2019年海南省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
海南省海口市2019年高三高考调研测试数学(理)试卷 PDF版含答案
１５．（０，１２
） ∵犳（狓）＞１＋ｌｏｇ２犪，∴１＋ｌｏｇ２犪＜０，@０＜犪＜
１ ２
．
１６．槡３３００ M犗犃，犗犅，犗犆 O，@４π×１２＋１４２＋犿４＝６π，@ 犿２＝２，犃→犅＝（２，０，－１），@ｃｏｓ〈犃→犅，
犗→犇〉＝
１＝ 槡５×６
槡３３００．
１７．：（１）∵ｔａｎ犆＝
２;
“¹º４»)，¼½4２»´µ¶· 犡∈［２６，３０）”Y¾¿犃，
@
犘（犃）＝１－犘（犃珡）＝１－［Ｃ１４×
１ ５
×（４５
）３＋Ｃ０４×（４５
）４］＝１６１２３５．
５;
（２）犃 ÀÁ/ÀÂîÄÅÃcdY犢（Æ·：Ç）．
①ÈÉk³ÊË，@犢 /;²ÌY
５．Ａ ∵狓（狓－５）＝（狓＋１０）２，∴狓＝－４，狓＋１０＝６，AB狇＝－
３ ２
，∴犪狀＝－４×（－
３ ２
）狀－１．
６．Ｄ ∵ｓｉｎ４０°＜１＜ｌｏｇ３４，ｌｎ０．４＜０＜ｔａｎ２２６°，ｃｏｓ（－２０°）＝ｃｏｓ２０°＝ｓｉｎ７０°＞ｓｉｎ６５°，∴ C D Ａ，Ｂ，Ｃ，
ｔａｎ４１０°＝ｔａｎ５０°＞１＞ｓｉｎ８０°＞
犅１犉 ® w 犃犈犉 a ¯ Y θ，@ ｓｉｎθ＝ ｃｏｓ〈犅１→犉，狀〉 ＝
#
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犅１→犉·狀 犅１→犉 狀
＝３槡６５１３０． １２; *
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１９．：（１）"°±;²O³KHM´µ¶·
犡∈［２６，３０）/¸±Y（０．０７５＋０．０２５）×２＝
１ ５
．
，∴烅烄狓３０ ＝犽①，
"①?犽狓０＝３，gh②?１＋３ｌｎ狓０＝１，
烆犽狓０－２＝１＋３ｌｎ狓０②，
海南省海口市2019届高三下学期高考调研测试数学(理)试题PDF版含答案
Y犿（ｌｎｅ狓狓 ＋１）－ｅ狓狓
≤０［１，＋∞）Øݯ£，ai
犿 ｅ
－ｅ≤０，
犿≤ｅ２．
} 犿＞０，9 犿 /UXáâY（０，ｅ２］． １２; （©Í）"H? 犿·狓（１ｅ＋２ｌ狓ｎ狓）≤１狓∈［１，＋∞）ݯ£． ７;
２０１９!"#$%&'()*
+,*-.&/0（12）
１．Ｄ 狕＝１１－＋２ｉｉ＝－１２－３ｉ＝－
１ ２
－
３２ｉ．
２．Ｂ ∵犃＝｛狓｜－２≤狓≤２，!狓≠０｝，∴犃∩犅＝｛狓｜－１＜狓≤２，!狓≠０｝．
３．Ｄ "#$%&'(、)(、*(+,%&-./012345678，9:%&;<=>．
４．Ｂ "犪２＝１，犫２＝８，?犪＝１，犮＝３，@｜犕犉１｜＋｜犉１犉２｜－｜犕犉２｜＝｜犕犉１｜－｜犕犉２｜＋｜犉１犉２｜＝－２犪＋２犮＝４．
）＋（１ ４
－
１５ ）＋…＋（２０１２０－２０１２１）＝
１ ２
－２０１２１＝２４００１４９２．
１１．Ｂ "o0K、p0KM$qrstuY２!vwxY
１ ２
×２×（１＋４）＝５/yz{，|sxY１３０．}+z~
/sxY８，9sxBY１５２．
烄狔＝２狓＋犿
１２．Ａ "烅狓２ 烆５
，?２１狓２＋２０犿狓＋５犿２－５＝０． ＋狔２＝１
@犵（狓）&¦（０，１）ØÆÙÚÛ，&¦（１，＋∞）ØÆÙÚÜ． ４;
9犵（狓）ｍｉｎ＝犵（１）＝２＞０， ５;
犳′（狓）＞０（０，＋∞）Øݯ£，
犳（狓）（０，＋∞）ØÆÙÚÜ． ６;
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)
【答案】2.
