高考数学创新题型思维方法
压轴题高分策略之集合新定义《奇招制胜》数学(理)热点+题型全突破
压轴题高分策略之集合新定义数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题"为核心,以“探究”为途径，以“发现"为目的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．一、定义新概念创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．【典例1】【2017四川省成都市高三摸底】设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1）T＝｛f（x）｜x ∈S};（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2），那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构"的是（) A．A＝N＊，B＝N B．A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝｛x|x＝－8或0＜x≤10}C．A＝｛x｜0＜x＜1}，B＝R D．A＝Z，B＝Q【答案】D【典例2】【2017届宁夏银川一中高三月考理科数学】已知集合M=｛}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}; ②M=｛｝；③M=｛｝；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】D【解析】试题分析：由题意得，对于①中是以轴为渐近线的双曲线，渐进性的夹角是，所以在同一支上,任意，不存在，不满足垂直对点集的定义;在另一支上对任意,不存在,所以不满足“垂直对点集”的定义；对于②，对于任意，存在，使得成立，满足“垂直对点集"的定义,所以正确;对于③中，取点,曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不满足“垂直对点集"的定义；对于④中,如下图中直角始终存在，对于任意，存在,使得成立，满足“垂直对点集”的定义．考点：新定义的概念及其应用．【易错点拨】本题主要考查了“垂直度点集"的定义，属于中档试题，利用对于任意对于任意，存在,使得成立,是解答本题的关键，同时注意存在与任意的区别是本题的一个易错点．【典例3】【2017重庆市第八中学高三月考】定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论: ①集合A＝｛－4,－2，0，2,4｝为闭集合；②集合A＝｛n｜n＝3k,k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__________．【答案】②【审题指导】（1）准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．（2)方法选取：对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求,“照章办事"，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解。
高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿
“新定义”——近年高考创新题型的新宠儿近年来全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型，使高考试题充满活力。
纵观全国各地高考试卷的创新题，不难发现，“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
一、 新概念型例1（2006福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间， 则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-＞01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选C.评析：对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。
高考数学五大主要解题思路
考场上遇到的一部分考题，都会因为平时大量的练习而有所思路，可以模拟以前的印象做出来，而相当一部分的考题经过了精心的伪装和变型，使得考生无法在第一时间就在头脑中搜索出最适当的知识点和解题方法。在这种情况下，下面三个思维原则可以帮你打开思路：
(1)必要性原则
“必要性原则”，再怎么强调都不为过。由于考生平时接受的是完美主义的“充分性”训练，做题时往往只从已知条件出发，由已知信息加上自己的知识来推导答案。而这里，我们提醒一个换位思考的“必要性思维方法”：从“题目要求我必须做什么”来出发。
函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
方法三、纠出“马虎”背后的思维错误
(1)如何避免主观想象(如何避免看错问题)
A.信息优先级的概念。题目本身的信息是最重要的，而不是你在读取题目信息过程中联想的东西。不能边看题边想，而应该看完题再想。
B.懂得答案相对好的概念。高考是标准化考试，正确的答案是比其它的相对好的，而不一定是绝对好的，懂得这一点十分重要。你要做的就是在选项中比较出更好的那一个，而不管它是否是最好、最完美!
