高中数学导数的概念及其几何意义同步精练北师大版选修
北师大版高中数学选择性必修第二册2.2 导数的概念及其几何意义【课件】
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
北师大版数学数学 导数的几何意义同步练习北师大版选修1-1
学案导学备课精选】2015年高中数学 3.2.2导数的几何意义同步练习（含解析）北师大版选修1-1课时目标 1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( )A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim x ∆→f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．2.2 导数的几何意义知识梳理1．斜率2．切线的斜率作业设计1．D ＝6x 2.∴y′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C3．C4．B5．B6．B 时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f 3－f 23－2＝f(3)－f(2)>f′(3)．] 7．－18．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y′=0lim x ∆→Δy Δx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x. ∴k＝y′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a<0，∴a＝－3.12．解 f′(x)＝0lim x ∆→a x ＋Δx 2＋b x ＋Δx －7－ax 2－bx ＋7Δx =0lim x ∆→(a·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b. 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。
高中数学选修2-2 北师大版 导数的概念 课时作业(含答案)
§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1 －f x 0 x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx. 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x f x 1 －f x 0 x 1－x 0＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx.一、选择题1．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．下列各式正确的是( )A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 xB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0－Δx ＋f x 0 ΔxC ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 ΔxD ．f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx ＋f x 0 Δx3．设f (x )在x ＝x 0处可导，则li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 Δx等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－16．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1 B.12 C.13D ．1 二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 Δx＝________. 9．设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x (时间单位：分钟)有如下关系：G (x )＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f 1 f ′ 0的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．。
北师大版数学高二作业 3.2 导数的概念及其几何意义
§2 导数的概念及其几何意义一、选择题1．曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 D解析 函数y ＝1x 在x ＝1处的导数为lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋Δx ＝－1，由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝3π4，故选D. 2．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是() A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝⎛⎭⎫14，116D.⎝⎛⎭⎫12，14考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 D解析 ∵lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，又切线的倾斜角为π4，∴直线斜率为tan π4＝1，则2x ＝1，∴x ＝12，y ＝14，则切点为⎝⎛⎭⎫12，14.3．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－a －4Δx＝a ， 所以f ′(1)＝a ＝2.4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 A解析 由题意，知k ＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx＝1， ∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．1B ．－1 C.12D ．－2 考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 B解析 ∵lim x →0f (1)－f (1－x )x＝－1， ∴lim x →0f (1－x )－f (1)－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1.6．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( )A ．(1,0)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4)考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 C解析 根据导数的定义可求得f ′(x )＝3x 2＋1，由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选C.7．若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 答案 A解析 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3.8．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫π4，π2，则点P 的横坐标的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 D解析 设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0＋2. ∵α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2，∴tan α∈[1，＋∞)，∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12.∴x 0的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 二、填空题9．已知函数f (x )＝2x －3，则f ′(5)＝________.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 2解析 f ′(5)＝lim Δx →0f (5＋Δx )－f (5)Δx＝2. 10．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为________． 考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点处的切线方程答案 83解析 ∵k ＝lim Δx →0(1＋Δx )3－13Δx＝3， ∴曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0，则切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形面积为12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 11．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 4解析 设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，k ＝lim Δx →0(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.三、解答题12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1，①又lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c )Δx＝4a ＋b ，由题意知4a ＋b ＝1，②又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＋2ax 0－9.f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23， 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值－9－a 23. ∵函数f (x )斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线的斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a <0，∴a ＝－3.