江苏省高邮市送桥中学高中数学1.3正弦定理、余弦定理的应用(2)导学案(无答案)苏教版必修5
江苏省高邮市送桥中学高中数学 第一章《三角函数的图像与性质 三角函数诱导公式》第二课时导学案(无答案
第10课时 三角函数的诱导公式（2）【学习目标】：1.引导学生推导公式五、六；2.在理解、记忆六组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；3．加深理解化归思想。
【学习重点】：六组诱导公式的记忆、理解、运用。
【预习内容】：若角α的终边与角β的终边关于直线x y =对称，则（1）角α与角β的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？（2）角απ-2的终边与角α的终边是否关于直线x y =对称？（3）由（1）（2）的答案你能发现什么样的结论？【新知学习与深化】：1．诱导公式五： ααπcos )2sin(=-；ααπsin )2cos(=- 2．诱导公式六： ααπcos )2sin(=+；ααπsin )2cos(-=+ 同学们能自己将诱导公式六进行推导吗？ 思考：你能推导出)2tan(απ-；)2tan(απ+与αtan 之间的关系吗？ 公式一，二，三，四，五，六都叫做三角函数的诱导公式诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系，换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系。
【新知应用】例题分析：例1 化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；（2）1sin120cos330sin(690)cos(660)tan 675tan 765︒⋅+--++o o o o o ．（3）)2cos()2sin()sin()cos(αππααππα----（4）)3tan()2sin()2sin()23cos(απαπαπαπ--+-例2．已知,31)75cos(0=+α且0180-090-<<α，求)15cos(0α-的值。
变式：已知：53)15cos(=+︒α，α为锐角，求：)105sin()195cos()165sin()435tan(αααα+︒⋅+︒︒-+-︒值【新知回顾】1．求任意角的三角函数值的一般步骤；2．熟练运用公式化简、求值。
江苏省高邮中学高一数学余弦定理学案2课时 必修5
江苏省高邮中学高一数学余弦定理学案一07-5-4教学目标：1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
教学重点：余弦定理及其发现和证明。
教学难点：余弦定理的证明。
教学过程：一.问题情境在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？ （三个，其中至少有一边）问题1：已知两边一夹角，三角形能否确定？或者已知三边，三角形能否确定？ 探索活动1:（回归特殊）在Rt △ABC,C=900,那么边边之间有哪些关系?勾股定理：222b a c +=（*）受（*）式启发，在锐角三角形中222b a c +<；在钝角三角形中222b a c +> 问题2：那么a 与b 、c 之间是否仍然存在着“平方和”关系？猜想：B bc b a c cos 2222-+=二．理论建构如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b 已知a 、b 和C ∠，求边c 方法1：（向量的方法）A B方法2：（几何法）在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，A B＝c，试根据b，c，A来表示a.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CＤB中，根据勾股定理可得：另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论。
这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，下面我们给出余弦定理的具体内容.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：（已知两边和其夹角求第三边）a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.形式二：（已知三边求角）cos A=bc ac b22 22-+，cos B=ca ba c22 22-+，cos C=ab cb a22 22-+注意：利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角，这类问题由于三边确定，故三角也确定，解惟一(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角惟一，故解惟一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.三．数学应用例1：在ΔABC 中，（1） 已知b ＝3，c ＝1，A=600，求a ；（2） 已知a ＝4，b ＝5，c=6求A 。
江苏省高邮市送桥中学高中数学 3.1两角和与差的三角函数习题课导学案(无答案)苏教版必修4
第6课 两角和与差的三角函数习题课【学习目标】:使学生掌握两角和与差公式；能正确、灵活、变形运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明。
【学习重点】：要学生熟记公式的结构，会根据题目的条件选择适合的公式解决问题。
【学习难点】：三角混合式的处理。
导学过程:一、【预习内容】:1、 313sin 253sin 223sin 163sin +=2、=++)20tan 10(tan 320tan 10tan3、已知232,53)4cos(παππα<≤=+，求)42cos(πα+的值二、【新知应用】：例1、 已知tan5a =，求sin5(1tan5tan 2.5)+的值。
变式1：证明：sin (1tan tan)tan 2αααα+=变式23tan10+的值。
例2、已知：2sin(2)3sin αβα+=，求证：tan()5tan αββ+=三：【新知回顾】：正确、灵活、变形运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明需要在今后的学习中不断地练习，强化；在平时的做题中要有目标意识，做到有的放矢；多思考、多总结就能学好数学。
四、课堂练习：求值：（1）[2sin50sin10(13tan10)]sin80++；（2）oo o o o o 10tan 60tan 60tan 20tan 10tan 20tan ++．（3）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+【教学反思】两角和与差的三角函数习题课课后作业1、=-72cos 42sin 18cos 48sin 的值为 =----+)25sin()70cos()25cos()20cos(x x x x2、已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-=，求tan α∶tan β3、求证：αββααβαsin sin )cos(2sin )2sin(=+-+4、已知71tan ,21)tan(-==-ββα，且),0(,πβα∈，求)2tan(βα-的值5、求证：2222sin()sin()tan 1sin cos tan αβαββαβα+-=-6、已知1tan 3α=-，cos 5β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；（2）求函数())cos()f x x x αβ-++的最大值．。
江苏省高邮市送桥中学高中数学 第一章《三角函数的图
第9课时 三角函数的诱导公式（1） 【学习目标】：1、借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；2、能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，并解决有关三角函数求值、化简、恒等式证明问题；3．加深理解化归思想。
【学习重点】：诱导公式的记忆、理解、运用。
