12数学思维复习题解答
一、选择题1.类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法。
它的主要步骤是（B）A.猜测-类比-联想B.联想-类比-猜测C.类比-联想-猜测D.类比-猜测-联想2.传统数学教学只注重（A）的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
A.形式化B.科学化C.系统化D.模型化3.中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。
（A）A.以算为主逻辑演绎B.演绎为主推理证明C.模型计算为主几何作画为主D.模型计算几何证明4.公理化方法就是从（D）出发，按照一定的规定定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。
A.一般定义和公理B.特定定义和概念C.特殊概念和公理D.初始概念和公理5.归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是（C）A. 归纳-猜测-特例B.猜测-特例-归纳C.特例-归纳-猜测D.特例-猜测-归纳6.所谓数学模型方法是（B）A.利用数学实验解决问题的一般数学方法B.利用数学模型解决问题的一般数学方法C.利用数学理论解决问题的一般数学方法D.利用几何图形解决问题的一般数学方法7.数学的第一次危机是由于出现了（C）而造成的。
A.无理数（或√虿）B.整数詈不可约的C.无理数（或厄）D.有理数无法表示正方形边长8.所谓统一性，就是（C）之间的协调。
A.整体与整体B.部分与部分C.部分与部分、部分与整体D.个别与集体二、填空题1、古代西方的数学哲学观把数学看成是公理化的模式,2、逻辑思维的基本规律有同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，3、数学想象的特征有形象性、概括性、直觉性、整体性,4、灵感的两个特征是长期思维后的突发性、模糊性与突逝性,5、根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维,6、最常用的数学推理包括归纳、推理和演绎推理,7、“分期付款”、“复利息计算”属于经济生产类方面的数学模型。
8、模糊数学的理论基础是美国数学家查德的模糊集合理论。
9、充足理由律的主要作用在于保证思维的论证性。
10、中国古代数学哲学观是追求数学的准确、快捷的实用。
11、数学概念的相容关系主要有同一关系、从属关系、交叉关系。
12、数学命题两种表现形式是公理和定理。
13、模糊数学在处理问题时，采用的方法是用“隶属函数”来描述的。
三、解释概念题1、类比猜想：依据两类对象之间存在的某些相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式。
2、创造性思维：指有主动性和创新性的思维，它没有固定的模式和方法，也不遵循已有的思路。
创造性思维利用已有的信息独立思考，根据问题和情境创造性地探索答案。
3、灵感：是一种特殊的思维方式，它一般是指人们对某一个问题百思不得其解，绞尽脑汁仍无答案时，却因受某种偶然因素的启发产生顿悟，刹那间闪现出解决问题的方式和方法。
4、演绎推理：从一般原理推导出个别结论的思维方法，即从一般性较大的前提，推导出一般性较小结论的推理方法。
5、抽象思维：运用概念、判断和推理的形式来反映事物本质的思维。
6、整体分割法：把问题的本身作为被分割的对象进行分割，然后求得解决问题的办法。
四、简答题1、简述算术向代数的发展原因。
答：算术思维方式逐步跟不上不断发展的数学内容。
一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，另一方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题,以及对这些问题各种解法的过程中，启发人们寻求解这些应用问题的一般方法，于是发明了抽象的数学符号，从而发展成为数学的另一个古老的分支，初等代数。
2、简述化归法在数学解题中的作用。
答：化归法能通过变化已知条件，变化问题结论，变化问题形式，可以把问题化繁为简，化难为易，化新为旧，有利于解决问题。
3、数学想象的作用有哪些方面？答：（1）在利用数学想象解决数学问题方面；（2）在利用数学想象完成创造性思维方面。
4、简述数学思维中逻辑思维与非逻辑思维的区别。
答：逻辑思维采用分析与综合，归纳与演绎等方法，证明推理严密、科学。
非逻辑思维主要通过突破原有概念和思维规则的约束，从不同角度来思考问题，思维松散、自由，联想的方面广。
5、简述分析法与综合法的区别答：分析法与综合法的区别：分析法是从所需结论出发，以定义、定理为依据逆推，从而达到已知条件。
综合法是从已知的定义、条件出发从而导出所求的结论的一种方法。
分析法偏重于探求证明思路，综合法以简明完整的思路表述中占优势。
两者思维方式各有所长。
6、公理化方法的主要特征是什么？答：具有高度的形象化与抽象化。
即除了形式化的方法的特征外，基本概念，基本关系的表述、证明都要符号化，其次，这种公理化方法，采用数理逻辑作为它的演绎工具。