举个实用的例子：数学考试部分的最后两道大题，有些考生觉得做不完就轻易放弃了。但是，如果你能冷静地把解决问题最必要的前提或者公式列出来，根据数学考试的评分点，也能拿到相应的分数。这个思考方法我们会在后文做详细说明。
(2)客观性原则
其实，太多的所谓“难题”，是出题者在表述题目已知信息的时候，有意考验考生对知识掌握的灵活程度。已知条件经过伪装，离考生头脑中能用上的知识点往往很远，考生往往因为陌生而产生慌乱，因慌乱产生各种相关知识和题型的联想，不知不觉中就错读或漏读了重要信息。而客观性就是读题目原文已知信息的时候，完全客观的来接受所有信息，在这个过程中，不能边读题边在头脑中加工已知条件，和“我知道类似的什么考题”为准。必须完整读完题目的条件和问法。
高考数学难题突破的思维方法
数学综合题思维方法的突破教学设计案例江苏省涟水中学叶顺亚§1.教学设计的说明一设计的背景目前我国数学教学主要是应试教学，而现在的应试教学主要停留在双基教学，还有就是通过题海战术使学生对学过的知识以及题型方法在遇到刺激时产生条件反射，这就是所谓的熟练掌握基础知识和基本方法。
这种教学的后果就是：学生只会根据学过的知识方法，直接利用他们解决问题，学生没有探究的意识，不知如何探究，更不会创新，就是从应对高考的角度来看遇到难题也是无从下手。
针对这种情况，笔者曾经过多年的思考，如何能突破？今年有幸参加中学数学教学参考编辑部组织由罗增儒教授主讲的解题教学研讨班，从中获得一些启发，笔者想根据自己的想法做一些尝试，希冀在学生探究能力培养方面获得有益的突破，既能使学生在高考中在应对难题方面的能力能有所提高，也能在今后他们个人的发展中给予有益的帮助，更希望通过这种方法能对中国的数学教学走出现在的填鸭式和题海战术有所帮助，也同时希望为中国能培养出更多具有探究能力和创新能力的人才做出贡献；当然这只是我个人的想法，是否能起到预期的目的还要通过实践的检验，更需要得到专家和同仁们的帮助。
本专题就是基于这样的想法，在高考题的基础上设计出让学生通过自己的思考探究初步感受如何探究问题的思维过程，希望以后再通过多次的思维训练能对他们思维能力的提高以及探究能力的提高有较大的帮助。
二设计的目的和依据为了使学生在解决难题的能力方面能有一个较大的提高，使学生学会思考和探究，使学生走出刺激——反射的怪圈，升华到能自主探究和科学地探究的层面。
笔者根据罗增儒教授的解题教学的理论和波利亚的如何解题的理论，进行相关的设计。
§2.教学设计探究课题：导数的几何意义在不等式中的应用探究研究内容导数的几何意义在不等式中的应用探究教学目标1．知识目标：使学生通过探究掌握导数的几何意义与函数性质及图像之间关系，熟悉利用几何意义转化问题的方法；2．能力目标：使学生通过探究掌握数形结合方法在数学中的运用，逐渐形成自觉使用数形结合解决数学问题的习惯，还要让学生通过探究增强转化与化归的意识；3．情感目标使学生通过探究感受研究过程，体验科学研究过程，逐渐形成自觉探究意识、尊重科学的品格，为今后人生发展奠定良好的基础。
高考数学创新题型思维方法归纳
高考数学创新题型思维方法归纳高考数学一直以来都是学生们最为关注的科目之一，也是决定着他们整体成绩的重要因素。
而面对着日益增多且不断创新的数学题型，学生们的压力也逐渐加大。
因此，为了更好地应对高考数学中的创新题型并提升自己的思维能力，本文将对一些常见的数学创新题型思维方法进行归纳总结。
1.解析式题型解析式题型是高考中常见的一种题型，特别是在数学选择题中。
对于此类问题，首先要考虑的是问题本身的语义。
有些问题看起来很抽象，但只要确立一个指导性的概念，就可以将问题解决。
例如，在求解某个极限的时候，若考生觉得难以通过微积分原理简化表达式，可以考虑将函数类型置于个别限制条件下。
此时，便于考生利用函数本身的特殊性质，直接进行简单的代入求解。
2.观察题型观察题型是考验学生思维能力的重要题型。
此类问题要求考生从已知信息中提取价值，并以此作为进一步进行推断的基础。
对于此类问题，建议学生采用尝试错误的方法，通过不停地试错来完善解法。
另外，需要注意的是，这类题目的结果可能是难以通过观察及分析得到的，必须通过多次尝试来得出正确结论。
3.计算便捷题型计算便捷题型主要是考察考生的计算能力。
此类题目特点是，计算量大且题目难度不高，但是考生需要完成大量重复的计算，并需要保证计算过程的准确性。
针对这类题目，学生需要掌握数学基本运算的规律，尤其是运算评分规则和公式的使用，可以采用逆算法等方式，将计算规模最小化。
4.逻辑推理题型逻辑推理题型是让学生思考问题解决过程的题型。
解决此类问题必须善于从问题条件中寻找因果关系，并通过运用逻辑推理的方式，将这种因果关系转化为可靠的推断结论。
在做这类问题时，考生需要充分利用其他科目的知识，建立一个概念框架，并根据问题提供的信息去规范自己的解析思路。
5.分数异化题型分数异化题型主要是考察考生的数学思维能力。
此类题目特点是对考生分数计算的运算规律进行改变，充分考察考生对分数的把握能力。
针对这类问题，学生需要将这种运算转换成为其他基本计算方法，例如，可以将所有分数收集再进行归并，最终得到答案。
高考数学中的概率思维题型
高考数学中的概率思维题型随着高考的临近，每年的高中生们都在疯狂地备考，其中数学考试是高考中的必考项目之一。
