高中数学北师大版高二必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应用_作业 含解析
北师版数学必修5讲义： 第3章 4.3 简单线性规划的应用
4.3简单线性规划的应用1．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识．3．能够找出实际问题的约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．(难点)[基础·初探]教材整理简单线性规划的实际应用阅读教材P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题．1．简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量x、y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一条直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．2．若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．可考虑以下方法：(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．(2)调整最值法：先求非整点最优解及最值，再借助不定方程的知识调整最值，最后筛选出整点最优解．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的，也可能是无界的．()(2)线性目标函数的最优整数解不唯一．()(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点．()【解析】(1)若约束条件中的不等式中没有等于号可行域是无界的，若有等号则是有界的．(2)当目标函数与约束条件对应的直线平移时有无穷多个．(3)离非整点最近的点不一定在可行域中．【答案】(1)√(2)√(3)×[小组合作型]生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．。
北师大版高中数学必修五4.3简单线性规划的应用
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）第3章 4.3(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某学校用800元购买两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析： 设买A 种用品x 件，乙种用品y 件，剩下的钱为z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N ＋100x ＋160y ≤800.求z ＝800－100x －160y 最小时的整数解(x ，y )，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.答案： B2．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )货物 体积每箱(m 3)质量每箱(50 kg)利润每箱(百元)甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制 2413A.4,1 B ．3,2 C ．1,4D ．2,4解析： 设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ，y ∈N ＋，利润z ＝20x ＋10y .由线性规划知识可得x ＝4，y ＝1时，利润最大． 答案： A3．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组解析： 设甲种x 组，乙种y 组． 则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤253x ＋5y ≤20x ≥y y ≥1总的组数z ＝x ＋y作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示寻找整点分析，知选D.答案： D4.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35 C ．4D.53解析： 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0，设y ＝kx ，则k 的取值范围是________.解析：设直线x ＋y ＝3与直线x －y ＋1＝0交于点A ，直线x ＋y ＝3与直线3x －y －5＝0的交点为B ，直线x －y ＋1＝0与直线3x －y －5＝0交于点C ，则不等式所表示的就是△ABC 所在区域，y ＝kx 应在直线OA 与OB 之间，所以k OB ≤k ≤k OA ，即12≤k ≤2.答案： 12≤k ≤26．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万吨)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析： 设购买铁矿石A 为x ，购买铁矿石B 为y ，所花费用为z ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥192x ＋y ≤4x ≥0y ≥0.可行域如图中阴影部分所示：目标函数z ＝3x ＋6y ， 即y ＝－12x ＋z6.在A 点处z 有最小值由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＝192x ＋y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2.故A (1,2)∴z max ＝3×1＋6×2＝15. 答案： 15三、解答题(每小题10分，共20分)7．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0,8)处的值分别是 z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．8．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，该研究所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：产品A (件)产品B (件)研制成本、搭载费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额300万元 产品重量(千克)105最大搭载重量110千克预计收益(万元) 80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解析：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计收益z ＝80x ＋60y . 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤30010x ＋5y ≤110x ≥0y ≥0，作出可行域，如图：作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图像得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝302x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝4，即M (9,4)， 所以z ＝80×9＋60×4＝960(万元)．故应搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得利润最多达到960万元． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)某厂用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品，制造1 t A 、B 产品需要各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料 每味产品所需原料(t) 现有原料数(t)A B 甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润(万元/t)53— 问：(1)在现有原料条件下，生产A 、B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？解析： (1)设生产A 、B 两种产品分别为x t 、y t ， 则利润z ＝5x ＋3y (万元)，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝⎛⎭⎫245，225时，z 取大值3715， 即生产A 产品245t ，B 产品225 t 时可得最大利润．(2)设每吨B 产品的利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，即B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225t.若B 产品的利润超过15万元/t ， 则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t. 若B 产品利润低于2.5万元/t ， 则最优解为B (7,0)，即只生产A 产品7 t.。
北师版数学高二-必修5学案 简单线性规划的应用
