高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x ”的否定写在横线上__________． 2的倾斜角是 ．3．已知一个球的表面积为264cm π，则这个球的体积为4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）5．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________. 6．若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________． 7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________． 8．经过点(2,1)A 且到原点的距离等于2的直线方程是____________.9．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ．10． 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .11． 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均相等，C B BC 11与的交点为D ，则AD 与平面C C BB11所成角的大小是_______．12．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是13．如图是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为 。
高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案 _1
界首中学2020〜2021学年度高二上期中考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4.本卷命题范围：北师大版必修4（30%），必修5（70%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列{}n a 中，23a =，59a =，则的公差d =（ ）A.1B.2C.3D.42.不等式()()120x x +->的解集为（ ）A.()(),21,-∞-⋃-+∞B.()(),12,-∞-⋃+∞C.()2,1--D.()1,2-3.在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，4C π=，则AB 的长为（ ）A. B.D.54.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，c =45A =︒，则b 的长为（ ）1 11D.15.已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A.4πB.6πC.2πD.94π6.下列说法正确的是（ ） A.若a b >，c ∈R ，则a cb c > B.若a b >，则22a b > C.若0a b <<，0c d <<，则ac bd <D.若a b <，则11a b>7.已知a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为3π，则2a b -=（ ）A.1D.28.设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A.92-B.3C.4D.69.已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的单调递増区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C.()f x 的图象关于直线6x π=对称D.()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则612SS =（ ）A.18B.726C.14 D.1211.已知正实数a ，b 满足321a b +=，则61a b+的最小值为（ ） A.32B.34C.36D.3812.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若不等式)22cos 40x A A x -++>的解集为{}x x c ≠且a =B =（ ）A.6πB.3πC.2πD.23π6323二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量4,a m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),4b m m =--，若//a b ，则m = .14.已知3a >，则43a a +-的最小值为 . 15.已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -= .16.已知首项为2的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当2n ≥时，2122n n n S a S -=-，若12nn S m +≤恒成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知02πα<<，且4sin 5α=. （1）求tan α的值；（2）求()()()23sin cos sin cos 2cos sin 3cos 2πααπααπααππα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值.18.（本小题满分12分） 在递增的等差数列{}n a 中，2410a a +=，159a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分） 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222sin 2a b c C +-=. （1）求角C 的大小； （2）若4C π>，5c =，ABC △的面积为ABC △的周长.20.（本小题满分12分） 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ca =.（1）求B ；（2）若ABC △的面积为()A C +，4b =，求a 和c .21.（本小题满分12分）已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4π，且()23f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立. （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 图象的对称中心.22.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =. （1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式； （2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S .界首中学2020〜2021学年度高二上期中考试•数学参考答案、提示及评分细则1.B 由题意得113,49a d a d +=⎧⎨+=⎩解得2d =.故选B （或利用n ma a d n m -=-求解）.2.D 不等式可化为()()120x x +-<，所以不等式的解集为()1,2-，故选D.3.A ∵4cos 5B =，()0,B π∈，∴3sin 5B =，∴6352=，∴AB =故选A.4.C 由2222cos a b c bc A =+-，得24622b b =+-，即220b -+=，解得1b =.故选C.5.D 扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=.故选D. 6.C 对于A ，当0c =时不成立；对于B ，当(),,0a b ∈-∞时不成立；对于C ，由条件可得0a b ->->，0c d ->->，所以()()()()a c b d -->--，即ac bd >；对于D ，当a ，b 异号时不成立.故选C.7.C ()2223a b a b -=-=.故选C.8.D 画出可行域（图略）知，当l ：20x y +=平移到过点()0,3时，max 6z =.故选D. 9.B()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π，()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的图象关于直线()124k x k ππ=+∈Z 对称，()f x 的图象关于点(),0244k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 对称.故选B. 10.C 由等差数列的性质知3S ，63S S -，96S S -，129S S -成等差数列，设3S k =，()640S k k =≠，则963339S S S k =-=，129633316S S S S k =-+=，所以61214S S =.故选C. 11.A由a >，b >且321a b +=，得()6161123321822032b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当123b a a b =，即2a b =时，取等号，此时1418a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选A.12.A因为不等式)22cos 40xA A x -++>的解集为{}x x c ≠，所以)24cos 160A A +-=，即216sin 166A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3A π=，2c =.由正弦定理可以知道2sin sin3C π=，所以2C π=.又3A π=，所以6B π=.故选A.13.2 由4,a m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),4b m m =--，//a b ，得2440m m -+=，解得2m =. 14.7 因为3a >，所以30a ->，所以44333733a a a a +=+-+≥=--.当且仅当433a a =--，即5a =时等号成立. 15.12 令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=. 16.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由2n ≥时，2122n n n S a S -=-，21122n n n S a S ++=-，两式相减得221122n n n n a a a a ++=--，整理得()122n n a a n +-=≥，另由2n =时，222122S a S =-，因为12a =，且0n a >，所以24a =，212a a -=，故数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，2n a n =，2n S n n =+，21122n n n S n n+++=，由()221111322222n n n n n n n n n S S n n n n -+++-+--=-=，可知12n n S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中当2n =或3n =时为最大项，即最大项32343224S S ==，所以34m ≥. 17.解：（1）因为4sin 5α=，所以3cos 5α===±. 因为02πα<<，所以cos 0α>，则3cos 5α=. 故sin 4tan cos 3ααα==. （2）()()()23sin cos sin cos 2cos sin 3cos 2πααπααπααππα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭22sin cos sin sin sin cos αααααα+=- sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++==--4137413+==-. 18.