高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时分层作业含解析人教A版必修4.doc
高中数学(人教A版,必修四) 第三章 三角恒等变换 3.2 课时作业(含答案)
§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________； (2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－1 B.1 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )A.32 B ．－32C.13 D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)± 1－cos α2 (2)± 1＋cos α2(3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 作业设计1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．] 3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4， ∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .] 5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.] 7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45， 底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z ) ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.] 14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
高中数学 第三章 三角恒等变换综合练习(含解析)新人教A版必修3(2021年整理)
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第三章 三角恒等变换第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20cos sin παααy 的值域为（ ）. A ．()1,0 B ．()1,1- C ．()2,1 D ．()2,1- 2。
若0,sin cos ,sin cos ,4a b παβααββ<<<+=+=则（ )。
A ．b a <B ．b a >C ．1<abD ．2>ab 3。
若,1tan 2tan 1=+-θθ则θθ2sin 12cos +的值为( ）。
A ．3 B ．3- C ．2- D ．21-4.已知,23,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα并且,2524sin -=α则tan 2α=( ).A ．34B ．43 C 。
43- D ．34-5。
已知()(),5tan ,3tan =-=+βαβα则=α2tan （ )。
A ．47-B ．47 C. 74- D ．746.在ABC ∆中,若,sin sin cos cos B A B A >则该三角形是( ）。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4(2021年整理)
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3。
2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。
cos2的值为（)A.B。
C.D。
解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。
B.—C。
± D。
解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。
B.-C。
1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。
设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。
a〉b>c C。
a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。
高中数学 第三章 三角恒等变换 课时作业34 3.2 简单的三角恒等变换(第1课时)新人教A版必修4
课时作业(三十四) 3.2 简单的三角恒等变换 第一课时1．已知sin α＝35(0<α<π2)，则cos α2等于( )A.45 B ．－45C ．－31010D.31010答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910.∴cos α2＝31010. 2．cos 2(x 2－78π)－cos 2(x2＋7π8)可化简为( )A.2sinx B ．－2sinx C.22sinx D ．－22sinx 答案 D解析 原式＝12[1＋cos(x －74π)]－12[1＋cos(x ＋7π4)]＝12[cos(x ＋π4)－cos(x －π4)]＝12[22(cosx －sinx)－22(cosx ＋sinx)]＝－22sinx. 3．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ2的值为( )A ．2 B.12C.12或不存在 D ．2或0答案 C解析 若1＋cos θ≠0，则tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝12.若1＋cos θ＝0，即cos θ＝－1，∴θ＝2kx ＋π(k∈Z )，∴tan θ2不存在．4．(高考真题·全国Ⅱ卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2答案 A解析 ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2cos α2－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝（cos α2＋sin α2）2（cos α2－sin α2）（cos α2＋sin α2）＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．已知tan θ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是( ) A.75 B.12C ．－75D.32答案 A解析 sin2θ－cos2θ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ＝2×31＋9－1－91＋9＝610＋810＝75. 6．(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.7．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ等于( )A.223B ．－223C.23D ．－23答案 A解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59，所以sin 22θ＝89.又π＋2k π<θ<3π2＋2k π(k∈Z )，所以2π＋4k π<2θ<3π＋4k π(k∈Z )，因此sin2θ>0，从而sin2θ＝223.8．若α∈(3π，4π)，则1＋cos α2－1－cos α2等于( ) A ．－2sin(α2＋π4)B.2sin(α2＋π4)C ．－2sin(α2－π4)D.2sin(α2－π4)答案 B 解析 原式＝cos2α2－sin2α2＝|cos α2|－|sin α2|， 又α∈(3π，4π)，∴α2∈(32π，2π)，∴原式＝cos α2＋sin α2＝2sin(α2＋π4)．9．在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A2，则此三角形为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵sinBsinC ＝cos 2A2，∴sinBsinC ＝1＋cosA 2，∴2sinBsinC ＝1＋cos[π－(B ＋C)]，∴2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)． ∴cos(B －C)＝1，又角B 、角C 为△ABC 的内角，∴B －C ＝0，∴B ＝C.故选B. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan (α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案 B解析 tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)且0<β<π2，0<π4－α<π2，∴β＝π4－α，α＋β＝π4.∴tan (α＋β)＝1.11．已知sin θ2＋cos θ2＝233，则sin θ＝________，cos2θ＝________．答案13 79解析 ∵sin θ2＋cos θ2＝233，∴1＋sin θ＝43.∴sin θ＝13.∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.12．若tan α－1tan α＋1＝－13，则sin2α＝________．答案45解析 由已知得tan α＝12，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. 13．(sin 5π12－sin π12)(sin 5π12＋sin π12)的值是________．答案32解析 原式＝[sin(π2－π12)－sin π12][sin(π2－π12)＋sin π12]＝(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 14．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos （θ＋π4）的值．解析 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34，∴tan θ＝－3或tan θ＝13. 又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3.∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos （θ＋π4）＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. ►重点班·选做题15．已知α、β都是锐角，且sin βsin α＝cos (α＋β)，求证：tan β＝tan α1＋2tan 2α. 解析 ∵sin βsin α＝cos (α＋β)，∴sin β＝cos (α＋β)sin α.∴sin [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)sin α. ∴sin (α＋β)cos α＝2cos (α＋β)sin α.∴tan (α＋β)＝2tan α. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α. ∴tan β＝tan α1＋2tan 2α. 16．已知π4<β<α<3π4，cos (α－β)＝1213，sin (α＋β)＝－35，求sin2α的值．分析 由于2α＝(α＋β)＋(α－β)，求出角α＋β和α－β的正弦和余弦值后，再借助两角和正弦公式即可解决问题．解析 因为π4<β<α<3π4，所以0<α－β<π2，π2<α＋β<3π2.又sin (α＋β)＝－35，所以π<α＋β<3π2.从而有cos (α＋β)＝－45.因为cos(α－β)＝1213，sin (α－β)＝513.所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝(－35)×1213＋(－45)×513＝－5665.1．已知关于x 的方程x 2－xcosA ·cosB ＋2sin 2C 2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C2．已知sin α2－cos α2＝－15，α∈(450°，540°)，则tan α2＝________．答案 23．已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．错解 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，①tan αtan β＝7.②所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.又因为0<α<π，0<β<π，所以0<α＋β<2π. 所以α＋β＝π4或α＋β＝5π4.错因剖析 由①②知，tan α、tan β两根同号且均小于零，所以π2<α<π，π2<β<π，所以π<α＋β<2π. 答案 α＋β＝5π4。
2020_2021高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时作业含解析新人教A版必修4
3.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010C.3103D ．－35解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，所以sin α2＝1－cos α2＝110＝1010. 答案：B2．若sin 2α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α的值为( )A.32B.34C ．－32D ．－34解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α，所以cosα－sin α＝－32.答案：C3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b . 答案：C1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 答案：－28．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6. ∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3.α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)．∴cos(α＋β)＝－12.答案：－12三、解答题(每小题10分，共20分) 9．化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解析：方法一 原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝cos 2α－sin 2α1＋tan α1－tan αcos α＋sin α2(复角化单角，进一步切化弦)＝cos 2α－sin 2αcos α＋sin αcos α－sin αcos α＋sin α2＝1(使用平方差公式)．方法二 原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α(利用π4－α与π4＋α的互余关系)＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α(逆用二倍角的正弦公式)＝cos 2αcos 2α＝1. 10．求证：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.[能力提升](20分钟，40分)11．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝( )A.89B.1718C ．－89D ．－23解析：∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α＝－89.答案：C12．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2，所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13，所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12.答案：1213．化简： (1)1＋sin 3α－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫45°－α2cos α－1＋2cos 23α2；(2)1＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)．解析：(1)原式＝sin 3α＋cos 90°－αcos α＋cos 3α＝sin 3α＋sin αcos α＋cos 3α＝2sin 2αcos α2cos 2αcos α＝tan 2α.(2)原式＝[1＋cos α＋sin α]⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α221＋cos α。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4(2021年整理)