4．3 简单线性规划的应用[学习目标] 1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值．[预习导引]1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解． 2．线性规划的实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.要点一 与最大值有关的实际问题例1 某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出可行域(如图所示)，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大 .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，得M (100,200)．∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．因此该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司收益最大，最大值为70万元．规律方法 解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l ；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解有关方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 跟踪演练1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价为7万元，乙产品每吨价为12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品________吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大． 答案 20 24解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)． 要点二 与最小值有关的实际问题例2 某公司的仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？ 解 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元)设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨；从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7－x )吨，(8－y )吨，[5－(12－x －y )]吨，即(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋ 4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126(单位：元)．则问题转化为求总运费z ＝x －2y ＋126在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥0，7－x ≥0，8－y ≥0，x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，0≤y ≤8，x ＋y ≥7，x ＋y ≤12下的最小值．作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 作平行移动，显然当直线l 移动到过点A (0,8)时，在可行域内，z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110(元)．即x ＝0，y ＝8时，总运费最少．所以仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．规律方法 (1)线性规划问题中条件往往较多，需注意借助表格或图形梳理题目中的条件． (2)在切实认真审题的基础上，将约束条件全部罗列出来，最后要检查能否取等号，未知量是否为正整数或有其他范围的限制．跟踪演练2 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元D ．2 800元答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N ＋，y ≤8，y ∈N ＋，20x ＋10y ≥100.作出其可行域如图．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取得最小值， z min ＝400×4＋300×2＝2 200(元)． 要点三 实际问题中的整数解问题例3 要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需A ，B ，C 规格成品，且使所用钢板张数最少？解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数z ＝x ＋y .作出可行域如图所示，作出直线x ＋y ＝0.作出一组平行直线x ＋y ＝t (其中t 为参数)．其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A(185，395)，直线方程为x＋y＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以，可行域内点(185，395)不是最优解，经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，且与原点距离最近的直线是x＋y＝12.经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解．所以要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．规律方法数学应用题解决的关键就在于正确地审清题意，正确地建模，切忌对题意妄加猜测，不按题意去解．另外解决这类题目时，要特别注意，目标函数所代表的直线斜率与边界直线斜率大小的比较，忽视了这一点，往往会出错．跟踪演练3某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A型卡车160元，B型卡车252元．试问，A型卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？解设每天出动的A型卡车数为x，则0≤x≤7；每天出动的B型卡车数为y，则0≤y≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x＋y≤9，每天要完成的搬运任务为48x＋60y≥360，每天公司所花成本费用为z＝160x＋252y.本题即求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，0≤y ≤4，x ＋y ≤9，48x ＋60y ≥360，且使z ＝160x ＋252y 取得最小值的非负整数x 与y 的值．不等式组表示的平面区域即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD 区域(含边界线段)，它的顶点是A (52，4)，B (7，25)，C (7,2)，D (5,4)．结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P 1(3,4)，P 2(4,4)，P 3(4,3)，P 4(5,2)，P 5(5,3)，D (5,4)，P 6(6,2)，P 7(6,3)，P 8(7,1)，C (7,2)10个．作直线l ：160x ＋252y ＝0.把l 向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P 4(5,2)，所以在点P 4(5,2)上，得到的z 的值最小，z min ＝160×5＋252×2＝1 304.即当公司每天出动A 型卡车5辆，B 型卡车2辆时，公司的成本费用最低.1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 答案 C解析设购买软件x 片，磁盘y 盒．则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500x ≥3，x ∈N＋y ≥2，y ∈N＋，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个． 2．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图像知在点M (15,55)处z 取得最大值．3．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为( ) A ．甲4组、乙2组 B ．甲2组、乙4组 C ．甲、乙各3组 D ．甲3组、乙2组 答案 D解析 设甲、乙两种工作小组分别有x 、y 人，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y ≥1.作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(2万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15解析 设购买铁矿石A 为x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，则根据题意得到约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，则z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．一、基础达标1．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )C ．1,4D ．2,4答案A解析 设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ，y ∈N ，利润为z ＝20x ＋10y .由线性规划知识可得x ＝4，y ＝1时利润最大，故选A.2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元D ．24万元答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图像知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．3．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元答案 D解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值， 此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．5．某生产车间生产甲、乙两种产品，已知制造一件甲种产品需要原材料A 5个、原材料B 3个；制造一件乙种产品需要原材料A 3个、原材料B 3个；现有原材料A 180个，原材料B 135个．据市场调查知，每件甲产品可获利润20元，每件乙产品可获利润15元，在现有条件下，生产获得最大利润为________元． 答案 785解析 设生产甲产品x 件，乙产品y 件，获得利润为z 元，则z ＝ 20x ＋15y ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋，5x ＋3y ≤180，3x ＋3y ≤135.作出可行域，如图，由图可知，当直线z ＝20x ＋15y 过点A 时， z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝180，3x ＋3y ＝135，得A (452，452)．因为x ，y 都是正整数，所以易知当x ＝22，y ＝23时， z 有最大值为20×22＋15×23＝785(元)．