7、简述数学美的特征答：（1）数学美的简洁性：（2）数学美的对称性；（3）数学美的统一性；（4）数学美的奇异性8、数学解题的一般思路有哪些？（1）调动知识储备把它们组织起来；（2）按解题要求把知识重新组合9、运用化归法应当注意哪些问题？（1）掌握化归法的核心思想对问题的转换，一个问题的处理或者一个具体数学问题的解决都可以有不同的方法，恰到好处地运用化归的原理把问题给予适当的处理（2）运用好化归的方向及目标根据具体问题的要求，确定好化归的方向以及化归后要实现的目标。
（3）化归法中的局限性1.化归法的运用要求以知识、经验的积累为基础。
2.化归要由难道易、由未知到已知。
10、中小学数学模型方法的教学，应注意哪些问题？1）.通过对数学模型的构造能深入地认识和理解数学的本质特征。
2）.运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力。
3）.引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题。
五、说明题1、RMI方法的特征是什么?以解不等式为例，说明RMI方法的应用。
RMI方法的特征是必须可逆且是可定映射；必须有化繁为简，化难为易，化未知到已知的作用。
RMI方法的应用：令=t(t≥0)，则x=(t2－3)/2X→t映射,则t2－2t－1＜0,得0≤t＜1+由x=(t2－3)/2, 结合2x+3 ≥0，反演得－≤x＜。
2、简述合情推理的方法或步骤，并结合下面例题给予说明。
例：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，那么n条直线的交点f(n)有多少个？（n≥2）特例(实验)→观察→猜想→证明(可略)。
以下略六、论述题1、数学猜想的特征是什么？数学猜想在中小学数学教育中如何发挥作用？答：数学猜想的特征是待定性和创新性。
数学猜想的意义在于运用数学知识、方法，鼓励学生积极参与数学活动，增强对数学的理解和学会自己动手解决具体问题。
发挥数学猜想在中小学数学教育中作用，应当注意以下问题：（1）在鼓励学生参与数学活动方面。
鼓励学生运用已有的数学知识猜想数学问题的解法、猜想数学问题的结果、猜想数学问题可能形成的新概念或新命题，以调动学生的数学好奇心。
（2）在理解数学的理论和方法方面。
提供以数学猜想的方式进行数学教育和数学学习，可以鼓励学生提出自己对解题方式、命题形式的猜测。
（3）在动手解决具体问题方面。
鼓励学生运用数学猜想的形式进行数学学习，提出自己对问题解法的猜想，显然是一种运用自我能力的实际操作2、中小学数学教学中怎样培养学生建立数学模型的能力？答：从对数学模型的要求和构造的过程与步骤来看，一个人构造数学模型的能力至少应包括以下五个方面：①分析、综合能力；②抽象、概括能力；③想象能力；④运用数学工具的能力；⑤通过实践验证数学模型的能力。
因此，为了培养构造数学模型的能力，首先，要学“杂”一些，知识面要广一些，要尽量掌握有关自然科学、工程技术等方面的一些基本原理、方法和定律等。
其次，在学习数学时，要尽量多作些应用题，例如，在中学阶段多作些代数和三角方面的应用题，在小学阶段多作些分配、行程等方面的应用题。
这对提高学生分析问题的能力和用数学工具解决实际问题的能力，是必不可少的基本训练。
最后，还必须多接触实际，只有深入到实践中去才能发现问题，只有善于发现问题，才能有可能解决问题，只有善于解决问题，才能不断提高建造数学模型的能力。
3、中国古代数学思维方法对我们今天的数学教育有什么启示？答：今天中国的教育方式、学习方式，已脱离中国古代的数学模式，按照西方数学进行。
中国古代数学思维方法对我们今天的数学教育有启示如下：（1）唯理性地追求数学的表现形式、结构方式不是数学的唯一方式。
过分追求数学的表现形式、结构方式会使学生失去应用数学的信心。
（2）直观性、实用性是初等数学的一个重要目标。
中小数学不仅要培养逻辑思维的能力，更要通过直观性等思维形式培养学生观察、分析、类比和解决问题的思维能力。
（3）筹算运演工具性特征的启示。
只强调结果，不重视过程，不利于激发学生学习数学兴趣。
4、为什么现代数学教育要强调数学思维？答：现代数学教育中，数学思维的教学有如下几个方面的意义。
（1）数学思维的教学可以培养人们对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。
（2）数学思维的教学可以使人们在处理问题时迅速抓住事物本质，从而找到解决问题的方法。
（3）数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。
八年级上数学习题12答案
八年级上数学习题12答案八年级上数学习题12答案数学是一门既有趣又有挑战性的学科，而练习题则是提高数学能力的重要途径。
在八年级上学期的数学学习中，我们会遇到各种各样的习题，其中第12题是一个相对较难的题目。
本文将为大家提供八年级上数学习题12的详细解答，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个题目。
首先，让我们来看一下这个题目的具体内容：已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求 f(-2) 的值。
要解答这个题目，我们首先需要了解函数的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
