北师大版高中数学必修五期末综合测试卷

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北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

2022-2021学年高中数学北师大版必修5章末综合测评1

章末综合测评(一) 数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·福州高二模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14【解析】由a 1＝2，S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12可得d ＝2， ∴a 6＝a 1＋5d ＝12.【答案】 C2．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝1【解析】∵T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 23·a 23·a 3＝1，∴a 3＝1. 【答案】 B3．若一个等差数列前三项的和为34，最终三项和为146，且全部项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝34，a n ＋a n －1＋a n －2＝146，∴3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.即n2(a 1＋a n )＝390，n ＝13. 【答案】 A4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12B ．13C ．12或13D ．14【解析】 ∵a 13＝0，∴n ＝12或13，S n 最大．【答案】 C5．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( ) A ．15 B ．24 C ．27 D ．54【解析】由已知a 3＋a 4＋a 8＝3a 1＋12d ＝9，故a 1＋4d ＝3，即a 5＝3，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27.【答案】 C6．(2022·郑州高二检测)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0【解析】设等比数列的公比为q .由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.由于a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.【答案】 A7．已知等差数列前n 项的和为S n ，若S 13＜0，S 12＞0，则在数列中确定值最小的项为( ) A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ S 13＜0，S 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 13＜0，a 1＋a 12＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＋a 7＜0，a 6＋a 7＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 7＜0，a 6＞0，∴确定值最小的项为第7项．【答案】 C8．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8D ．以上都不对【解析】 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2＞0，a 6＞0，∴a 4＝a 2q 2＞0，∴a 4＝8. 【答案】 A9．通过测量知道，温度每降低6 ℃，某电子元件的电子数目就削减一半．已知在零下34 ℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27 ℃时，该元件的电子数目接近( )A ．860个B ．1 730个C ．3 072个D ．3 900个【解析】由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a 1＝3，q ＝2，由27－(－34)＝61，616＝1016，可得，a 11＝3·210＝3 072.【答案】 C10．数列{a n }中，a n ＝3n －7(n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( ) 【导学号：67940031】A ．唯一存在，且为13 B ．唯一存在，且为3 C ．存在且不唯一 D ．不肯定存在【解析】依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13， ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3. 【答案】 B11．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，…则2 016位于第( )A ．30组B ．31组C ．32组D ．33组【解析】 ∵前n 组偶数总的个数为： 2＋4＋6＋…＋2n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .∴第n 组的最终一个偶数为2＋[(n 2＋n )－1]×2＝2n (n ＋1)．令n ＝30，则2n (n ＋1)＝1 860；令n ＝31，则2n (n ＋1)＝1 984；令n ＝32，则2n (n ＋1)＝2 112. ∴2 016位于第32组．【答案】 C12．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的挨次)是等比数列，则a 1d 的值为( )A ．－4或1B ．1C ．4D ．4或－1【解析】若删去a 1，则a 2a 4＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得d ＝0，不合题意；若删去a 2，则a 1a 4＝a 23，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得a 1d ＝－4；若删去a 3，则a 1a 4＝a 22，即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，化简，得a 1d ＝1；若删去a 4，则a 1a 3＝a 22，即a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简，得d ＝0，不合题意，故选A. 【答案】 A。

【北师大版】高中数学必修五期末模拟试卷(及答案)