【思路引导】
通过向量关系得到 和 ，得到 ，结合双曲线的渐近线可得 从而由 可求离心率.
【解析】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由 ，得 则 有 ，
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
7.已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【思路引导】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 得出向量 数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【解为 ，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【思路引导】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【解析】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
2019年海南高考理科数学真题(含详细完整解析)
普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷 选择题一、单项选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.1＋2i1－2i＝( ) A .－45－35iB .－45＋35iC .－35－45iD .－35＋45i2. 已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( ) A .9 B .8C .5D .43. 函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BC D4. 已知向量a ,b 满足|a |＝1,a ·b ＝－1,则a ·(2a －b )＝( ) A .4 B .3C .2D .05. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y ＝±2xB .y ＝±3xC .y ＝±22x D .y ＝±32x6. 在△ABC 中,cos c 2＝55,BC ＝1,AC ＝5,则AB ＝( )A .4 2B .30C .29D .2 57. 为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )A .i ＝i ＋1?B .i ＝i ＋2?C .i ＝i ＋3?D .i ＝i ＋4?8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .112B .114C .115D .1189. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝1,AA 1＝3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A .15B .56C .55D .22 10. 若f (x )＝cos x －sin x 在[0,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A .π4 B .π2C .3π4D .π11. 已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ),若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A .－50B .0C .2D .5012. 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P ＝120°,则C 的离心率为( ) A .23 B .12 C .13D .14第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
绝密★启用前2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则A．B．C．D．2．若，则z=A．B．C．D．3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．245．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A．16B．8C．4D．26．已知曲线在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．B．a=e，b=1C．D．，7．函数在的图象大致为A．B．C．D．8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于A. B. C. D.10．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．11．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）12．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019海南高考理科数学真题及答案解析(word完整解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（海南卷）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀第I卷选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0}，则（）A．（，） B.（-2，1） C.（-3，-1） D.（3，+）2.设Z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知（2，3），=（3，t）,||=1，则=（）A. -3B. -2C. 2D. 34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系，为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上。
设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：。
设。
由于a的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（）A. B. C. D.5.演讲比赛共9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始分相比，不变的数字特征时（）A．中位数 B.平均数 C.方差 D.极差6.若a>b，则（）A．ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|7.设，为两个平面，则∥的充要条件是（）A．内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则P=（）A．2 B.3 C.4 D.89.下列函数中，以为周期且在区间(，单调递增的是（）A f(x)=|cos2x| B. f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin|x|10.已知，.则（）A． B. C. D.11.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点。
2019海南省高三压轴题数学试卷(理)