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3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。
错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。
错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。
错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。
错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。
2021_2022学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时作业新人教A版必修4
3.2 简单的三角恒等变换选题明细表知识点、方法题号半角公式及应用1,2,4化简求值、证明问题5,6,8,9 与三角函数性质有关问题3,7,10,12三角函数在实际问题中的应用11,13根底稳固π<θ<π,cos θ=a,那么sin等于( B )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为π<θ<π,所以<<π,所以sin>0,所以sin==.应选B.2.(2021·丹东市期末)tan 60°=m,那么cos 120°的值是( B )(A)(B)(C)(D)-解析:因为tan 60°=m,那么cos 120°====.3.假设cos α=-,α是第三象限的角,那么等于( A )(A)- (B) (C)2 (D)-2解析:因为α是第三象限角,cos α=-,所以sin α=-.所以===·===-.4.+2的化简结果是( A )(A)2cos 4-4sin 4 (B)2sin 4(C)2sin 4-4cos 4 (D)-2sin 4解析:原式=+2=×+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.因为sin 4<0,sin 4<cos 4,所以原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.5.(2021·台州市期末)设a=2sin cos,b=cos25°-sin25°,c=,那么( C )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)c<a<b (D)a<c<b解析:因为a=2sin cos=sin=sin 72°=cos 18°,b=cos25°-sin25°=cos 10°,c==tan 60°==cos 30°,而y=cos x在(0,π)上为减函数,所以c<a<b.的结果为.解析:===|sin 1+cos 1|.又0<1<,所以原式=sin 1+cos 1.答案:sin 1+cos 17.(2021·沈阳市期末)函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1的最小正周期为. 解析:y=cos2(x-)+sin2(x+)-1=+-1==sin 2x,所以T==π.答案:π8.化简sin2x(-tan)+cos 2x.解:原式=sin2x(-)+cos 2x=sin2x·+cos 2x=sin2x·+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).能力提升9.(2021·武汉市期末)α,β∈(0,)且3sin β=sin (2α+β),4tan=1-tan2,那么α+β的值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为α,β∈(0,),且3sin β=sin (2α+β),所以3sin [(α+β)-α]=sin [(α+β)+α],即3sin (α+β)cos α-3cos (α+β)sin α=sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α,化简可得2sin (α+β)cos α=4cos (α+β)sin α,故有tan (α+β)=2tan α.再根据4tan=1-tan2,可得tan α==,所以tan (α+β)=2tan α=1.再根据α+β∈(0,π),可得α+β=.10.a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),当x∈[,]时,那么f(x)的值域为( D )(A)[1,2] (B)[,](C)[,2] (D)[,2]解析:由题意得,f(x)=sin 2x-+=sin 2x-cos 2x.又f(-)=f(0),所以a=2,所以f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),所以当x∈[,π]时,2x-∈[,π],f(x)∈[,2].应选D.由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如下图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.解析:由题意知,5cos θ-5sin θ=1,θ∈(0,).所以cos θ-sin θ=.由(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2.所以cos θ+sin θ=.所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.答案:12.(2021·四平市模拟)函数f(x)=cos(2x-)+sin2x-cos2x+.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)假设存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m>0,求实数m的取值范围.解:(1)由题意得,f(x)=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x+=cos 2x+sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以函数f(x)的最小正周期T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当t∈[,]时,可得2t-∈[0,],解得f(t)=sin(2t-)+∈[,+1]⇒F(t)=[f(t)]2-2f(t)=[f(t)-]2-2∈[-2,-1].存在t∈[,],满足F(t)-m>0的实数m的取值范围为(-∞,-1).探究创新13.点P在直径A B=1的半圆上移动,过P作圆的切线P T,且P T=1, ∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?解:如图,连接PB.因为AB为圆的直径,所以∠APB=90°,因为∠PAB=α,AB=1,所以PB=sin α,PA=cos α.又PT切圆于P点,那么∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sin α=sin α·cos α+sin2α.=sin 2α+(1-cos 2α).=sin(2α-)+.因为0<α<,-<2α-<π,所以当2α-=,即α=π时,四边形ABTP的面积最大.。
2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学业分层测评新人教A版必修4201707