在这个题目中，函数 f(x) = 2x^2 +3x + 1 将自变量 x 的值映射到因变量 f(x) 的值。
接下来，我们需要计算 f(-2) 的值。
将 x 的值替换为 -2，我们可以得到 f(-2) =2(-2)^2 + 3(-2) + 1。
根据乘方的计算规则，-2的平方等于4，因此我们可以进一步计算出 f(-2) = 2(4) + 3(-2) + 1。
根据乘法和加法的计算规则，我们可以得到 f(-2) = 8 - 6 + 1 = 3。
所以，根据给定的函数，f(-2) 的值为 3。
通过这个题目，我们不仅复习了函数的概念，还巩固了乘方、乘法和加法的计算规则。
这些都是数学中基础而重要的知识点，对于我们后续的学习和应用都非常有帮助。
除了计算题目本身，我们还可以思考一下更深层次的问题。
比如，我们可以思考函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的图像是什么样的？它的顶点在哪里？它的对称轴是什么？通过进一步的探究，我们可以更好地理解函数的性质和特点。
此外，在解答题目的过程中，我们还可以运用一些数学方法和技巧。
比如，我们可以将函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 进行因式分解，以便更好地理解和计算。
我们还可以运用二次函数的知识，通过求导数来求解函数的最值和极值点。
这些方法和技巧都是数学学习中的重要内容，通过实践和应用，我们可以更好地掌握和运用它们。
高中数学复习题集及答案
高中数学复习题集及答案近几年来，高中数学的学习逐渐变得日益重要。
数学不仅是高考的一大重要科目，同时也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的关键学科之一。
为了帮助广大高中学生更好地复习数学知识，我们准备了一份高中数学复习题集及答案，希望能为同学们的学习提供一点帮助。
题目一：求解二次方程1. 解方程$x^2+5x+6=0$。
解答：首先，观察方程可知，二次方程的通常形式为$ax^2+bx+c=0$。
将给定方程与通常形式进行比较，可以得到$a=1$，$b=5$，$c=6$。
根据韦达定理可得：\[\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\times1\times6 = 1\]因为$\Delta > 0$，所以方程有两个不相等的实根。
根据二次方程的求根公式可得：\[x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2} = -3, -2\]所以方程$x^2+5x+6=0$的解是$x=-3, -2$。
题目二：等差数列求和2. 求等差数列$3, 6, 9, 12, \ldots, 99$的前20项和。
解答：根据题意可知，该等差数列的首项$a=3$，公差$d=6-3=9-6=12-9=\ldots=3$。
为了求出该等差数列的前20项和，我们需要先求出其第20项$A_{20}$。
根据等差数列的通项公式可得：\[A_n = a + (n-1)d\]带入$a=3$和$d=3$可得：\[A_{20} = 3 + (20-1)\times3 = 3 + 19\times3 = 3 + 57 = 60\]所以等差数列的第20项为$A_{20} = 60$。
接下来，利用等差数列的求和公式可得前20项和$S_{20}$：\[S_{20} = \frac{n}{2}(a+A_n) = \frac{20}{2}(3+60) = 10\times63 = 630\]所以等差数列$3, 6, 9, 12, \ldots, 99$的前20项和为630。
一年级下册数学思维解决题
一年级下册数学思维解决题
一年级思维训练题
1、老师给9个三好生每人发一朵花，还多出1朵红花，老师共有多少朵红花？
答案：1个人发一朵，9个人就是发了9朵，再加上多出的1朵，一共有9＋1＝10（朵）。
答：老师共有10多红花。
２、共有１２名小选手参加比赛，比秋秋得分高的有４人，比秋秋得分低的有（7 ）人，秋秋排名第（5 ）。
３、小朋友列队去参观纪念馆，从前面数阿婷是第５个，从后面数秋秋是第３个。
她们中间还有６个人，这一列队伍共有多少人？
答案：5+3+6=14（人）
4、刚刚有9本书，爸爸又给他买了5本，小明借去2本，刚刚还有几本书？
答案：9+5-2=12（本）。
小学数学数学思维方法复习 题集附答案
小学数学数学思维方法复习题集附答案【小学数学数学思维方法复习题集附答案】题一：计算题1. 计算：48 ÷ 6 + 12 × 2 - 5 = ？解答：首先进行括号内的乘法运算：12 × 2 = 24。
然后进行除法运算：48 ÷ 6 = 8。
最后进行加法和减法运算：8 + 24 - 5 = 27。
2. 计算：17 × (6 + 3) ÷ 2 = ？解答：首先进行括号内的加法运算：6 + 3 = 9。
然后进行乘法运算：17 × 9 = 153。
最后进行除法运算：153 ÷ 2 = 76.5。
题二：逻辑推理题1. 有一队蚂蚁从起点向终点前进，每只蚂蚁每小时可以前进1厘米。
若一只蚂蚁顺时针绕行远离终点，另一只蚂蚁逆时针绕行靠近终点，当两只蚂蚁相遇时，哪只蚂蚁离终点更近一些？解答：两只蚂蚁相遇时，两只蚂蚁分别绕行了一周。
