浙江省诸暨市牌头中学2017-2018学年高中数学竞赛训练题 Word版无答案 (2)
2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高一数学素质比武
牌头中学高一素质比武数学练习卷二2017.10一、选择题 1、设复数()2121i iz -+=，则z 的虚部是（ ）（A ）21（B ）i 21（C ）21-（D ）i 21-2、()52211⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式的常数项是（）（A ）5 （B ）-10 （C ）-32 （D ）-42 3、在△ABC 中，已知=⋅BA BC CA CB ⋅，则△ABC 是（）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）以上均不对4、已知等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，且52325=a S ，253345=a S，则=4365a S （ ）（A ）125（B ）85（C ）45（D ）355、若曲线2sin2xy =的两条互相垂直的切线交于点P ，则点P 的坐标不可能是（ ）（A ）（π，π） （B ）（3π，-π）（C ）（5π，-π）（D ）（7π，-π）6、已知()πβα,0,∈，αtan 、βtan 是方程0132=++x x 的两个根，则()=-βαcos （A ）31（B ）32 （C ）35 （D ）25（ ）7、已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3f x f x -+=--，则()f x 的最小值为（ ）（A ）16- （B ）14- （C ）12- （D ）10-8、设F 是双曲线12222=-by a x 的右焦点，A 是双曲线实轴的左端点，过F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P ，若AP 的斜率为31，则双曲线的离心率为 （ ）（A ）45 （B ）25（C ）2（D ）39、一个四棱锥（底面为正方形，底面边长和各侧棱长都相等）和一个三棱锥（底面边长和侧棱长都相等）恰好可以拼成一个三棱柱，则四棱锥、三棱锥、三棱柱的高之比为（ ） （A ）3：1：1 （B ）3：2：2（C ）3：2：2（D ）3：2：310、点P 在曲线2xe y =上，点Q 在曲线x y ln 2ln +=上，则|PQ|的最小值为（）（A ）2ln 1-（B ）2ln 1+（C ）()2ln 12-（D ）()2ln 12+二、填空题11、已知()()()⎪⎩⎪⎨⎧->---≤-=-1,121,22x x x x x f x ，则()()=-2f f ______；若()2≥x f ，则x 的取值范围为______。
浙江省诸暨市牌头中学2017-2018学年高二数学周练卷3
2017-2018下牌头中学高二数学周练卷一、选择题1．复数z=1﹣i ，则对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a3．已知函数f （x ）=﹣x 2+2，g （x ）=log 2|x|，则函数F （x ）=f （x ）•g（x ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，则下列命题不正确．．．的是( ) A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥n B ．若n m =⋂βαα,//，则n m //C ．若αβ⊥⊥m m ,，则βα//D ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥5．已知函数f （x ）=﹣2sin （2x+φ）（|φ|＜π），若，则f （x ）的一个单调递增区间可以是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，点E 是左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与 双曲线交于点A ，若tan ∠AEF ＜1，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+）D ．（2，2+）7．若函数y=f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有 T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）A ．y=sinxB ．y=lnxC ．y=e xD ．y=x 3 8．已知函数f （x ）（x∈R）是以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，f （x ）=ln （x 2﹣x+b ）．若函数f （x ） 在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜b ≤1B ．≤b ≤C ．﹣1＜b ＜1或b=D ．＜b ≤1或b=二、填空题：9．已知数列{}n a 满足递推关系式1221-+=+n n n a a (n ∈N *)，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ为等差数列，则λ的值是 __10．若抛物线C ：y 2=2px 的焦点在直线x+y ﹣3=0上，则实数p= ；抛物线C 的准线方程为 ．11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a=2，b=，B=60°，则△ABC 的面积为 ．12．如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为______．13．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．若点P （﹣1，0）在直线ax ﹣y ﹣a ﹣2=0上的投影是Q ，则Q 的轨迹方程是 ．14．已知f （x ）=，则 fx∈R 时，如果函数f （x ）＞g （x ）恒成立，那么称函数f （x ）是函数g （x ）的“优越函数”．若函数f （x ）=2x 2+x+2﹣|2x+1|是函数g （x ）=|x ﹣m|的“优越函数”，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：15．设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知（2b ﹣c ）cosA=acosC ．（1）求A ；（2）若a=1，求b+c 的取值范围．16．在如图所示的空间几何体中,平面⊥ACD 平面ABC ,ACD ∆与ACB ∆均是边长为2的等边三角形,2=BE ,直线BE 和平面ABC 所成的角为︒60,且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（I ）求证://DE 平面ABC ；（II ）求二面角A BC E --的余弦值．17．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （，）在椭圆E 上．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：︳MA ︳•︳MB ︳=︳MC ︳•︳MD ︳18．已知函数f（x）=lnx﹣x2，g（x）=x2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2﹣1．（Ⅲ）若m=﹣1，且正实数x19.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n(n∈N*).(1)求f(x)的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式； (3)对于(2)中的数列{a n }，求证：①∑n k ＝1a k <5；②43≤∑nk ＝1 a k a k ＋1<2.。
