初二数学第三讲勾股定理(教案) 2019北师大八年级数学上册 勾股定理

第03讲勾股定理适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）120分钟知识点 1.勾股定理2.勾股定理逆定理3.直角三角形的两个重要性质4.特殊勾股数教学目标 1.会运用勾股定理解决简单问题2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形3.会运用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题4.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力教学重点勾股定理的逆定理及勾股定理的应用教学难点勾股定理的应用教学过程一、复习预习上节课我们复习了二次根式的内容，接下来请同学们回忆一下1.平方根，算术平方根，立方根定义2.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式。

3.二次根式的性质4.二次根式的加减乘除运算二、知识讲解1．勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．CAB cba注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

2. 勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()222221=42.正方形EFGH =-+⨯∴+=S c a b aba b c（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形。

()222222121221c b a c ab b a S =+∴+⨯=+=梯形3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

4. 勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13； 6、8、10；7、24、25； 8、15、17； 9、40、41。

（牢记） 考点/易错点1没有分析，明确哪个角是直角，盲目套用定理，出现错解，或漏解。

考点/易错点2在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边． 考点/易错点3常用勾股数记忆，勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数. 考点/易错点4“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．三、例题精析【例题1】【题干】已知直角三角形的三边长分别是3,4, x ,则x =_______________. 【答案】当x 为斜边时,由勾股定理,得23+24=2x ,∴x =5.当4为斜边时,由勾股定理,得x =2243-=7,∴x =5或7.【解析】容易主观确定斜边。