3.2 简单的三角恒等变换(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题11．若函数 f (x )＝－sin 2 x ＋(x ∈R )，则 f (x )是( ) 2πA ．最小正周期为 的奇函数2 B ．最小正周期为 π 的奇函数 C ．最小正周期为 2π 的偶函数 D ．最小正周期为 π 的偶函数1－cos 2x 1 1 【解析】 f (x )＝－ ＋ ＝ cos 2x .故选 D ． 2 2 2 【答案】 D53π π α 2．若 si n(π－α)＝－ 且 α∈，则 sin2)等于( )3(π， 2 )( ＋26A ．－B ．－3 666 C ．D ．66 3 53【解析】 由题意知 sin α＝－ 3，α∈(π， π)，22 ∴cos α＝－ . 3απ 3∵ ∈ π)，2(， 2 4π α∴sin(＝cos ＋ 2)2α21＋cos α 6 ＝－ ＝－ .故选 B ． 2 6 【答案】 B1 3 2tan 19° 1－cos 72° 3．设 a ＝ cos 7°＋ sin 7°，b ＝ ，c ＝ ，则有( )2 2 1－tan 2 19° 2【导学号：00680077】A．b>a>c B．a>b>cC．a>c>b D．c>b>a【解析】a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，由于tan 38°>sin38°>sin37°>sin36°，所以b>a>c.故选A．1【答案】 A4．若 sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则 sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于 ( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 【答案】 Cπ5．若函数 f (x )＝(1＋ 3tan x )cos x,0≤x < ，则 f (x )的最大值是( )2 A ．1 B ．2 C ． 3＋1D ． 3＋2【解析】 f (x )＝(1＋ 3tan x )cos xsin x＝(1＋ 3cos x )cos x ＝ 3sin x ＋cos xπ ＝2sin (x ＋ 6). π ∵0≤x < ， 2 π π 2 ∴ ≤x ＋ < π， 6 6 3 π π∴当 x ＋ ＝ 时， 6 2f (x )取到最大值 2.【答案】 B 二、填空题θ6．若 θ 是第二象限角，且 25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则 cos ＝________.2【解析】 由 25sin 2 θ＋sin θ－24＝0， 又 θ 是第二象限角，24得 sin θ＝ 或 sin θ＝－1(舍去)．25 7 故 cos θ＝－ 1－sin 2 θ＝－ ， 25 θ 1＋cos θ θ 9 由 cos 2 ＝ 得 cos 2 ＝ . 2 2 2 252θ又是第一、三象限角，2θ 3所以cos ＝± .2 53【答案】±51 37. －＝________.ππsin cos18 18ππcos －3sin18 18【解析】原式＝ππsin cos18 18122(cos＝π－181sin23sin2π9π18)π4sin9 ＝＝4.πsin9【答案】 4三、解答题π 1 8．已知2sin( ＋α)＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝4 2 0.π【证明】∵2sin( ＋α)＝sin θ＋cos θ，4∴2(sin α＋cos α)＝sin θ＋cos θ，两边平方得2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，∴sin 2θ＝1＋2sin 2α.又sin 2θ＝2sin2β，∴sin 2θ＝1－cos 2β，∴1－cos 2β＝1＋2sin 2α，∴2sin 2α＋cos 2β＝0，1∴sin 2α＋cos 2β＝0.2π9．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(2ωx－6)＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴3π右侧的第一个最高点的横坐标为 .6(1)求 ω 的值；π π(2)设 f (x )在区间[3]上的最小值为 3，求 a 的值. 【导学号：70512044】， 63 1π 【解】f (x )＝1＋cos 2ωx ＋ sin 2ωx － cos 2ωx ＋a ＝sin＋a ＋1.2(2ωx ＋ 6)2π π(1)由 2ωx ＋ ＝2k π＋ (k ∈Z )， 6 2 π得 ωx ＝k π＋ (k ∈Z )．6 又 ω>0，π π∴当 k ＝0时，f (x )的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 x ＝ ＝ ，故 ω＝1. 6ω 6π(2)由(1)知 f (x )＝sin (2x ＋ 6)＋a ＋1，π π π 2 π π 5π 由 ≤x ≤ ，得 ≤2x ≤ π， ≤2x ＋ ≤ ， 6 3 3 3 2 6 6 π 5π π∴当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， 6 6 3 1f (x )取得最小值为 ＋a ＋1.2 13 由 ＋a ＋1＝ 3，得 a ＝ 3－ . 2 2[能力提升]1 1 1 11．已知 450°<α<540°，则 ＋ ＋ cos 2α的值是( ) 2 2 2 2 αA ．－sinB ．cos 2α2αC ．sinD ．－cos 2α2【解析】 因为 450°<α<540°， α 所以225°< <270°，2α 所以cos α<0，sin <0， 2所以原式＝ 1 1 ＋ 2 21＋cos 2α2＝ 1 1＋ 2 2cos 2α41 1＝ ＋ |cos α|＝ 2 21 1－ cos α 2 2αα α＝ sin 2 2＝|sin 2|＝－sin.故选 A ．2【答案】 Axxx2．已知函数 f (x )＝2cos 2 ，g (x )＝ ＋cos2.2(sin2)2π(1)求证：f( －x )＝g (x )；2(2)求函数 h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈[0，π])的单调区间，并求使 h (x )取到最小值时 x 的值． x【解】 (1)证明：f (x )＝2cos 2 ＝1＋cos x ，2xxg (x )＝(sin2＋cos 2)2x ＝1＋2sin cos2 x 2 ＝1＋sin x .π π ∵f( －x )＝1＋cos ( －x )＝1＋sin x ，22π∴f( －x )＝g (x )，命题得证．2(2)函数 h (x )＝f (x )－g (x )＝cos x －sin x＝ 2( 2 cos x －22sin x )2π ＝2cos (x ＋ 4). ∵x ∈[0，π]， π π 5π ∴ ≤x ＋ ≤ ， 4 4 4 π π3π当 ≤x ＋ ≤π，即 0≤x ≤ 时，h (x )递减， 4 44π 5π 3π当 π≤x ＋ ≤ ，即 ≤x ≤π 时， h (x )递增． 4 4 43π∴函数 h (x )的单调递减区间为[0， 4 ]，3π 单调递增区间为[ ，π]，4根据函数h(x)的单调性，3π 可知当x＝时，45函数h(x)取到最小值．6。
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课时分层作业(二十八)(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 D [原式＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12(1－sin 2x ) ＝12－12sin 2x ， 此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝( )A ．－19B.19 C ．－13D.13A [sin 2B ＋C2＋cos 2A＝1－cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝1＋cos A2＋2cos 2A －1 ＝－19.]3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在B [∵2sin α＝1＋cos α，∴当cos α≠－1时，tan α2＝sin α1＋cos α＝12，当cos α＝－1时，α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )∴α2＝k π＋π2(k ∈Z )，这时tan α2不存在，故选B.] 4．将函数y ＝f (x )sin x 的图象向右平移π4个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数y＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝2sin xB [y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴对称的曲线是y ＝－cos 2x ，向左平移π4得y ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，∴f (x )＝2cos x ．] 5．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调减区间分别为( ) A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B [∵f (x )＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π， 得f (x )的单调减区间为 3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ， 当k ＝0时，得f (x )的一个单调减区间⎣⎡⎦⎤3π8，7π8，故选B.] 