高三数学椭圆及其标准方程复习题2
2020届高三数学(文理)复习《椭圆》专题练
《椭圆》专题专题 1 椭圆的定义及其应用1．过椭圆 4x 2＋ y 2＝ 1 的一个焦点 F 1 的直线与椭圆交于 A ， B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点F 2 组成的△ ABF 2 的周长为2．已知动点 P(x ，y)的坐标知足x 2＋ y ＋ 7 2＋ x 2＋ y －7 2＝16，则动点 P 的轨迹方程为 ________．3．如下图，一圆形纸片的圆心为 O ，F 是圆内必定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与 F重合，而后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD 与 OM 交于点 P ，则点 P 的轨迹是 ()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆专题 2 椭圆的标准方程2.1利用椭圆定义求椭圆的标准方程1．已知动点 M 到两个定点 A(－ 2,0)， B(2,0)的距离之和为 6，则动点 M 的轨迹方程为2．在△ ABC 中， A(－ 4,0)， B(4,0)，△ ABC 的周长是 18，则极点 C 的轨迹方程是x 2y 2y 2 x 2x 2 y 2y 2 x 2 A. 25＋ 9 ＝1(y ≠ 0)B ． 25＋9 ＝ 1(y ≠ 0) C.16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0) D ． 16＋ 9 ＝ 1(y ≠ 0)3．已知两圆 C 1： (x － 4)2＋ y 2＝ 169， C 2： (x ＋ 4)2＋ y 2＝ 9，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切，和圆C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为1： (x ＋ 3) 2＋ y 2＝ 1 外切，且与圆 C 2 2＋y 2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方4．（同 3）与圆 C ： (x －3)程为 _______．于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为2 23，过 F 2 的直线 l 交 C6．已知椭圆 C ： x 2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、 F 2，离心率为a b3于 A 、 B 两点．若△ AF 1的周长为 4 3，则 C 的方程为 B1 ，B 是圆 x － 12 2AB 的垂直均分线交 BF7．（同 5）已知 A － ， 02＋ y ＝ 4(F 为圆心 )上一动点，线段2于点 P ，则动点 P 的轨迹方程为 ________．38．已知椭圆 G 的中心在座标原点，长轴在x 轴上，离心率为2 ，且椭圆 G 上一点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为2.2利用待定系数法求椭圆标准方程1．若直线 x － 2y ＋ 2＝ 0 经过椭圆的一个焦点和一个极点，则该椭圆的标准方程为 ________．2．已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为 ____________．3．已知椭圆的中心在原点，离心率 e ＝ 1，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－ 4x 的焦点重合，则此椭2圆方程为4．设椭圆x 2 y 2y 2＝ 16x 的焦点同样，离心率为6，则此椭圆的方程 a 2＋2＝ 1(a>b>0) 的右焦点与抛物线3b为 ________．35．已知椭圆的中心在座标原点，长轴长是8，离心率是 4，则此椭圆的标准方程是6．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点 F(－ 2，0)，且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3，则椭圆 C 的方程是 ________________ ．y 2 x 2 7．过点 ( 3，－ 5)，且与椭圆 25＋9 ＝ 1 有同样焦点的椭圆的标准方程为________．x 2 y 28．过点 A(3，－ 2)且与椭圆 ＋＝1 有同样焦点的椭圆的方程为9 49．与椭圆 9x 2＋ 4y 2＝ 36 有同样焦点，且短轴长为2 的椭圆的标准方程为10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－3， 5 ，( 3， 5)，则椭圆方程2 2为11．与椭圆 x2 ＋ y 2＝ 1 有同样的离心率且经过点 (2，－ 3)的椭圆方程为 4312．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是 ( － 5，0)，则椭圆的标准方程为 ________．13．已知椭圆x 2 y 23 的直线 l 交 CC ：2＋2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为，过 F 2a b3于 A ， B 两点，若△ AF 1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为14．椭圆 E 的焦点在 x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个极点和两个焦点恰为边长是2 的正方形的极点，则椭圆E 的标准方程为15．已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为________．16．已知中心在座标原点的椭圆过点A(－ 3,0)，且离心率e ＝ 35，则椭圆的标准方程为________．517．已知椭圆的中心在原点， 焦点在 x 轴上，离心率为 5，且过 P(－ 5,4)，则椭圆的方程为 ________．x 2 y 218．已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的长轴长为6，且两焦点恰巧将长轴三均分，则此椭圆的标准方程为19．一个椭圆的中心在原点，焦点 F 1，F 2 在 x 轴上， P(2， 3)是椭圆上一点，且 |PF 1|，|F 1F 2|， |PF 2| 成等差数列，则椭圆的标准方程为x 2 y 220．设 F 1，F 2 为椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点，经过 F 1 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，若△ F 221．已知椭圆 x 2 y 2 ， F 2 分别为椭圆的左 、右焦点， A 为椭圆的上极点，直线 AF 2a 2＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)， F 1交椭圆于另一点 B ．→→→ → (1) 若∠ F 1AB ＝ 90°，求椭圆的离心率； (2) 若AF 2＝ 2F 2B ， AF 1·AB ＝ 3，求椭圆的方程．2专题 3 椭圆的几何性质3.1 辨别椭圆有关性质观点x 2y 21．