓扑收敛的极限。
推论：T为正算子，x0∈U,if (Tx0,x0)=0,则Tx0=0推论：自伴算子T1≥T2正算子T与T1,T2均可换，则TT1≥TT2.特别的，T2=0时TT1≥0定义：U是内积空间，A()是定义在U的二元泛函，IF 任意x,y,z∈U,αβ∈C有A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z)A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)则A()是U上的一个双线性泛函，IF任意x,y∈U,A(x,y)=A(x,y)~则A()是U上的一个双线性埃尔米特泛函定义：A()是内积空间U上的双线性泛函，IF 存在C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数定理：T是H空间U上的有界线性算子，则由等式A(x,y)=(Tx,y)定义了U上的一个有界线性泛函且||A||=||T||推论：A是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意x∈U,A()为实数且A()有界。
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第11章课后习题答案
第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。
证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。
证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。
反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。
则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。
易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。
总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。
由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。
证毕。
2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。
证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。
因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。
这样{1}()A λλσ=⊂。
反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。
类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。
即()A λσ∈。
因此(){1}A σλλ==。
证毕。
3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===，试求()A σ。
解对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。
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A()是内积空间 U 上的双线性泛函，IF 存在 C>0,ST,|A(x,y)|≤C||x||||y|| 则 A()是有界的，令||A||=sup|A(x,y)|称为其范数 定理： T 是 H 空间 U 上的有界线性算子，则由等式 A(x,y)=(Tx,y)定义了 U 上的一 个有界线性泛函且||A||=||算子，M 为 T 的值域，N 为 T 的零空间，则 N=M ⊥
定理： T 是 H 空间 U 上的自伴算子，则 T 的任一特征值必为实数，且对应与不同特
征值的特征向量相互正交 定理：
T 是 H 空间 U 上的自伴算子， 令
m=inf{(Tx,x):x ∈ U,||x||=1}M=sup{(Tx,x):x ∈ U,||x||=1} 则
TT1≥0 定义：
U 是内积空间，A()是定义在 U 的二元泛函，IF 任意 x,y,z∈ U,αβ∈ C 有
A(αx+βy,z)=αA(x,z)+βA(y,z) A(x,αy+βz)=α~A(x,y)+β~A(x,z)
则 A()是 U 上的一个双线性泛函，IF 任意 x,y∈ U,A(x,y)=A(x,y)~
||T||=max{|m|,|M|} 推论：
T 是 H 空间 U 上的自伴算子，则||T||=sup{|(Tx,x)|:x∈ U,||x||=1}
定义： U 是实 H 空间，T∈B(U)为自伴算子，IF 任意 x∈U,(Tx,x)≥0,则 T 为正算
子，记 T≥0 定义：
{Tn}为自伴算子列，if 任意 n 有 Tn≤Tn+1,则{Tn}是单调上升列，单调上升 及单调下降的自伴算子列统称为单调算子列。 定理：
A 是有界埃尔米特泛函的充要条件是任意 x∈ U,A()为实数且 A()有界。
A 是有界埃尔米特泛函，令 m=infA,M=supA,则||A||=max{|m|,|M|}
投影算子 定义：
Px=x1,则 P 为定义在 U 上的算子。P 为 L 上的正交投影算子，简称投影算子。 L 为 P 的投影子空间。 定理：
Hirbert 空间上的有界线性算子
LISE 定理：
H 空间 U 上的每个有界线性泛函 f ∃1 u∈U,ST,f(x)=(x,u)，||f||=||u||
伴随算子： (Tx,y)=(x,T*y) ||T||=||T*||
定理： T1,T2 是 H 空间上的自伴算子，则 T1T2 是自伴算子的的充要条件是 T1 与 T2 可交换
定理： 投影算子 P1,P2 的积 P1P2 为投影算子充要条件是 P1P2=P2P1
定理：
投影算子 P1,P2 的差 P1-P2 为投影算子充要条件是 P1P2=P2 或 L2 ⊂ L1 或 P2
≤P1
{Tn}为一致有界的单调自伴算子列，则 ∃1自伴算子 T，ST,{Tn}按强算子拓
扑收敛于 T 定理：
T 为正算子，则 ∃1正算子 S,S2=T,S 是 T 的某一多项式按强算子拓扑收敛的
极限。 推论：
T 为正算子，x0∈ U,if (Tx0,x0)=0,则 Tx0=0
推论： 自伴算子 T1≥T2 正算子 T 与 T1,T2 均可换，则 TT1≥TT2.特别的，T2=0 时
U 上的有界线性算子 P 为投影算子的充要条件是 P 自伴&&P2=P 推论：
P 为投影算子，则 P 为正算子
复 H 空间 U 上的有界线性算子 P 为投影算子的充要条件是任意 x∈ U,有
||Px||2=(Px,x)
定义： U 中两两互相正交的子空间 L,M 直接和称为正交和
定理： 投影算子 P1,P2 的和 P1+P2 为投影算子充要条件是 P1P2=0 或 L1 与 L2 正交