解：（1）设公差为()0d d >，由题意，得()1112410,49,a d a a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩或19,2.a d =⎧⎨=-⎩（舍）所以()1121n a a n d n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）知()()12121n b n n =-+，所以11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以1111111112323522121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19.解：（1）因为()222sin a bcC +-=，且2222cos a b c ab C +-=， 所以2cos sin 2ab C C ab =， 所以sin 22C =.又0C π<<，所以23C π=或23π，所以6C π=或3π. （2）由（1）及4C π>，得3C π=.因为1sin 2ABC S ab C ==△8ab =. 又()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-， 所以()223252449a b c ab +=+=+=.所以7a b +=，所以12a b c ++=. 即ABC △的周长为12. 20.解（1sinA =，因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42B ππ+=，所以4B π=.（2）ABC △的面积()1sin 82S ac B A C ===+=，ac = 由4b =，得22162cos a c ac B =+-，即2248a c +=，解得a =4c =或4a =，c =21解：（1）因为函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数()f x 的最小正周期是8π.所以28ππω=，解得14ω=. 所以()12sin 4f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为()23f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2122sin 2343f ππϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()262k k ππϕπ+=+∈Z ，解得()23k k πϕπ=+∈Z .由2πϕ<知，3πϕ=，所以()2sin 43x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移3π个单位长度后得到()2sin 26g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象.由()26x k k ππ+=∈Z ，得()23x k k ππ=-+∈Z . 所以函数()g x 图象的对称中心为()2,03k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 22.解：（1）令1212x x ==，则()111122f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11112a f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∵1111111111112*********n n n n n n n a f f f f a +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴112n n a a +=， ∴{}n a 为以1为首项，12为公比的等比数列，∴()*112n n a n -=∈N . （2）∵1312n n n n a b -+=， ∴21471031S 1222n n n -+=++++①， 由①12⨯，得23147103122222n nn S +=++++②， 由①-②，得21133331422222n n n n S -+=++++-1131374317222n n nn n -++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭， ∴137142n n n S -+=-.。
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2019学年度第一学期期中质量调研高二数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定为（ ）A ．2R,0x x ∀∉≥ B ．2R,0x x ∀∈< C ．2R,0x x ∃∈≥ D ．2R,0x x ∃∈< 2．已知函数()()40f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有最小值4 B ．()f x 有最大值4 C ．()f x 有最小值-4 D ．()f x 有最大值-43．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11133n n a a +=+，则此数列的第三项是（ ）A ．1B ．13 C ． 23 D ．594．已知,a b 为实数，M <，:N a b <，则M 是N 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．关于x 的不等式1026xx -≥+的解集是（ ）A ．{}|1x x ≤B ．{}|3x x >-C ．{}|31x x -<≤D ．{}|31x x x <-≥或 6．已知,a b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（ ）A ．22a b ≥B ．22ab ba ≥C ．2211ab ba ≥ D ．b aa b≥ 7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a ＝（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8 8．“[]21,2,10x ax ∃∈+≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ． 14a ≤-C ．2a ≤-D ．0a ≤9．已知实数12,,,x x m n 满足12,x x m n <<，且()()()()11220,0m x n x m x n x --<--<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m x x n <<<B ．12m x n x <<<C ．12x m x n <<<D ．12x m n x <<<10．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别记为n A 、n B ，满足4123n n A n B n +=+，则57a b 的值为（ ） A ．2117 B ．3729 C ．5329 D ．413111．设正实数,x y 满足21x y +=，则2xx y+的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．812．已知数列{}n a 的通项2020220212nn na -=-，且存在正整数,T S 使得T n S a a a ≤≤对任意的*N n ∈恒成立，则T S +的值为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则21115a a 的值为 ．14．函数()()22111f x x x x =+>-的最小值为 ． 15．已知数列{}n a 满足112a =，()()111n n n n n n a a a a +++-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = ．16．已知关于x 的不等式()22434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，前n 项和为n S ，2a 、4a 、5a 成等比数列，且515S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和．18．(本小题满分10分)已知2:2350p x x --≤，()()2:32110q x mx m m -+-+≤．(其中实数2m >)(1)分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+． (1)2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；(2)若不等式()0f x ≤对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，14a =，()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅．(1)设1nn a b n =+，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,AD y CD x ==（单位：cm ），且要求3y x >，部件的面积是392cm ． (1)求y 关于x 的函数表达式，并求定义域；(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．22．(本小题满分14分)已知数列{}n a ，11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知关于n 的不等式3434222 (21)n n a a a a a a n ---⋅<+对一切*3,N n n ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知211n n c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，数列{}nc 的前n 项和为n T ，试比较n T 与23的大小并证明．常州市“教学研究合作联盟” 2019学年度第一学期期中质量调研高二数学 参考答案一、选择题：1.D2.D3.D4.A5.C6.C7.B8.B9.A 10.B 11.B 12.D 二、填空题： 13.2 14.3 15.1n n + 16.9169,464⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：17.(1)由2a 、4a 、5a 成等比数列得：()()()211134a d a d a d +=++，即215d a d =-，又Q 0d ≠，∴15a =-；…………………………………………………2分 而51545152S a d ⨯=+=-，∴1d =；…………………………………4分 ()116n a a n d n ∴=+-=-，{}n a ∴的通项公式为6n a n =-.…………………………………………5分(2)()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=Q ,112n S n n -∴=,………………7分 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数， {}n c ∴是首项为5-，公差为12的等差数列，…………………………8分∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-.…………………10分18.(1)()()2235750x x x x --=-+≤，[]5,7M ∴=-；…………2分()()()()232112110x mx m m x m x m -+-+=---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又2m >，211m m ∴->+， []1,21N m m ∴=+-.……………………………………………………5分(2)Q p 是q 的必要不充分条件，N M ∴Ø，即[][]1,215,7m m +--Ø，51721m m -≤+⎧∴⎨≥-⎩，且等号不同时取，…………………………………8分 解得64m -≤≤，又2m >，24m ∴<≤.………………………10分19.