2019海南省高三压轴题数学试卷(理)数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320}A x x x =+-≤，2{|log (21)0}B x x =-≤，则A B =（ ）A ．2|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．2|13x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{|11}x x -≤≤D ．12|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭2.已知复数z 满足(34)34z i i +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43.如图，当输出4y =时，输入的x 可以是（ ）A ．2018B ．2017C ．2016D ．20144.已知x 为锐角，cos sin a xx-=a 的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．(1,2]D ．(1,2)5.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A ．18B ．916C ．4πD ．15166.24(1)(1)x x x ++-的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．3-B ．2-C ．1 D ．47.已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，设121l o gn n a b a +=，则数列{}n b 的前n 项和为（ ）A ．nB ．(1)2n n - C ．(1)2n n +D ．(1)(2)2n n ++8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A ．．．8 D ．99.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则20172017S =（ ） A ．1009B ．1008C ．2D ．110.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()(12)f x f x =-，当[0,6]x ∈时，6()log (1)f x x =+，若()1([0,2020])f a a =∈，则a 的最大值是（ ） A ．2018B ．2010C ．2020 D ．201111.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ） A ．18B ．30C ．32 D ．3612.已知1a >，方程102x e x a +-=与ln 20x x a +-=的根分别为1x ，2x ，则2212122x x x x ++的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(1,)a m =，1b =，7a b +=，且向量a ，b 的夹角是60，则m =．14.已知实数x ，y 满足12103x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的最大值是．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为16，则1ba +的最大值为． 16.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC=，PB =PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B，C 的对边，且cos sin cos A a A C +sin cos 0c A A +=.（1）求角A 的大小；（2）若a =12B π=，求ABC ∆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，2AB AC ==，点M 为11AC 的中点，点N 为1AB 上一动点.（1）是否存在一点N ，使得线段//MN 平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点N 为1AB 的中点且CM MN ⊥，求二面角M CN A --的正弦值. 19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站.甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13. （1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，A ，F 分别为椭圆的上顶点和右焦点，AOF ∆的面积为12，直线AF 与椭圆交于另一个点B ，线段AB 的中点为P . （1）求直线OP 的斜率；（2）设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，且与直线AF 交于点Q ，求证：存在常数λ，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅.21.已知函数()xe f x x=，()ln 1g x x =+.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：3()()x f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：123x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求M A M B +的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x x m =-+-.（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()21f x m ≥-对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.2019海南省高三压轴题数学试卷(理)·答案一、选择题1-5: DABCB 6-10: BCDAD 11、12：CA 二、填空题13. 7 15. 4316. 6 三、解答题17.（1cos sin cos A a A C +sin cos 0c A A +=及正弦定理得，sin (sin cos cos sin )A A C A C+cos B A =，即sin sin()A A C+cos B A =， 又sin()sin 0A C B +=>，所以tan A = 又(0,)A π∈，所以23A π=. （2）由（1）知23A π=，又12B π=，易求得4C π=， 在ABC ∆中，由正弦定理得2sinsin 123b ππ=，所以b =. 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C=122==. 18.（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点. 证明如下：如图，连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11AC ，1A B 的中点， 所以MN 为11A BC ∆的一条中位线，//MN BC ，MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .（2）设1AA a =，则221CM a =+，22414a MN +=+284a +=， 22220544a a CN +=+=，由CM MN ⊥，得222CM MN CN +=，解得a =由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,0,0)A ，(0,2,0)C，N ⎛ ⎝⎭，(0,1M ，故1,0,2AN ⎛= ⎝⎭，(0,2,0)AC =，1,2,2CN ⎛=- ⎝⎭，(0,1CM =-，.设(,,)m x y z =为平面ANC 的一个法向量，则0,0,m AC m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0,2y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =-，得平面ANC的一个法向量(1m =-， 同理可得平面MNC 的一个法向量为(3,2,2)n =， 故二面角M CN A --的余弦值为cos ,m n <>=15=-. 故二面角M CN A --15=.19.（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=，设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则1111()4343P A =⨯+⨯111233+⨯=，所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.111(6)4312P X ==⨯=，11(9)43P X ==⨯111436+⨯=，111(12)432P X ==⨯+11113433⨯+⨯=，111(12)432P X ==⨯+1134⨯=，111(18)236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：所以X 的数学期望()69126E X =⨯+⨯121534+⨯+⨯1864+⨯=.20.