北京市海淀区2013届九年级上学期期末练习数学试题
2023-2024学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（）A．3B．0C．﹣2D．﹣34．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有实数根D．没有实数根5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（）A．51°B．49°C．40°D．39°6．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．C．D．4π7．（2分）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率（结果保留0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902小数点后三位）下列说法正确的是（）A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C．移植的幼树越多，成活率越高D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008．（2分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．（2分）如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．11．（2分）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是（写出一个即可）．12．（2分）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01﹣1则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）．13．（2分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是cm．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．15．（2分）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是．16．（2分）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为P k．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，P k的最大值是．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：x2+x＝1．18．（5分）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．20．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．21．（5分）如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B．小云的画法是：①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B；②画出直线PB．直线PB即为所求．（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OA＝OB，AB⊥PO，∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．∴PA＝①．∴∠PAB＝②．∴∠PAO＝∠PBO．∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP．∴∠PAO＝90°．∴∠PBO＝90°．∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线（③）（填推理的依据）．22．（5分）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为；（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣1）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点（0，t）与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，与直线AB交于点N（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，直接写出t的取值范围．24．（6分）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．（1）y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；（3）当x＝cm时，正方形EFGH面积有最小值cm2．25．（6分）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当t＝2时，①直接写出b与a满足的等量关系；②比较m，n的大小，并说明理由；（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC ＝∠B．（1）求证：ED＝EC；（2）连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF．①依题意补全图形；②若AF⊥EF，求∠BAC的大小．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T 和点P（不与O重合）给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”．（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（2，2），B（4，0），C（2，﹣2）．①在点P1（2，1），P2（1，1），P3（1，﹣1）中，正方形T的“伴随切点”是；②若直线y＝x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；（2）已知点T（t，t+1），正方形T的边长为2．若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形，对所给选项进行判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形；故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．2．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（）A．3B．0C．﹣2D．﹣3【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+1﹣m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程2x2+x﹣m＝0得2+1﹣m＝0，解得m＝3．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有实数根D．没有实数根【分析】依据题意，关于x的方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根．故选：D．【点评】本题主要考查了方程ax2+bx+c＝0的根的情况，关键是看函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点．5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（）A．51°B．49°C．40°D．39°【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBA＝90°，又∵∠A＝∠CDB＝51°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°．故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．6．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．C．D．4π【分析】根据题意第一次与自身重合时旋转角是60°，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转第一次与自身重合时旋转角是60°，∴点A运动的路径长＝＝．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，也考查了学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是求出第一次重合的旋转角．7．（2分）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n8235662133531806292126280.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902成活的频率（结果保留小数点后三位）下列说法正确的是（）A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C．