一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13] 3．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．5B ．4C ．3D ．24．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D，且CD =，3a b =，则c 的值为（）A ．72BC ．3 D．6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若1,a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BCa ，则c bb c+的最大值是（） A ．8B ．6C．D ．48．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则AEF 的周长的最小值为（） A ．36sin 20︒B．C ．12D．9．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－39210．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（） A ．2B ．2C ．22D ．411．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A ．153B ．190C ．231D ．27612．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 14．已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.15．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()243220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.16．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4c =，1cos 4C =-且3sin 2sin A B =，则a =________.17．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =____.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.19．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________20．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.三、解答题21．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值；（2）求x y +的最小值22．已知圆22:4210C x y x y +---=．（1）求y 轴被圆C 所截得的线段的长；（2）过圆C 圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S ，求S 的最小值．23．在ABC 中，已知边长是5,7,8BC AC AB ===. （1）求角B ；（2）求ABC 的面积；（3）求ABC 外接圆面积.24．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4B π=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A 的值；①b =c =②3a =，c =注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. （2）若b =3a c +=，求ABC 的面积．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+. （1）求证数列{}1n a +是等比数列；（2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．A解析：A 【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β） =（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．3．B解析：B 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x =⎧⎨=⎩解得(2,2)B ．代入目标函数z x y =+得224z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．4．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以121212()12()()22333332x x x x x x f x f x -----+++⋅=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得221616471692cos 3c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.6．A解析：A 【详解】由题设可得060B =，运用正弦定理可得11sin sin 60sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b AB <⇔<，应选答案A ．7．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c +2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 22bc A a =，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭，所以c bb c +的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.8．D解析：D 【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果．【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒，当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小，故1AA 为AEF ∆的周长的最小值，又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，22166266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．9．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.10．C解析：C 【分析】先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)，{}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】将所求代数式变形为1121121a b a b b b+=+----，将所求代数式与()1b b +-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a ba b+--的最小值. 【详解】已知正实数a 、b 满足21a b +=，则1211112112121a b b b a b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b b b b b b b b -⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b -=时，即当1b =时，等号成立，因此，11a ba b +--12.12. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．2【分析】令从而可得再利用基本不等式即可求解【详解】令则且∴∴当且仅当取等号即时成立故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必解析：2 【分析】令2019a x +=，2020b y +=，从而可得1()14042x y +=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令2019a x +=，2020b y +=，则2019x >，2020y >且4042x y +=， ∴1()14042x y +=， ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y xx y⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭≥，当且仅当y xx y=取等号，即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为：2 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案解析：56π 【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得2a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，化简得tan 2θ=即可得解.【详解】设不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b为方程()2220x x θ-+=的两个根，1a ，1b为方程()224sin 210x x θ++=的两个根，由韦达定理得2a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，所以22sin 22θθ=-即tan 2θ= 又 ,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()2,2θππ∈，所以523πθ=即56πθ=. 故答案为：56π. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.16．【分析】根据正弦定理得到之间的关系再根据角对应的余弦定理结合已知条件即可求解出的值【详解】因为所以所以又因为所以解得故答案为：【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形其中涉及利用正弦定理完成角化边主要解析：2【分析】根据正弦定理得到,a b 之间的关系，再根据角C 对应的余弦定理结合已知条件即可求解出a 的值.【详解】因为3sin 2sin A B =，所以32a b =，所以32b a =，又因为4c =，1cos 4C =-，所以22316123422a a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭-=⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得2a =，故答案为：2. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，其中涉及利用正弦定理完成角化边，主要考查学生对公式的熟练运用，难度一般.17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解解析：6π【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B =根据正弦定理：sin sin b cB C= ∴可得c =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<<∴6A π=故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得3c =，进而可得3a b =，再由余弦定理即可求得cos B =，利用平方关系求得sin 10B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以a =，所以22222258cos 233b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B ==，所以sin tan 3cos BB B==，故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.19．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+，所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ，所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.20．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭，即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭，所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.三、解答题21．（1）4；（2）4. 【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值. 【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号）， ∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤，即2()()802x y x y +-++≥，整理得：2()()3204x y x y +++-≥， ∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号），所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.22．（1）2）4 【分析】（1）将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2210y y --=，将线段长为12y y -=和韦达定理相结合即可得出结果；（2）设:1(,0)x yl a b a b +=>，由直线过圆心可得211a b=+，利用基本不等式可得8ab ≥，最后根据三角形面积公式即可得出结果. 【详解】（1）设圆22:4210C x y x y +---=与y 轴的交点为()10y ,，()20,y ，将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2210y y --=，即122y y +=，121y y ⋅=-，所以y 轴被圆C 所截得的线段的长为12y y -==（2）设:1(,0)x yl a b a b +=>，由于l 过(2,1)C ，∴211a b=+，利用基本不等式，得2118ab a b =+≥≥，∴142S ab =≥，即S 的最小值为4，此时4,2a b ==，:142x yl +=，即:240l x y +-= 【点睛】本题主要考查了直线截圆所得弦长问题，直线截距式的应用，利用基本不等式求最值，属于中档题. 23．（1）3π；（2）3）493π. 【分析】（1）由余弦定理，求得1cos 2B =，即可求得角B 的大小；（2）由三角形的面积公式，即可求得ABCS 的面积；（3）由正弦定理，求得2sin AC R B ==. 【详解】（1）由题意，在ABC 中，5BC =，7AC =，8AB =，由余弦定理有2222225871cos 22582BC AB AC B BC AB +-+-===⋅⨯⨯，因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由三角形的面积公式，可得ABCS=11sin 8522AB BC B ⋅=⨯⨯= （3）由正弦定理，可得72sin sin 3AC R B π===，所以外接圆面积为2493ππ⨯=. 24．（121- 【分析】（1）选择条件①，由余弦定理求出3a =，再由正弦定理即可求出；选择条件②，由余弦定理求出b =（2）由余弦定理结合已知条件可求出4ac =-，再由面积公式即可求出. 【详解】（1）选择条件①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2230a a --=，解得3a =. 由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin a B A b ==. 选择条件②由余弦定理2222cos 5b a c ac B =+-=得b =由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin a B A b ==. （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得225a c =+，所以25()(29(2a c ac ac =+-+=-+，得4ac =-所以1sin 12ABCSac B ==. 25．（1）3nn a =；（2）1n n T n =+. 【分析】（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---即13nn a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=（2）.由3log n n b a =，得3log 3nn b n ==则()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.26．（1）证明见解析；（2）()()235412n n nT n n +=++【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=，所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n nn a -+=⋅=，所以2log 2nn b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.。