在数学中，概率是考察的重点之一，而概率思维题型也成了高考数学中的难点之一。
本文将探讨高考数学中的概率思维题型。
1.概率基础在了解概率思维题型之前，我们需要首先掌握概率的基本知识。
概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
计算概率的方法有多种，一般来说，我们可以使用公式P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中有多少种可能的情况，n(S)表示所有可能出现的情况数。
2.概率思维题型高考中的概率思维题型主要包括：条件概率、事件的互斥和独立、贝叶斯公式等。
（1）条件概率条件概率是指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
常见的条件概率公式为：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)。
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A)表示事件A发生的概率。
例如：在一个班级里，男生占60%，女生占40%。
如果我们随机选出一个学生，那么该学生是女生的概率是多少？答案是：40%。
因为题目中未提到其他条件，所以我们可以默认概率各相等。
因此，女生的概率为40%。
（2）事件的互斥和独立互斥事件指的是两个事件中有且仅有一个事件发生的情况。
例如：在一次掷骰子游戏中，我们不能同时得到1和2。
独立事件指的是在一个事件中所发生的结果不受另外一个事件的干扰。
例如：在一次抽奖中，两个人获奖的机会互相独立。
在高考数学中，对于互斥事件和独立事件的考察主要是在计算概率的过程中。
如果两个事件是互斥的，则可以使用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)来计算。
而如果两个事件是独立的，则可以使用公式P(A∩B)=P(A)P(B)来计算。
（3）贝叶斯公式贝叶斯公式是指在已知事件A的情况下，求事件B发生的概率。
高考数学创新题的必杀技之思维迁移篇——崔梦迪
这时可能有的同学就会问了 OT 和 C 'T 一定可以共线吗？这时候就是我们需要发散的 时候了！ 题目中的难点是长方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 是可以运动的，不好把握，但咱们可是在 物理中学过相对运动的人，能不能让长方体不动，让面 动呢？我们来看一下：
D
A
C
P
B
以上是海淀一模的最后一道填空题， 其实今年海淀和西城的一模题还是比较平稳的， 没 有特别夸张的题目。这道题当然可以用正余弦定理通过解三角形做。
但是通过观察， 我们发现题中只需要我们求 f ( x) 的定义域和 f '( x) 的零点， 而 f ( x) 的 定义域其实就是 △CPD 成立的条件， 这个用三角形的两边之和大于第三边， 直接就能搞定：
这个秘密和我们的问题有什么联系呢？我们要求的是 f ' ( x) 的零点， 也就是 f ' ( x) 0 的点， 也就是 △CPD 面积最大时的 x 的取值。 但问题又出现了： 椭圆是在运动的， 在什么情况下， △CPD 会取到最大值呢？ 我们好像刚处理过这样的问题！这也就是我们所说的能力迁移！ 思维迁移的第三个境界：知识点的迁移； 难度：★★★★★ 能力要求：对技巧和知识的积累要有很高的要求 在做金华一模那道题的时候，我们处理运动的长方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 时，思路是：将 运动的长方体固定，让可以控制的面 动起来！这样的思路能在这里用吗？ 让我们把椭圆固定下来，也就相当于点 P 在运动了！显然，当 P 运动到上端点时面积 最大，此时 PC PD ，我们不难得出： x 3 。
新高考数学新创题型之10算法与框图
新高考数学新创题型之10算法与框图在新高考数学考试中，随着信息技术的不断发展，计算机科学和算法设计也成为了考试内容的一部分。
为了培养学生的计算思维和解决实际问题的能力，新高考数学新增了一种考察学生算法与框图的题型。
这种题型旨在考察学生通过图形化的方式表示一个算法的思路和过程，并且结合具体的问题，灵活运用算法来解决实际问题。
在这种题型中，学生需要掌握基本的算法设计思想和框图表示方法，并能灵活应用到实际问题中。
一个算法是通过一系列的步骤来解决一些问题的方法。
而框图是一种将算法用图形化的方式表示的方法，它可以清晰地展示算法的过程和逻辑关系。
在解答这种题型时，学生首先需要仔细阅读题目，理解问题要求和给定的条件。
然后，根据问题的具体情况，设计一个合适的算法来解决问题。
在设计算法时，学生需要考虑算法的步骤和顺序，并且要保证算法的正确性和有效性。
可以使用分支语句、循环语句、迭代语句等来实现算法的各个步骤。
设计好算法后，学生需要将算法用框图的方式表示出来。
框图由各种不同形状的框和线条组成，每个框代表算法的一个步骤或操作，线条代表步骤之间的逻辑关系。
框图可以通过使用不同的符号和颜色来表示不同的步骤和操作，从而增强图形的清晰度和可读性。