移植的幼树越多，成活率越高D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：若移植10棵幼树，成活数不一定是8棵，因此选项A不符合题意；若移植270棵幼树，成活数可能会超过235棵，因此选项B不符合题意；移植的幼树越多，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，因此选项C不符合题意；随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④．【解答】解：如图，AB＝OA，即AB的长度等于半径，以AB为边的圆的内接三角形有无数个，∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，当点C在优弧AB上时，∠C＝30°，当点C在劣弧AB上时，∠C＝150°，当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；由以上可知，∠C可以是30°或150°，当AC＝AB，∠C＝30°时，∠CAB＝180°﹣30°3﹣30°＝120°，∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；过点O作OH⊥AB于H，则AH＝HB＝AB＝1，∴OH＝＝，当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：×2×（2+）＝2+，故④结论错误；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝3x2﹣1．【分析】根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可．【解答】解：将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝3x2﹣1，故答案为：y＝3x2﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．10．（2分）如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次旋转得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．【分析】利用旋转变换的性质判断即可．【解答】解：观察图形可知：②可看作①绕点A顺时针旋转90°得到．故答案为：旋转．【点评】本题考查几何变换的类型，正方形的性质，矩形的性质，剪纸问题等知识，解题的关键是读懂图象信息．11．（2分）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是4（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据一元二次方程的定义得到a≠0，至少有一个整数根，则为完全平方数，即可求解．【解答】解：由题意知，a≠0，ax2＝16，x2＝，∵关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，∴为完全平方数，∴a＝1或4或16，故答案为：4（答案不唯一）．【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根，得出为完全平方数是解题的关键．12．（2分）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01﹣1则该二次函数有最大值（填“最小值”或“最大值”）．【分析】根据二次函数图象上点的坐标判断即可．【解答】解：由表格数据可知，函数值先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，∴二次函数的图象开口向下，∴该二次函数有最大值．故答案为：最大值．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（2分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是18cm．【分析】连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，利用勾股定理求出OC即可解答．【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝6cm，由题意可知，OB＝10cm，∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm），∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为3π（结果保留π）．【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝120°，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形面积的计算．15．（2分）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是．【分析】根据正方形的面积可得正方形ABCD的边长为5，再根据正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，可得AE＝5﹣a，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为25，∴正方形ABCD的边长为5，由题意得：DF＝a，AF＝5+a，∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，∴2（AE+AF）＝5×4，∴AE＝5﹣a，∵矩形AEGF的面积为22，∴AE•AF＝22，即（5﹣a）（5+a）＝22，解得：a1＝，a2＝﹣，∵a＞0，∴a＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等，是常考的基础题．16．（2分）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为P k．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，P k的最大值是．【分析】（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；（2）列举出所有可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B 袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果如下：共有14种等可能出现的结果，其中两张扑克牌的点数之和为8的有2种，所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即P8＝＝，故答案为：；（2）当P k的值最大时，A袋中、B袋中各含有4个数、5个数，此时共有20种等可能出现的结果，两张扑克牌的点数之和为k出现的次数最多为4次，因此P k的最大值为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：x2+x＝1．【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出方程的解．【解答】解：x2+x＝1，移项得：x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴x＝，则x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时首先将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出解．18．（5分）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．【分析】直接利用完全平方公式化简，再利用已知代入得出答案．【解答】解：（a﹣3）2+a（a+3）＝a2﹣6a+9+a2+3a＝2a2﹣3a+9，∵2a2﹣3a+1＝0，∴2a2﹣3a＝﹣1，∴原式＝﹣1+9＝8．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．【分析】首先根据旋转的性质可以得到AB＝AB′，然后利用等腰三角形的性质可以得到∠AB′B的度数，然后利用∠B＝45°即可证明．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′＝45°，而点B'在BC的延长线上．∠B＝45°，∴∠AB′B＝45°，∴∠BB′C′＝∠AB′C′+∠AB′B＝90°，∴BB'⊥C'B'．【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．20．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；（2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0，∴n＞0；（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，∴n＝1，∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0，设该方程的根是a，2a，∴a+2a＝2m，a•2a＝m2﹣1，解得a＝2，m＝3或a＝﹣2，m＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．