北师大版高中数学必修五期末综合测试卷

必修5期末综合测试卷一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 1．在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（）：A ．49B ．50C ．51D ．522．设x >0,y >0,y x y x a +++=1,yyx x b +++=11，a 与b 的大小关系（）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b3.已知{a n }等比数列，且a n >0,,252645342=++a a a a a a 那么53a a +=（）、y >0,x ＋y =1,且y x +≤a 恒成立,则a 的最小值为（）A ．22．2D ．2 5．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A ．135° B ．90°C ．120° D ．150 @6．设a 、a ＋1、a ＋2为钝角三角形的边，则a 的取值范围是（）A 0＜a ＜3B3＜a ＜4 C1＜a ＜3 D4＜a ＜6 7．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（） A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn n C ．2212nn n ++-D ．22121nn n -+-+8．已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是（）A 32x x <->-或B 12x <-或13x >- C 1123x -<<-D 32x -<<- 9．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有（）@A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值10．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（） A23B 2131n n --C 2131n n ++D 2134n n -+二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11．若x>0，y>0，且191=+yx ，则x+y 的最小值是___________ 12.不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是,13．已知数列{}n a 中，1a ＝－1，1+n a ·n a ＝n n a a -+1，则数列通项n a ＝___________ 14．ΔABC 中，若C A C B A sin sin sin sin sin 222=+-那么角B=___________15．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是_________________三、解答题：本大题共6小题，共75分。

北师大版高中数学必修五高二下学期期末考试试卷

11A .300 C .1200 D .1500 4. 5. 6. 7. A .5B .10；C .20 若不等式x +2^2xy <a （x+y ）对一切正数x 、 A1;D .2或4 y 恒成立，则正数a 的最小值为（ D 2<2+1；已知等差数列｛a n ｝的公差d^O,若a 5、a 9、a 15成等比数列，那么公比为 3 234 A .B .C .D . 4 32 c cosC A.直角三角形; B.等腰直角三角形Co 等腰三角形 D.等腰或直角三角形 +(—1)n +1(4n —3),则 D.13 陕西省西安六中2009-2010学年高二下学期期末考试试卷一、选择题(每小题5分，共50分) 1 1.已知数列｛a ｝中，a =2,a=a +-(n G N *)则a 的值为() 1n +1n 2,101 A.49B ・50C ・51D ・52 2.在△ABC 中，若a =2,b =2羽,A=300,则B 等于() A .60B .60或120C .30D .30或150 O00ooo 3.在三角形ABC 中，如果(a +b +c )(b +c -a )=3bc ，那么A 等于()设g ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81,log 3a ]+log 3a 2+...+log 3a 10的值是（ 8.已知数列｛a ｝的前n 项和为S =1—5+9—13+17—21+ nn S +S —S 的值是() 152231 A.-76B.76C.46 9.若x>0,y>0,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是（） A 当且仅当x=y 时s 有最小值2*'p ；B 当且仅当x=y 时p 有最大值》; C 当且仅当p 为定值时s 有最小值2j p ；D 当且仅当x=y 时有最大值中； 10.等差数列｛a n ｝中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项，余下10项的平均值是4,则抽取的是（）A.%B.aC.a10D.a911。

