高中数学第二章数列(二)教学设计新人教A版必修5

（新课标）2015-2016学年高中数学第二章数列（二）教学设计新人教A版必修5从容说课在上节课的内容安排的基础上，本节课安排等差数列与等比数列的综合训练，目标是使学生更熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题，提高运算速度和运算能力教学重点熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤教学难点解题思路和解题方法的优化教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题2.提高运算速度和运算能力二、过程与方法1.精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤2.在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力三、情感态度与价值观1.在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质2.在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识教学过程导入新课师这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题首先我们再来明确一下有哪些问题生(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨推进新课师 出示投影胶片1：例题1：【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3，试问：是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］师 这道题涉及到两个数列｛a n ｝和｛b n ｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n ，b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于｛a n ｝是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和由已知a 1=b 1=1，a 2=b 2,a 8=b 3，可以列出方程组⎩⎨⎧=+=+2711qd q d解出d 和q ，则a n ,b n 就确定了师 如果a n 和b n 确定了，那么a n =log a b n ＋b 就可以转化成含有a ，b ，n 的方程，如何判断a ，b 是否存在呢？生 如果通过含有n ，a ，b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a ，b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列｛a n ｝的公差为d (d ≠0)，等比数列｛b n ｝的公比为q ，则⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d 解得d =5，q=6.所以a n =5n -而b n =6 n -1，若存在常数a ，b ，使得对一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立， 即5n -4=log a 6 n -1＋b 即5n -4=(n -1)log a 6＋b即(log a 6-5)n ＋(b -log a 6＋4)=0.对任意n ∈N *都成立只需⎩⎨⎧=+-=-046log 056log a a b 成立解得a =661,b =1.所以存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立师 本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式.a n 和b n 确定了，其他的问题就可以迎刃而解可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，并逐句分析已知条件生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d ，x ，x ＋d ,则x-d ＋x ＋x ＋d生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d ＋10， x ＋10，x ＋d ＋11，则(x ＋10)2=(x-d ＋10)(x ＋d ＋师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x ，d . 板 书：解：设原计划三年的产值为x-d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为x-d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋⎩⎨⎧+=+++-=+++-.)10()11)(10(,3002x d x d x d x x d x 解得x=100，d =10，x-d =90,x+d答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d (q)，再调用有关的概念和公式求解师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{a k n }是公比为q 的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值.［合作探究］师 题目中数列{a k n }与{a n }有什么关系？ 生 数列{a k n }的项是从数列{a n }中抽出的部分项师 由已知条件k 1=1，k 2=5，k 3=17可以知道等差数列{a n }中的哪些项成等比数列？ 生 a 1，a 5，a 17成等比数列.师 要求的k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值，实质上求的是什么？ 生 实质上就是求数列{k n }的前n 项和师 要求｛k n ｝的前n 项和，就要确定数列{k n }的通项公式.应该从哪儿入手？ 生 应该从求等比数列{a k n }的公比入手.其公式为15a a师 a 5，a 1要由等差数列｛a n ｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a 1了生 如果设等差数列{a n }的公差为d ，那么a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d ，由于a 1，a 5，a 17成等比数列，则有(a 1＋4d )2=a 1(a 1＋16d )，从而a n 应该可以求出了师 请同学们把刚才的分析整理出来(投影胶片4)解：设数列｛a n ｝的公差为d ，d ≠0， 则a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则 (a 1＋4d )2=a 1 (a 1＋16d )，即2d =a 1d又d ≠0，则a 1=2d所以a n =a 1＋(n -1)d =2d ＋(n -1)d =(n ＋1)d因为数列{a k n }的公比为q ，则3)11()15(15=++==dd a a q所以a k n =a k1·3 n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1.又a k n =(k n +1)d则2d ·3 n -1＝(k n +1)d由d ≠0，知k n =2·3n -1-1(n ∈N*因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n=2·3 0-1＋2·31-1＋2·32-1＋…＋2·3n -1-=2(30＋31＋32＋…＋3n -1)-n =2·133-n -n =3n-n -1.师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝(1)求数列{bn }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与3log 1+n a b 的大小，并证明你的结论. ［合作探究］师 数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步请同学们快速准确地求出b n生 快速求解(1)解：设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝10b 1＋21×10×(10-1)d ＝解得b 1＝1,d ＝∴b n ＝3n -师 在下一个问题中，数列{a n }与数列{b n }具有什么关系呢？