（1）=即222a b =，2222c a b b =-=，所以(0,)A c ，(,0)F c ，所以21122c =，所以1c =，所以椭圆的方程为2212x y +=.直线AF 的方程为1y x =-+，联立221,21,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得2340x x -=，所以43x =或0x =，所以41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得线段AB 的中点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线OP 的斜率为1132203-=-.（2）由（1）知，直线AF 的方程为1y x =-+，直线OP 的斜率为12，设直线l 的方程为1(0)2y x t t =+≠. 联立1,21,y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得22,321.3t x t y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以点的坐标为2221,33t t -+⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以2222,33t t QA --⎛⎫= ⎪⎝⎭，2222,33t t QB ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以28(1)9QA QB t ⋅=-.联立221,21,2x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得22322202x tx t ++-=，由已知得24(32)0t ∆=->，又0t ≠，得60,t ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1112y x t =+，2212y x t =+， 1243tx x +=-，212443t x x -=.所以112221,33t t QC x y -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭112211,323t t x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，222211,323t t QD x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故12222233t t QC QD x x --⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1211112323t t x x --⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1212555()46t x x x x -=++25(1)9t -+=25445544363t t t --⨯-⨯25(1)9t -+258(1)49t =⨯-. 所以54QC QD QA QB ⋅=⋅.所以存在常数54λ=，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅.21.（1）由题易知2(1)'()xx e f x x-=， 当(,0)(0,1)x ∈-∞时，'()0f x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >， 所以()f x 的单调递减区间为(,0)(0,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）g()x 的定义域为(0,)+∞，要证3()()x f x g x >，即证3ln 1x e x x x+>. 由（1）可知()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()(1)f x f e ≥=. 设3ln 1()x h x x +=，0x >，因为423ln '()xh x x--=， 当23(0,)x e -∈时，'()0h x >，当23(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在23(0,)e -上单调递增，在23(,)e -+∞上单调递减，所以223()()3e h x h e -≤=，而23e e >，所以3()()xf xg x >.22.（1）把4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开得2sin ρθθ=+，两边同乘ρ得22sin cos ρρθθ=+①.将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +--=②.（2）将1,23x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②式，得230t ++=，易知点M 的直角坐标为(0,3).设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t的几何意义即得12MA MB t t +=+=23.（1）当3m =时，原不等式可化为135x x -+-≥.若1x ≤，则135x x -+-≥，即425x -≥，解得12x ≤-； 若13x <<，则原不等式等价于25≥，不成立； 若3x ≥，则135x x -+-≥，解得92x ≥. 综上所述，原不等式的解集为：19|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由不等式的性质可知()1f x x x m =-+-1m ≥-， 所以要使不等式()21f x m ≥-恒成立，则121m m -≥-， 所以112m m -≤-或121m m -≥-，解得23m ≤， 所以实数m 的取值范围是2|3m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.。
2019年高考真题—普通高等学校统一考试—理科数学(全国卷Ⅲ)—解析版_
2019年高考真题—普通高等学校统一考试—理科数学（全国卷Ⅲ）—解析版_ 2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III卷）理科数学一．选择题 1、已知集合，则（） A. B. B. C. C. D. D. 答案：A 解答：，所以. 2.若，则（） A. B. C. D. 答案：D 解答：,. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. B.C. D. 答案：C 解答：4.的展开式中的系数为（） A. B. C. D. 答案：A 解答：由题意可知含的项为，所以系数为. 5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（） A. B. C. D. 答案：C 解答：设该等比数列的首项，公比，由已知得，，因为且，则可解得，又因为，即可解得，则. 6. 已知曲线在点处的切线方程为，则（） A., B., C., D., 答案：D 解析：令，则，，得. ，可得.故选D. 7.函数在的图像大致为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：∵，∴，∴为奇函数，排除选项C.又∵，根据图像进行判断，可知选项B符合题意. 8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B 解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B. 9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（） A. B. C.D. 答案：C 解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；… 第七次循环：，此时循环结束，可得.故选 C. 10. 