由于顺时针绕行的蚂蚁离终点更远，所以逆时针绕行的蚂蚁离终点更近。
2. 判断下列等式是否正确：12 × 6 = 6 × 12解答：等式两边的值相等，所以等式是正确的。
题三：推理题1. 某数的5倍再加上3等于38，这个数是多少？解答：设这个数为x，则可列出方程式：5x + 3 = 38。
将方程式化简：5x = 35，再将35除以5得到x = 7。
所以，这个数是7。
2. 某数的1/4等于12，这个数是多少？解答：设这个数为x，则可列出方程式：1/4 * x = 12。
将方程式化简：x = 12 * 4，计算得到x = 48。
所以，这个数是48。
题四：图形绘制题请根据以下题目描述，绘制对应的图形。
1. 绘制一个正方形，边长为4厘米。
解答：使用尺子和直尺，按照以下步骤绘制：- 1. 在纸上选择一个起点O，表示正方形的一个顶点。
- 2. 使用尺子和直尺，在起点O上方、右方、下方、左方分别测量4厘米并标记点A、B、C、D。
小学数学数学思维创新复习 题集附答案
小学数学数学思维创新复习题集附答案1. 数学思维创新的重要性数学思维创新是指在解决数学问题时运用灵活、独立的思维方式，通过寻找规律、建立模型、提炼本质等方法，达到创新性的解决问题的过程。
它不仅在解决数学难题上发挥着重要作用，也有助于培养学生的创造力和逻辑思维能力。
小学阶段是培养数学思维创新的关键时期，下面是一些题目，旨在帮助小学生提高数学思维创新能力。
2. 选择题1) 下列哪组数中，有一数是另外两数的积？A. 7、9、14B. 3、4、5C. 6、7、18D. 2、5、10答案：B2) 在一张四边形纸片上，分别画两个不相交的圆，把两个圆的圆心相连，得到一个线段。
下列哪个四边形坐标轴对称？A. 正方形B. 长方形C. 平行四边形D. 三角形答案：A3) 若正整数x满足不等式5x - 2 < 8，则x的最大值是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C3. 填空题1) 用1、2、3、4四个数字能组成多少不同的三位数？答案：242) 18 ÷（3 + 5）× 2 = ？答案：4.53) 一张矩形纸片的长是5cm，宽是3cm，它的周长是多少？答案：16cm4. 解答题1) 有一堆共12个相同的小球，其中3个是红色的，其余都是绿色的。
从这堆小球中任取2个，请问取到两个红球的概率是多少？解答：由于共有12个小球，那么从中任取2个的组合数为C(12, 2) = 66种。
而取到两个红球的组合数为C(3, 2) = 3种。
所以取到两个红球的概率为3/66 = 1/22。
2) 小明身高为135cm，每年增长7cm; 小华身高为128cm，每年增长8cm。
请问多少年后两人身高相等？解答：设相等时为x年后，那么135 + 7x = 128 + 8x。
化简得x = 7，所以7年后两人身高相等。
5. 提高题1) 如果一个数字等于它的百位数字加十位数字再加个位数字，且个位数字比百位数字大4，十位数字比百位数字小2，求该数。
小学数学逻辑思维题
小学数学逻辑思维题题目：小学数学逻辑思维题一、填空题（每题2分，共20分）1. 在以下数字中，选出一个与其它数字不同类的数字。
10 12 14 18 20 22 24 262. 某物品原价为800元，现进行打折，折扣为20%，请问打折后的价格是多少元？3. 请将下列数字按升序排列： 5, 10, 3, 8, 12.4. 将一个圆分成4个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？5. 求下列算式的值：3 + 4 × 2 - 5.6. 把6十7百8千写成标准形式。
7. 小华有8本书，小明有权借5本书，两人共有多少本书？8. 如果一个长方形的长是4米，宽是7米，它的周长是多少米？9. 如果1小时有60分钟，那么2小时有多少分钟？10. 现在是上午11点，过去了2小时，是几点？二、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数字哪一个是偶数？A) 3 B) 6 C) 9 D) 112. 小明的身高为125厘米，小华的身高为140厘米，谁的身高更高？A) 小明 B) 小华 C) 一样高3. 小明有9根铅笔，小华比小明多3根铅笔，小华有多少根铅笔？A) 6 B) 9 C) 12 D) 154. 在以下数字中，哪一个是3的倍数？A) 15 B) 20 C) 25 D) 305. 请写出下图中缺少的数字：1 2 34 5 67 ? 9A) 4 B) 5 C) 6 D) 86. 用下面给出的数字，组成一个最小的3位数。
5, 2, 3, 7A) 235 B) 257 C) 327 D) 5277. 请将下列算式化简：10 + 2 × (3 - 5).A) 10 B) 8 C) 4 D) -68. 某本书原价为50元，现在打折25%，请问打折后的价格是多少元？A) 12.5 B) 25 C) 37.5 D) 42.59. 小明每天运动30分钟，小华每天运动45分钟，谁运动的时间长？A) 小明 B) 小华 C) 一样长10. 如果一个立方体的边长是4厘米，求它的体积是多少立方厘米？A) 16 B) 32 C) 48 D) 64三、解答题（共20分）1. 在一个宾馆内住了n个人，每个人每天需要支付20元。
数学书复习题及答案