浙江省诸暨市牌头中学2017届高三上学期期中考试数学试题 Word版缺答案
牌头中学2016学年第一学期中考试卷高三数学一、选择题（每题5分，共8题，共40分，答案涂在答案卡上）1．设R U =，已知}1|{≥=x x A ，}|{a x x B >=，且R B A C U = )(，则a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 2．已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是'()f x 且'(2)2f =，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．1 3．设向量b a m m b a ∥),1,(),2,1(+==，则实数m 的值为（ ）A ．3-B ．31-C ．1-D ．1 4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 5．已知24sin 225α=-，(,0)4πα∈-，则sin cos αα+=（ ） A ．75-B ．75C ．15-D ．156．在AB C ∆中，,222bc a c b =-+ 0,AB BC a ⋅>= 则c b +的取值范围是 （ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,217、已知a 、b 22=⋅==b a ，(-c )⋅a (-c )b =0，则⋅c a 的最大值为A ．23 B ．231+ C ．232+ D ．434+（）8．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（前4题每空3分，后3题每题4分，共36分，所有答案均答在答题纸上） 9.已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}052<-=x x x B ，若2-=a，B A ⋂=________；若B A ⊆，则实数a 的取值范围为_______。
浙江省诸暨中学2017-2018学年高一上学期第二阶段考试题数学(含精品解析)
诸暨中学2017-2018学年高一上学期第二阶段考试试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，且，则角的终边所在象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．考点：1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．2.设角的终边经过点，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据三角函数定义知：，所以原式，答案为：C.考点：1.三角函数定义；2.三角函数计算.3.已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，故选B．【点睛】本题考查任意角的概念，集合间的包含关系的判断及应用，准确理解好定义是解决问题的关键．4.函数是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】依题意有：，是最小正周期为的奇函数.5.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】要使原函数有意义，则，即所以解得：所以，原函数的定义域为故选D．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，解答此题的关键是掌握余弦函数线，在单位园中利用三角函数线分析该题会更加直观6.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为，则∴解得或故选C．7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合诱导公式和二倍角公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：，结合二倍角公式有：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查诱导公式的应用，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.函数的递减区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数令，求得，故函数的减区间为故选C．9.为得到函数的图象，只需将函数的图像（）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】C【解析】先化简变形把变为，然后由平移公式有对应相等可得，显然是向左平移。
浙江省诸暨市牌头中学高二下学期数学竞赛训练题(二)
高二数学竞赛训练题（二）2017.51、已知()3x x f y +=为偶函数，且()1010=f ，函数()()4+=x f x g ，则()=-10g _____。
2、已知向量满足a 、b 1=3=，（3a -2b ）⊥a ，则a 、b 的夹角为____。
3、在正四棱锥P-ABCD 中，已知A 1、C 1为PA 、PC 的中点，则=-ABCDP D BC A V V 11________。
4、已知0,0>>y x ，y x a +=，22y xy x b +-=，xy c λ=，若a 、b 、c 能作为三角形的三边长，则正实数λ的范围是________。
5、对于每个正整数n ，设曲线1+=n xy 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令n n x a lg =，则=+++9921a a a ________。
6、在实数范围内，方程()111892223=----+x x x x x 的解集为________。
7、方程[][]x x xx 1313+=+的所有非整数解为________。
8、平面直角坐标系中，直线L 过双曲线122=-y x 的一个焦点，且与双曲线交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆与y 轴相切，则|AB|=________。
9、已知△ABC 三个顶点均在抛物线()022>=p px y 上，且△ABC 的重心恰为抛物线的焦点，若边BC 所在直线方程为204=-y x ，则=p ___________。
