2020届高考数学大二轮复习冲刺创新题型2解答题规范踩点多得分第8讲选修4系列第1课时坐标系与参数方程练习文

第1课时 坐标系与参数方程[考情分析] 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，要求考查：一是直线与圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化．热点题型分析热点1 极坐标方程1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r 时，ρ＝r ； (2)当圆心为M (a,0)，半径为a 时，ρ＝2a cos θ；(3)当圆心为M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a 时，ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2，且平行于极轴：ρsin θ＝b .(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在曲线C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知，得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点． 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中， |OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ和y ＝ρsin θ直接带入并化简即可．2．极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验．(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是以直角坐标(2,0)为圆心，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4,0)(直角坐标)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连接OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.热点2 参数方程1．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．t的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|PP 0|(t 可正、可负、可零)．若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t 1＋t 22.2．圆的参数方程 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． 3．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)；椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos θ，y ＝a sin θ(θ为参数)．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有：(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；(2)三角恒等消参法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆和椭圆的参数方程都是运用三角恒等消参法；(3)常见的消参关系式：t ·1t ＝1；⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t22＝1.(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值．解 (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2＋t22＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，直线l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．曲线C 上的点到直线l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故曲线C 上的点到直线l 距离的最小值为7. 热点3 极坐标与参数方程的综合应用解决极坐标与参数方程的综合应用问题的一般思路：(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同；(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.解决极坐标、参数方程的综合问题时应注意下面三点：(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰；(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题；利用圆或椭圆参数方程中的参数，转化为三角函数处理有关最值的问题；(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件和隐含条件．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝2＋t sin φ(t 为参数，0≤φ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当φ变化时，求|AB |的最小值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝2＋t sin φ，消去t ，得x sin φ－y cos φ＋2cos φ＝0，所以直线l 的普通方程为x sin φ－y cos φ＋2cos φ＝0. 由ρcos 2θ＝8sin θ，得(ρcos θ)2＝8ρsin θ， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得x 2＝8y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝8y .(2)将直线l 的参数方程代入x 2＝8y ， 得t 2cos 2φ－8t sin φ－16＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8sin φcos 2φ，t 1t 2＝－16cos 2φ， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝64sin 2φcos 4φ＋64cos 2φ＝8cos 2φ. 当φ＝0时，|AB |的最小值为8.专题作业1．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得C 的普通方程为x 2＋(y－2)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. (2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2.又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM ||ON |＝12×2×23＝2 3.2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，所以x 1＋x 2＝(1＋t 1cos α)＋(1＋t 2cos α)＝2，所以(t 1＋t 2)cos α＝0，又cos α≠0，所以t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，所以tan α＝－2，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝1kx ＋，消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ22θ－sin 2θ＝4，ρθ＋sin θ－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.4．(2019·郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值．解 (1)由直线l 过点A 可得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.根据点到直线的距离公式可得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7α＋φ－2|2，其中sin φ＝277，cos φ＝217，所以d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，则直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数)．易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1. 把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 所以t 1t 2＝－107，根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107.。