2008年无锡市初中毕业暨高级中等学校招生考试数学试题(含答案)

2008年无锡市初中毕业暨高级中等学校招生考试数学试题注意事项：1．本试卷满分130分，考试时间为120分钟．2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果． 一、细心填一填（本大题共有12小题，15空， 每空2分，共30分．请把结果直接填在题中的横线上．） 1．6-的相反数是，16的算术平方根是 ．2．分解因式：22b b -=．3．设一元二次方程2730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x +=，12x x =．4．截至5月30日12时止，全国共接受国内外社会各界捐赠的抗震救灾款物合计约3990000万元，这个数据用科学记数法可表示为 万元． 5．函数21y x =-中自变量x 的取值范围是 ；函数y =中自变量x 的取值范围是．6．若反比例函数k y x=的图象经过点（12--，），则k 的值为．7．一射击运动员一次射击练习的成绩是（单位：环）：7，10，9，9， 10，这位运动员这次射击成绩的平均数是环．8．五边形的内角和为 ．9．如图，O B O C =，80B ∠=，则A O D ∠= ．10．如图，C D AB ⊥于E ，若60B ∠=，则A ∠=．11．已知平面上四点(00)A ，，(100)B ，，(106)C ，，(06)D ，， 直线32y mx m =-+将四边形A B C D 分成面积相等的两部分， 则m 的值为 ．12．已知：如图，边长为a 的正A B C △内有一边长为b 的内接正D EF △，则AEF △的内切圆半径为．二、精心选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内．） 13．计算22()ab ab的结果为（ ）（第9题）（第10题）（第12题）Ａ．b B．aＣ．1Ｄ．1 b14．不等式112x->的解集是（）Ａ．12x>-Ｂ．2x>-Ｃ．2x<-Ｄ．12x<-15．下面四个图案中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（）A．B．C．D．16．如图，O A B△绕点O逆时针旋转80 到O C D△的位置，已知45AOB∠= ，则A O D∠等于（）Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．3517．下列事件中的必然事件是（）Ａ．2008年奥运会在北京举行Ｂ．一打开电视机就看到奥运圣火传递的画面Ｃ．2008年奥运会开幕式当天，北京的天气晴朗Ｄ．全世界均在白天看到北京奥运会开幕式的实况直播18．如图，E F G H，，，分别为正方形A B C D的边A B，B C，C D，D A上的点，且13A EB FC GD H A B====，则图中阴影部分的面积与正方形A B C D的面积之比为（）Ａ．25Ｂ．49Ｃ．12Ｄ．35三、认真答一答（本大题共有8小题，共64分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）19．解答下列各题（本题有3小题，第（1），（2）小题每题5分，第（3）小题3分，共13分．）（1）计算：032tan60(1--+-+．（第16题）（第18题）（2）先化简，再求值：244(2)24x x x x -++- ，其中x =（3）如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）20．（本小题满分6分）如图，已知E 是矩形A B C D 的边C D 上一点，BF AE ⊥于F ， 试说明：A B F E A D △∽△．21．（本小题满分7分）如图，四边形A B C D 中，AB C D ∥，A C 平分B A D ∠，C E A D ∥交A B 于E ． （1）求证：四边形A E C D 是菱形；（2）若点E 是A B 的中点，试判断A B C △的形状，并说明理由．小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，小晶赢；点数之和等于7．小红赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．问他们两人谁获胜的概率大？请你用“画树状图”或“列表”的方法加以分析说明．23．（本小题满分6分）小明所在学校初三学生综合素质评定分A B C D，，，四个等第，为了了解评定情况，注：等第Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别代表优秀、良好、合格、不合格．（1）请在下面给出的图中画出这30名学生综合素质评定等第的频数条形统计图，并计算其中等第达到良好以上（含良好）的频率．（2）已知初三学生学号是从3001开始，按由小到大顺序排列的连续整数，请你计算这30名学生学号的中位数，并运用中位数的知识来估计这次初三学生评定等第达到良好以上（含良好）的人数．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40 ．（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个．友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．25．（本小题满分9分）在“5 12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材240002m和乙种板材120002m的任务．（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材302m或乙种板材202m．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务？（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A B，两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板已知抛物线22y ax x c=-+与它的对称轴相交于点(14)A-，，与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线A C交x轴于D P，是线段A D上一动点（P点异于A D，），过P作PE x∥轴交直线A B于E，过E作EF x⊥轴于F，求当四边形O P E F的面积等于72时点P的坐标．四、实践与探索（本大题共2小题，满分18分）27．（本小题满分10分）如图，已知点A从(10)，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O A，为顶点作菱形O A B C，使点B C，在第一象限内，且60AOC∠= ；以(03)P，为圆心，P C 为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使P与菱形O A B C的边所在直线相切的t的值．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问： （1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）图1 图2 图3 图4数学试题参考答案及评分说明一、细心填一填 1．6，42．(2)b b -3．7，34．63.9910⨯5．1x ≠，2x ≥6．2 7．9 8．540 9．20 10．30 11．1212．)6a b -二、精心选一选 13．B 14．C15．D16．D17．A18．