6．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一族直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．7．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下：(1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300⇒x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600⇒y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600 解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 二、能力提升8．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]答案 C解析满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2的平面区域为：如下图所示的PQS 所在的平面区域． 设M 点坐标为(x ，y )，则OA →·OM →＝－x ＋y ， 令z ＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z ，移动直线y ＝x 可知， 当直线y ＝x ＋z 过点S (1,1)时z 最小， 过点P (0,2)时z 最大．所以z min ＝－1＋1＝0，z max ＝0＋2＝2.9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行域为如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．11．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司应怎样合理计划当天派用两类卡车的车辆数，并求最大利润z?解 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，如图阴影部分所示．然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点A (7,5)时，目标函数取得最大值，即z max ＝450×7＋350×5＝4 900元． 三、探究与创新12．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12 mg 阿司匹林，70 mg 小苏打，28 mg可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？解 设A ，B 两种药品分别为x 片和y 片，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x ＋6y ≥28，x ≥0，y ≥0，两类药片的总数为z ＝x ＋y ，两类药片的价格和为k ＝0.1x ＋0.2y . 如图所示，作直线l ：x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上一点A ，且与原点最近．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，5x ＋7y ＝70，得交点A 坐标为⎝⎛⎭⎫149，809. 由于A 不是整点，因此不是z 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z 的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x ＝3，y ＝8时，k 取最小值1.9，因此当A 类药品3片、B 类药品8片时，药品价格最低．。
高中数学 §4.3 简单线性规划的应用教案 北师大版必修5
§4.2简单线性规划的应用教学目的：1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：求得最优解 教学难点：求最优解是整数解 教材分析：线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程： 一、复习引入：1．二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解 3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）; （2）设0=z ，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ; （4）最后求得目标函数的最大值及最小值4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解5．判断可行区域的方法： 由于对在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入C By Ax ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 二、讲解新课：例1：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每g 10含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每g 10含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。
高中数学北师大版必修五学案：第三章 4.2 简单线性规划
4.2 简单线性规划学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．问题 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y ②的最大值．以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念． 知识点一 约束条件在上述问题中，不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的____次不等式，故又称线性约束条件．知识点二 目标函数在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x 、y 的____次解析式，这样的目标函数称为二元线性目标函数．知识点三 二元线性规划问题一般地，在线性约束条件下求________________的最大值或最小值问题，统称为二元线性规划问题．知识点四 可行解、可行域和最优解在线性规划问题中，满足约束条件的解(x ，y )称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫________，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个________，其中能使②式取最大值的可行解称为________．类型一 最优解问题 命题角度1 唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y 的最大值．反思与感悟 (1)图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤 ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围． 命题角度2 最优解不唯一例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0，，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值．反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．跟踪训练2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35 C ．4 D.53类型二 生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负．当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大．(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关．跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲，乙两种货物应各托运的箱数为________．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52。
高中数学3.4.3简单线性规划的应用北师大版必修5
30x＋20y＝300， 5x＋10y＝110
(x≥0，y≥0，x，y∈Z)，
得xy＝＝49，， ∴点 M 坐标为(4,9)． 将 x＝4，y＝9 代入目标函数 z＝6x＋8y， 得 z＝6×4＋8×9＝96(百元)为最大． 答：当月供应量为电子琴 4 架、洗衣机 9 台时， 该公司可获得最大利润为 9600 元．
解析：设该人每天服用甲种胶囊 x 粒，乙种胶囊 y 粒，得到维生素 Z z mg，由题意得
x＋3y≤19， x＋2y≤13， 4x＋y≤24， 4x＋3y≥12， x≥0， y≥0，
目标函数为 z＝5x＋2y.
作出不等式组表示的平面区域如图所示，
作出5x＋2y＝0. 把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z ＝5x＋2y取得最大值．
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
[变式训练2] (图表信息题)北京华欣公司计划在今年 内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣 机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销 售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定 产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种 产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到 关于这两种产品有关数据如下表：
(2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市．当28台 机器全部调完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值 和最小值.