10、已知实数y x ,满足yx y x 4422+=+，则yx88+的取值范围是________。
11、给定平面上四点O 、A 、B 、C ，满足OA=4，OB=3，OC=2，3=⋅OC OB ，则△ABC 的面积的最大值为________。
12、若对任意的[]1,0∈x ，都有()()011442≥--+-x x x x k 成立，则k 的最小值为_____。
浙江省诸暨市牌头中学2017-2018学年高一数学素质比武练习(11月)
2017牌头中学高一素质比武练习卷 2017.111. 设函数()()()[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-∞-∈--=，，，，2221211x x f x x x f ，则函数()()1-=x xfx F 的零点个数为 ． 2. 已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by ax ，，1F ，2F 分别为C 的左右焦点．P 为C右支上一点，且使12=3F P F π∠，又21PF F ∆的面积为2．设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，若存在常数()0λλ>，使得22=Q F A Q A F λ∠∠恒成立，则λ的值为 ．3. 设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为 ．4. 已知三棱锥BCD A -，DA ，DB ，DC 两两垂直，且 CAD BAC DAB ∠+∠+∠︒=90，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 ．5. 设ω为正实数，若存在实数()ππ2≤<≤b a b a ，，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 6. 已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a cb c a b b c c a ++++++++的最小值为 ．7. 已知rz =，1>r，则1zz+在复平面内的轨迹的焦距为 ．8. 已知{}1691≤≤∈∈i i c b a N ，，()c b a <<，且a ，b ，c 构成以整数为公比的递增等比数列，则()c b a ，，的组数为 ．9. 已知0a>，函数()ln (1),()xf x x a xg x e=--=．经过原点分别作曲线()yf x =和()yg x =的切线1l 和2l ．已知两切线的斜率互为倒数，求证：211e e a ee--<<．10. 设动直线()Z ∈+=m k m kx y,与椭圆1121622=+yx交于不同的两点A ，B ，与双曲线112422=-yx交于不同的两点A ，B ，且0=+BD AC，则符合条件直线的条数为 ． 11. 已知复数y x ,满足144=+=+yxyx ，则xy 的不同取值的种数为 ．12. 在矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，若1=，则AF AE ⋅的最小值是 ．13. 如图所示，在一个高为10，底面半径为1的圆柱形乒乓球筒的 上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧 面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球 厚度均忽略不计）．一个平面与两个乒乓球均相切．已知该平面截 球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则此椭圆的离心率是 ． 14. 已知211=a ，201221nn n a a a +=+，则使得11+<<k ka a 的k 的值是 ．15. c b a ,,是三个不同的正整数，615141312111⋅⋅⋅⋅⋅=abc ．则所有满足要求的集合{}c b a ,,的个数为 ． 16. 记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{}1 ≤-++=y x y x y x S，，则集合S 所表示的平面区域的面积为 ． 17. 已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，2=CD ，AB ⊥CD ，︒≤∠≤︒13545AOC ，则四面体ABCD 体积的取值范围是 ．18. 过抛物线2x y =上的一点()11，A 作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B ．点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=ECAE ；点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF ，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P ．当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程。
浙江省诸暨市牌头中学2017-2018学年高一5月月考数学试题(B卷) Word版含答案
牌头中学2017学年第二学期月考考试卷高一数学 B 卷一、选择题（每题4分，共48分）(请把选择题答案涂在答题卷上．．．．．．．．．．．．．) 1.直线3y＋3x＋2=0的倾斜角是（ ▲ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°2．若向量(1,1)a =,(1,1)b =-则+2a＝ （ ▲ ）A ．2B ．0C ． 1D ． -1 3． 已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ ▲ ） A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝04.在数列－1，0，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，……，错误！未找到引用源。
中，0.08是它的 （ ▲ ） A ．第100项 B ．第12项 C ．第10项D ．第8项5.在ABC∆中,8,60,75a B C ︒︒===,则b =（ ▲ ）A ．．． D ．3236．在等差数列{}n a 中，已知前20项之和17020=S ，则=+++151296a a a a （ ▲ ）A ． 34 B ． 51 C ． 68 D ． 70 7．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列， 则错误！未找到引用源。
=（ ▲ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．±1 8．若数列{}n a 满足,11=a nn a a n n 11+=+，则此数列是（ ▲ ）A ． 等差数列 B ． 等比数列 C ． 既是等差数列又是等比数列 D ． 既非等差数列又非等比数列9．在等差数列{}n a 中，4,1201-==d a ，若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为（ ▲ ）A ． 60 B ． 62 C ． 70 D ． 72 10．由错误！未找到引用源。