四、探究与拓展14．过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程为( )A ．27x －4y －23＝0B ．23x －3y －12＝0和y ＝3C ．5x －17y ＋9＝0D ．27x －4y －23＝0和y ＝1题点 求曲线的切线方程答案 D解析 Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx＝3x (Δx )2＋3x 2·Δx ＋(Δx )3Δx＝3x ·Δx ＋3x 2＋(Δx )2，所以lim Δx →0Δy Δx＝3x 2， 即y ′＝3x 2.设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，根据导数的几何意义，曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20，①过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1，② 由①②得3x 20＝x 30x 0－1， 解得x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，k ＝0，切点坐标为(0,1)，切线方程为y ＝1；当x 0＝32时，k ＝274，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，358，切线方程为27x －4y －23＝0. 综上所述，直线方程为y ＝1或27x －4y －23＝0.15．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b .∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。
江西省高二数学北师大版选修2-2同步精练：2.2导数的概念及其几何意义 Word版含答案
1.函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( )． A ．－3B ．－2C ．－5D ．－12．设函数f (x )为可导函数，则0(1)(1)lim 2x f x f x∆→+∆-∆等于( )．A ．f ′(1)B ．2f ′(1)C ．12f ′(1)D ．f ′(2)3．如果过函数y ＝f (x )图像上点A (3，a )的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)＝( )．A ．2B ．12-C ．－2D ．124．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点，3)，则在该点处的切线方程是( )． A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋75．已知曲线y ＝x 3上过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则a ＝( )． A ．－1B ．1C ．－2D ．26．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，则曲线与切线相切的切点坐标为( )．A ．(1，－8)B ．(－1，－12)C ．(1，－8)或(－1，－12)D ．(1，－12)或(－1，－8)7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.8．已知f (x )在x ＝6处可导，且f (6)＝8，f ′(6)＝3，则226[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝__________.9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线f (x )＝13x 3－4x ＋4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．参考答案1.答案：A 解析：f ′(2)＝00(2)(2)13(2)(132)lim limx x f x f x x x∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ ＝0lim x ∆→(－3)＝－3.2.答案：B 解析：00(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ ．3.答案：B 解析：因为过点A (3，a )的切线与2x ＋y ＋1＝0平行，所以过A 点的切线斜率f ′(3)＝－2.4.答案：B 解析：由3＝2a 2＋1，得a ＝1或a ＝－1(舍去)．又∵f ′(1)＝22002(1)1(211)limlim x x a x a x∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4＋2Δx )＝4， ∴在点(1,3)处的切线方程为y －3＝4(x －1)， ∴y ＝4x －1.5.答案：B 解析：k ＝3300(2)2limlim x x x x∆→∆→+∆-=∆[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12， ∴过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴a ＝1. 6.答案：B 解析：设切点坐标为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 03＋x 0－10.切线斜率为k ＝3300000()()10(10)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆=0lim x ∆→(3x 02＋1)＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 02＋1＝4，∴x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－8；当x 0＝－1时，y 0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12)． 7.答案：3 解析：f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 8.答案：48 解析：f ′(6)＝3，∴6()(6)lim6x f x f x →--＝3.∴226[()][(6)]lim 6x f x f x →-- ＝6[()(6)][()(6)]lim6x f x f f x f x →-+-＝[f (6)＋f (6)]·f ′(6)＝(8＋8)×3＝48. 9.答案：解：Δy ＝13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3＋2(Δx )2， ∴13y x ∆=∆(Δx )2＋2Δx ， ∴2001limlim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦＝0，即k ＝f ′(2)＝0.∴直线l 的方程为y ＝－1.10.解：f ′(1)＝220(1)(1)2(112)lim x x x x∆→+∆++∆--+-∆＝3，即l 1的斜率为k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 02＋x 0－2)，∴f ′(x 0)＝2200000()()2(2)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆＝0lim x ∆→(2x 0＋Δx ＋1)＝2x 0＋1，则直线l 2的斜率为k 2＝f ′(x 0)＝2x 0＋1. 又∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即3(2x 0＋1)＝－1，∴x 0＝23-，y 0＝22233⎛⎫-- ⎪⎝⎭－2＝209-.∴切点为220,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率k 2＝13-，∴直线l 2的方程为y ＋2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3x ＋9y ＋22＝0.。
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《导数的几何意义》课时同步练习及解析
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-12.2 导数的几何意义课时目标1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( )A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是( )A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．2.2 导数的几何意义知识梳理 1．斜率 2．切线的斜率 作业设计1．D [∵y ＝2x 3， ∴y ′=0limx ∆→Δy Δx=0lim x ∆→2(x ＋Δx )3－2x 3Δx=0lim x ∆→2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx =0lim x ∆→[2(Δx)2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2.∴y ′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.] 2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)， 所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.]3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的斜率．] 4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1， 由导数的几何意义知，h ′(a)＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时， 曲线上x ＝2处切线斜率最大， k ＝f (3)－f (2)3－2＝f(3)－f(2)>f ′(3)．]