解析：第一步，列表、分析条件： 表1
供方
Байду номын сангаас
运费
A
B
高中数学北师大版必修5 第三章4.2 简单线性规划 作业2 Word版含解析
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，－32≤x ≤3表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0－32≤x ≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0－32≤x ≤3x ＋y≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0－32≤x ≤3x ＋y ≤0，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.2．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1，1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝3.3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2，4)，B (－1，2)，C (1，0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1，3]B ．[－3，1]C ．[－1，3]D ．[－3，－1] 解析：选C.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1，3]．4．直线2x ＋y ＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1 解析：选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1，1)的连线的斜率，由图可知点A (－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z 最大．答案：(0，5)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，y x＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1，2)，B (3，0)， 所以0≤yx≤2.答案：28．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故可看成直线绕点(0，1)旋转．当a ＞－1时，可行域是一个封闭的三角形区域，由12×(a ＋1)×1＝2得a ＝3.答案：39．如果由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤2－x ，t ≤x ≤t ＋1所确定的平面区域的面积为S ＝f (t )(0＜t ＜1)，试求f (t )的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP (如图)，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而S △OPD ＝12×1×2＝1，S △OAB ＝12t 2，S △ECD ＝12(1－t )2所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12(0＜t ＜1)．10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(2)求z＝y ＋5x ＋5的取值范围．解：作出可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝⎛⎭⎫1，53. 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5，3)． 所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率，由图可知，k BD ≤z ≤k CD .因为k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，所以z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，2615. [B.能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．无数个解析：选B.如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域．因为OA →·OB →＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2. 2.如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53解析：选B.由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．因为k AC ＝－35，所以a ＝35. 3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0y ≤n x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________． 解析：先根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3，作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其他部分．答案：(2，＋∞)4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y 的最小值是1.答案：15．设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，求m 的取值范围．解：由题意知，可行域应在圆内，如图阴影部分所示，如果－m ＞0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内，故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置，此时－m ＝－43，所以m ＝43.所以0≤m ≤43.6．实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)．所以在如图所示的坐标平面aOb 内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率． k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1.由图可知，k AD ＜b －2a －1＜k CD.所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝⎛⎭⎫14，1.(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．。
高中数学北师大版必修5 第三章4.2 简单线性规划 作业2 Word版含解析
,[学生用书单独成册])[.基础达标]．不等式组表示的平面区域是( )．矩形．三角形．等腰梯形．直角梯形解析：选.不等式组⇔或，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选.．若，∈，且则＝＋的最小值等于( )．．．．解析：选.可行域如图阴影部分所示，则当直线＋－＝经过点(，)时，＝＋取得最小值，为＋＝.．在△中，三个顶点分别为(，)，(－，)，(，)，点(，)在△的内部及其边界上运动，则－的取值范围为( )．[，]．[－，]．[－，－]．[－，]解析：选.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数＝－的取值范围．由图求出其取值范围是[－，]．．直线＋＝与不等式组表示的平面区域的公共点有( )．个．个．个．无数个解析：选.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(，)点，故只有个公共点(，)．．实数，满足不等式组则＝的取值范围是( )解析：选.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数＝表示阴影部分的点与定点(－，)的连线的斜率，由图可知点(－，)与点(，)连线的斜率为最小值，最大值趋近于，但永远达不到，故－≤＜.．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数＝＋取得最大值的点的坐标是．解析：首先作出直线＋＝，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(，)时截距最大，此时最大．答案：(，)．已知实数，满足则的最大值为．解析：画出不等式组对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，＝表示平面区域Ω上的点(，)与原点的连线的斜率．(，)，(，)，所以≤≤.答案：．在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组的可行域，而直线－＋＝恒过点(，)，故可看成直线绕点(，)旋转．当＞－时，可行域是一个封闭的三角形区域，由×(＋)×＝得＝.答案：．如果由约束条件所确定的平面区域的面积为＝()(＜＜)，试求()的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形(如图)，其面积＝()＝△－△－△，而△＝××＝，△。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学北师大版高二必修5_第三章4.2、4.3_简单线性规划及其应用_作业 含解析[学业水平训练]1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值．2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：选D.作出可行域如图所示．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D.3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4， ∴z m in ＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x ＋y ＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x －y ≥－24x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y取得最小值，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m 得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最大值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2 107．(2013·高考大纲全国卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是________．解析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3，4)．故z 的最大值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 答案：27万元9．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，若r 2＝(x ＋1)2＋(y －1)2(r >0)，求r 的最小值．解：作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2所表示的平面区域如图：依据上图和r 的几何意义可知：r 的最小值是定点P (－1，1)到直线y ＝x 的距离，即r m in ＝|1＋1|2＝ 2.10．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个．乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N ，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域如图所示中阴影部分的整点．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5. 所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．[高考水平训练]1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≤42x －y －2≥0，则w ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，2)D ．[－12，＋∞)解析：选C.把w ＝y －1x ＋1理解为一动点P (x ，y )与定点Q (－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x ＝1，y ＝0时，w m in ＝－12，且w ＜2.2．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x＋2y的最小值是________．解析：由不等式组，得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.∴z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：13．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．4．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，(1)若z ＝2x ＋y ，求z 的最大值和最小值；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值；(3)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最大值为13，最小值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx≤2，∴z 的最大值为2，最小值为12.。