椭圆 16＋ 25＝1 的焦点坐标为2．已知椭圆的标准方程为 x 2＋y 2＝ 1，则椭圆的焦点坐标为 10x 2y 23．椭圆 10－m ＋ m － 2＝1 的焦距为4，则 m 等于4．椭圆以两条坐标轴为对称轴， 一个极点是 (0,13) ，另一个极点是 (－ 10,0)，则焦点坐标为 ________．2＋ y 2225．曲线 C 1：x＝ 1 与曲线 C 2： x ＋ y ＝1(k<9)的 ()25 925－ k 9－ kA ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．已知椭圆x 2 22＋ y 2＝ 1(a>b>0) 的一个焦点是圆x 2＋ y 2－ 6x ＋ 8＝ 0 的圆心， 且短轴长为 8，则椭圆的左a b极点为 ____________．x 2y 247．椭圆 9 ＋ 4＋ k ＝ 1 的离心率为 5，则 k 的值为x 28．椭圆 4 ＋ y 2＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 ，F 2，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为 P ，则 |PF 2|等于9．椭圆 mx 2＋ ny 2 ＋mn ＝ 0(m ＜n ＜ 0)的焦点坐标是3.2 求离心率的值 ( 或范围 )x 2 y 21．椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 的离心率是x 2 y 22．若椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为x 2 y 23．已知椭圆 C ： a 2＋ 4 ＝ 1 的一个焦点为 (2,0)，则 C 的离心率为 ________．4．已知椭圆 C ：x 22 ＝1(a ＞ b ＞ 0)和直线 l ：x ＋ y＝1，若过 C 的左焦点和下极点的直线与直线2＋y2l 平a b4 3行，则椭圆 C 的离心率为x 2 y 2m － 3，则此椭圆的离心率为5．若椭圆 ＋＝ 1 上一点到两焦点的距离之和为4 mx 2 y 26．焦点在 x 轴上的椭圆方程为a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) ，短轴的一个端点和两个焦点相连组成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为7．若一个椭圆长轴的长 、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是8．如图， F 1， F 2 是双曲线 C 1： x 2－y 2 的公共焦点，点 A 是 C 1， C 2 在第一象限内的交＝1 与椭圆 C 28点，若 |F 1F 2|＝ |F 1 A|，则 C 2 的离心率是2 4 A.3 B. 5 32 C. 5D. 5x 2 y 29．已知 F 是椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点， A 为右极点， P 是椭圆上的一点， PF ⊥ x 轴，若 |PF|＝34|AF |，则该椭圆的离心率是 ________．x 2 y 210．已知椭圆 a 2 ＋b 2＝1(a ＞ b ＞ 0)的左焦点为 F ，右极点为 A ，点 B 在椭圆上， 且 BF ⊥x 轴，直线 AB―→ ―→交 y 轴于点 P.若 AP ＝ 2 PB ，则椭圆的离心率是2211．设椭圆x＋ y＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 122 1 2，C ：a 2 b 2， F，P 是 C 上的点， PF ⊥ F F ∠PF 1 2°，则 C 的离心率为F ＝ 3012．已知 F 1， F 2 是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点．若 PF 1⊥ PF 2，且∠ PF 2F 1＝ 60°，则 C 的离心率为13． P 是椭圆 x 2 y2 1a 2＋2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上的一点， A 为左极点， F 为右焦点， PF ⊥ x 轴，若 tan ∠ PAF ＝ ，b 2则椭圆的离心率e 为22x ＋y＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别为 A 121 2 为直径的圆与直线abbx － ay ＋ 2ab ＝ 0 相切，则 C 的离心 率为15．已知椭圆x 2 y 21，其焦点分别为 A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任 a 2＋2＝ 1(a>b>0) 的离心率等于3b意一点，则在△ABC 中， sin A ＋ sin B ＝________.sin C16．已知椭圆 x 2 y 2M ，上极点为 N ，右焦点为 ―→ ―→＝0，则椭圆a 2＋ 2＝ 1(a ＞b ＞ 0)的左极点为F ，若 NM ·NFb的离心率为17．已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：x 222＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的左 、右焦点， A 是 C 的左极点，点P 在过 A 且斜ab率为3的直线上，△ PF 12为等腰三角形，∠1 2°，则 C 的离心率为6FF F P ＝120x 2 y 218．设椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为 →→60°， AF ＝2FB.则椭圆 C 的离心率是 ________．- 8 -319．椭圆 C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若 C 上的点 P 知足 |PF 1|＝ 2|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率 e 的取值范围是x 2 y 220．在椭圆 a 2＋ b 2 ＝ 1(a>b>0)中， F 1，F 2 分别是其左、 右焦点， 若 |PF 1|＝ 2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是2 221．过椭圆 C ：x2＋ y2＝ 1(a>b>0) 的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆C 于另一个点 B ，且点 B 在 xa b轴上的射影恰巧为右焦点1 1 __________.F 2，若 <k< ，则椭圆的离心率的取值范围是32x 2 y 222．如图，椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2 的直线交椭圆于 P ， Q 两点，且 PQ ⊥PF 1.(1) 若 |PF 1 |＝ 2＋ 2， |PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；(2) 若 |PF 1 |＝ |PQ|，求椭圆的离心率 e.3.3 求参数的值 ( 或范围 )x 2 y 2 1 ，则 m 的值为 ________．1．若焦点在 ＋ ＝ 1 的离心率为 2 y 轴上的椭圆 m2 22 x y2．