浙江省诸暨中学2017-2018学年高二上学期第二阶段考试题数学+Word版含答案
诸暨中学2017学年高二年级第一学期1月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．若抛物线的准线方程为7x =-, 则抛物线的标准方程为（ ） A ．228x y =-B ． 228x y =C ．228y x =-D ．228y x =2．若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 左支上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．直线a 与平面α所成角的为30o ，直线b 在平面α内，若直线a 与直线b 所成的角为ϕ， 则( )A ．0º<ϕ≤30ºB ．0º<ϕ≤90ºC ．30º≤ϕ≤90ºD ．30º≤ϕ≤180º4．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n C ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ D ．若,m n αα⊂⊂，且//m β，//n β，则//αβ6.已知直线)(01:R a ay x l ∈=-+是圆0124:22=+--+y x y x C 的对称轴，过点),4(a A -作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2B ．24C ．6D ．1027.设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 28.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点P 到两渐近线的距离分别为12,d d ，若1225d d ab =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5或25B ．25C ．2D ．59．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ∆∆翻折，使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为( ▲ )A ．45B ．56C ．67D ．7810.椭圆M :)0(12222>>=+b a by a x 长轴上的两个顶点为A 、B ，点P 为椭圆M 上除A 、B外的一个动点，若0QA PA ⋅= 且0QB PB ⋅=，则动点Q 在下列哪种曲线上运动( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、 填空题: 本大题共7小题，每题4分，共28分．11．双曲线22154x y -=的焦距为 __ ，渐近线方程为__ ． 12．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的逆否命题是 命题（填“真”或者“假”）；否命题是 命题（填“真”或者“假”）． 13．一个组合体的三视图如右图，则其体积为________________ 14．已知ABC ∆是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且1PA =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为________．若点A 关于直线PC 的对称点为D ，则直线AD 与BC 所成角的余弦值是________．15．已知圆1)4()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-m m B m A ，若圆C 上存在点P ，使得90=∠APB ，则m 的取值范围为_________.16.已知11(1,),(1,)44A B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是12，则点M 的轨迹C 的方程是___________．若点F 为轨迹C 的焦点，P 是直线:1l y =-上的一点，Q 是直线PF 与轨迹C 的一个交点，且3FP FQ =，则_____QF =．17．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=，112PA AB BC AD ====，BC //AD ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点，且二面角Q PD A --的平面角大小为4π，若动点Q 的轨迹将ABCD 分成面积为1212,()S S S S <的两部分，则12:S S =_______. 三、解答题：本大题共5小题，共62分．⇒第19题图E 1CC 18．设命题:p 实数x 满足0,03422>≤+-a a ax x 其中，命题:q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--0820622x x x x （1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠= ，且1A B A A =，,,E F G 分别是11,,CC BC AB 的中点．（Ⅰ）求证：①//FG 平面11ACC A ；②1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求直线GF 与平面AEF 所成角．20．已知以点C )2,(tt ,(t >0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值.21.如图，平行四边形ABCD ⊥平面CDE ，4AD DC DE ===，060ADC ∠=，AD DE ⊥（Ⅰ）求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角C AE D --的余弦值的大小．22．已知椭圆22:142x y E +=， (Ⅰ)若椭圆上存在两点,A B 关于直线21y x =-+对称，求直线AB 的方程；(Ⅱ)过P 的直线l 交椭圆于,M N 两点，求PM PN ⋅的取值范围．第21题图A BCDE镇海中学2016学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9、6，5y x =±； 10、假，真；114； 12、24(1)x y x =≠±（注：只写24x y =写给分），43；13、12； 14 15三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分15分）已知从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ．又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP ，1||F A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 中，求以点(2,1)D -为中点的弦MN 所在的直线方程．