【预习内容】：①=6sin π ②=6cos π ③=6tan π④=613sin π ⑤=613cos π ⑥=613tan π 6π与613π之间的关系： 【新知学习与深化】：（1） 终边相同的角的三角函数之间的关系；由任意角三角函数定义，发现：终边相同的角的同一三角函数值相等。
απαsin )2sin(=+k )(Z ∈kαπαcos )2cos(=+k ()Z ∈k （公式一） απαtan )2tan(=+k ()Z ∈k（2） 终边关于x 轴对称的角的三角函数值的关系； ()=-=-=-)tan()cos(sin ααα （公式二）（3） 终边关于y 轴对称的角的三角函数值的关系；()=-=-=-)tan()cos(sin απαπαπ （公式三）（4） 终边关于原点对称的角的三角函数值的关系；()=+=+=+)tan()cos(sin απαπαπ （公式四）【新知应用】例题分析：例1：求值（1）67sin π；（2）411cos π；（3）)1560tan(︒-练习：求值： （1）16sin()3π- （2）23cos()6π （3）tan585o例2：（1）)cos()2cos()sin()sin(απαπαπαπ+-+•--+= （2）若31)2tan(-=-απ，则)cos()2sin(απαπ+-的值为（3）)606sin(1866sin 170tan 10tan ︒--++︒︒︒（4）已知3sin 5α=-，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+ 的值。
【新知回顾】1．求任意角的三角函数值的一般步骤；2．熟练运用公式化简、求值。
苏教版高中数学必修五《正弦定理、余弦定理的应用》导学案
1.3 正弦定理、余弦定理的应用【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、航海以及力学有关的实际问题，了解有关常用术语及其准确含义。
【重点难点】学习重点：从有关测量、航海、力学等实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。
学习难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。
【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图，设A 、B 两点在河的两岸且不可到达，现要测量两点之间的距离，测量者站在A 的同侧C 点处。
问题1：利用学过的知识，测量者只要测出哪些量就可求出A 、B 两点间的距离？ 问题2：如何求A 、B 两点间的距离呢？二、知识建构与应用：例1 如图，为了测量河对岸两点A 、B 之间（不可到达）的距离，在河岸的这边取点C 、D ，测得∠ADC=45°，∠BDC=75°，∠ACD=60°，∠BCD=45°，CD=100m ，设A 、B 、C 、D 在同一平面内，试求A 、B 之间的距离（精确到1m ）．例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）。
(注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角)BC AD C B A 北北C B105°45°αO C B A例 3 作用于同一点的三个力321F F F 、、平衡。
已知N F N F 503021==，，1F 与2F 之间的夹角是60°，求3F 的大小与方向（精确到0.1°）。
F 3F 2F 1O例4 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？三、巩固练习：1．从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为o 30和o 45，o 45=∠BAC ，则这两个点之间的距离为 （精确到0.1m ）。
高中数学1.3正弦定理、余弦定理的应用教学设计1苏教必修5
1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）教学方针：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题；2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及 相关的三角公式解决这些问题；3．通过复习、小结，使学生坚固掌握两个定理，应用自如．教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，坚固掌握两 个定理，应用自如．教学过程： 一、复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方式．1．正弦定理、三角形面积公式： R C c B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆． 2．正弦定理的变形：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； （3）sin sin sin ::::A B C a b c =．3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角．4．余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=． 5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．二、例题（学生自主学习讨论后到黑板板演，教师规范解题格式）例1 如图，为了测量河对岸两点A ，B 之间的距离，在河岸这边取点C ，D ，测得∠ADC＝85°，∠BDC ＝60°，∠ACD ＝47°，∠BCD ＝72°，CD ＝100m ．设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 之间的距离（精确到1 m ）．解 在△ADC 中，∠ADC ＝85°，∠ACD ＝47°，则∠DAC ＝48°．又DC ＝100，由正弦定理，得 sin 100sin85sin sin 48DC ADC AC DAC ∠︒==∠︒≈134.05（m ）． 在△BDC 中，∠BDC ＝60°，∠BCD ＝72°，则∠DBC ＝48°．又DC ＝100，由正弦定理，得sin 100sin 60sin sin 48DC BDC BC DBC ∠︒==∠︒≈116.54（m ）． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB ２＝AC ２＋BC ２－2AC ·BC cos ∠ACB＝134.05２＋116.54２－2×134.05×116.54cos25°≈3233.95，所以 AB ≈57（m ）．答 A ，B 两点之间的距离约为57 m ．例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10n mile的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的标的目的，以9n mile ／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21n mile ／h 的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）．解 设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则AB ＝21x ，BC ＝9x ，又AC ＝10，∠ACB ＝45°＋（180°－105°）＝120°．由余弦定理，得AB ２＝AC ２＋BC ２-2AC ·BC cos ∠ACB ，即（21x ）２＝10２＋（9x ）２－2×10⨯9x cos120°．化简，得36x ２－9x －10＝0，解得x ＝23（h ）＝40（min ）（负值舍去）． 由正弦定理，得sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠︒∠===， 所以∠BAC ≈21.8°，方位角为45°＋21.8°＝66.8°．答 舰艇应沿着方位角66.8°的标的目的航行，经过40min 就可靠近渔轮．例3 感化于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡．已知F 1＝30N ，F 2＝50N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，求F 3的大小与标的目的（精确到0.1°）．解 F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡，所以F 3和F 在同一直线上，并且大小相等，标的目的相反．如图，在△OF 1F 中，由余弦定理，得70()F N ==．再由正弦定理，得150sin120sin 70F OF ︒∠== 所以∠F 1O F ≈38.2°，从而∠F 1OF 3≈141.8°．答 F 3为70N ，F 3和F 1间的夹角为141.8°．三、课题小结解斜三角形问题即用正余弦定理求解，已知三角形边角的三个量（至少一条边），即可求其余所有量，注意解的个数．四、练习课本P21习题1.3第2，4题．五、安装作业课本习题．。