若方程＋ ＝ 1 表示椭圆，则 m 的取值范围是 5－m m ＋ 3x 2 y 2 k 的取值范围是 3．已知方程 ＋ ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 2－ k 2k － 14．方程 kx 2＋ 4y 2＝ 4k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是5．若 x 2＋ky 2 ＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ________．x 2y 2 6．假如方程 a 2＋ a ＋ 6＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是 ________．x 2 ＋ y 2 ＝ 1 表示椭圆”的 ()7． “ 2<m<6”是“方程 m － 2 6－ mA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 8．已知椭圆 mx 2＋ 4y 2＝ 1 的离心率为2 ，则实数 m 等于x 2 y 22 9．设 e 是椭圆 4 ＋ k ＝1 的离心率，且 e ＝ 3，则实数 k 的值是 ________．10．“ m ＞n ＞ 0”是“方程 mx 2＋ ny 2＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ()A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 2x ＋ y ＝ 1(0<b<2) 的左、右焦点分别为 F 121 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，11．已知椭圆 4 b 2 ，F ，过F -10-若 |BF 2|＋ |AF 2|的最大值为 5，则 b 的值是12．已知动点 M 到定点 F 1(－ 2,0)和 F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2) 设 N(0,2)，过点 P( － 1，－ 2)作直线 l ，交 C 于不一样于 N 的两点 A ， B ，直线 NA ， NB 的斜率分别为 k 1， k 2，求 k 1＋ k 2 的值．3.4 焦点三角形x 2 y 21．椭圆 C ：25＋ 16＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 2 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，则△ F 1AB 的周长为 ________．2．过椭圆x 2 作直线 l 交椭圆于 A ， B 两点， F 2 是椭圆右焦点，则△ ABF 2 的周长 ＋ y 2＝ 1 的左焦点 F 1 4为3．已知△ ABC 的极点 B ， C 在椭圆x 2＋ y 2＝ 1 上，极点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的此外一个焦 3点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ________．4．已知点 F 1，F 2 分别为椭圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠ F 1PF 2＝ 60°， 4 3则 |PF 1|· |PF 2|＝-11-12x2 ＋ y2 ＝ 1 的两个焦点， A 为椭圆上一点，且∠ AF 1 2 1 2的面积为5．F ，F 是椭圆9 7 F ＝45 °，则△ AF F6．如图，椭圆x 2 22＋y ＝ 1(a＞ 2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的一点，若∠ F 1PF2＝ 60°，a 4那么△ PF1 F2的面积为x2y27．已知 F1， F2是椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△ PF 1F2的面积为 9，则 b＝ ________.x2y2|PF2| 8．设 F 1， F2为椭圆9＋5＝ 1 的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF1|的值为x2y29．已知 F1， F2是长轴长为 4 的椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，则△ PF1 F2面积的最大值为________．x2 ＋ y2 ＝1 上一点， F1 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，1 2于点 H，10．P 为椭圆25 9 ，F 过 P 点作 PH⊥F F 若 PF1⊥PF2，则 |PH |＝-12-x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1 2 → 1 → 2＝ 9，则 |PF 12| 11．设椭圆 16 12 ，F ，点 P 在椭圆上， 且知足 PF ·PF| ·|PF 的值为x 2 y 212．椭圆 9 ＋ 2 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点 P 在椭圆上，若 |PF 1|＝ 4，则∠ F 1PF 2 的大小为-13-。
高三数学专题复习----椭圆
高三数学专题复习----椭圆一 基础知识（1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系二 例题1、方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29 2、已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝13、椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3504、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）335、若椭圆19822=++y k x 的离心率是21，则k 的值等于 ( ) (A)－45 (B)45 (C)－45或4 (D)45或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=18、椭圆22a x ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）。
（A ）32 （B ）33 （C ）63 （D ）669、椭圆100x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（ ）。
高中数学高考总复习椭圆习题及详解