(1)2a =时，22390x x -+-+≥，3x ≥时，()()310x x -+≤，13x ∴-≤≤，3x ∴=； 3x <时，()()350x x -+≤，53x ∴-≤≤，53x ∴-≤<；综上所述，不等式的解集为[]5,3-. …………………………………6分 （如果解集中不包含3，扣1分）(2)()0f x ≤恒成立时，2930x a x ---≥恒成立，①3x =时，不等式恒成立，R a ∴∈；……………………………7分 ②3x >时，()()330x x a -+-≥恒成立，30x a ∴+-≥恒成立，6a ∴≤； …………………………………9分③3x <时，()()330x x a -++≥恒成立，30x a ∴++≤恒成立，6a ∴≤-；…………………………………11分综上所述，a 的取值范围是(],6-∞-. ………………………………12分20.(1)()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅Q ，等式两边同时除以()()12n n ++得：1221n n n a an n +-=++，即12n n n b b +-=；………………………………2分 2n ∴≥时，有1212b b -=，2322b b -=...112n n n b b ---=.累加得111222212n n n b b ---==--，又1122ab ==， 2n ∴≥时，2n n b =.…………………………………………………5分又1n =时，12b =也满足上式，*N n ∴∈时，2n n b =.…………6分(2)由(1)可得()12nn a n =+⋅，()123223242...12n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，()23412223242...12n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，……………8分()12312222...212n n n S n +∴-=⋅++++-+⋅，…………………10分()11122212212nn n n n ++-=+-+⋅=-⋅-，12n n S n +∴=⋅.…………………………………………………………12分21.(1)234S xy x =⋅+=Q ，2y ∴=，…………3分由y x >得0x <<∴函数的定义域为{|0x x <<.……………………………5分(2)设圆形铁片半径为R ，则面积2S R π=，过圆心O 作CD 的垂线，垂足为E ，交AB 于点F ，连结OD ，则,2x DE OF ==， 22222224x x R OD y ⎛⎫⎛⎛⎫∴==+=+ ⎪ ⎝⎭⎝，221313483x x =++…………………………………………………8分 20x >Q ，由基本不等式得:2222131313483666R OD x x +∴==++≥=，当且仅当221313483x x=，即(2x =∈时，取“=”.∴(2cm ).………………………11分答：当2x =(2cm ). …………………………………………………………………………12分22.(1)2(1)n n S n a =+Q ，2n ∴≥时，()1121n n S n a --=-，12(1)n n n a n a na -∴=+-，即 1(1)(2)n n n a na n --=≥，………2分又110a =≠，0n a ∴≠，1(2)(1)n n a nn a n -∴=≥-， 3212123,,...,121n n a a a na a a n -∴===-， 累乘得2n ≥时，123 (121)n a nn a n =⋅=-，…………………………4分 1n =时，11a =也满足上式，n a n ∴=. …………………………5分（或构造常数列1(2)(1)n n a an n n -=≥-） (2)设()3434222...n na a a f n a a a ---=⋅ 则()()31434122221...n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⎢⎣ ()()343411222...1n n n n a a a a a a n ⎡-+---=⋅⎢+⎢⎥⎣⎦3434222...0n n a a a a a a ---=⋅<⎢⎥⎣⎦，()f n ∴在*3,N n n ≥∈上单调递减， …………………………8分()3a f ∴>=a ∴>.…………………………………10分 (3)()22211111111121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪++++⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 123...n n T c c c c ∴=++++2311111111111......4422435572n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111112111242231232123n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 23n T ∴<.…………………………………………………………14分。
高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高二数学第一学期期中考试本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。
）1.若1a b >>，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．11a b< B > C ．b a a b > D ．l o g l o g ba ab >2.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（ ）A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项3．已知129,,,1a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则b 2(a 2-a 1)= （ ）A.8B.-8C.±8D.984.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是 （ ）A ．S 6B ．S 7C ．S 8D ．S 95.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A.B. 3C.D.926.设0a >，0b >5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．417.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ）A ．B ．C ．D ．8.若关于x 的不等式10ax ->的解集是(1)+∞，,则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -+≥的解集是（ ）A ．[)2,+-∞B ． []2,1- C. (,2)(1,+)-∞-⋃∞ D ．(][),21,+-∞-⋃∞ 9.设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF 则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段10．已知方程220(0,,0)ax by ab ax by c ab a b c +=++=≠≠>和其中，它们所表示的曲线可能是 ( )A B C D11. 已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△PF 1F 2的面积为2a 时，双曲线的离心率为（ ）A.B. C. D.212.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|F M |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)第II 卷（非选择题）（共90分）二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分,请将正确答案写在答题纸指定位置上。
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数 学 试 题 (2019.11)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目填涂在答题卡的相应位置．2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 第Ⅱ卷要用钢笔或圆珠笔写在给定答题纸的相应位置，答卷前请将答题纸密封线内的学校、班级、姓名、考试号填写清楚．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是A ．32000,10x R x x ∃∈-+>B ．32000,10x R x x ∃∈-+≥ C ． 不存在32000,10x R x x ∈-+≤ D ．32,10x R x x ∀∈-+>2.若实数0<<b a ，则下列不等式中正确的是 A.ba 11< B. ab > C.2>+abb a D. 2b ab <3.在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a = A. 5B. 8C. 10D. 144.已知等比数列{}n a 中, 13a =,且1234,2,a a a 成等差数列，则5a = A. 24 B. 48 C. 96 D. 48-5.以双曲线112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 A ．141622=+y x B ．181622=+y x C ．141222=+y x D ．1121622=+y x 6.已知点(2,1)是直线l 被椭圆141222=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是 A ．0732=-+y x B ．0132=--y x C ．01134=-+y x D ．0534=--y x 7．等比数列{}n a 满足3,46574=⋅=+a a a a ，则=+101a a A ．328-B ． 31-C ． 31D ．3288.不等式03522<--x x 的一个必要不充分条件是 A. 213<<-x B. 61<<-x C. 021<<-x D. 321<<-x 9.设数列{}n a 满足,11=a 且)(11++∈+=-N n n a a n n ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项和为 A.1120 B. 922 C. 1110 D. 911 10.关于x 的不等式042≥+-ax x 在区间]2,1[上有解，则实数a 的取值范围是 A ． )4,(-∞B ． )5,(-∞C ． ]5,(-∞D ．]4,(-∞11.已知直线l 过双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，分别交C 的左右两支于A ，B 两点，线段AB 的中垂线过C 的右焦点2F ,32π=∠ABF ，则双曲线C 的离心率是A ．B ．C ．7D ．312.已知直线AB 过抛物线:C x y 22=的焦点F ,交抛物线于B A ,两点，若点A 的纵坐标取值范围是]2,1[，则点B 的纵坐标取值范围是 A. ]1,2[-- B. ]21,41[--C. ]2,4[--D. ]21,1[--第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上).13.双曲线19422=-x y 的渐近线方程是 ▲ . 14.已知y x ,是两个正实数，且满足xy y x =+2，则y x 2+的最小值是 ▲ . 15. 古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人 13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如),3(122+∈≥-N n n n 的分数的分解：211211211,,531574289545=+=+=+,按此规律，=-122n ▲ ),3(+∈≥N n n . 16.已知点S 为椭圆C ：2214x y +=上位于x 轴上方的动点，椭圆C 的左、右顶点分别为B A ,,直线,AS BS 与直线6:=x l 分别交于,M N 两点,则线段MN 的长度的最小值为 ▲ . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的各项为正数，其公差为1，15342-=a a a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设)(,22+-∈=N n b n a n ，求数列{}n b 前10项和10S .18.（本小题满分12分)已知函数2()32f x ax x =-+，)0(≠a 若不等式()0f x >的解集为),()1,(+∞-∞b ．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式04)(2>++-c x c a b x )(R c ∈.19. （本小题满分12分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离x （km ）的关系为：)90(3≤≤+=x x kp ，若距离为1km 时，宿舍建造费用为125万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需8万元，铺设路面每千米成本为5万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （Ⅰ）求()f x 的表达式，并写出其定义域;（Ⅱ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．20. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，11213n n nS a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭).(,+∈N n （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 23log ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21.（本小题满分12分）设F 为抛物线x y C 2:2=的焦点，A,B 是抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ，若|AB |=25，求直线AB 的方程； （Ⅱ）若OA OB ⊥，求OA OB ⋅的最小值.22. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率等于12，它的一个长轴端点恰好是抛物线x y 162=的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(2,)P m 、(2,)Q m -（0m >）是椭圆上的两点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12. ①求四边形APBQ 的面积的最大值； ②求证：APQ BPQ ∠=∠.参考评分标准 (2019.11)说明:(1)此评分标准仅供参考;(2)学生解法若与此评分标准中的解法不同,请酌情给分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20分 13． x y 32±= 14．8 15． nn n -+2211 16．24 三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分)解：（Ⅰ）由24351a a a ⋅=-得：111(1)(3)5(2)1a a a ++=+-，即21160a a --=∴112(3a a =-=舍）或 ∴3(1)2n a n n =+-=+ ………………………………5分（Ⅱ）∵2nn b =, ………………………………6分∴12101210(222)(1319)b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 102(12)10(119)122-+=+- =2046 …………………………10分18.（本小题满分12分)解：（Ⅰ） 不等式0232>+-x ax 的解集为),()1,(+∞-∞b ，∴1和b 是一元二次方程0232=+-x ax 的根．………………………………2分则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=--bab a 1213，解得⎩⎨⎧==21b a (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，04)(2>++-c x c a b x即为04)22(2>++-c x c x0)2)(2(>--∴c x x………………………………9分①当22<c 即1<c 时，不等式的解集为),2()2,(+∞-∞ c ； ………………………………10分②当22=c 即1=c 时，不等式的解集为{}2≠x x ； ………………………………11分③当22>c 即1>c 时，不等式的解集为),2()2,(+∞-∞c ．………………………………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km 时费用为125万元，即当x =1时，p ＝12550031125=∴+=∴k k (2)分90,583500)(≤≤+++=∴x x x x f………………………………6分（Ⅱ）937250027)3(53500583500)(=-≥-+++=+++=x x x x x f……………10分当且仅当)3(53500+=+x x 即7=x 时取“＝” ………………………………11分答：宿舍距离工厂7km 时，总费用最小为93万元．………………………………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，数列{}n a 满足11213n n nS a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，①则有111213n n n S a --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2n ≥，② (1)分①﹣②可得()1111303n n n a a +-⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2n ≥，变形可得13n n a a +=，2n ≥， ………………………………4分又由11a =，11212213a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，解得23a =，所以213a a =， (5)分则数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n a -=． ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，13n n a -=，则11231233)12(3log 3log ---⋅-=⋅=⋅=n n n n n n n a a b ，……7分则12103)12(353331-⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n T ③n n n T 3)12(3533313321⨯-++⨯+⨯+⨯=∴ ④由③-④得：nn nnn n n n n T 3)22(23)12(3133213)12()3333(2121321⨯-+-=⨯----⨯+=⨯--++++⨯+=-- 13)1(+⨯-=∴n n n T ． ………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得1(,0)2F ，则直线AB 的方程为)21(-=x k y ,)0(≠k …………………………2分由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x k y 2)21(2 消去y，得04)2(2222=++-k x k x k . ……………………………3分 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>，且22212k k x x +=+， …………………………… 4分所以251212221=++=++=k k x x AB . 解得：2±=k …………………………… 5分所以，直线AB 的方程为1212+-=-=x y x y 或． …………………………… 6分（Ⅱ）解：因为,A B 是抛物线C 上的两点，所以设2(,)2t A t ，2(,)2s B s ，由OA OB ⊥，得2()04st st OA OB ⋅=+=， …………………………… 8分所以4st =-，即4s t =-.则点B 的坐标为284(,)B t t-. …………………………… 10分所以||||8OA OB ⋅==， …………………………… 11分当且仅当2t =±时，等号成立.所以||||OA OB ⋅的最小值为8． …………………………… 12分22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意设椭圆C 的方程为)0(,12222>>=+b a by a x ，因为抛物线x y 162=的焦点坐标为)0,4(，则4=a ……………………………1分由222,21c b a a c +==，得122=b ， ……………………………2分∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ． ……………………………3分 （Ⅱ）①当2=x 时，解得3=m ，6=∴PQ ……………………………4分设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ……………………………5分由0>∆，解得44<<-t ， ……………………………6分由韦达定理得12,22121-=⋅-=+t x x t x x .2222122121348)12(44)(t t t x x x x x x -=--=⋅-+=-∴， ……………………7分由此可得：四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=， ∴当0=t 时，312max =S ． ……………………………8分②23,232211--=--=x y k x y k BP AP ……………………………9分)2()2()2(3)2(3(23232112212211-⋅--⋅-+-⋅-=--+--=+∴x x x y x y x y x y k k BP AP ）（） 0124))(4(12124))(4(12)(2)(3)2(3)2(3(22121212121121221=+---+-=+-+-+=++-+-+=-⋅-+-⋅-t t t t t x x t x x y y x x y x y x x y x y ）（）BP AP BP AP k k k k -==+∴，即0 ……………………………11分∠=∠．……………………………∴APQ BPQ12分。
高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