21．（5分）如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B．小云的画法是：①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B；②画出直线PB．直线PB即为所求．（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OA＝OB，AB⊥PO，∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．∴PA＝①PB．∴∠PAB＝②∠PBA．∴∠PAO＝∠PBO．∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP．∴∠PAO＝90°．∴∠PBO＝90°．∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线（③过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明OB⊥PB即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OA，OB．∵OA＝OB，AB⊥PO，∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．∴PA＝PB．∴∠PAB＝∠PBA．∴∠PAO＝∠PBO．∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP．∴∠PAO＝90°．∴∠PBO＝90°．∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．故答案为：PB，PBA，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．22．（5分）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为；（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为＝．故答案为：．（2）列表如下：红绿黄黄红（红，绿）（红，黄）（红，黄）绿（绿，红）（绿，黄）（绿，黄）黄（黄，红）（黄，绿）（黄，黄）黄（黄，红）（黄，绿）（黄，黄）共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果有4种，∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣1）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点（0，t）与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，与直线AB交于点N（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，直接写出t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入函数解析式得，，解得．所以该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+2．（2）二次函数的图象如图所示，当直线y＝t在点A和点B之间时满足x1＜x3＜x2，所以t的取值范围是：﹣1＜t＜2．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．24．（6分）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．（1）y关于x的函数表达式是y＝2x2﹣8x+16，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；（3）当x＝2cm时，正方形EFGH面积有最小值8cm2．【分析】（1）证明△BGF≌△CHG≌△DEH≌△AEF，利用正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4×三角形AEF的面积，即可得出y与x之间的函数关系式；（2）结合（1）即可画出函数的图象；（3）根据二次函数的性质即可求出最值，【解答】解：（1）在边长为4cm的正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH，∠HEF＝90°，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，在△AFE和△DEH中，，∴△AFE≌△DEH（AAS），∴AF＝DE＝（4﹣x）cm，同理，可证出：△BGF≌△CHG≌△DEH，＝S正方形ABCD﹣4S△AEF＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16，∴S正方形EFGH即y＝2x2﹣8x+16（0≤x≤4）；故答案为：y＝2x2﹣8x+16，0≤x≤4；（2）如图，即为函数y＝2x2﹣8x+16（0≤x≤4）的图象；（3）y＝2x2﹣8x+16＝2（x2﹣4x+4）+8＝2（x﹣2）2+8．∴当x＝2cm时，正方形EFGH面积有最小值为8cm2．故答案为：2，8．【点评】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，二次函数最值，全等三角形的判定与性质，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．25．（6分）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠ADC＝∠MCD＝α，然后根据圆周角定理得到∠COA＝2α；（2）先根据切线的性质得到OC⊥CM，再根据平行线的性质得到CM∥AD，接着证明∠AOC＝2∠COE，则计算出∠COE＝30°，然后在Rt△COE中利用含30度角的直角三角形三边的关系可求出CE的长．【解答】解：（1）∵CM∥AD，∴∠ADC＝∠MCD＝α，∴∠COA＝2∠ADC＝2α；（2）∵直线CM与半圆O相切于点C，∴OC⊥CM，∴∠OCE＝90°，∵CM∥AD，∴OC⊥AD，∵OE⊥CD，CD∥AB，∴CE⊥AB，∠ADC＝∠OAD，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC+∠OAD＝90°，∠AOC+∠COE＝90°，∴∠COE＝∠OAD，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOC＝2∠COE，∴2∠COE+∠COE＝90°，解得∠COE＝30°，∵直线CM与半圆O相切于点C，∴OC⊥CM，∴∠OCE＝90°，∵AB＝6，∴OC＝3，在Rt△COE中，∵∠COE＝30°，∴CE＝OC＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当t＝2时，。
海淀2013初三数学第一学期期末练习答案
海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 BAD ABDC B二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 9 10 1112答 案332- >232F （答案不唯一）、b - 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：20112()(3)83π--+---.解：原式=219122-+-- …………………………………………4分 =72-. …………………………………………5分 14. 解方程：2280x x +-= .解法一：(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分40x +=或20x -=.∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分解法二： 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分∴ 23621x -±=⨯. …………………………………………3分∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分15．解法一：∵3a b +=，∴ 22285a b a b -+++=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+=20. ………………………5分 解法二：∵3a b +=，∴3b a =-. .…………………………1分原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分 =582426922+-++-+-a a a a a .…………………………4分=20. ………………………5分16.例如：∴△111A B C 、△222A B C 为所求.(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.) 17. 