高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.()0，3π4∪()7π4，2π B.[)π2，3π4 C.()π2，3π4 D.()3π4，3π2[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.()0，22C.()22，1 D.(]0，22[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45 [解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎨⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513. (理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12 C.3－12D.5＋12[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，∵e >0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3 [解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 22＝1()ca2＋1()c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423， ∴|AB |＝1＋12||423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.()14，49B.()23，1 C.()12，23D.()0，12[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标()c ，±b 2a，已知k ∈()13，12，∴B()c ，b 2a.斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得?x 1－x 2??x 1＋x 2?a 2＝?y 2－y 1??y 2＋y 1?b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[解析] 在椭圆x 2a 2＋y2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1.(理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF |∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |.同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2， 则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×()1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝3∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0∵F 1到直线l 的距离为23∴|－3c －3c |?3?2＋?－1?2＝3c ＝23∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎨⎧y ＝3?x －2?x 2a2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b 2①y 1·y 2＝－3b 2?a 2－4?3a 2＋b 2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2?a 2－4?3a 2＋b 2 ④③2④得12＝48b 4?3a 2＋b 2?2·3a 2＋b 23b 2?a 2－4?＝16b 2?3a 2＋b 2??a 2－4?⑤ ,又a 2＝b 2＋4 ⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2) 法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k ?x 0＋22－2?解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263 故两焦点坐标为()263，0，()－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎨⎧y ＝k ?x －1?＋1x 24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 ∵点A (1,1)在椭圆上 ∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1，同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1，y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k ，所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
高中数学高考总复习椭圆习题及详解修订稿
高中数学高考总复习椭圆习题及详解Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】高中数学高考总复习椭圆习题及详解一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.()0，3π4∪()7π4，2π B.[)π2，3π4 C.()π2，3π4D.()3π4，3π2[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2,(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.()0，22C.()22，1D.(]0，22[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B. 4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513 B.1213 C.35 D.45 [解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎨⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513. (理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12B.5－12 C.3－12D.5＋12[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，∵e >0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3 D ．3 [解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2，∴1e 12＋1e 22＝1()ca2＋1()c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3 B ．2 C ．1D ．0[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423， ∴|AB |＝1＋12||423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1，∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |，∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.()14，49B.()23，1 C.()12，23D.