数学书复习题及答案数学书复习题及答案数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它不仅是一种思维方式，更是一种解决问题的工具。
无论是在学校还是在职场，数学都扮演着重要的角色。
而为了提高数学水平，复习题是不可或缺的辅助工具。
本文将为大家提供一些数学书复习题及答案，希望能够帮助读者更好地巩固数学知识。
一、代数1. 求解方程：2x + 5 = 15解答：首先将方程转化为2x = 15 - 5，得到2x = 10。
然后将等式两边同时除以2，得到x = 5。
2. 化简表达式：3(x + 2) + 4(x - 1)解答：首先使用分配律展开表达式，得到3x + 6 + 4x - 4。
然后将同类项合并，得到7x + 2。
3. 求解不等式：2x - 3 > 7解答：首先将不等式转化为2x > 7 + 3，得到2x > 10。
然后将不等式两边同时除以2，得到x > 5。
二、几何1. 求解三角形的面积：已知三角形的底边长度为5，高为4。
解答：三角形的面积可以通过底边长度乘以高的一半来计算，即5 * 4 / 2 = 10。
2. 求解圆的面积：已知圆的半径为3。
解答：圆的面积可以通过半径的平方乘以π来计算，即3^2 * π = 9π。
3. 求解矩形的周长：已知矩形的长为6，宽为4。
解答：矩形的周长可以通过将长和宽分别乘以2再相加来计算，即2 * 6 + 2 * 4 = 20。
三、概率与统计1. 掷骰子的概率问题：一枚骰子有6个面，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
如果投掷一次，出现数字3的概率是多少？解答：骰子的每个面出现的概率都是相等的，因此数字3出现的概率为1/6。
2. 求解平均数：已知一组数据为5、7、9、12、15，求它们的平均数。
解答：将这些数相加，得到5 + 7 + 9 + 12 + 15 = 48。
然后将和除以数据的个数（即5个），得到48 / 5 = 9.6。
3. 求解标准差：已知一组数据为2、4、6、8、10，求它们的标准差。
小学二年级数学思维训练题
小学二年级数学思维训练题
一、填空题
1.下列各数中，哪个数的个位数比十位数小5：
（）9 （）5 （）6
2.请将12元用8张相同的纸币表示出来，每张纸币是多少钱：
12元 = （）元 × 8
二、选择题
1.下列一组数中，哪个数和30的差等于18：
A. 45
B. 22
C. 29
D. 21
2.小明有72个苹果，小张有57个苹果，问两人合在一起有多少苹果：
A. 129个
B. 1290个
C. 12900个
D. 129000个
三、计算题
1.有一包饼干，里面有24片，小红拿走了1/4后，还剩几片：
2.小明拿一块铅笔，小丽拿了他的1/3，还剩几部：
四、解答题
1.小华有5本书，小李比小华多2本书，小明比小李多3本书，请问
三个人一共有多少本书：
2.老师有一些苹果，如果她每个学生分2个苹果，恰好分完。
如果每
个学生分3个，还剩1个苹果。
请问老师有几个学生：
以上为小学二年级数学思维训练题，希望同学们认真完成！。
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十二) 因式分解——十字相乘法
思维特训(十二)因式分解——十字相乘法方法点津·十字相乘法(1)对于二次三项式ax2＋bx＋c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a＝a1·a2 , c＝c1·c2,且满足b＝a1c2＋a2c1ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．(2)二次三项式x2＋px＋q的分解：p＝a＋b，q＝ab x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．(3)理解：把x2＋px＋q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号的因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p.典题精练·1．分解因式：x2＋3x＋2.分析：(＋1)×(＋2)＝＋2常数项(＋1)＋(＋2)＝＋3一次项系数解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．按以上方法分解因式：x2＋14x＋48.2．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2＋5x－7，具体步骤：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项－7也分解为两个因数的积，即－7＝－1×7；②按图12－TX－1所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×(－1)＋1×7＝5.图12－TX－1③这样，就可以按图12－TX－1中虚线所指，对2x2＋5x－7进行因式分解了，即2x2＋5x－7＝(2x＋7)(x－1)．请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：(1)x2＋4x＋3；(2)2x2＋3x－20.3．