【解析】（Ⅰ）由题意知：2(,),(,0),(0,)b P c A a B b a-，故2,ABOP b b k k a ac=-=-，即2b b a ac -=-，解得b c =，………………………………2分又222a c a b c +==+，解得a b c ===………………………………………………………………5分故椭圆C 的方程为22:1105x y C +=；………………………………………………………6分第17题图E 1CCE 1CC （Ⅱ）因为点(2,1)D -在椭圆内，且显然直线MN 的斜率存在，………………………8分 故设直线MN 的方程为(2)1y k x =++，1122(,),(,)M x y N x y代入椭圆方程得2222(21)(84)8880k x k k x k k +++++-=…………………………10分故212284421k kx x k ++=-=-+，解得1k =，……………………………………………13分 故直线MN 的方程为3y x =+……………………………………………………………15分 （注意：用“点差法”计算同样给分）17．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠= ，且1AB AA =，,,E F G 分别是11,,CC BC AB的中点． （Ⅰ）求证：①//FG 平面11ACC A ；②1B F ⊥平面AEF ；（Ⅱ）求直线GF 与平面AEF 所成角．【解析】（Ⅰ）①连接1A B ，1AC ，故点G 即为1A B 与1AB 的交点， 且G 为1A B 的中点，又F 为BC 的中点， 故1//GF AC ，……………………………………………2分 又GF ⊄平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A 故//FG 平面11ACC A ……………………………………4分 ②因为F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点， 所以AF BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， 所以面ABC ⊥面11BB C C ， 所以AF ⊥面11BB C C，1AF B F ⊥．…………………………………………6分设11AB AA ==，则1132B F EF B E ===． 所以22211B F EF B E +=，所以1B F EF ⊥．……………………………………8分 又AF EF F = ，所以1B F ⊥平面AEF ．…………………………………………………………10分（2）由（1）知1B A 在平面AEF 上的投影为AF ，故G 在平面AEF 上的投影落在AF 上．所以GFA ∠即为直线GF 与平面AEF 所成角．……………………………………13分 由题知：不妨设1AB AC AA a ===，所以2AF a =， 在1Rt AFB ∆中，2GF GA ==， 所以3GFA π∠=，即直线GF 与平面AEF 所成角为3π．……………………………15分18．（本小题满分15分）如图，平行四边形ABCD ⊥平面CDE ，4AD DC DE ===，060ADC ∠=，AD DE ⊥（Ⅰ）求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角C AE D --的余弦值的大小．【解析】（Ⅰ）过点A 作AF CD ⊥，因为平行四边形ABCD ⊥平面CDE ，平行四边形ABCD 平面CDE =CD ，AF ⊂平面ABCD ，故AF ⊥平面CDE ，………………………………………………………3分 又DE ⊂平面CDE ，故AF DE ⊥，又AD DE ⊥，AD AF A = ，,AD AF ⊂平面ABCD ， 故DE ⊥平面ABCD ……………………………………………………6分（Ⅱ）过C 作CM ⊥AD 交AD 于M ，过C 作CN ⊥AE 交AE 于N ， 连接MN .第18题图ABCDEM N ACDF由（Ⅰ）得DE ⊥平面ABCD ， 又∵⊂DE 平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ABCD .……………………………………9分 ∴CM ⊥平面ADE ， CM ⊥AE ， 又∵CN 垂直AE ，且C CN CM = .∴AE ⊥平面CMN ，得角CNM 就是所求二面角的一个平面角. …………………………12分 又∵32=CM ，2=MN ， ∴所求二面角的余弦值为77.. ………………………………………………………………15分19．（本小题满分15分）抛物线22y px =，0p >，F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于(,0)D a ，0a >，||||m AF BF =+。
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2017-2018学年数学竞赛训练题
1、使函数14342++-=x x y 取得最小值的正数x=_____。
2、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 。
3、在正四棱锥P-ABCD 中， AB=1，AB 上一点E ，AE>BE ，四棱锥的截面EFGH 垂直于底面，且与BC 平行，若截面截得的两个多面体的体积之比为20：7，则BE 的长为______。
4、已知0=⋅a ，向量c 满足()()0=-⋅-
5=
3=-，则c a ⋅的最大值为______。
5、设实常数k 使得方程2x 2+2y 2-5xy+x+y+k=0在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线，交点为P ，若点A 、B 分别在这两条直线上，且|PA|=|PB|=1，则=⋅BP A P ______。
6、已知正数x 、y 、z 满足9x 2+12y 2+5z 2=1，则3x+6y+5z 的最大值是_____。
7、已知正项数列}{n a 满足231=a ，()2
2221121n n a a n n -+=-+，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=+-+-+-2009
20072005531111111S S S S S S ______。
8、若函数()k x x k x f -++=
2cos 1cos 的值域包含区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则实数k 的取值范围是______。
9、已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足n n n a S -+=222-6，试求数列}{n a 的通项公式。
10、已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点为A ，右焦点为F （c ，0），且2b ，a ， c 成等比数列。
（1）求椭圆的离心率e ；
（2）过点F 的直线与椭圆相交于M 、N 两点，直线AM 、AN 分别与右准线L 相交于P 、Q 两点，求证：FQ FP ⋅为定值。
11、设正实数x 、y 、z 满足x +y +z =1。
求三元函数()222222131313,,z
z z y y y x x x z y x f +-++-++-=的最小值。