()0，12[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标()c ，±b 2a，已知k ∈()13，12，∴B()c ，b 2a.斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 2－y 1y 2＋y 1b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[解析] 在椭圆x 2a 2＋y2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1.(理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF |∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |.同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |，10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0，k PM ·k PN＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a2， 则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝23c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×()1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝3∴l 的方程为y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0∵F 1到直线l 的距离为23∴|－3c －3c |32＋－12＝3c ＝23∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎨⎧y ＝3x －2x 2a2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b 2①y 1·y 2＝－3b 2a 2－43a 2＋b 2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2a 2－43a 2＋b 2④③2④得12＝48b 43a 2＋b 22·3a 2＋b 23b 2a 2－4＝16b 23a 2＋b 2a 2－4⑤ ,又a 2＝b 2＋4 ⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2) 法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k x 0＋22－2解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为()263，0，()－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． (3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎨⎧y ＝kx －1＋1x 24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 ∵点A (1,1)在椭圆上 ∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1，同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1，y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k ，所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
(完整)高中椭圆练习题(有答案,必会基础题)(2)
、选择题:1•下列方程表示椭圆的是（）A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不能确定23.已知椭圆的标准方程X 2盘1，则椭圆的焦点坐标为（）A. ( J0,0)B. (0,10) C.(0, 3)2 2xy 5. 已知椭圆1上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离是（）5 9A. 2 .53B.2C.3D.62 26. 如果 笃 —1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（）a a 2A. （ 2, ）B. 2, 1 2,C.（ , 1） （2, ）D.任意实数 R7.“m>n>0”是“方程mx 2 ny 2 1表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件38.椭圆的短轴长是 4，长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的焦距是（） 2A. . 5B. 4C.6D. 2,59.关于曲线的对称性的论述正确的是（）2 2A. 方程x xy y 0的曲线关于X 轴对称33B. 方程x y 0的曲线关于Y 轴对称2 xA. 一2y 92^2B. x 2y2x C.——252 2D.(x 2) y 12.动点P 到两个定点F 1 (- 4 , 0) . F 2（4, 0）的距离之和为 8，贝U P 点的轨迹为（） A •有相同的长 1和 2 k 2 a k2y2 2b k .短轴B .有相同的离心率1(a 2 b 2k 2）的关系是C .有相同的准线D •有相同的焦点D.( 3,0)D.方程x 3 y 3 8的曲 线关于原点对称C. 方程x2 xy y210的曲线关于原点对称13. （ 4分）比较下列每组中的椭圆:15. （30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别为（0, -3） , （0,3），椭圆的短轴长为 8;（2）两个焦点的坐标分别为（-J5,o ）,（J 5,o ）,并且椭圆经过点（2J2,2）XVX 210方程肓 好（a >b >0,k >0且2"与方程孑A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）2 2 x y 11. （6分）已知椭圆的方程为：1，则a=64 100，焦距等于第11题2y2( a >b >0)表示的椭圆().b长轴； D.有相同的顶点.,b= ____ , c= ___ ，焦点坐标为:；若CD 为过左焦点 F1的弦，（如图）则？F 2CD 的周长为12. （ 6分）椭圆16x 2 25y 2 400的长轴长为,短轴长为 _______ ,焦点坐标为 四个顶点坐标分别为，离心率为;椭圆的左准线方程为(1 ［① 9x 2 22X4y 36与②一122161，哪一个更圆2w 1 与②9x2 y236，哪一个更扁14. （ 4分）若一个椭圆长轴的长度 .短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是三、解答题：本大题共 6小题，共 80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点R（J6,I）、B（-J3,-J2）x2 y2'十亠、、十亠、' 16. （12分）已知点M在椭圆1上，M P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为P，25 9并且M为线段P P'的中点，求P点的轨迹方程17. （12分）设点A，B的坐标为（a,O）,（a,O）（a 0），直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为k（k 0且k 1）求点M的轨迹方程，并讨论k值与焦点的关系•2 218.