与二次函数有关的恒成立问题
二次函数恒成立问题的方法
二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指对于任意实数x,都存在一个正实数a和正整数b,使得以下的二次函数f(x)满足以下条件:1. f(a) = 02. f(b) = 03. f(x)在区间[a,b]上连续。
下面介绍几种解决二次函数恒成立问题的方法:方法一:利用函数图像如果我们能够画出二次函数f(x)的图像,那么我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x 取何值时,函数f(x)恒成立。
具体而言,我们可以通过观察图像来确定二次函数f(x)在区间[a,b]上的取值,并检查是否满足条件1、2、3。
方法二:利用配方和边界条件我们可以使用二次函数的配方来解决这个问题。
设二次函数f(x)的顶点坐标为c(c<0),则有f(x) = (x-c)(x-c-1)。
我们可以使用这个配方来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。
具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
方法三:利用函数性质我们还可以通过函数的性质来解决这个问题。
例如,我们可以利用二次函数的对称性来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。
具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
方法四:利用数学软件如果我们想要更加高效地解决二次函数恒成立问题,可以使用数学软件。
例如,我们可以使用MATLAB或其他数学软件来检查二次函数f(x)是否满足条件1、2、3。
通过使用软件,我们可以快速地画出函数图像,并检查函数的取值是否满足条件。
以上就是几种解决二次函数恒成立问题的方法,这些方法各有优缺点,我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决该问题。
例谈二次函数中的恒成立问题
－
２ ３
时
，ｆ （ｘ ）ｍｉｎ
＝
ｆ （ｍ ＋ １） ＝ ２ ｍ２
＋
３ｍ
＞
０ ，解之得 ｍ ＜
－
３ ２
；当 ｍ ≤
－
ｍ ２
≤
ｍ ＋ １ ，即 －
２ ３
≤ ｍ ≤ ０ 时 ，ｆ （ｘ ）ｍｉｎ ＝ ｆ
－
ｍ ２
＝
－
ｍ２ ４
－１ ＞
０不
成立
．综上
，ｍ
＜
－
３ ２
或
ｍ
＞
２ ２
．
点评 上述变式的解题思路没有多少变化 ，
至有的不能分离 ，就要用方法 ３ ，直接研究含参数
的区间最值 ．
变式 已知函数 ｆ （ｘ ） ＝ ｘ２ ＋ ｍｘ － １ ，若对
于任意 ｘ ∈ ［ｍ ，ｍ ＋ １］ ，都有 ｆ （ｘ ） ＞ ０ 成立 ，则实
数 ｍ 的取值范围是 ．
分析 本题不宜选择分离变量 ，因为变量的
正负讨论起来比较繁琐 ，所以宜用方法 ３ ．
ｆ （ｘ ） ＝ ｘ２ ＋ ｍｘ － １ ，若对于任意 ｘ ∈ ［ｍ ， ｍ ＋ １］ ，都有 ｆ （ｘ ） ＜ ０ 成立 ，则实数 ｍ 的取值范围 是 ．
解法 １ 对于任意 ｘ ∈ ［ｍ ，ｍ ＋ １］ ，都有
ｆ （ｘ ） ＜ ０ 成立 ，只需满足 ｆ （ｘ ）ｍａｘ ＜ ０ ．二次函数 开口向上 ，闭区 ｌ 的 垂 直 距 离 ， 于 是 有
ａ２ ＋ ｂ２
≥
｜ ｒ４ ＋ ２ ｒ２ ＋ １ ｜ ＝ ｒ６ ＋ ｒ２
（ ｒ２ ＋ １）２ ＝ ｒ２ （ｒ４ ＋ １ ）
２ （ｒ２ ＋ １）２ ２ ｒ２ （ｒ４ ＋ １）
恒成立问题与有解问题的区 别
恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。
它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的试题中，越来越受到命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。
1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0)，若y=f(x)在[m，n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线)可得上述结论等价于ⅰ) 或ⅱ)，亦可合并定成，同理，若在[m，n]内恒有f(x)<0，则有【例1】对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0，设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1，则f(p)在[-2，2]上恒大于0，故有：即，解得：∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
【例2】 设f(x)=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当△=4(a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x∈[-1，+∞)，F(x)≥0恒成立；ⅱ)当△=4(a-1)(a+2)≥0时，则由图可得：即，得-3≤a≤-2-1o综合可得a的取值范围为[-3，1]。
二次函数恒成立问题洋葱数学