高二数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．对命题“0x R ∃∈,200240x x -+>”的否定正确的是（ ） A.0x R ∃∈， 200240x x -+> B.x R ∀∈， 2240x x -+≤ C.x R ∀∈， 2240x x -+>D.x R ∀∈， 2240x x -+≥2. 已知命题p 及命题q ，则命题“p ∧q ”为假是命题“p ∨q ”为假的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形4．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A.2,4,120a b A ===︒B.3,2,45a b A ===︒C. 6,60b c C ===︒D.4,3,30b c C ===︒5．设等差数列|{}n a 的前n 项和为n S ，若2372a a a =，540S =，则7a =（ ） A.13B.15C.20D.226．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若418a a =，则51S S =（ ） A.32B.31C.16D.157．已知数列{}n a 前n 项和2n S n =-，则数列{}n a 是（ ） A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列8．若数列{n a }满足111n na a +=-，且12a =，则2010a = （ ）A ．-1B ．12C ．2D ．329．若关于x 的不等式2210x ax ++>在[)0,∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,+∞B.[)1,+∞C.()1,-+∞D.[)1,-+∞10．已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是（ ）A ．3B．2+C ．2D．11．设x ，y 满足24020330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则21y z x =+的范围（）A.19,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.118,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.161,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的高，2AE ED =，3BAC π∠=，3AB =，2AC =，则AE CE ⋅uu u r uur的值为（ ）A.67- B.23-C.-2D.23二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在△ABC 中，A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于_________________．14．数列{}n a 中，若1111n n na a a n +==+，，则n a = ______ ． 15．给出下列结论：①若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题;②已知,p q 为两个命题，若p q ∨“”为假命题，则()()“”p q ⌝⌝∧为真命题；③若命题命题则命题是假命题；④“若0,xy =则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中正确的结论有____.16．在数列{}n a 中，11a =，()211nn n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S =三．解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本大题10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c，且222b c a +-=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =1b =，求ABC ∆的面积.18．（本大题12分）已知等比数列{}n a 的公比2q ＝，且2341a a a ，，+成等差数列．(1)求1a 及n a ；(2)设n n b a n +＝，求数列{}n b 的前5项和5S ．19.（本大题12分）已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式22log (1)23x m m+-≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得112xm ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭成立.（Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围.20.（本大题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，16a d =，1a N ∈，d N ∈，且1a d >. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1a ，4a ，13a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .21.（本大题12分）在ABC ∆ 中，角A B C ，， 所对的边分别为a b c ，， .已知cos (2)cos ,b C a c B b =-=（1）若2c =，求ABC ∆的周长；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求a c - 的取值范围.22.（本大题12分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知1111,2n n a a a +==，且()*1212(1)(41),6n b b nb n n n n N ++⋯+=+-∈.(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .高二数学答案一．选择题1．B 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在2000,240x R x x ∈-+>”的否定是：2,240x R x x ∀∈-+≤”，故选B.2.．B 【解析】若命题“p ∧q ”为假命题，则p 为假命题，q 为假命题；p 为真命题，q 为假命题；p 为假命题，q 为真命题。
高二上学期期中测试数学试卷word版有答案
高二上学期期中测试数学试卷word 版有答案(时间：90分钟 满分：120分)姓名 班级 分数一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，请在答题卡作答）1．下列说法正确的是( )A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,4,6,16,323．下列四个数中，数值最小的是( ) A ．25(10) B ．111(10)C ．10 110(2)D ．10 111(2)4．用辗转相除法或者更相减损术求得282与470的最大公约数为( ) A ．94B ．47C ．188D ．25．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．2B ．4 C ．8 D ．166．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．77．如右图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩.(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7C ．3,6 D ．3,78．已知65432)(2345+++++=x x x x x x f ,应用秦九韶算法计算当3x =时,2v 值为( ) A ．5 B ．18C ．58D ．1799．如右图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A ．14B ．13C ．12 D ．2310．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数12．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是( ) ①至少有1个白球；都是白球．②至少有1个白球；至少有1个红球． ③恰好有1个白球；恰好有2个白球．④至少有1个白球；都是红球． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请在答题卡作答）13．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测试分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据右图，时速在70 km/h 以下的汽车有________辆.14．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4．则命中环数的标准差为.15．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x30>x20”；③“b＝0”是“二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是.3则k=.16．（1、2班）抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋k所得弦长为.5（3、4班）某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是.2017-2018上学期高二数学期中考试答题卡一、选题（共12小题，每小题4分，共48分）二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．14．15．16．三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1、2班）(10分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的方程．（3、4班）(10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀m ∈R ，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0．18．（1、2班）(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．（3、4班）(10分)盒中有6只灯泡,其中有2只是次品,4只是正品.从中任取2只,试求下列事件的概率, (1)取到的2只都是次品； (2)取到的2只中恰有一只次品．19．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5．(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．20 . (12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．21．(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程； (3)据(2)的结果估计当销售额为1亿元时的利润额．（参考公式：xb y a xn xyx n yx bni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑;2121）上学期高二数学期中测试题答案一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．20 14．2 15．③ 16．（1、2班）k ＝－4 ；（3、4班）21.【解析】D 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.故选D. 4.【答案】A 辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94.∴282与470的最大公约数为94.更相减损术：470与282分别除以2得235和141，∴235－141＝94，141－94＝47，94－47＝47，∴470与282的最大公约数为47×2＝94. 5.【解析】C [k ＝0，S ＝1×20＝1；k ＝1，S ＝1×21＝2；k ＝2，S ＝2×22＝8；k ＝3，不满足3<3，输出8.]6.【解析】A 由题意知抽取的比例为7210＝130，故从高三中抽取的人数为300×130＝10.7.【解析】D 依题意得9＋10×2＋2＋x ＋20×2＋7＋4＝17×5，即x ＝3，y ＝7，故选D. 9.【解析】C 点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝12.10.【解析】A 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ，反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定是菱形，故选A.11.【解析】D 把全称量词改为存在量词并把结论否定．12.【解析】C 由互斥事件的定义知，选项③④是互斥事件．故选C. 13.【解析】 由频率分布直方图可得时速在70 km/h 以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以频数是0.4×50＝20.15.