解：∵12∠=∠，∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠，∴△CAB ∽△EAD . ………………………3分∴AB ACAD AE=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6， ∴=3AB . ∴36=6AE. ∴12AE =. ………………………5分18. 张老师：做DE ⊥Y 轴解法一：依题意，可得223y x x =-++=214x --+（）. ∴顶点(1,4)D . ……………1分令0y =，可得3x =或1x =-.∴A (1,0)-、B (3,0). ……………2分令0x =，可得3y =.∴(0,3)C . ……………3分∴直线CD 的解析式为3y x =+. 设直线CD 交x 轴于E . ∴(3,0)E -.∴6BE =. …….………….…………4分 ∴3BCD BED BCE S S S =-= .∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分解法二：同解法一，可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . ……………3分∴直线BC 的解析式为3y x =-+. 过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE . ∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+.∵(1,4)D ，∴直线DE 的解析式为5y x =-+. ∴(5,0)E .∴2BE =. ….…………4分 ∵DE ∥BC ， ∴132BCD BCE S S BE OC ==⨯⨯= . ∴△BCD 的面积为3. . .………….………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数，∴2m =. .…………………………3分∴23302x x ++=. 2223333()()222x x ++=-+.233()24x +=.2331-=x ，2332--=x . ∴方程的根为2331-=x ，2332--=x . .…………………………5分 20．解：(1)m 的值为3； .…………………………1分(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. .…………………………2分 ∵图象经过点(0,3)，∴1a =. .…………………………3分∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分 (3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 1-≤3<y . .…………………5分 21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分 ∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分∴24a -=，12a =-. ∴212y x =-. .…………………3分当3y =-时，6x =±. .…………………4分答：当水面高度下降1米时，水面宽度为26米. .…………………5分 22．张老师连OD,OE 利用中位线证明全等（1）如图，连接,OD BD . ………………1分∵在⊙O 中，OD OB =， ∴∠1=∠2.∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ADB CDB ∠=∠=︒. ∵E 为BC 中点， ∴12ED BC EB ==. ∴∠3=∠4.∵BC 切⊙O 于点B ， ∴90EBA ∠=︒.∴132490∠+∠=∠+∠=︒, 即90ODE ∠=︒. ∴OD ⊥DE . ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分 （2）∵OD ⊥DE ， ∴90FDO ∠=︒. 设OA OD r ==.∵222OF FD OD =+, DF =4，AF =2， ∴222(2)4r r +=+.解得3r =. ……………………………………3分 ∴3,8OA OD FB ===. ∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,∴△FDO ∽△FBE . ……………………………………4分∴FD ODFB BE =. ∴ 6.BE =∵E 为BC 中点，∴212.BC BE ==……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23. 解：（1）……………………2分（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.） (2)① ②……………………4分 ……………………7分24．解：（1）解法一：∵抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -. ……………………1分∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >，∴抛物线经过点B (3,0). ……………………2分 ∴093(3)3m m =+--. ∴1m =.∴抛物线的解析式为322--=x x y . ……………………3分 解法二：令0y =, ∴2(3)3=0mx m x +--. ∴(1)(3)0x mx +-=. ∴31,=x x m=-. 0m > ，点A 在点B 的左侧，∴3(1,0),(,0)A B m-. ……………………1分令0x =，可得3y =-. ∴(0,3)C -.∴3OC =. ……………………2分 OB OC = ,∴33m =. ∴1m =.∴322--=x x y . ……………………3分（2）①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分∵点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上，且12x x <，PQ n =， ∴121,122n nx x =-=+. ……………………5分 ∴1222,22x n x n =-=+.∴原式=736)2()2(2=+++--n n n n . ……………………6分 ②42b -<<-或0b =. ……………………8分 （注：答对一部分给1分.） 25．解：（1）①1；……………………1分②2k；……………………2分 （2）解：连接AE .∵ABC DEF ∆∆，均为等腰直角三角形，2,1DE AB ==， ∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒ ∴22,2,90.DF AC EFB ==∠=︒ ∴2, 2.DF AC AD ==∴点A 为CD 的中点. ……………………3分 ∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒, 2.AE = ∵45,BEM ∠=︒ ∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.∴1= 3.∠∠∴AEM ∆∽FEB ∆. ∴.AM AEBF EF= ……………………4分 ∴22AM =. ∴22222DM AD AM =-=-=. ∴1AMDM=. ……………………5分（3） 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG . （张老师解法：把△ECB 绕B 顺时针旋转90°）∴90EBG ∠=︒. ∵45BEM ∠=︒，∴45EGB BEM ∠=∠=︒. ∴BE BG =.∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴90.BA BC ABC =∠=︒，∴12∠=∠.∴△ABG ≌△CBE . ……………………6分 ∴34AG EC k ==∠=∠，. ∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒， ∴65∠=∠. ∴AG ∥DE .∴△AGM ∽△DEM . ∴.2AM AG kDM DE == ……………………7分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。
2024年北京海淀区初三九年级上学期期末数学试题和答案