阅读下面的材料并完成填空：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px ＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．如分解因式：x2＋5x＋6.解：因为2×3＝6，2＋3＝5，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．再如分解因式：x2－5x－6.解：因为－6×1＝－6，－6＋1＝－5，所以x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)．阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看！因式分解：(1)x2＋7x＋12；(2)x2－7x＋12；(3)x2＋4x－12；(4)x2－x－12.4．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式，关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1·a2，把y2项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1·c2，并使a1·c2＋a2·c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)．例：分解因式：x2－2xy－8y2.解：如图12－TX－2①，其中1＝1×1，－8＝(－4)×2，而－2＝1×2＋1×(－4)，∴x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y)．而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图12－TX－2②，将a分解成m，n的乘积作为一列，c分解成p，q的乘积作为第二列，f分解成j，k的乘积作为第三列．若mq＋np＝b，p k＋q j＝e，m k＋n j＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)．图12－TX－2例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.解：如图12－TX－2③，其中1＝1×1，－3＝(－1)×3，2＝1×2，而2＝1×3＋1×(－1)，1＝(－1)×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：①6x2－17xy＋12y2＝__________；②2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝__________；③x2－xy－6y2＋2x－6y＝__________．(2)若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．5．分解因式：(1)5x2－17x＋6；(2)20x2－43xy＋14y2；(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2；(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72.详解详析1．解：x2＋14x＋48＝(x＋6)(x＋8)．2．解：(1)x2＋4x＋3＝(x＋3)(x＋1)．(2)2x2＋3x－20＝(x＋4)(2x－5)．3．解：(1)x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)．(2)x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)．(3)x2＋4x－12＝(x＋6)(x－2)．(4)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)．4．解：(1)①(3x－4y)(2x－3y)②(x－2y＋3)(2x＋3y－4)③(x－3y)(x＋2y＋2)(2)如图：m＝3×9＋(－8)×(－2)＝43，或m＝9×(－8)＋3×(－2)＝－78.5．解：(1)5x2－17x＋6＝(5x－2)(x－3)．(2)20x2－43xy＋14y2＝(4x－7y)(5x－2y)．(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2＝(m－3)(m＋1)x2－(m＋5)x－2＝[(m－3)x－2][(m＋1)x＋1]．(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72＝(x－4)(x－1)(x－2)(x＋1)－72＝[(x－4)(x＋1)][(x－1)(x－2)]－72＝(x2－3x－4)(x2－3x＋2)－72.设x2－3x＝t，则(t－4)(t＋2)－72＝t2－2t－80＝(t－10)(t＋8)＝(x2－3x－10)(x2－3x＋8)＝(x－5)(x＋2)(x2－3x＋8)．。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。