离散数学第10章 群

CHAPTER Eleven
( x1 x2 ... xn ) xn xn1 ... x2 x1
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等式(5)只对交换群成立. 如果G是非交换群，那么
( xy ) n ( xy )( xy )...(xy )
n个
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半群、独异点的定义与实例
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定义10.1 (1) 设 V=<S,∘>是代数系统，∘ 为二元运算，如果 ∘ 是可结合的，则称 V 为半群. (2) 设 V=<S,∘>是半群，若 e∈S 是关于 运算的单位元，则称 V 是含 幺半群，也叫做独异点，有时也记作 V=<S,∘, e>. (3)设<S, >是独异点，存在单位元 e∈S，并且对 S中的任何元素 x 都有 x1∈S，则称 S 为 群. 例10.1 (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+> 是半群， 后四个也是独异点. (2) 设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),· 为半群, 也是独异点。 > (3) <P(B),> 为半群，也是独异点。 (4) <Zn, >(Zn={0,1, … , n1}， 为模n加法) 为半群，也是独异点。 (5) <AA,∘>（∘：函数的复合）为半群，也是独异点。
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群中的术语
定义10.4
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(1) 若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为无限群. 群 G 的基数称为群G的 阶, 有限群 G 的阶记作|G|. (2) 平凡群：只含单位元的群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群 或 Abel群. 实例：
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群的性质---消去律
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定理10.2 G为群，则G中适合消去律，即对任意 a,b,c∈G 有 (1) 若ab=ac，则b=c. (2) 若ba=ca，则b=c. b=c 证 (1) ab=ac a1(ab)=a 1(ac) (a1a)b=(a1a)c b=c (2) 同理可证. 例10.5 设 G={a1, a2, …, an} 是 n 阶群，令 aiG ={ ai aj | j =1,2, … , n } 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG.
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群的性质---幂运算规则
说明： (3) (4) (5) 的证明： 用数学归纳法证明对于自然数n和m证等式为真， 然后讨论 n 或 m 为负数的情况. (2) 中的结果可以推广到有限多个元素的情况，即
CHAPTER Eleven
设V=<S,∘>是半群，TS，T 非空，如果T 对V 中的运算∘封闭，则 <T,∘>是V的子半群. 设V=<S,∘,e>是独异点，TS，T 非空，如果T 对V 中的运算∘封闭， 而且 e∈T，那么<T,∘,e> 构成 V 的子独异点.
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半群和独异点的同态
若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态.
CHAPTER Eleven
定义11.3 (1) 设V1= <S1, >，V2= <S2,∗>是半群，：S1→S2.
群中的术语（续）
n0 e n 1 n x x x n0 ( x 1 )m m n, n 0
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定义10.3 设G是群，x∈G，n∈Z，则 x 的 n 次幂 xn定义为
实例 在<Z3, >中有 23= (21)3=13=111=0
(6) <R*,∘>（其中R *= R-{0}，∘：x, y∈R*, x∘y = y）为半群。
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群的定义与实例
群的实例 (1) <Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群；<Z+,+>,<N,+>不是群. (2) <Mn(R),+>是群，而<Mn(R),· >不是群. (3) <P(B),>是群. x∈P(B), x-1= x. x-1= n-x.
假设aiGG，即|aiG|<n. 必有aj, ak∈G使得 ai aj = ai ak （j≠k） 由消去律得 aj = ak, 与 |G|=n 矛盾.
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群中元素阶的性质
定理10.3 G为群，a∈G且|a|=r. 设k是整数，则 (1) ak = e 当且仅当 r | k (2) |a1|=|a| 分析：利用元素阶的定义及整数的带余除法进行计算。
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(4) <Zn,>，是群. 0≠x∈Zn,
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10.1群的定义与性质
元素的幂运算定义 设半群V=<S,∘>中，x∈S，规定： x1=x， xn+1=xn∘x,n∈Z+ 在独异点<S,∘, e>中，x∈S， x0=e， xn+1=xn∘x， n∈N x 的幂运算规则： xn∘xm=xn+m， ( xn)m= xnm， 在半群中 m, n∈Z+，在独异点中m, nN。 定义 半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点. 判定方法：
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证 (1) 充分性. 由r|k， 由带余除法知道， 必存在整数 m 使得 k=mr， 所以有 ak = amr = (ar)m = em = e. 必要性. 根据除法，存在整数 m 和 i 使得 k = mr+i, 0≤i≤r1。 从而有 = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai。 e 因为|a| = r，必有 i = 0. 这就证明了r | k. (2) 由 (a1)r= (ar)1 = e1 = e, 可知 a1的阶存在. 令 |a1|=t，根据上面的证明有 t | r. a又是a1的逆元， 所以 r | t. 从而证明了r = t， 即 |a1|=|a|.
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10.1 群的定义与性质
群的定义与实例 群中的术语

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有限群、无限群与群的阶 Abel群 群中元素的幂 元素的阶 幂运算规则、
群的性质

群方程的解
消去律 群的运算表的排列
Klein四元群
CHAPTER Eleven
例10.2设G = { e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称为 Klein四元群.
e a b c
e a b c
e a b c a e c b b c e a c b a e
运算表特征： • 对称性 ---运算可交换 • 主对角线元素都是幺元 ---每个元素是自己的逆元 • a, b, c 中任两个元素运算都等于第 三个元素.
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群的性质---幂运算规则
定理10.1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1 = a. (2) a, b∈G，(ab)1 = b1a1. (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z. (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z. (5) 若G为交换群，才有 (ab)n = anbn.
CHAPTER Eleven
证 (1) (a1)1是a1的逆元，
a也是a1的逆元. 根据逆元的惟一性，等式得证. (2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e，故b1a1是 ab 的逆元. 根据逆元的惟一性等式得证.
CHAPTER Eleven
(b-1ab)r=b-1arb= b-1eb=e. 由定理11.4得 r | t 。 另外有 a=b(b-1ab)b-1=(b-1)-1(b-1ab)(b-1) -1
可上面证明知 a=(b-1)-1(b-1ab)(b-1) -1的阶是b-1ab的阶的因子 即t | r 。故| ba1b | = | a |。 (2) 设 | ab | = r, | ba| = t ,则有 (ab)t+1=a(ba)tb= aeb=ab. 由消去律得 (ab)t=e. 从而 r | t 。
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离散数学