【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．【答案】 ③ 16.【答案】（1、2班）k ＝－4 ；【答案】（3、4班）2三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1、2班）(10分)【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆：x 216＋y 28＝1.17.（3、4班）(10分)【解析】(1)¬p ：∃m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴¬p 为真．(2)¬q ：∀x ∈R ，使得x 2＋x ＋1>0.∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴¬q 为真．18.（1、2班）(10分)解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 18.（3、4班）(10分)【解析】⑴取到2只次品的事件只有1个,从6只灯泡中取出2只的基本事件共有65152⨯=种,因此取到2只次品的概率为115. ⑵取到1只正品的情况有4种,取到1只次品的情况有2种,故取到的2只产品中正品,次品各一只共有428⨯=种,而总的基本事件共有15种,因此取到2只产品中恰有一只次品的概率为815P =. 19.【解析】(12分)(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5，∴x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.20.【解析】(12分)(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．(2)27×545＝3，所以大于40岁的观众应抽取3名．(3)由题意知，设抽取的5名观众中，年龄在20岁至40岁的为a 1，a 2，大于40岁的为b 1，b 2，b 3，从中随机取2名，基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共10个，设恰有一名观众年龄在20至40岁为事件A ，则A 中含有基本事件6个：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，所以P (A )＝610＝35.21．【解析】(12分)(1)销售额和利润额的散点图如图.所以b ^＝112－5×6×3.4200－5×62＝0.5，a ^＝y －b ^x ＝3.4－6×0.5＝0.4. 从而得回归直线方程y ^＝0.5x ＋0.4.(3)当x ＝10时，y ^＝0.5×10＋0.4＝5.4(百万元)．故当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元．。
山东省日照市2022-2023学年高二上学期期中校际联考数学试题 word版含答案
2021级高二上学期期中校际联合考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数2i2iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．45-B ．4i 5- C ．45D ．4i 52．圆2210x y +-=和圆224240x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离3．已知向量(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(1,3,)c λ=，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．211322a b c -++ B ．111222a b c -++ C ．211322a b c ---D ．221332a b c -+-5．已知直线1110a x b y ++=和直线2210a x b y ++=都过点(3,1)A ，则过点()111,P a b 和点()222,P a b 的直线方程是（ ）A ．310x y ++=B ．310x y -+=C ．310x y +-=D ．310x y ++=6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下额的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份，如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为lcm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．1.8cmB ．2.5cmC ．3.2cmD ．3.9cm7．如图，二面角l αβ--的平面角为60°，线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成角的正弦值是（ ）A ．14B ．13CD8．已知点()00,P x y ，直线:0l Ax By C ++=，且点P 不在直线l 上，则点P 到直线l的距离d =；类比：当点()00,P x y 在函数()y f x =图象上时，点P 到直线l 的距离公式变为d=，根据该公式可求33x x ++-的最小值是（） A ．B ．4C ．D ．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．复数112z=-+，212z =--（i 为虚数单位），则正确的是（ ） A ．1z ，2z 互为共轭复数 B ．12z z = C ．212z z =D ．33121z z -=10．一个底面半径为4的圆柱被一个60°的二面角所截，其中一个截面为圆，另一个截面为椭圆，则正确的是（ ）A ．椭圆的长轴长为8B ．椭圆的离心率为2C ．椭圆的离心率为12D ．椭圆的一个方程可能为2216416x y += 11．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE BE CE DE ===，若正四面体ABCD 的棱长为2，则正确的是（ ）A ．64BE =B ．62EA EB EC ++= C ．1cos ,3EC EB 〈〉=D ．2AE AB ⋅=12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点（含端点），则正确的是（ ）A ．存在点M ，使得1C M ⊥平面1A DBB ．存在点M ，使得直线AM 与直线1BC 所成的角为60° C ．存在点M ，使得三棱锥11D C DM -的体积为18D ．不存在点M ，使得αβ>，其中α为二面角1M AA B --的平面角，β为直线1MA 与AB 所成的角三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-（i 为虚数单位），则复数12z z =______．14．已知圆22:4O x y +=，()00,M x y 为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l ．当l 在两坐标轴上的截距相等时，l 的方程为______．15．已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为1和2，P 是上底面的线段11B C 上一点．若PA PC ⋅的最小值为12，则该正四棱台的高为______． 16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点的直线与C 交于A ，B 两点（A 在第一象限），若AB =，且11sin 2sin ABF BAF ∠≤∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知z 是复数，2i z +（i 为虚数单位）为实数，且8z z +=． （1）求复数z ；（2）若复数2(i)z a +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知直线2310x y -+=和直线20x y +-=的交点为P ． （1）求过点P 且与直线310x y --=平行的直线方程；（2）若直线l 与直线310x y --=垂直，且P 到l 的距离为5，求直线l 的方程． 19．（12分）如图，在直角POA △中，PO OA ⊥，24PO OA ==，将POA △绕边PO 旋转到POB △的位置，使90AOB ∠=︒，得到圆锥的一部分，点C 为AB 上的点，且13AC AB =． （1）求点O 到平面P AB 的距离；（2）设直线PC 与平面PAB 所成的角为ϕ，求sin ϕ的值．20．（12分）已知直线0x y m -+=与圆22:420C x y x y m +--+=交于A ，B 两点，且AB =（1）求m 的值；（2）当0m >时，求过点(4,4)P 的圆C 的切线方程． 21．（12分）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，2BC =，4AB =，60ABC ∠=︒．（1）求证：BE ⊥平面ACE ；（2）若直线CE 与平面ABC 所成的角为45°，求二面角E AB C --的余弦值．22．（12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为A ，B ，又A ，B 与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为2．圆222:(2)(0)A x y r r ++=>的圆心为椭圆的左顶点A ．（1）求椭圆C 的方程； （2）当圆A 半径43r =时，过椭圆外一点垂直于x 轴的圆A 的切线为l ，点Q 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AQ ，BQ 与直线l 分别交于G ，H 两点．求GH 的最小值；（3）圆A 与椭圆C 交于点M ，N ．点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线PM ，PN 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．求证：OR OS ⋅为定值．2021级高二上学期期中校际联合考试数学参考答案 2022．11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1-4 CBAA5-8 ABCB1．C 解析：因为22i (2i)34i 342i (2i)(2i)555z ---====-++-， 所以34i 55z =+，即z 的共轭复数的虚部为45． 2．B 解析：两个圆的半径为1和324<<，所以两圆相交．3．A 解析：因为a ，b ，c 三向量共面，所以a xb yc =+，即(2,1,3)(1,4,2)(1,3,)x y λ-=--+，整理得2,143,32,x y x y x y λ=-+⎧⎪-=+⎨⎪=-+⎩，解得1,1,1,x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩．4．A 解析：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++，故选A ． 5．A 解析：将点(3,1)A 分别代入直线可得11310a b ++=和22310a b ++=，所以过点()111,P a b 和点()222,P a b 的直线方程是310x y ++=．6．B 解析：如图所示：以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线142:312422x y AB --=---，整理得2270x y -+=．原点O2.5=≈．7．C 解析：如图，作AO β⊥于O ，AC l ⊥于C ，连接OB ，OC ，作AO β⊥于O ，AC l ⊥于C ，连接OB ，OC ，则OC l ⊥，则30ABC ∠=︒，60ACO ∠=︒，设AB 与β所成角为θ，则ABO θ∠=，由图得sin sin 30sin 604AO AC AO AB AB AC θ==⋅=︒⋅︒=， 8．