这种解法是将x 当成斜边,事实上,本题没有指明x 与4的大小关系,因此长度为4的边可能是直角边,也可能是斜边,应分两种情况讨论. 【例题2】【题干】在Rt △ABC 中，∠B ＝90°, a =5, b =12,求c 边的长. 【答案】∵∠B ＝90°, ∴b 为斜边.由勾股定理,得222a cb +=,∴c =22b a -=22125-=119.【解析】容易忽略题目中∠B ＝90°,则b 为斜边这个隐含条件. 【例题3】【题干】在△ABC 中, AB =15, AC =20, BC 边上的高AD =12,求BC 的长. 【答案】⑴当高AD 在△ABC 的内部时, 如图,由勾股定理,得222BD AB AD =-=22215129-=,即BD=9.222CD AC AD =-=222201216-=,CD=16.图1AD CB∴BC= BD+CD=9+16=25.⑵当高AD 在△ABC 的外部时,同样由勾股定理可求得BD=9, CD=16, 这时BC= CD-BD=16 -9=7. ∴BC 的长是25或7.图2CDAB【解析】本题满足条件的三角形除⑴图外,还有⑵图所示的情况,即高AD 在△ABC 的外部. 【例题4】【题干】已知△ABC 的三边a ，b ，c 的长分别是6,8,10,试判断△ABC 的形状.【答案】∵22a b +=2268+=100,2210100c ==,∴222a b c +=,由勾股定理的逆定理,知△ABC 是直角三角形【解析】勾股定理是由直角三角形推导三边的数量关系,而逆定理是由三角形的三边之间的数量关系推导三角形是直角三角形,二者不可混淆. 【例题5】【题干】已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且 a ＝3，b ＝4，且 b ＜c ．若c 为整数，则c ＝________.【答案】由三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，知 b －a ＜c ＜a ＋b ．又 b ＜c ，∴b ＜c ＜a ＋b ，即 ４＜c ＜７．∵c 为整数，∴c 为5或者6．【解析】应用勾股定理解题的前提是在直角三角形中，否则勾股定理是不适用的．掌握勾股定理要注意以下三点：一是勾股定理所揭示的是直角三角形三边之间平方关系的定理，它反映了直角三角形三条边之间的数量关系；二是在直角三角形中一定要分清已知的边是直角边还是斜边；三是勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形或钝角三角形． 【例题6】【题干】已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边， 且（a ＋b ）（a －b ）＝c ２，则（ ）A ．∠A 为直角B ．∠C 为直角 C ．∠B 为直角D ．不是直角三角形【答案】A【解析】∵a２－b２＝c２，∴b２＋c２＝a２，∴a 边所对的角∠A为直角.我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候，不能因为思维定势，看到数量之间的平方关系，就得到某个角是直角的结论，这样很容易产生直觉错误，丢掉不该丢的分．它告诫我们在审题时一定要仔细，防止由于思维定势而产生会做却做不对的情况．【例题7】【题干】如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是.【答案】10【解析】如图,根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.【例题8】【题干】有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.【答案】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10m 时, ∵AC ⊥BD,∴CD=CB=6m, ∴△ABD 的周长=10+10+2×6=32(m).②如图2,当AB=BD=10m 时, ∵BC=6m,∴CD=10-6=4(m), ∴AD=22CD AC +=54(m),∴△ABD 的周长=10+10+54=(20+54)m.③如图3,当AB 为底时,设AD=BD=x m, 则CD=x-6(m),由勾股定理得:AD=22CD AC +=x,解得,x=m.∴△ABD 的周长为m.【解析】等腰三角形的分类讨论，三条边两两相等.四、课堂运用【基础】1.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( ) A.5B.7C.5D.5或7【答案】D【解析】(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边长为5;(2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三边长为7,故选D.2. 如图,有一块直角三角形纸板ABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且点C 落到点E 处,则CD 等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【答案】B【解析】由题意可知,△ACD 和△AED 关于直线AD 对称,因而△ACD ≌△AED.所以AE=AC=6cm,CD=ED,ED ⊥AB,设CD=ED=x cm,则在Rt △ABC 中,由勾股定理可得AB 2=AC 2+BC 2=62+82=100,得AB=10cm,在Rt △BDE 中,有x 2+(10-6)2=(8-x) 2. 解得x=3. 运用勾股定理解决折叠问题,往往融方程与几何图形于一体,具有较强的综合性.解决与折叠有关的问题时,要寻找出折叠前后的不变量(即相等的线段、相等的角),同时要注意方程思想的应用.3. 如图,在△ABC 中,CA=CB,AD ⊥BC,BE ⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= .【答案】3【解析】在Rt △ADB 中,根据勾股定理,得DB=22AD AB -=2245-=3.∵AD ⊥BC,BE ⊥AC, ∴∠ADB=∠BEA=90° ∵CA=CB,∴∠EAB=∠DBA, 又∵AB=BA,∴△ADB ≌△BEA,∴AE=BD=3.4.已知,如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC 的长.【答案】AC=30【解析】过D 作DE ⊥AB,垂足为E,∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,在Rt △BDE 中,BE=22DE BD -==20,∵CD=DE,AD=AD, ∴Rt △ACD ≌Rt △AED, ∴AC=AE.在Rt △ABC 中,由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2,即(AC+20)2=AC 2+(15+25)2, 解得AC=30. 【巩固】1. 如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD 是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD= cm.【答案】4【解析】根据等腰三角形的三线合一可得:BD=BC=×6=3(cm),在直角三角形ABD 中, 由勾股定理得:AB 2=BD 2+AD 2,所以AD=22BD AB -=4(cm).2. 如图,每个小正方形的边长为1,△ABC 的三边a,b,c 的大小关系是( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a【答案】C【解析】∵AC=2234+=5=25,BC=2214+=17,AB=4=16, ∴b>a>c,即c<a<b.3.如图所示,数轴上点A 所表示的数为a,则a 的值是 .【答案】1-5.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为2221+=5,所以-1到点A 的距离是5,那么点A 所表示的数为1-5.4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B 的坐标分别为(-6,0),(0,8).以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧,交x 正半轴于点C,则点C 的坐标为 .【答案】(4，0)【解析】∵点A,B 的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8, ∴AB=22BO AO +=10,∵以点A 为圆心,以AB 长为半径画弧, ∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,∵交x 正半轴于点C, ∴点C 的坐标为(4,0). 【拔高】1. 如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( ) A.8mB.10mC.12mD.14m【答案】B【解析】如图,设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,过C 点作CE ⊥AB 于E,则四边形EBDC 是长方形,连接AC, ∴EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m), 在Rt △AEC 中,AC=22EC AE +=10m.2.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n 个三角形的面积为( )A.nB.nC.2nD.2n【答案】D【解析】在第一个三角形中:21OA =1+1,S 1=1×1÷2. 在第二个三角形中:22OA =21OA +1=1+1+1,S 2=OA 1×1÷2=11+×1÷2.在第三个三角形中:23OA =22OA +1=1+1+1+1,S 3=OA 2×1÷2=111++×1÷2; …在第n 个三角形中:S n =n ×1÷2=3. 如图,在高为3m,斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要 m;若楼梯宽2m,每平方米地毯需30元,那么这块地毯需要花 元.【答案】7 420【解析】在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2,所以AC 2=AB 2-BC 2=52-32=25-9=16.所以AC=4(m).所以地毯长度为AC+BC=4+3=7(m). 所以地毯总面积为7×2=14(m 2).所以需花30×14=420(元).课程小结1. 勾股定理2. 勾股定理的证明3. 勾股定理的逆定理4. 常用勾股数课后作业【基础】1. 如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1m 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )A.5mB.3mC.()15+ mD.3m【答案】C【解析】在Rt △ABC 中,AC=1m,AB=2m,由勾股定理,得BC ，树的高度为AC+BC;2. 如图,图中有一长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm 的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( ) A.41cm B.34cmC.25cmD.35cm【答案】C【解析】如图,连接BC,BD,在Rt △ABC 中,AB=5cm,AC=4cm,根据勾股定理,得BC=22AC AB +=41cm,在Rt △BCD 中,CD=3cm,BC=41cm, BD=22CD BC +=25(cm).3.如图,要制作底边BC 的长为44cm,顶点A 到BC 的距离与BC 长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB 的长至少需要 cm.(结果保留根号的形式)【答案】 511【解析】如图,作AD ⊥BC 于D, ∵AD ∶BC=1∶4,且BC=44cm,∴AD=11cm. 又∵AB=AC,∴在Rt △ABD 中,AD=11cm,BD=BC=22cm, ∴AB 2=AD 2+BD 2,∴AB=222211 =511(cm), AB 的长至少为511cm. 【巩固】1.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2m,若∠A=30°,∠B=90°,BC=6m.当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE= m 时,有DC 2=AE 2+BC2. 【答案】x=【解析】∵∠A=30°,∠B=90°,BC=6m,∴AC=12m, 设AE=x m,可得EC=(12-x)m,∵正方形DEFH 的边长为2m,即DE=2m, ∴DC 2=DE 2+EC 2=4+(12-x)2, AE 2+BC 2=x 2+36,∵DC 2=AE 2+BC 2, ∴4+(12-x)2=x 2+36, x=.2.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB附近建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?【答案】10km【解析】设AE=x km,因为C,D两村到E站的距离相等,所以DE=CE,即DE2=CE2,由勾股定理,得152+x2=102+(25-x)2,x=10. 故E点应建在距A站10km处.【拔高】1.在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．【答案】由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．【解析】我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．在没有分辨清楚最长边的情况下，不能盲目套用勾股定理的逆定理．2.已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE．【答案】∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2 =(BE＋EC)·(BE－EC) =BC·(BE－EC)∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．【解析】题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．所以高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。