江苏省高邮市送桥中学高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用(2)导学案(无答案)苏教版必修5
第7课时正弦定理、余弦定理的应用（2）【学习目标】会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.【学习重点】1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.【预习内容】解三角形的知识在测量、航海等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.【合作探究】例1、如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线C，D，测得∠ADC＝850，∠BDC＝600，∠ACD＝470，∠BCD＝720，CD=100m，设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B两点间的距离（精确到1m）.例2、某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔船在方位角为45°、距离为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.例3、一船由西向东航行的船，测得某岛的方位角为︒60，前进km 5后测得此岛的方位角为︒45，已知该岛周围km 3内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？【课堂小结】通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.【教学反思】第7课时 正弦定理、余弦定理的应用（2）课后作业1、已知山顶上有一座高为m 30的铁塔，在塔底测得山下A 点处的俯角为︒30，在塔顶测得A 点处的俯角为︒45，则山相对于A 点的垂直高度为2、从200m 高的电视塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为300，450，045BAC ∠=，求这两个点之间的距离。
高中数学 1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教案 苏教版必修5
江苏省赣榆县智贤中学2014高中数学 1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）教案苏教版必修5能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有正弦定理、余弦定理等知识和方正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．余弦定理：三角形中的基本关系式：利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问直径为，再用. 于是，四边形求出四边形OACB 面积的最大值.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+的构造及逆用，应要求学生予以重视.例2 如图，有两条相交成60角的直线XX '、YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解 （1）设甲、乙两人起初的位置是A ，B ，则2222cos60AB OA OB OA OB =+-⋅2213123172=+-⨯⨯⨯=， ∴AB=7km ． ∴ 起初两人的距离是7 km ．师：如何表示t 小时后两人的距离呢？生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P Q 、，则4AP t =，4BQ t =， 当304t ≤≤时，2222(34)(14)2(34)(14)cos6048247PQ t t t t t t =-++--+=-+； 当34t >时，2222(43)(14)2(43)(14)cos12048247PQ t t t t t t =-++--+=-+，所以，248247PQ t t =-+ km ．（3）22214824748()44PQ t t t =-+=-+，∴当14t =时，即在第15分钟末，PQ 最短． X X ' Y Y '∙B Q P O A ∙ ∙ ∙师：三角形的面积怎么表示？=APQ师：α。
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第7课时 正弦定理、余弦定理的应用（2）
【学习目标】
会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.
【学习重点】
1.实际问题向数学问题的转化；
2.解斜三角形的方法.
【预习内容】 解三角形的知识在测量、航海等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.
【合作探究】
例1、如图所示，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线C ，D ，测得∠ADC ＝850，
∠BDC ＝600，∠ACD ＝470，∠BCD ＝720，CD=100m ，设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 两点间的距离（精确到1m ）.
例2、某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔船在方位角为45°、距离为10 n mile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile ／h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.
例3、一船由西向东航行的船，测得某岛的方位角为︒60，前进km 5后测得此岛的方位角为︒45，
已知该岛周围km 3内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？
【课堂小结】
通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.
【教学反思】
第7课时 正弦定理、余弦定理的应用（2）课后作业
1、已知山顶上有一座高为m 30的铁塔，在塔底测得山下A 点处的俯角为︒30，在塔顶测得A 点处的俯角为︒45，则山相对于A 点的垂直高度为
2、从200m 高的电视塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为300，450，045BAC ∠=，求这两个点之间的距离。
A
3、如图，货轮在海上以h mile n /40 的速度由B 向C 航行，航行的方位角︒=∠150NBC ，A 处有灯塔，其方位角︒=∠120NBA ，在C 处观察灯塔A 的方位角∠/
N B 到C 需行h 50． ，求C 到灯塔A 的距离．
4、海上有A ，B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为600,从B 岛望C 岛和A
岛所成的视角为750，试求B 岛和C 岛间的距离。