2022_2022学年高中数学章末综合测评2解三角形北师大版必修5

章末综合测评(二) 解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C ，一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，显然成立；④中由正弦定理得sin B ＝2sin A sin C ，未必成立．]2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B ＝23，则A 等于( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6A [由sin A ＋B sin B ＝23，得sinC sin B ＝23，∴c b＝23，即c ＝23b ，把c ＝23b 代入a 2－b 2＝3bc ，得a ＝7b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32．又A ∈(0，π)，则A ＝π6．] 3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，403D [由正弦定理可知c ＝a sin C sin A ＝403sin C ，因为0＜sin C ≤1，所以0＜c ≤403，即c ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，403，故选D ．]4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B ．78C ．－87D ．87B [设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78．] 5．已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A ．30°或150° B ．30°或60° C ．60°或120° D ．60°或150°A [由正弦定理得sin A ＝a 2R ＝32×3＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝30°或150°．] 6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3B [由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332．]7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3A [由a sin A －b sinB ＝4c sinC ，得a 2－b 2＝4c 2，∵cos A ＝－14，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A＝－14，∴－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6．]8．在△ABC 中，A ＝π3，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．不确定A [由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin Aa ＝4·326＝2>1，∴ B 不存在．]9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [如图，AB 为水柱，高度设为h ，D 在A 的正西方向，C 在D 的北偏东30°方向．且CD ＝100 m ，∠ACB ＝30°，∠ADB ＝45°．在△ABD 中，AD ＝h ，在△ABC 中，AC ＝3h ．在△ACD 中，∠ADC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝1002＋h 2－3h22·100·h ＝12， ∴h ＝50或－100(舍)．]10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5D [由倍角公式得23cos 2 A ＋cos 2A ＝25cos 2A －1＝0，cos 2A ＝125，△ABC 为锐角三角形cos A ＝15，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－125b －13＝0．即5b 2－12b －65＝0，解方程得b ＝5．]11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A ．1＋ 3B ．1＋32C ．2＋32D ．2＋ 3A [由已知12ac sin 30°＝32，2b ＝a ＋c ，∴ac ＝6，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30° ＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝4b 2－12－63， ∴b ＝3＋1．]12．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形B [∵2a cos B ＝c ，∴2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0．∴A ＝B ．又∵sin A sin B (2－cos C ) ＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12，∴2sin A sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2C 2＋12＝sin 2C 2＋12，∴2sin A sin B ＝1，即sin 2A ＝12，∵0<A <π2，∴sin A ＝22．∴A ＝π4＝B ，∴C ＝π－π4－π4＝π2．]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上) 13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝．4 [∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ．又a ＝2，∴b ＝3．由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16．∴c ＝4．]14．在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝．－16 [法一 AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16．法二特例法，假设△ABC 是以AB ，AC 为腰的等腰三角形，如图所示，AM ＝3，BC ＝10，则AB ＝AC ＝34，cos∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝－16．]15．在△ABC 中，已知BC ＝3，AB ＝10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积为． 1523 [如图，设△ABC 中AB 边上的中线为CD ．则在△BCD 中，BC ＝3，BD ＝5，CD ＝7， ∴cos B ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝120°， ∴sin B ＝32， ∴S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝12×3×5×32＝1543，∴S △ABC ＝2S △BCD ＝1523．]16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为．10米 [画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ，在△BCO 中，由余弦定理，得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，故塔高为10米．]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．[解] 结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b ．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosB ＝35．(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值． [解] (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45．由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a b sin B ＝25．(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理，得asin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A＝ 262sin A cos A ，∴cos A ＝63． (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63，则c 2－8c ＋15＝0． ∴c ＝5或c ＝3．当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C ．由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5．20．(本小题满分12分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．[解] 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，且我艇在C 处追上走私船，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，AB ＝12，根据余弦定理得(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2小时(t ＝－34舍去)．所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2·cosB －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35．(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求BA →在BC →方向上的射影． [解] (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )·sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )·sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35．(2)由cos A ＝－35，π2＜A ＜π，得sin A ＝45．由正弦定理有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22．由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4．根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．又∵cos B ＝cos π4＝22，故BA →在BC →方向上的射影为|BA →|cos B ＝22．22．(本小题满分12分)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sinB ＋sin 2A ＝sin 2C ．(1)求证：sin C 2cos A＝sin A ；(2)若B 为钝角，且△ABC 的面积S 满足S ＝(b sin A )2，求A ． [解] (1)证明：由sin A sin B ＋sin 2A ＝sin 2C ，得ab ＋a 2＝c 2， ∴c 2＝a (a ＋b )， ∴c a ＝a ＋bc，如图，在△ABC 中，延长BC 到D ，使CD ＝AC ＝b ，连接AD ，则△ABC ∽△DBA ． ∴∠D ＝∠BAC ，又∠ACB ＝2∠D ，则∠ACB ＝2∠BAC ，∴sin∠ACB ＝2sin ∠BAC cos∠BAC ， ∴sin∠ACB2cos∠BAC＝sin ∠BAC ．因此，结论成立． (2)由S ＝(b sin A )2，得12bc sin A ＝(b sin A )2， ∴c ＝2b sin A ， ∴sin C ＝2sin B sin A ，由(1)知，sin C ＝2sin A cos A ， ∴cos A ＝sin B ，∴cos A ＝cos π2－B ＝cos B －π2．又A ，B －π2∈0，π2，则A ＝B －π2，又C ＝2A ，∴A ＋A ＋π2＋2A ＝π，∴A ＝π8．。