A三、认真答一答19．（1）解：原式31=- ····················· （4分）4=． ··········································· （5分） （2）解：原式22(2)11(2)(2)(2)(4)2(2)22x x x x x x -=+=-+=-- ．······························································································································ （4分）当x =11(54)22=-=． ···································································· （5分）（3）如图所示（答案不唯一） ·············································································· （3分） 20．解法一： 矩形A B C D 中，AB C D ∥，90D ∠= ， ··································· （2分） BAF AED ∴∠=∠． ···························································································· （4分） BF AE ⊥ ，90AFB ∴∠=，AFB D ∴∠=∠．··············································· （5分） ABF EAD ∴△∽△． ·························································································· （6分）解法二： 矩形A B C D 中，90BAD D ∠=∠=． ··············································· （2分） 90BAF EAD ∴∠+∠=，90EAD AED ∠+∠=，BAF AED ∴∠=∠．············ （4分） （下同）21．（1）A B C D ∥，即A E C D ∥，又C E A D ∥，∴四边形A E C D 是平行四边形． ······························································································································ （2分） A C 平分B A D ∠，C AE C AD ∴∠=∠， ··························································· （3分） 又A D C E ∥，AC E C AD ∴∠=∠，A C E C A E ∴∠=∠，AE C E ∴=，∴四边形A E C D 是菱形． ····················································································· （4分） （2）证法一：E 是A B 中点，AE BE ∴=．又AE C E = ，BE C E ∴=，B BC E ∴∠=∠， ················································· （5分）180B BCA BAC ∠+∠+∠=， ········································································· （6分） 22180BCE ACE ∴∠+∠=，90BCE ACE ∴∠+∠=．第19题（3）即90ACB ∠= ，A B C ∴△是直角三角形． ·························································· （7分） 证法二：连D E ，则D E A C ⊥，且平分A C ，····················································· （5分） 设D E 交A C 于F ．E 是A B 的中点，EF B C ∴∥．······································································· （6分） B C A C ∴⊥，A B C ∴△是直角三角形． ······························································ （7分）22或列树状图：由表或图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次， 故P （和为6）536=，P （和为7）636=．P （和为6）P <（和为7），∴小红获胜的概率大．评分说明：列表正确或画对树状图得3分，两个概率每求对一个得1分，比较后得出结论再得1分． 23．解：（1）评定等第为A 的有8人，等第为B 的有14人，等第为C 的有7人，等第为D 的有1人，频数条形统计图如图所示． ∴等第达到良好以上的有22人，其频率为22113015=．（2）这30个学生学号的中位数是3117， 故初三年级约有学生(31173001)21233-⨯+=人， 11233170.915⨯≈，7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6456点数之和 小晶 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6123点数之和 小晶 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 84 5 6 7 8 9小红小红等第∴故该校初三年级综合素质评定达到良好以上的人数估计有171人．评分说明：第（1）小题画图正确得2分，频率算对得1分；第（2）小题中位数算对得1分，估计出学生总数得1分，最后得出结论得1分． 24．解：（1）如图1；············ （3分） （2）如图2；·························· （6分） （3）4．·································· （8分） 25．解：（1）设安排x 人生产甲种板材， 则生产乙种板材的人数为(140)x -人．由题意，得24000120003020(140)xx =-， ······································································ （2分）解得：80x =．经检验，80x =是方程的根，且符合题意．·································· （3分）答：应安排80人生产甲种板材，60人生产乙种板材． ·········································· （4分） （2）设建造A 型板房m 间，则建造B 型板房为(400)m -间，由题意有：5478(400)240002641(400)12000m m m m +-⎧⎨+-⎩≤≤，． ···························································· （6分）解得300m ≥． ···································································································· （7分）又0400m ≤≤，300400m ∴≤≤．