二、填空题6．tan ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝3，则tan α＝ . －2 [由tan ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝tan 34π＋tan α1－tan 34π·tan α＝3，即－1＋tan α1＋tan α＝3，解得tan α＝－2.]7．若cos αcos β－sin αsin β＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝ .12 [cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35②，解①②可得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.]8．函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是 ．[－5,3] [f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )取得最大值3， 当sin x ＝－1时，f (x )取得最小值－5， 所以函数f (x )的值域为[－5,3]．] 三、解答题9．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x .[证明] 法一：(由左推右)tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cosx 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin xcos 3x 2cosx 2＝2sin xcos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x＋cos 2x.法二：(由右推左)2sin xcos x＋cos 2x＝2sin⎝⎛⎭⎫3x2－x2 cos⎝⎛⎭⎫3x2－x2＋cos⎝⎛⎭⎫3x2＋x2＝2⎝⎛⎭⎫sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tan x2.10．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．[解](1)原式＝1－cos 2x2＋32sin 2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6＋12.因为x∈⎣⎡⎦⎤－π3，m，所以2x－π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，2m－π6.要使得f(x)在⎣⎡⎦⎤－π3，m上的最大值为32，即sin⎝⎛⎭⎫2x－π6在⎣⎡⎦⎤－π3，m上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.1．(多选题)下列计算正确的选项有()A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C.1＋tan15°1－tan15°＝ 3D ．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－32CD [对于A ，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A 错误；对于B ，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B 错误；对于C ，1＋tan15°1－tan15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝3，故C 正确；对于D ，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－32，故D 正确．故选CD.]2．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin αcos α＝cos β1－sin β，则( ) A ．2α＋β＝π2B ．2α－β＝π2C ．α＋2β＝π2D ．α－2β＝π2B [由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β， sin α＝cos(α－β)， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(α－β)．∵π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴π2－α＝α－β或π2－α＋α－β＝0(舍去)， ∴2α－β＝π2.]3．(多选题)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( ) A ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝⎛⎭⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4得到D ．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2]AB [函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4； 若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π8，则⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；∵f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝⎛⎭⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，B 正确；由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2cos 2x ，因此由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．故选AB.]4．若θ是第二象限角，且25sin 2 θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝ .±35[由25sin 2 θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2 θ＝－725，由cos 2θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.]5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2(sin 2 x －1) (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间和对称轴；(2)若不等式f (x )＋1＜m 在⎣⎡⎦⎤0，π3上有解，求m 的取值范围． [解] (1)由题意f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2(sin 2x －1)＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＋1－cos 2x －2 ＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z .整理，可得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . 又∵2x －π6＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋π3，∴函数y ＝f (x )的对称轴方程为：x ＝k π2＋π3，k ∈Z .(2)f (x )＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵0≤x ≤π3，∴－π6≤2x －π6≤π2，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. ∴要使不等式有解，必须m ＞－12.∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。