北师大高中数学必修5综合测试卷及答案

必修五综合测试卷姓名：学号：得分：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则7a 的值等于( ) A ．1B ．14C ．15D ．162．∆ABC 中，AB45A =︒，C =75︒则BC=( ) A ．3-BC ．2D ．3．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为S n ，若3a +9a =6，则S 11=( )A ．12B ．33C ．66D ．994．对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题中①ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ，则a c b d +>+；③若a >b ，c >d ，则ac bd >；④a >b ，则1a >1b其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．15kmB ．30kmC ．15D ．km6．已知等比数列{}n a ，若1a +2a =20，3a +4a =80，则5a +6a 等于( ) A ．480B ．320C ．240D ．1207．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()cos cos sin a C c A B +=，则角B 的值为( ) A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π8．数列{}n a 满足a 1=1，()1122n n n a a n a --=≥+，则使得12009k a >的最大正整数k 为( )A ．5B ．7C ．8D ．109．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a10.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S 的值为A ．1B ．－1C ．2D ．21二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题后的横线上) 11.在钝角三角形ABC ∆中a=1,b=2.。

【北师大版】高中数学必修五期末试题附答案

一、选择题1．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（）． A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b +≥+-C ．||a b a b -≥-D ．3322a b ab +≥ 2．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣143．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<4．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（） A ．31c a -<<- B ．113c a -<<- C ．21c a -<<- D ．112c a -<<- 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π6．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC 的面积为（）A ．22B ．2C ．24D ．227．已知ABC ∆中，2a =，3b =，60B =，那么角A 等于（）A ．135B ．45C ．135或45D ．908．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A． B．C ．60mD ．20m9．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-10．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．4311．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（）A ．3B ．4C ．5D ．612．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（）（取111275=．．，121.29=）A ．25000元B ．26000元C ．32000元D ．36000元二、填空题13．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，则23m n +的取值范围为______．14．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.15．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 16．在ABC 中，点M 是边BC的中点，AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，1cos 7A =，则BC =________.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.三、解答题21．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值．22．已知函数2(4)()x f x x +=(0)x >．（1）解不等式：f （x ）＞503；（2）求函数f （x ）的最小值．23．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，5b c =，sin 1c A =.点D 是AC的中点，BD AB ⊥，求c 和ABC ∠.24．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD 和仰角α的正切值．25．已知n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数且n *∈N 若.130n n a a ++⋅>恒成立，求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和n S .26．从条件①()21n n S n a =+，②1(2)n n n S S a n -+=≥，③0n a >，22n n n a a S +=，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分．）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误. 详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，当512b a b -<<有3322a b ab <+，故D 项错误，其余恒成立：111222,a a a a a a+≥⋅=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时2220a b a b ab a b a b b a b a b ---+≥---+=⇒-≥-，当a b <时0a b a b ->>-，选D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.2．D解析：D 【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可．解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．3．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的4．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=，所以0,0a c ><，2b a c =--，因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-，将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->，即a c <-，得1ca<-，所以31ca-<<-，故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题5．D解析：D 【分析】先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积.【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+，所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．D解析：D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=，即可得到34A π=，然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC 中，所以tan 1A =-，即34A π=，所以sin 2A =，所以11sin 22222ABCSbc A ==⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.7．B解析：B 【分析】先由正弦定理求出sin A ，进而得出角A ，再根据大角对大边，大边对大角确定角A ．【详解】由正弦定理得：sin sin sin sin a b A B A B =⇒=，sin 2A B ==， ∴45A =或135，∵a b <，∴A B <，∴45A =，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．8．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．9．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.10．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=，所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.11．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =，故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．12．C解析：C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21200n n a a +=-，即16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴11126000480012a -=⨯，即1112480012600042000a =⨯+=，年利润为420001000032000-=元，故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -，求出新数列的通项关系.二、填空题13．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利解析：(1,2]. 【分析】设23m n t =+，方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，得到2210t t -->，再结合基本不等式，得到23440t t --≤，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】设23m n t =+，因为242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，可得221523m n t t --=⨯⨯，所以2210t t -->，解得1t >或12t <-，又由222235215235()24m n mnt t t +--=⨯⨯≤⨯=，当且仅当23m n =时，即0m n ==时等号成立，整理得23440t t --≤，解得223t -≤≤，所以12t <≤，即则23m n +的取值范围为(1,2].故答案为：(1,2]. 【点睛】方法点睛：设23m n t =+，利用换元法把方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式2210t t -->和23440t t --≤是解答的关键.14．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+，平移直线322zy x =-+，由图象可知当直线322zy x =-+，经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由2y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞.【分析】利用基本不等式求得24xx +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立，即24xx +在[]1,3x ∈的最大值为14，又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24xx +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用解析：【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值．