海淀九年级数学2024.1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A.B. C. D.2.抛物线2(1)2y x =--+的顶点坐标是（）A.()1,2- B.()1,2 C.()1,2-- D.()1,2-3.若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1，则m 的值为（）A.3B.0C.2-D.3-4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图，在O 中，AB 为直径，C ，D 为圆上的点，若51CDB ∠=，则CBA ∠的大小为（）A.51B.49C.40D.396.如图，O 的半径为2，将O 的内接正六边形ABCDEF 绕点O 顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为（）A.2B.3π C.23π D.4π7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m 1027075015003500700014000成活数n 823566213353180629212628成活的频率n m(结果保留小数点后三位)0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是（）A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多，成活率越高D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30，120或150；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________.10.如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB 和EF 前开后重组可得到矩形ABCD ，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）.11.若关于x 的一元二次方程216ax =有整数根，则整数a 的值可以是________（写出一个即可）.12.已知y 是x 的二次函数，表中列出了部分y 与x 的对应值：x 012y1-113.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是________cm .图1图214.如图，PA ，PB 是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，60P ∠=.若O 的半径为3，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）.15.如图，将面积为25的正方形ABCD 的边AD 的长度增加a ，变为面积为22的矩形AEGF .若正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等，则a 的值是________.16.小云将9张点数分别为19~的扑克牌以某种分配方式全部放入A ，B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k 这一事件的概率记为k P .（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，则8P =________；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k ，k P 的最大值是________.三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：21x x +=.18.已知22310a a -+=，求代数式()2(3)3a a a -++的值.19.如图，在ABC △中，45B ∠=，将ABC △绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，使点B '在BC 的延长线上.求证：BB C B '⊥''.20.已知关于x 的方程2220x mx m n -+-=有两个不相等的实数根.（1）求n 的取值范围；（2）若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m 的值.21.如图，P 是O 外一点，PA 与O 相切，切点为A .画出O 的另一条切线PB ，切点为B .小云的画法是：①连接PO ，过点A 画出PO 的垂线交O 于点B ；②画出直线PB .直线PB 即为所求.（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明.证明：连接OA ，OB .OA OB = ，AB PO ⊥，PO ∴垂直平分AB ，OAB OBA ∠∠=.PA ∴=①.PAB ∠∴=②.PAO PBO ∠∠∴=.PA 是O 的切线，A 为切点，OA AP ∴⊥.90PAO ∠∴= .90PBO ∠∴= .OB PB ∴⊥于点B .OB 是O 的半径，PB ∴是O 的切线（③）（填推理的依据）。
北京市海淀区2013届九年级上学期期末数学试题及答案(最新word版)
海淀区九年级第一学期上册期末考试试题数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟） 2013.01班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1.x 的取值范围是 A ．12x ≠B ．x ≥12C ．x ≤12D ．x ≠-122.将抛物线2y x =平移得到抛物线25y x =+，下列叙述正确的是 A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位3.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC .若:1:2AE EC =，则:AED CEB S S ∆∆为A.2:1B. 1:2C.3:1D. 1:44.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 A ．2210x x -+=B ． 2240x x +-=C ．2250x x --=D ．2240x x ++=5.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =40°，则∠OCB 等于 A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为 A ．212y x =- B ．21(1)2y x =-+ C ．1)1(212---=x y D ． 21(1)12y x =-+-7．已知0a <2a 可化简为A. a -B. aC. 3a -D. 3a8. 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为 A ．BCD二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9= ．10. 若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）.11.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 _________cm. 12.小聪用描点法画出了函数y =F ，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象1F ，再将图象1F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象2F ，如此继续下去，得到图象n F .在尝试的过程中，他发现点P (4,2)--在图象 上（写出一个正确的即可）；若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a = (用含b 的代数式表示) . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：2011()(3)3π--+--14. 解方程：2280x x +-= .(0,1)I15．已知3a b +=，求代数式22285a b a b -+++的值.16.如图，正方形网格中，△ABC 的顶点及点O 在格点上． (1)画出与△ABC 关于点O 对称的△111A B C ；(2)画出一个以点O 为位似中心的△222A B C ，使得△222A B C 与△111A B C 的相似比为2.17．如图，在△ABC 与△ADE 中，C E ∠=∠，12∠=∠,AC AD =2AB ==6,求AE 的长．18.如图,二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点 C ，顶点为D , 求△BCD 的面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m 的值为 ； (2) 求出这个二次函数的解析式；(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 .21．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？22.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点. 求证：（1）DE 为⊙O 的切线；（2）延长ED 交BA 的延长线于F ，若DF =4，AF =2，求BC 的长.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.作法：（1）在e 上任取一点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧交c 于点D ，交d 于点E ； （2）以点A 为圆心，CE 长为半径画弧交AB 于点M ； ∴点M 为线段AB 的二等分点.图1解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；图2（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，请找出一个满足下列条件的点P . （可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.