二次函数恒成立问题洋葱数学摘要：I.二次函数的定义和性质- 二次函数的定义- 二次函数的图象和性质II.二次函数恒成立问题的类型- 二次函数恒成立问题的定义- 常见二次函数恒成立问题的类型III.解决二次函数恒成立问题的方法- 判别式法- 韦达定理法- 完全平方公式法IV.二次函数恒成立问题的应用- 二次函数恒成立问题在实际生活中的应用- 二次函数恒成立问题在考试中的常见题型和解题技巧正文：二次函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
洋葱数学为我们提供了一种解决二次函数恒成立问题的方法。
首先，我们需要了解二次函数的定义和性质。
二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数，且a 不等于0。
二次函数的图象是一个抛物线，其性质包括开口方向、对称轴、顶点等。
其次，我们需要了解二次函数恒成立问题的类型。
二次函数恒成立问题是指在一定的条件下，二次函数的值恒为某个常数。
常见的问题类型包括二次函数的值恒为正、恒为负、恒为零等。
解决二次函数恒成立问题的方法有多种，其中最常用的方法是判别式法。
判别式法是根据二次函数的判别式Δ= b^2 - 4ac 来判断二次函数的值是否恒为某个常数。
当Δ > 0 时，二次函数的值恒为正；当Δ < 0 时，二次函数的值恒为负；当Δ = 0 时，二次函数的值恒为零。
另外，韦达定理法和完全平方公式法也是解决二次函数恒成立问题的常用方法。
韦达定理法是利用二次函数的韦达定理来求解二次函数的值；完全平方公式法是将二次函数化为完全平方的形式，从而求解二次函数的值。
二次函数恒成立问题在实际生活中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。
在考试中，二次函数恒成立问题也是常见题型，掌握解决二次函数恒成立问题的方法和技巧，对于提高数学成绩具有重要意义。
恒成立问题基本题型及解题方法
恒成立问题基本题型一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时m in )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， m in )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m in )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。
解：)()(x g x f ≤在[0，1] 上恒成立，即021≤--+t x x 在[0，1]上恒成立 令t x x x F --+=21)( 则须F(x)在[0，1]上的最大值小于或等于0所以 121412121)('++-=-+=x x x x F 又]1,0[∈x 所以0)('<x F 即)(x F 在[0，1]上单调递减所以)0(max )(F x F = 即01)0()(≤-=≤t F x F 得 1≥t{0340122>+->-x x x（说明：若将恒成立改成有解，即)()(x g x f ≤在[0，1]上有解，则应F(x)min 0≤。
与二次函数有关的“恒成立”问题的求解策略
ʏ张亮昌解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等㊂下面举例分析这类问题的求解策略㊂方法一:判别式法例1 已知不等式(m 2+4m -5)x 2+4(1-m )x +3>0对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂①当m 2+4m -5=0时,可得m =-5或m =1㊂若m =-5,则不等式化为24x +3>0,这时对任意实数x 不可能恒大于0㊂若m =1,则3>0恒成立㊂②当m 2+4m -5ʂ0时,根据题意可得m 2+4m -5>0,Δ=16(1-m )2-12(m 2+4m -5)<0,解得m <-5或m >1,1<m <19,所以1<m <19㊂综上可知,所求实数m 的取值范围是{m |1ɤm <19}㊂评注:对于一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a >0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a <0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0㊂方法二:分离参数法例2 不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,则实数a 的取值范围是㊂不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,等价于a ȡyx -2yx2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立㊂令t =y x ,则1ɤt ɤ3,所以a ȡt -2t 2在1ɤt ɤ3上恒成立㊂令函数y =-2t 2+t =-2t -142+18,当t =1时,y m a x =-1,则a ȡ-1㊂故实数a 的取值范围是{a |a ȡ-1}㊂评注:若a ȡf (x )恒成立,则a ȡf (x )m a x ;若a ɤf (x )恒成立,则a ɤf (x )m i n ㊂方法三:主参换位法例3 已知函数y =a x 2-2a x +8+3a ,若对于1ɤa ɤ3,y <0恒成立,则实数x 的取值范围为㊂已知函数可化为关于a 的函数y =a x 2-2a x +8+3a =(x 2-2x +3)a +8㊂由题意知,y <0对于1ɤa ɤ3恒成立㊂因为x 2-2x +3>0恒成立,且y 是关于a 的一次函数,在1ɤa ɤ3上随x 的增大而增大,所以y <0对1ɤa ɤ3恒成立等价于y 的最大值小于0,即3(x 2-2x +3)-8<0,也即3x 2-6x +1<0,解得3-63<x <3+63,所以实数x 的取值范围为x 3-63<x <3+63㊂评注:在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)㊂在R 上定义运算⊗:A ⊗B =A (1-B ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<4对x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围为㊂提示:(x -a )⊗(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a <4对x ɪR 恒成立,即x 2-x -a 2+a +4>0对x ɪR 恒成立,所以Δ=4-4(-a 2+a +1)=4a 2-4a <0,所以0<a <1,即实数a ɪ(0,1)㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
二次函数恒成立问题的方法
二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指在抛物线或二次函数的图像上,要求其对应的二次函数在该点处必须恒成立。
这个问题的解决方法有很多,下面我们将介绍其中两种常用的方法。
方法一:利用配方求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以将抛物线或二次函数进行配方,从而将其转化为一次函数的形式。
具体来说,我们可以将二次函数写成以下形式: f(x) = ax^2 + bx + c将点P的坐标代入该式中,得到:ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k(x-g)其中,a、b、c、h、g、k都是已知常数,而a、b、c、h、g、k中的任意一个都可以作为点P的坐标。
然后,我们只需要要求出k(x-g)的值即可。
由于k(x-g)是一个二次函数,因此我们可以将其进行配方,得到:k(x-g) = k[(x-h)^2 - 4gh]将k(x-g)代入上式中,得到:k[(x-h)^2 - 4gh] = k[(x-h)^2 - (x-g)^2 + 2gh]化简后得到:k[(x-h)^2 - (x-g)^2] = -2gh因此,如果二次函数在点P处恒成立,则-2gh必须在点P处成立。
我们可以通过对-2gh求导,得到:f"(x) = 2ax + 2b当-2gh在点P处成立时,即f"(x) = 2ax + 2b = 0时,我们才能要求出k(x-g)的值,从而使得二次函数在点P处恒成立。
方法二:利用图像法求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以通过图像法求解。
具体来说,我们可以将抛物线或二次函数绘制在平面直角坐标系中,然后找到点P和该函数的图像之间的交点,该交点的横坐标就是要求出的k(x-g)的值。
假设我们已经找到了与二次函数在点P处的交点C,该交点的横坐标为c。
那么,我们可以将点P的坐标代入一次函数f(x) = ax^2 + bx + c中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c - 2gh将ax^2 + bx + c - 2gh代入上式中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c + 2gh化简后得到:2a = 0因此,a = 0。
恒成立问题与有解问题的区别
解得a<－1或a>2。
注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
2、有解问题
【例5】不等式kx2+k－2<0有解，求k的取值范围。
解：不等式kx2+k－2<0有解k(x2+1)<2有解k<有解k<()max=2，
∴N={a|a>9}．
3、恒成立与有解的区别
（1)不等式f(x)<k在x∈I时恒成立fmax(x)<k，x∈I或f(x)的上界小于或等于k；
（2)不等式f(x)<k在x∈I时有解fmin(x)<k，x∈I或f(x)的下界小于k；
（3)不等式f(x)>k在x∈I时恒成立fmin
（4)不等式f(x)>k在x∈I时有解fmax(x)>k，x∈I或f(x)的上界大于k；
解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界)、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。
∴k∈(－∞，2)。
【例6】对于不等式|x－2|+|x+1|<a，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意x∈[0，5]，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合M、N．
解：由f(x)=|x－2|+|x+1|=
又a>f(x)有解a>f(x)min=3，
∴M={a|a>3}．
令g(x)=|x－2|+|x+1|，x∈[0，5]，则a>g(x)恒成立a>g(x)max=g(5)=9．