双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若则的面积为（） A: B: C: D: 答案: A解析：由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直因为得到;所以;故选A; 11. 若是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（） A. B.C. D. 答案：C 解析: 依据题意函数为偶函数且函数在单调递减，则函数在上单调递增；因为；又因为；所以；故选C. 12.设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：在有且仅有个极大值点在有且仅有个极小值点在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是 A.B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，画出草图，由图可知，由题意可得，，解得，所以，解得，故对；令得，∴图像中轴右侧第一个最值点为最大值点，故对；∵，∴在有个或个极小值点，故错；∵，∴，故对. 二.填空题 13.已知，为单位向量，且，若，则 . 答案：解析：∵，∴，∵，∴. 14.记为等差数列的前项和，若，，则 . 答案：解析：设该等差数列的公差为，∵，∴，故，∴. 15.设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为________. 答案：解析：已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为. 16.学生到工厂劳动实践，利用D打印技术制作模型。
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x 3y 1 0
由
得： C (5, 2)
x y70
C
1
B
O
2
x
此时： z 有最大值 2 5 2 8
答案： B
（ 10）设 F 为抛物线 C ： y2 3x 的焦点，过
x y7 0
F
l0
且倾斜角为
l1303的x 直线y 交5
C 0于
A，
B 两点，
O 为坐标原点，
则 OAB 的面积为
33
(A)
4
93
(B)
和右侧底面半径为 3cm，高为 2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：
22 4
32 2 34 (cm 2 ) ，
则切削掉部分的体积为
54 34 20 (cm2) ，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
20 10
54 27
答案： C
（ 7）执行右面的程序框图，如果输入的
则输出的 S
x ， t 均为 2，
由点到直线的距离公式得：
|300 O 到直线 AB 的距离 d 3
3| 4
3
( 3 )2 ( 1)2 8
3
∴ S OAB
1
3
12
9
2
84
答案： D
（ 11）直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BCA 90 ， M ， N 分别是 A1B1 ， A1C1 的中点，
BC CA CC1 ，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为
3x y 5 0
(A) 10
(B) 8
(C) 3
x y7 0 y
解析：作出 x ， y 满足约束条件 x 3y 1 0 表示
(D) 2 l2
3x y 5 0
的平面区域如图阴影部分：做出目标函数
l0 ：
y 2x ，∵ y 2x z，∴当 y 2x z的截距
x 3y 1 0 A
最小时， z 有最大值。 ∴当 y 2x z 经过 C 点时， z 有最大值。
1,2 4i
(A) 1
(B) 2
(C) 3
解析：∵ a b 10 ， a b 6 ，∴ (a b) 2 10 ……①， (a b)2
由① ②得： a b = 1
答案： A
（ 4）钝角三角形 ABC 的面积是 1 ， AB 1， BC 2
2 ，则 AC
(A) 5
(B) 5
(C) 2
(D) 5
6 ……②．
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题
（ 1）设集合 M 0,1,2 ， N = x x2
第Ⅰ卷 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3x 2 0 ，则 M N
(A) 1
(B) 2
(C) 0,1
(D)
解析：∵ N = x x2 3x 2 0 x 1 x 2 ，∴ M N 1,2
8
(C) 63 32
解析：∵
3 F ( ,0) ，设 A( x1, y1) 、 B( x2 , y2 ) ，∴直线
AB 的方程为
y
4
x2
21 x
9
21
0 ，∴ x1 x2
， x1 x2
9
2 16
2
16
(D) 9 4
33
(x ) ，代入抛物线方程得：
3
4
由弦长公式得 | AB | (1 k 2)[( x1 x2 ) 2 4 x1x2 ] 12
答案： D
（ 2）设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 2 i ，则 z1z2
(A) 5
(B) 5
(C) 4 i
(D)
解析：∵ z1 2 i ，∴ z2 2 i ，∴ z1z2 (2 i)( 2 i) i2 22 5
答案： A
（ 3）设向量 a ， b 满足 a b 10 ， a b 6 ，则 a b=
答案： B
（ 5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75 ，连续两天为优良的概率是
已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
(A) 0.8
(B) 0.75
(C) 0.6
(D) 0.45
解析：此题为条件概率，所以
0.6
P
0.8
0.75
答案： A
（ 6）如图，格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），
1
(A)
10
2
(B)
5
(C) 30 10
(D) 2 2
解析：如图所示，取 BC 的中点 P ，连结 NP 、 AP ∵ M ， N 分别是 A1B1 ， A1C1 的中点， ∴四边形 NMBP 为平行四边形，∴ BM PN
C A
P
B
∴所求角的余弦值等于 ANP 的余弦值
不妨令 BC NP MB
(D) 1
解析：∵ S ABC
1
1
| AB | | BC | sin B ，即：
1 1 2 sin B ，∴ sin B
2
22
2
，
2
即 B 45 或 135 ．又∵ | AC |2 | AB |2 | BC |2 2| AB | | BC | cosB
∴ | AC |2 1 或 5，又∵ ABC 为钝角三角形，∴ | AC |2 5 ，即： AC 5
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
理科数学
注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
开始
输入 x ， t M1 ， S3
k1
是
kt
M
M
x
k
SM S
否
输出 S 结束
为 y 2x ，则 a (A) 0
(B) 1
(C) 2
k k1 (D) 3
解析：∵ y ' a 1 ，且在点 (0,0) 处的切线的斜率为 2，∴ y ' |x 0 a 1 2，即 a 3
x1
01
答案： D
x y70
（ 9）设 x ， y 满足约束条件 x 3 y 1 0 ，则 z 2 x y 的最大值为
图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底 面半径为 3cm，高为 6cm的圆柱体毛坯切削得到，则
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
17
(A)
27
5
(B)
9
0.6 ，
10
(C)
27
解析：原来毛坯体积为：
32 6
1
(D)
3
54 (cm2 ) ，由三视图得，该零件由左侧底面半径为
2cm，高为 4cm 的圆柱
(A) 4 (B) 5
(C) 6 (D) 7
解析：输入的 x ， t 均为 2． 1 2 是， M
1 2 2，
1
S 2 3 5， k 1 1 2 ； 2 2 是， M
2 2 2，
2
S 2 5 7 ， k 2 1 3 ， 3 2 否，输出 S 7
答案： D
（ 8）设曲线 y ax ln( x 1) 在点 (0,0) 处的切线方程