【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-，在AMC中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，同理在AMB中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cosθθ==θ是锐角，显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=，∴2AC AB +的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．17．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC 的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析：)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=，由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=，进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=，所以8BD =，所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos CBD ∠==，所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠12==，在BCD △中，由正弦定理得sin sin 2BC BD BDC BCD ===∠∠，所以)41BC BDC =∠==.故答案为：)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.19．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=，所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+，又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所解析：217n -【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数，所以()()()2131313112222n d S d n n n n d a n d d n n n --=+⎛⎫--++ ⎪⎝=⎭=-，由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，解得131376d ≤≤，所以2d =，所以1215a a d =-=-，所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.三、解答题21．(1) m ＝2 (2) ab ＋bc 的最大值为2 【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ．（2）利用重要不等式求解ab+bc 的最大值． (1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1<x <1时，f (x )＝－1－3x <2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4.故当x ＝－1时，f (x )取得最大值2，即m ＝2.(2)因为a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，所以ab ＋bc ≤22222a b c ++ ＝2，即ab ＋bc 的最大值为2. 22．（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【分析】（1）令2(4)503x x +>，解得x 的范围与0x >求交集即可得解集. （2）将2(4)()x f x x+=展开整理，然后用基本不等式求最值.【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >.（2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=，当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16.【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，和基本不等式求最值，属于基础题. 23．5c =，34ABC π∠=. 【分析】由勾股定理求出BD ，再由sin BDA AD=，sin 1c A =，5b c =求出5c =，5b =，再由余弦定理求出a ，最后由正弦定理求出ABC ∠. 【详解】解：在直角三角形ABD 中，22222224b c BD AD AB c ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以2c BD =.所以5sin BD A AD ==. 又因为sin 1c A =，所以5c =由5b c =得，5b =.因为5sin A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin A A =-=. 在ABC 中，由余弦定理，得22255(5)255105a =+-⨯⨯⨯= 由正弦定理，得sin sin a b A ABC =∠，即510sin 55ABC =∠2sin 2ABC ∠=. 又因为,2ABC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以34ABC π∠=. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于正余弦定理的综合应用，综合利用两个定理求出c 和ABC ∠.24．231．【分析】设山的高度CD =x ，在ABC 中，利用正弦定理求得CB ，AC ，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB 2，然后在Rt ACD 中，由tan CDACα=求解. 【详解】设山的高度CD =x 米，由题可得∠CAB =45°，∠ABC =105°，AB =300米，∠CBD =45°．在ABC 中，得：∠ACB =180°-45°-105°=30°，利用正弦定理可得sin 30sin 45sin105AB CB AC==，所以()300sin 45300sin1053002,15062sin30sin30CB AC ⨯⨯====+，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB，在Rt ACD 中可得tan 1CD AC α=== 25．（1）*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩；（2）2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【分析】（1）先令12n nx t =，根据所给方程，得到()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，构造函数()()214log 2n g x x n x +=+，确定122n n n t +<<，再讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，结合题中条件，即可求出数列的通项；（2）根据（1）的结果，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，利用分组求和的方法，结合等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根，令12n n x t =，则12n nx t =，所以()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，记()()214log 2n g x x n x +=+，显然()g x 单调递增，且2221log 32n n g n n n n n n n +⎛⎫=+<+<+ ⎪⎝⎭，()()222111log 13132n n g n n n n n n n ++⎛⎫=+++=++>+ ⎪⎝⎭，所以122n n n t +<<，当*21()n k k N =-∈时，2112n k k t k --<<<，则[]11122n n n n a t k x ⎡⎤-===-=⎢⎥⎣⎦；当*2()n k k N =∈时，21122n k k t k +<<=+，则[]122n nn n a t k x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦；综上，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩；（2）由（1）可得，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩，当*21()n k k N =-∈时，()()1352461......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++211121002412461122222......22222222224n n n n n n n +---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当*2()n k k N =∈时，()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2220024224622222 (222)22222224n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；综上，2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，求出12n x 的范围，利用12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，通过讨论n 的奇偶，得出数列通项，即可求解. 26．（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】选①时，先写()1122n n S n a ++=+，作差得到n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即求得n a n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选②时，代入1n n n a S S -=-，化简得到是等差数列，求得2n S n =，再计算n a 即可，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选③时，先写21112n n n a a S ++++=，作差得到数列{}n a 是等差数列，即求得na n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可. 【详解】解：若选①，()21n n S n a =+，则()1122n n S n a ++=+，两式作差得()()11221n n n a n a n a ++-=++，即101n na a n n，n *∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项是111a =，公差是0，故1n a n =，所以n a n =；由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =，结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.若选②(2)n a n =≥，11a =，故0n S >1n n n a S S -=-=，=1=，2n ≥，故1=，公差是1n =，故2n S n =.2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，且11a =也适合该式，故数列{}n a 的通项公式21n a n =-；11a =，21k a k =-，()222k S k +=+，结合题意知，()()222112k k -=⋅+，即23830k k --=，解得3k =或13k =-，因为k 是正整数，所以3k =.若选③，0n a >，22n n n a a S +=，则21112n n n a a S ++++=，两式作差得()211n n a a +++()212n n n a a a +-+=，化简得()()1110n n n n a a a a +++--=，由0n a >知，10n n a a ++>，得110n n a a +--=，即11n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列，首项是1，公差为1，故n a n =；由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =，结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，若已知式是关于na 和n S 关系式时，也通常利用两式作差得到1n n n S S a --=消去n S ，或者代入1n n n a S S -=-消去n a ，进行化简计算.。