7．－1 [由偶函数的图像和性质可知应为－1.] 8．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx＝2.∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3， 又∵f ′(5)＝k ＝－1， ∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20. 因y ′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→(x ＋Δx )2－x2Δx ＝2x.∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20， ∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3. 当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6. 11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a23＝－12.解得a ＝±3.又a<0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x)＝0lim x ∆→a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx=0lim x ∆→(a ·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b.由已知可得⎩⎨⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。
高中数学 2.2.2导数的概念及其几何意义同步练习 北师
2.2.2 导数的几何意义
1、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线（ ）
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
2、分别求抛物线241x y =
过点（-2，1），（2，1）的切线方程。
3、已知曲线12-=x y 和其上一点，且这点的横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。
４、设点),(00y x 是抛物线432++=x x y 上一点，求过点),(00y x 的切线方程。
５、求抛物线241x y =
过点（4，47）的切线方程
６、曲线12)(2++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2，求点M 的坐标。
７、曲线22
3x y =
上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
参考答案：
1、B
2、答案提示：01=++y x ；01=--y x
3、答案提示：022=++y x
4、答案提示：))(32(000x x x y y -+=-
5、答案提示：0142=--y x 或049414=--y x
6、答案提示：（0，1）
7、答案提示：)2
3,1(。
3.2导数的概念及其几何意义(北师大版选修1-1)
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
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高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修
2-2
1.函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( )．
A ．－3
B ．－2
C ．－5
D ．－1
2．设函数f (x )为可导函数，则0(1)(1)lim
2x f x f x ∆→+∆-∆等于( )． A ．f ′(1)
B ．2f ′(1)
C ．12f ′(1)
D ．f ′
(2) 3．如果过函数y ＝f (x )图像上点A (3，a )的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)＝( )．
A ．2
B ．12-
C ．－2
D ．12
4．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点3)，则在该点处的切线方程是( )．
A ．y ＝－4x －1
B ．y ＝4x －1
C ．y ＝4x －11
D ．y ＝－4x ＋7 5．已知曲线y ＝x 3上过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则a ＝( )．
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2 6．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，则曲线与切线相切的切
点坐标为( )．
A ．(1，－8)
B ．(－1，－12)
C ．(1，－8)或(－1，－12)
D ．(1，－12)或(－1，－8) 7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝
12
x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________. 8．已知f (x )在x ＝6处可导，且f (6)＝8，f ′(6)＝3，则22
6[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝__________.
9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线f (x )＝
13x 3－4x ＋4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭处的切线平行，求直线l 的方程．
10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，
且l1⊥l2，求直线l2的方程．
参考答案
1.答案：A 解析：f ′(2)＝00(2)(2)13(2)(132)lim
lim x x f x f x x x
∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ ＝0lim x ∆→(－3)＝－3. 2.答案：B 解析：00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)222
x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ ． 3.答案：B 解析：因为过点A (3，a )的切线与2x ＋y ＋1＝0平行，所以过A 点的切线斜率f ′(3)＝－2.
4.答案：B 解析：由3＝2a 2＋1，得a ＝1或a ＝－1(舍去)．
又∵f ′(1)＝22002(1)1(211)lim lim x x a x a x
∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4＋2Δx )＝4， ∴在点(1,3)处的切线方程为y －3＝4(x －1)，
∴y ＝4x －1.
5.答案：B 解析：k ＝33
00(2)2lim lim x x x x
∆→∆→+∆-=∆[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12， ∴过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴a ＝1.
6.答案：B 解析：设切点坐标为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 03
＋x 0－10. 切线斜率为k ＝3300000()()10(10)lim x x x x x x x x
∆→+∆++∆--+-∆ =0lim x ∆→(3x 02＋1)＋3x 0·Δx ＋(Δx )2
] ＝3x 02＋1＝4，
∴x 0＝±1.
当x 0＝1时，y 0＝－8；当x 0＝－1时，y 0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12)．
7.答案：3 解析：f (1)＝
12×1＋2＝52，f ′(1)＝12， ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12
＝3. 8.答案：48 解析：f ′(6)＝3，∴6()(6)lim 6
x f x f x →--＝3. ∴22
6[()][(6)]lim 6
x f x f x →--
＝6[()(6)][()(6)]lim 6
x f x f f x f x →-+- ＝[f (6)＋f (6)]·f ′(6)＝(8＋8)×3＝48.
9.答案：解：Δy ＝
13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3＋2(Δx )2， ∴13
y x ∆=∆(Δx )2＋2Δx ， ∴2001lim
lim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦＝0， 即k ＝f ′(2)＝0.
∴直线l 的方程为y ＝－1.
10.解：f ′(1)＝220(1)(1)2(112)lim x x x x
∆→+∆++∆--+-∆＝3， 即l 1的斜率为k 1＝3，
∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.
设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 02
＋x 0－2)， ∴f ′(x 0)＝2200000()()2(2)lim x x x x x x x x
∆→+∆++∆--+-∆ ＝0
lim x ∆→(2x 0＋Δx ＋1)＝2x 0＋1， 则直线l 2的斜率为k 2＝f ′(x 0)＝2x 0＋1.
又∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即3(2x 0＋1)＝－1，
∴x 0＝23-，y 0＝22233
⎛⎫-- ⎪⎝⎭－2＝209-. ∴切点为220,3
9⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率k 2＝13-， ∴直线l 2的方程为y ＋
2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3x ＋9y ＋22＝0.。