B解析：33x x ++-=令y 221(0)x y y +=≥，该方程表示以(0,0)为圆心，以1为半径的半圆，表示该半圆上的点到直线2:30l x y -+=的距离，3x -表示该半圆上的点到直线1:30l x y +-=的距离，表示半圆上的点到直线1:30l x y +-=和2:30l x y -+=的距离之和，设为d ，设半圆上点(cos ,sin )P θθ，[0,]θπ∈，则P 到1l 与2l 的距离之和d =+=， 因为[0,]θπ∈，所以sin [0,1]θ∈，所以62sin [4,6]θ-∈，所以d ∈，所以33x x ++-+=[4,6]d ∈所以33x x ++-的最小值为4．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．ABC 10．BD 11．BD 12．ACD9．ABC 解析：依据共轭复数的定义，故A 选项正确；共轭复数121z z ==，故B 选项命题正确；22121122z z ⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭；C 选项命题正确；33121z z ==，33120z z -=，故D 选项错误．10．BD 解析：由题意可得椭圆的长轴长2242161cos602r a ⨯===︒，短轴长28b =，所以c ===，所以可得离心率c e a === 所以BD 正确，AC 不正确，11．BD 解析：O 是顶点A 在下底面的射影，AO 是四面体的高，OB 是下底面的外接圆半径，则OB =AO =，OE =，对于A ，由勾股定理可得62BE =A 错误； 对于B ，∵AE BE DE ==，∴()EA EB EC ED +=-+，∴0EA EB EC ED +++=，∴62EA EB EC ED BE ++===，故B 正确； 对于C ，1cos ,cos ,cos()cos 3EC EB EA EB BEO BEO π〈〉=〈〉=-∠=-∠=-，故C 错误； 对于D ，2AE AB ⋅=，故D 正确．12．ACD 解析：以点B 为坐标原点，BC 、BA 、1BB 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则()0,1,0A ，()0,0,0B ，()1,0,0C ，()1,1,0D ，()10,1,1A ，()10,0,1B ，()11,0,1C ，()11,1,1D ， 设1(,,)BM tBD t t t ==，即点(,,)M t t t ，其中01t ≤≤．对于A ：假设存在点M ，使得1C M ⊥平面1A DB ，因为1(1,,1)C M t t t =--，(1,1,0)BD =，1(0,1,1)BA =，则111210210C M BD t C M BA t ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得12t =，故当点M 为线段1BD 的中点时，1C M ⊥平面1A BD ，即选项A 正确；对于B ：假设存在点M ，使得直线AM 与直线1B C 所成的角为60°，(,1,)AM t t t =-，1(1,0,1)BC =-， 因为10AM BC t t ⋅=-=，即1AM B C ⊥，所以不存在点M ，使得直线AM 与直线1B C 所成的角为60°，即选项B 错误；对于C ：假设存在点M ，使得三棱锥11D C DM -的体积为18， 11211122C DD S =⨯=△，且点M 到平面11CDD C 的距离为1t -，则1111111(1)328D C DM M C DD V V t --==⨯⨯-=，解得14t =，所以当点M 为线段1BD 的靠近B 的四等分点时，三棱锥11D C DM -的体积为18，即选项C 正确；对于D ：(,1,)AM t t t =-，1(0,0,1)AA =， 设平面1AA M 的法向量为(,,)m x y z =， 则10(1)0m AA z m AM tx t y tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+=⎪⎩，取1x t =-，可得(1,,0)m t t =-，易知平面1AA B 的一个法向量为(1,0,0)n =，则||1cos |cos ,|||||(1m n m n m n t α⋅=〈〉==⋅-1(,1,1)AM t t t =--，(0,1,0)BA =，111cos cos ,||AM BA A M BA A M BA t β⋅===⋅因为0<≤1[0,1]t -∈， 则cos cos αβ=≥=，因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且余弦函数cos y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 则αβ≤，即不存在点M ，使得αβ>，即选项D 正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．5- 解析：因为12z i =-，复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，所以22z i =--，因此2212(2)(2)(2)(2)25z z i i i i i =---=-+=-=-14．0x y +-=15．32解析：正四棱台1111ABCD A B C D -以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 点作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立如图空间直角坐标系：设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为(0)h h >，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，3,,2P t h ⎛⎫⎪⎝⎭，其中1322t ≤≤， 所以3,,2PA t h ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1,2,2PC t h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以22313()(2)()()2224PA PC t t h h t t h ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=-+-， 令223()24f t t t h =-+-，显然()f t 是开口向上的二次函数，当1t =时()f t 取得最小值274h -，所以27142h -=，解得32h =．16．2⎛ ⎝⎦解析：∵直线AB 过原点，所以A ，B 关于原点对称，即OA OB =，2AB c ==，又∵12OF OF =，122F F c =，∴四边形12AF BF 为矩形，∴1290F AF ∠=︒则12222122(2)AF AF a AF AF c +=⎧⎨+=⎩，易得()2222121222222121224114AF AF AF AF c e a e AF AF AF AF +⋅==⇒=+++ 在1Rt AF B △中，11sin AF ABF AB ∠=，11sin BF BAF AB∠= ∵11sin 2sin ABF BAF ∠≤∠，∴112AF BF ≤，∵12BF AF =，∴122AF AF ≤， ∵A 在第一象限，∴12AF AF >，∴2122AF AF AF <≤，∴1212AF AF <≤． 令12AF t AF =，则有152,2t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，∴12221212212224,115AF AF AF AF AF AF t t AF AF ⋅⎡⎫==∈⎪⎢+⎣⎭++， ∴12222122191,25AF AF e AF AF ⋅⎡⎫=+∈⎪⎢+⎣⎭，215,29e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即2e ⎛∈ ⎝⎦．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析：（1）根据题意，设复数i(,)z c d c d =+∈R ，则2i (2)i z c d +=++为实数，即20d +=，解得2d =-，所以2i z c =-．又∵8z z +=，∴28c =，得4c =，所以42i z =-．（2）222(i)(42i i)16(2)8(2)i z a a a a +=-+=----对应的点在第四象限，所以216(2)0,8(2)0,a a ⎧-->⎨--<⎩所以26,2,a a -<<⎧⎨<⎩解得22a -<<．所以实数a 的取值范围是(2,2)-．18．解析：（1）联立231020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，可知交点(1,1)P设与直线310x y --=平行的直线方程为130x y c -+= 把交点(1,1)P 代入可得1130c -+=，∴12c =，． ∴所求的直线方程为：320x y -+=．（2）设与直线310x y --=垂直的直线方程为2:30l x y c ++=， ∵(1,1)P 到l5=，解得22c =-或6-， ∴直线l 的方程为：320x y +-=或360x y +-=19．解析：（1）由题意知：PO OA ⊥，PO OB ⊥，OA OB O ⋂=，OA ⊂平面AOB ，OB ⊂平面AOB ， ∴PO ⊥平面AOB ，又24PO OA ==，所以PA PB ==，AB =162PAB S =⨯=△，设点O 到平面P AB 的距离为d ，由O PAB P OAB V V --=得1116422332d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得43d =；（2）以O 为原点，OA ，OB ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(2,0,0A ，(0,2,0)B ，(0,0,4)P ， 由题意知6AOC π∠=，则C ，所以(2,2,0)AB =-，(2,0,4)AP =-，(3,1,4)PC =-． 设平面P AB 的法向量为(,,)n a b c =，则220240n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1c =，则2a b ==，可得平面P AB 的一个法向量为(2,2,1)n =，所以2sin cos ,6n PC n PC n PCϕ⋅=〈〉===20．解析：（1）圆22:420C x y x y m +--+=可化为22(2)(1)5x y m -+-=-+∵AB =d =又∵圆心到直线的距离为d ===，∴1m =或5m =-（2）由题意，∵0m >，∴1m =，∴点(4,4)P 不在圆22:4210C x y x y +--+=上．①当切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-即440kx y k --+=．2=，解得512k =， 所以所求切线的方程为512280x y -+=． ②当切线的斜率不存在时，切线方程为4x =． 综上，所求切线的方程为4x =或512280x y -+=．21．解析：（1）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos 12AC BC AB AB BC ABC =+-⋅∠=， ∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又平面BCDE ⊥平面ABC ， 平面BCDE ⋂平面ABC BC =，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BCDE ，又BE ⊂平面BCDE ，∴BE AC ⊥∵BE EC ⊥，AC EC C ⋂=，AC ，EC ⊂平面ACE ，∴BE ⊥平面ACE （2）作EF BC ⊥于点F ，∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =，EF ⊂平面BCDE ， ∴EF ⊥平面ABC ，ECF ∠即为直线CE 与平面ABC 所成的角，∴45ECF ∠=︒， 又BE EC ⊥，∴BCE △为等腰直角三角形，∴F 为BC 中点， 过F 作FG AC ∥，交AB 于G ，则G 为AB 中点，∴FG BC ⊥， 则EF ，BF ，FG 两两互相垂直，则以F 为坐标原点，FB ，FG ，FE 为x ，y ，z 轴可建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,1)E ，(1,0,0)B，(1,A -，(1,0,0)C -，∴(2,AB =-，(1,AE =-∵EF ⊥平面ABC ，∴(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量； 设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =，则200n AB x n EA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得：x =z =(3,1,n =，∴3cos ,||||77m n m n m n ⋅〈〉===⋅ 由图形可知，二面角E AB C --为锐二面角，∴二面角E AB C --． 