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必修5期末综合测试卷一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 1．在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．522．设x >0,y >0,y x y x a +++=1,yyx x b +++=11，a 与b 的大小关系（）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b3.已知{a n }等比数列，且a n >0,,252645342=++a a a a a a 那么53a a +=（）A.5B.10C.15D.204．x 、y >0,x ＋y =1,且y x +≤a 恒成立,则a 的最小值为（）A 2C ．2D ．25．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A ．135° B ．90°C ．120° D ．1506．设a 、a ＋1、a ＋2为钝角三角形的边，则a 的取值范围是（）A 0＜a ＜3B3＜a ＜4 C1＜a ＜3 D4＜a ＜6 7．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（） A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn n C ．2212nn n ++-D ．22121nn n -+-+8．已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是（）A 32x x <->-或B 12x <-或13x >- C 1123x -<<-D 32x -<<- 9．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有（）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值10．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（） A23B 2131n n --C 2131n n ++D 2134n n -+二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11．若x>0，y>0，且191=+yx ，则x+y 的最小值是___________ 12.不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是13．已知数列{}n a 中，1a ＝－1，1+n a ·n a ＝n n a a -+1，则数列通项n a ＝___________ 14．ΔABC 中，若C A C B A sin sin sin sin sin 222=+-那么角B=___________15．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是_________________三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，或演算步骤。