学生需要标明每个框的含义和作用，确保框图的准确性和易懂性。
在解答这类题时首先，要仔细理解题目，明确问题要求和给定的条件。
只有充分理解题目，才能设计合适的算法。
其次，要设计一个合理的算法来解决问题。
可以根据问题的特点，选择合适的计算思维和算法思想，将其转化为具体的算法步骤。
然后，要将算法用框图的方式表示出来。
框图应该直观清晰，能够准确地展示算法的思路和逻辑关系。
最后，要检查算法和框图的准确性和合理性。
确保算法能够正确解决问题，并且框图能够清晰地表示算法的逻辑过程。
总的来说，新高考数学新创题型之算法与框图旨在考察学生的算法设计能力和图形化表示能力。
学生在解答这种题型时，需要掌握基本的算法设计思想和框图表示方法，并能将其应用到实际问题中。
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高考数学创新题型思维方法
(一)解析几何中的运动问题
解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型,09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。
即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。
因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。
在解此类创新题型时,往往需要融入生活中的很多思想,加上题目中所给信息相融合。
在数学层面上,需要考生善于从各个角度与考虑问题,将思路打开,同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。
(二)新距离
近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题,考生需要懂得坐标系中坐标差的原理,对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。
近两年高考大题中均涉及到了新距离问题,可是高考所考察的内容不再新距离本身,而在于建立新的数学模型情况下,考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。
比如2019年压轴题,对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题,由于每个位取值情况均相同,故只需考虑一个位就行了。
在大题具体解题中笔者会详
细叙述。
(三)新名词
对于题目中出现了新名词新性质,考生完全可以从新性质本身出发,从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。
此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型,然后描述的简洁透彻,让考生通过此类描述去挖掘性质。
新课标数学追求对数学思维的自然描述,即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。
比如2009年北京卷文科填空压轴题,就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元,这样肯快就可以得到答案。
(四)知识点性质结合
此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题,此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。
比如2019年高考北京卷填空压轴题,需要考生掌握轨迹与方程思想,方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。
再比如2009年北京卷填空压轴题,就是对数列递推关系进行了简单的扩展,考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。
此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。
上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题,而是上升的数学思维方法的层次。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
(五)情境结合题
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
此类题型属于与现实模型、数学特殊模型等相结合的题目。
此类题型主要考察学生对于具体数学情境的体会,比如2019年填空压轴题是正方形在坐标轴上旋转的问题,这道题考查
考生对于正方形旋转过程中指定点运动拐点的体会。
此类题需要考生具有一定的数学思维推理、数学抽象归纳能力。
解此类题只需像分析物理模型一样去分析题目所给出的具体
情境,即可将原题进行分解。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。