22．解析：（1）由题意知2,2,a ab =⎧⎨=⎩解之得2a =，1b =，故椭圆C 方程为2214x y +=； （2）直线10:3l x =-，由已知(2,0)A -，(2,0)B ， 设直线AQ 的斜率为k ，则AQ 的方程为(2)(0)y k x k =+>，得104,33G k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2224(2)4x k x ++=，即()222214161640k x k x k +++-=，所以22164214A QQ k x x x k -=-⋅=+，所以222814Q k x k-=+，将222814Q k x k -=+代入(2)y k x =+，得222284,1414k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22240114284214BQkk k k kk -+==---+，所以直线BQ 的方程为1(2)4y x k =--， 所以11042433H y k k ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，444183333H G GH y y k k k k ⎛⎫⎛⎫=-=--=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立．此时线段GH 的最小值是83． （3）设()00,P x y ，()11,M x y ，()11,N x y -， 则直线MP 的方程为()010001y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101R x y x y x y y -=-，同理100101S x y x y x y y +=+，故222210012201R S x y x y x x y y -⋅=-， 又点M 与点P 在椭圆上，故()220041x y =-，()221141x y =-， 得()()()2222221001012222010*******R S y y y y y y x x y y y y ----⋅===--，所以4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅=⋅=为定值．。
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联考期中试卷
高二数学试卷
考试时间：120分钟试卷分值：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.经过两点P(2,m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于,则m的值是( )
A.4
B.3
C.1或3
D.1或4
2.圆锥的侧面展开图是( )
A．三角形B．正方形 C．圆 D．扇形
3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为( )
A.-3或-1
B.3或1
C.-3或1
D.-1或3
4.一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不
可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②
5.一长方体木料,沿图①所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么图②所示的四个图形中是截面的是( )
图①图②
6．方程y＝k(x＋4)表示()
A．过点(－4,0)的所有直线B．过点(4,0)的一切直线
C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(－4,0)且除去x轴的一切直线
7.如图所示,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是( )
A.6
B.3
C.6
D.12
8.入射光线在直线l 1:2x-y-3=0上,先经过x 轴反射的直线为l 2,再经过y 轴反射的直线为l 3,则直线l 3的方程为( ) A.x-2y+3=0
B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0
D.2x-y+6=0
9.若球的表面积为16π,则用与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为( )
A.4π
B.
π
C.2π
D.π
10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l⊥β 11.已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么正方体的棱长等于( )
A ．2 2 B.223 C.423 D.43
3
12在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.3
4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16
,则a= .
14．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为________．
15.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m= . 16已知三棱锥PABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分))圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.
18．(本小题满分12分)已知所求直线的斜率是直线y ＝－3x ＋1的斜率的－1
3，且分别满足
下列条件： (1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5. 分别求该直线的方程．
19.( (本小题满分12分))
如图所示,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A,B 的任意一点,A 1A=AB=2.
(1)求证:BC ⊥平面A 1AC;
(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
20(本小题满分12分).△ABC 中三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(2,0),C(-3,0),过点C 作CD ⊥AB,垂足为点D,求点D 的坐标。
21(本小题满分12分)如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，F ，F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．
求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；
(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
22 . (本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，
DB的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求证：EF⊥B1C；
(3)求三棱锥B1EFC的体积．
参考答案
高二数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
13、4 14、4R 2 15、-或- 16、
1
3
2S 1S 2S 3 三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)
作出圆台的轴截面如图所示.
设O'A'=r,因为一底面周长是另一底面周长的3倍,所以OA=3r,SA'=
r,SA=3
r,OO'=2r.
由轴截面的面积为 (2r+6r)·2r =392,得r=7.故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为14.
18．∵直线方程为y ＝－3x ＋1，∴k＝－ 3.由题知，所求直线的斜率k 1＝－3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝33.(1)∵直线过点(3，－1)，∴所求直线方程为y ＋1＝3
3
(x －3)． (2)∵直线在y 轴上的截距为－5，∴所求直线方程为y ＝3
3
x －5. 19.(12分)
如图所示,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A,B
的任意一点,A 1A=AB=2. (1)求证:BC ⊥平面A 1AC;
(2)求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
(1)证明∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,
∴BC⊥AC.
由题意知,AA1⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,
∴AA1⊥BC.
∵AA1∩AC=A,AA1⫋平面A1AC,AC⫋平面A1AC, ∴BC⊥平面A1AC.
(2)解设AC=x(0<x<2),在Rt△ABC中,BC=(0<x<2),故
S△ABC·AA1=·AC·BC·AA1=.
∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值.
20(12分AB的截距式方程为=1,
即x+2y-2=0,又由直线CD⊥AB得k CD=2,
直线CD的方程为y=2(x+3),
解方程组
故点D坐标为(-2,2).
21(10分)如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
证明：(1)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，
∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又∵B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
22 .解：(1)证明：连接BD 1，在△DD 1B 中，E ，F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF∥D 1B.
因为EF∥D 1B ，D 1B 平面ABC 1D 1，EF 平面ABC 1D 1， 所以EF∥平面ABC 1D 1.
(2)证明：因为B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1， AB ，BC 1平面ABC 1D 1，AB ∩BC 1＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1. 又BD 1平面ABC 1D 1，
所以B 1C ⊥BD 1.又因为EF∥BD 1， 所以EF⊥B 1C.
(3)因为CF⊥平面BDD 1B 1，
所以CF⊥平面EFB 1且CF ＝BF ＝2， 因为EF ＝1
2
BD 1＝3，
B 1F ＝BF 2
＋BB 2
1＝（2）2
＋22
＝6， B 1E ＝B 1D 2
1＋D 1E 2
＝（22）2
＋12
＝3，
所以EF 2
＋B 1F 2
＝B 1E 2
，即∠EFB 1＝90°， 所以VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝1
3·S △B 1EF ·CF
＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×1
2×3×6×2＝1。