（12分）当m取何值时，直线I : y x m与椭圆9x 16y 144相切，相交，相离？2 2X y19.(14分)椭圆1(0 m 45)的焦点分别是Fi和F?，已知椭圆的离心率45 m过中心O作直线与椭圆交于A, B两点，0为原点，若VABF2的面积是20,求(1)m的值(2)直线AB的方程参考答案填空题:11 10,8，6，( 0，6)，12，40 1210，8，( 3,0)，(-5,0).(5,0).( 0, -4)心、325_ _ 3(0,4)，—，x13②，②14535三•解答题：2 215. (1)解：由题意，椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为当乡1(a b 0)a b由焦点坐标可得c 3，短轴长为8，即2b 8,b 4，所以a2 b2 c2 252 2椭圆的标准方程为乂 - 125 162 2(2)由题意，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为笃占1(a b 0)a b由焦点坐标可得c .5)2)2.. 2 「5)2 262 2所以b2"2 C2=9-5=4，所以椭圆的标准方程为亍七1设椭圆的方程为mx2 ny2 1 (m 0,n 0 ),因为椭圆过P(^,1)、巳(-73,-运)11m —9解得n 1 所以椭圆的标准方程为:316•解：设p点的坐标为p(x, y)，m点的坐标为(x o, y o)，由题意可知x X。
椭圆及其标准方程二
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高考调研 · 高三总复习 · 数学 （理）
椭圆的弦长 AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0)． (1)弦长 l＝|x 1－x2| 1＋k2＝|y 1－y2| b2x0 (2)kAB＝－ 2 . a y0 1 1＋ 2 . k
b2x0 (3)直线 AB 的方程：y－y0＝－ 2 (x－x0)． a y0 a2y0 (4)直线 AB 的垂直平分线方程：y－y0＝ 2 (x－x0)． b x0
基础知识
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x2 y2 椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程为 a b x＝acosθ (θ是参数)． y＝bsinθ
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x2 y2 点 P(x0，y0)和椭圆a2 ＋b2＝1(a>b>0)的关系： x02 y02 (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔ a2 ＋ b2 <1． x02 y02 (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔ 2 ＋ 2 ＝1． a b x02 y02 (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔ a2 ＋ b2 >1．
x2 y2 35)＝1 404>0 ，∴直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 相交． 9 4 方法二：∵直线方程 y＝2x－ 1 过点(1，1)，而 (1，1)在椭圆内部，故选 A.
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解析 方法一：∵直线方程 y＝2x－1 过点 (1，1)，而(1，1)在椭 圆内部，故选 A. y＝2x－1， 方法二： 由 x2＋y2＝1 得 10y2＋2y－35＝0， Δ＝22－4×10×(－ 9 4 x2 y2 35)＝1 404>0，∴直线 y＝2x－1 与椭圆 ＋ ＝1 相交． 9 4
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
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椭圆的几何性质
选
题:丁周卫
班级________姓名________________ 学号____________
一.填空题
1．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为_________.
2．椭圆22192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为
3．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =__________.
4．椭圆22
194x y +=的焦点为
F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .
5．以椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左焦点)0,(c F -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆离心率的取值范围是 .
6．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆
的离心率是
7．已知椭圆22:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF = .
*8．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道
飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦
距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列
式子中正确式子的序号是____________
①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④
11c a ＜22
c a . 二.解答题
9．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．
10．已知椭圆13
422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两个焦点21,F F 的距离的等比中项？
*11．设椭圆()22221,0x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率
e =l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅= （Ⅰ）若1225F M F N ==，求,a b 的值； （Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +与12F F 共线。