16．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ，AD =10，AB =14，BDA =60，BCD =135.求BC 的长.CD17．（本小题满分12分）设)(,)2()(x f x x a xx f =+=有唯一解，,,2,1,)(,10021)(10 ===-n x x f x f n n （1）问数列}1{nx 是否是等差数列？（2）求2003x 的值.18．（本小题满分12分）已知集合A=)]13()[2({+--a x x x }0<，集合B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--0)1(22a x ax x 。

（1）当a =2时，求B A ；（2）当a 31>时，求使A B ⊆的实数a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,,c b a 已知c =2，C=3π. （1）若∆ABC 的面积等于3，求b a ,；（2）若sin （A +C ）=2sinA,求∆ABC 的面积.20．（本小题满分13分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?21．（本小题满分14分）已知1a =2，点（1,+n n a a ）在函数x x x f 2)(2+=的图像上，其中n = ,3,2,1.(1)证明：数列)1{lg(n a +}是等比数列；（2）设)1()1)(1(21n n a a a T +⋅⋅++= ，求n T 及数列{n a }的通项公式；（3）记211++=n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n S ，并证明1132=-+n n T S .高中数学必修5期末综合测试卷参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1-10：DBADCCBCCB 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．16；12．36；13．n 1-；14．3π；15)1,21()0,21( -三、解答题：（本大题共75小题。

解答应写出文字说明，或演算步骤） 16．（本小题满分12分）解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x整理得：096102=--x x 解之：161=x ，62-=x （舍去）由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 17．（本小题满分12分）（1）由210)2(-==⇒+=ax x x a x x 或，所以由题知2121==-a a . 211122)(,22)(1111=-⇒+==∴+=----n n n n n n x x x x x f x x x x f又因为10021,10021)(101===x x f x 所以.所以数列}1{nx 是首项为1002，公差等于21的等差数列.（2）由（1）知20031,200321)12003(11200312003=∴=⋅-+=x x x18．（本小题满分12分）解：（1）当2=a 时，}54{}54{},72{<<=∴<<=<<=x x B A x x B x x A （2）}12{0)1(21222+<<=∴≥-=-+a x a x B a a a 当31>a 时，}132{,213+<<=∴>+a x x A a 22,≥∴⊆a A B 且1312+≤+a a 31≤≤∴a ∴使A B ⊆的实数a 的取值范围为[]3,119．（本小题满分12分）（1）由余弦定理ab b a c 2222-+=cosC 得422=-+ab b a 又ABC ∆ 的面积等于3，4,3sin 21=∴=∴ab C ab 得2==b a （2）a b A B A C A 2sin 2sin sin 2)sin(=⇒=⇒=+由a b ab b a 2,422==-+得334,332==b a 332sin 21==∴∆C ab S ABC 20．（本小题满分13分）分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x z =600x +900y ． ⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ,得M 的坐标为x =3350≈117，y =3200≈67．答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱6721．（本小题满分14分）（1）证明：由已知n n n a a a 221+=+，21)1(1+=+∴+n n a a11,21>+∴=n a a 两边取对数得+=++1lg(2)1lg(1n a )n a ，即2)1lg()1lg(1=+++n n a a)}1{lg(n a +∴是公比为2的等比数列。

（2）解：由（1）知121113lg 3lg 2)1lg(2)1lg(-=⋅=+⋅=+--n n n n a a1231-=+∴n n a 123-=∴n n a 1-)1()1)(1(21n n a a a T +⋅⋅++=∴ =1222212222120333333121-++++==⋅⋅⋅⋅--nn n（3)2(,2121+=∴+=++n n n n n n a a a a a a 112121),211(211++-=+∴+-=∴n n n n n n a a a a a a ),11(22111+-=∴++=n n n n n n a a b a a b )11(2)111111(2111322121++-=-++-+-=+++=∴n n n n n a a a a a a a a b b b S 1321,13,2,13221121--=∴-==-=+-nnn n n n S a a a 又1132,312=-+∴=-n n n T S T n。