数列{a n }具有什么特征？ 生 数列{a n }是由数列{b n }生成的一个新的数列？ 由a n ＝log a (1＋nb 1)＝log a (1+231-n )，可知数列{a n }不是特殊数列师 题中比较S n 与3log 1+n a b 的大小，你现在能作出预料吗？ 生 不能，S n 是什么样子还不清楚.需要得出S n ，才能进一步思考师 那就请同学们先把S n 求出来生 写出Sn ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝loga [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n发现式中的那个积不太好处理师 能不能现在就和3log 1+n a b 联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？生 因为3log 1+n a b =log a 313+n ，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题(投影胶片6)(2)解:由b n ＝3n -2，知Sn ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n ＝loga [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n3log 1+n a b =log a 313+n 因此要比较S n 与3log 1+n a b 的大小，可先比较(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )与313+n 的大小取n ＝1，有(1＋1)＞3113+⨯取n ＝2，有(1＋1)(1+41)＞3123+⨯由此推测(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考下面对(*)式加以证明： 证法一：记An＝(1＋1)(1＋41) (1)231-n )(1+131+n )=21×45×78×…×2313--n nD n ＝313+n再设nn C n n B n n 313...9106734,133...895623+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=∵当k∈N 时，121+++k k k k ＞恒成立，于是A n ＞B n ＞C n .∴A n 3＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D n 3.∴A n ＞D n即(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 成立由此证得：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b证法二：∵2313...710471413-+⨯⨯⨯⨯=+n n n因此只需证1＋231-k ＞332313-+k k 对任意自然数k 成立即证2313--k k ＞332313-+k k ,也即(3k-1)3＞(3k ＋1)(3k-2)2,即9k ＞该式恒成立，故1＋231-k ＞332313-+k k取k ＝1，2，3，…n 并相乘即得A n ＞D n .师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用课堂小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q)，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒布置作业1.合作探究复习参考题B 组题2.开展探究活动，思考并解答补充作业板书设计习题详解(课本第75页复习参考题组1.（1）B ；（2）D2.（1）不成等差数列.可以从图象上解释.a ,b ,c 成等差数列，则通项公式为y=p n +q 的形式，且a ,b ,c 位于同一直线上，而a 1,b 1 ,c 1的通项公式却是qpn y +=1的形式，a 1,b 1 , c 1不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列（2）成等比数列.因为a ,b ,c 成等比，有b 2=a c ，又由于a ,b ,c 非零，两边同时取倒数，则有c a b1112⨯=， 所以a 1, b 1,c1也成等比数列3.体积分数：0.033×(1+25%)6≈0.126，质量分数：0.05×(1+25%)64.设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为A n ,B n ,C n ，第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也是4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列，则A n =38n ；B n =4n +2)1(-n n ×4=2n 2+2n ； Cn =21)21(4.0--n =0.4(2n -下面考察A n ,B n ,C n ,看出n ＜10时,38n ＞0.4(2n-1).因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.n ≥10时，A n ≤C n ,B n ≤C n ,因此，选用第三种付费方式5.第一个星期选择A 种菜的人数为a ，即a 1=a ，选择B 种菜的人数为b 1=500-a ，所以有以下关系式:a 2=a 1×80%+b 1×30%，a 3=a 2×80%+b 2……a n =a n -1×80%+b n -1×30%，a n +b n所以a n =150+21a n -1,b n =500-a n =350-21 a n -1 如果a 1=300,则a 2=300,a 3=300,…,a 106.略7..设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，2002年底剩余资金是1 000(1+50%)-x ， 2003年底剩余资金是［1 000(1+50%)-x ］(1+50%)-1 000(1+50%)2-(1+50%)x-5年后达到资金1 000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x-(1+50%)2x-(1+50%)x=2 000， 解得 x=459万元备课资料备用习题1.公差不为零的等差数列的第2、第3、第6项依次成等比数列，则公比是(2.若等差数列{a n }的首项为a 1=1，数列{b n }为等比数列，把这两个数列对应项相加所得的新数列{an ＋b n }的前三项为3，12，23，则{a n }的公差与{b n }的公比之和为(A.-3.在等差数列｛a n ｝中，a 1，a 4，a 25依次成等比数列，且a 1＋a 4＋a 25=114，求成等比数列的这三个数4.设数列{a n }是首项为1的等差数列，数列{b n }是首项为1的等比数列，又c n =a n -b n (n ∈N *)，已知c 2=61,c 3=92,c 4=547，试求数列{c n }通项公式与前n 项和公式5.某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为1 500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这三年总产量为1 820吨，求这四年每年的产量各是多少吨？ 参考答案： 1.C3.由⎩⎨⎧=++=+,114273),24()3(1121d a d a d a解得a 1=38,d =0，或a 1=2,d =4，所以三个数为38，38，38,或2，14，4.设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+.54731,9221,61132q d q d q d 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,34dq5.设前三年产量依次为a -d ，a ，a ＋d ，则a -d ＋a ＋a ＋d =1 500，解得a ＝500.后三年产量依次为a ,a +d ,a d a 2)(+，由已知a +a +d +ad a 2)(+ =1 820.解得d =100.所以，四年产量依次为400,500,600,720吨.。