这400间板房可安置灾民58(400)33200w m m m =+-=-+． ···························· （8分）∴当300m =时，w 取得最大值2300名．答：这400间板房最多能安置灾民2300名． ························································· （9分） 26．解：（1）由题意，知点(14)A -，是抛物线的顶点，21242aa c -⎧-=⎪∴⎨⎪-=-+⎩，， ································································································· （2分） 1a ∴=，3c =-，∴抛物线的函数关系式为223y x x =--． ····························· （3分）（2）由（1）知，点C 的坐标是(03)-，．设直线A C 的函数关系式为y kx b =+，则34b k b =-⎧⎨-=+⎩，，3b ∴=-，1k =-，3y x ∴=--． ·············································· （4分）由2230y x x =--=，得11x =-，23x =，∴点B 的坐标是(30)，．设直线A B 的函数关系式是y m x n =+，则304m n m n +=⎧⎨+=-⎩，．解得2m =，6n =-．2cm 1cm 40° 2cm1cm 40°图1图2∴直线A B 的函数关系式是26y x =-． ······························································· （5分） 设P 点坐标为()P P x y ，，则3P P y x =--．P E x ∥轴，E ∴点的纵坐标也是3P x --．设E 点坐标为()E E x y ，，点E 在直线A B 上，326P E x x ∴--=-，32PE x x -∴=．······························ （6分）E F x ⊥ 轴，F ∴点的坐标为302P x -⎛⎫⎪⎝⎭，，332PE P x P E x x -∴=-=，32Px O F -=，(3)3P P EF x x =---=+，333117()(3)22222P PPO PEF x x S PE O F EF x --⎛⎫∴=+=++=⎪⎝⎭四边形， ··············· （7分） 22320P P x x +-=，2P x ∴=-，12P x =，当0y =时，3x =-，而321-<-<，1312-<<，P ∴点坐标为1722⎛⎫- ⎪⎝⎭，和(21)--，． ···································································· （9分） 四、实践与探索27．解：（1）过C 作C D x ⊥轴于D ，1O A t =+ ，1O C t ∴=+，1cos 602t O D O C +∴==，sin 602D C O C ==，∴点C 的坐标为1)22t t ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． ·············· （2分） （2）①当P 与O C 相切时（如图1），切点为C ，此时P C O C ⊥，cos 30OC OP ∴=，132t ∴+=，12t ∴=． ··················· （4分）②当P 与O A ，即与x 轴相切时（如图2），则切点为O ，P C O P =，过P 作PE O C ⊥于E ，则12O E O C =，····························································· （5分）x图11cos 3022t O P +∴==，1t ∴=-． ······················································ （7分）③当P 与A B 所在直线相切时（如图3），设切点为F ，P F 交O C 于G ， 则PF O C ⊥，)2t FG C D +∴==，)sin 302t PC PF O P +∴==+． ································································ （8分）过C 作CH y ⊥轴于H ，则222PH CH PC +=，2221332222t ⎫⎛+⎛⎫∴+-=+⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简，得2(1)1)270t t +-++=，解得1t +=±，10t =-< ，1t ∴=．∴所求t12，1和1． ·········································（10分） 28．解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为1312=< ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求． ····················· （3分）（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE D G C G ==．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设A E x =，则30E D x =-，15D H =．由BE D G =，得22223015(30)x x +=+-，22515604x ∴==，30.231BE ∴=≈<， 即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ············································· （6分） 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得31B E =，H 是C D 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE ==，30D E =-，26.831DE ∴=<，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要x求．······················································································································· （6分） 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的O 去覆盖边长为30的正方形A B C D ，设O 经过A B ，，O 与A D 交于E ，连B E，则1152A E A D ==<=，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形A B C D ．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．··································· （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．ADCB图1BF D AE HO图2图3。