图3 图424．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n . ①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .25．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，2DE =， 1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．图1 图2 图3解答问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为 ； ②在平移过程中，AMDM的值为 （用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AMDM的值（用含k 的代数式表示）．海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：2011()(3)3π--+--解：原式191+-- …………………………………………4分=7 …………………………………………5分 14. 解方程：2280x x +-= .解法一：(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分40x +=或20x -=.∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分解法二： 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分∴ x =. …………………………………………3分∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分15．解法一：∵3a b +=，∴ 22285a b a b -+++=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+=20. ………………………5分 解法二：∵3a b +=，∴3b a =-. .…………………………1分原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分 =582426922+-++-+-a a a a a .…………………………4分=20. ………………………5分16.例如：∴△111A B C 、△222A B C 为所求.(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.) 17. 解：∵12∠=∠，∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠，∴△C A B ∽△EAD . ………………………3分∴AB AC AD AE=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6， ∴=3AB . ∴36=6AE. ∴12AE =. ………………………5分18. 解法一：依题意，可得223y x x =-++=214x --+（）. ∴顶点(1,4)D . ……………1分 令0y =，可得3x =或1x =-.∴A (1,0)-、B (3,0). (2)分令0x =，可得3y =.∴(0,3)C . ……………3分∴直线CD 的解析式为3y x =+. 设直线CD 交x 轴于E . ∴(3,0)E -.∴6BE =. …….………….…………4分 ∴3BCDBEDBCESSS=-=.∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分解法二：同解法一，可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . ……………3分∴直线BC 的解析式为3y x =-+. 过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE . ∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+.∵(1,4)D ，∴直线DE 的解析式为5y x =-+. ∴(5,0)E .∴2BE =. ….…………4分 ∵DE ∥BC ， ∴132BCDBCESSBE OC ==⨯⨯=. ∴△BC D 的面积为3. . .………….………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数，∴2m =. .…………………………3分∴23302x x ++=.2223333()()222x x ++=-+.233()24x +=.2331-=x ，2332--=x . ∴方程的根为2331-=x ，2332--=x . .…………………………5分 20．解：(1)m 的值为3； .…………………………1分(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. .…………………………2分 ∵图象经过点(0,3)，∴1a =. .…………………………3分∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分 (3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 1-≤3<y . .…………………5分 21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分 ∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分∴24a -=，12a =-. ∴212y x =-. .…………………3分当3y =-时，x = .…………………4分答：当水面高度下降1米时，水面宽度为. .…………………5分 22．（1）如图，连接,OD BD . ………………1分∵在⊙O 中，OD OB =， ∴∠1=∠2. ∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB CDB ∠=∠=︒. ∵E 为BC 中点， ∴12ED BC EB ==. ∴∠3=∠4. ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴90EBA ∠=︒.∴132490∠+∠=∠+∠=︒, 即90ODE ∠=︒.∴OD ⊥DE .∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分（2）∵OD ⊥DE ，∴90FDO ∠=︒.设OA OD r ==.∵222OF FD OD =+, DF =4，AF =2，∴222(2)4r r +=+.解得3r =. ……………………………………3分∴3,8OA OD FB ===.∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,∴△F D O ∽△FBE . ……………………………………4分 ∴FD OD FB BE=. ∴ 6.BE = ∵E 为BC 中点，∴212.BC BE ==……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）……………………2分（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）(2)① ②……………………4分 ……………………7分24．解：（1）解法一：∵抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -. ……………………1分∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >，∴抛物线经过点B (3,0). ……………………2分∴093(3)3m m =+--.∴1m =.∴抛物线的解析式为322--=x x y . ……………………3分 解法二：令0y =,∴2(3)3=0mx m x +--.∴(1)(3)0x mx +-=. ∴31,=x x m=-. 0m >，点A 在点B 的左侧， ∴3(1,0),(,0)A B m-. ……………………1分 令0x =，可得3y =-.∴(0,3)C -.∴3OC =. ……………………2分OB OC =, ∴33m=. ∴1m =. ∴322--=x x y . ……………………3分（2）①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分 ∵点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上，且12x x <，PQ n =， ∴121,122n n x x =-=+. ……………………5分 ∴1222,22x n x n =-=+.∴原式=736)2()2(2=+++--n n n n . ……………………6分 ②42b -<<-或0b =. ……………………8分（注：答对一部分给1分.）25．解：（1）①1；……………………1分②2k ；……………………2分（2）解：连接AE . ∵ABC DEF ∆∆，均为等腰直角三角形，2,1DE AB ==， ∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒∴90.DF AC EFB ==∠=︒∴2,DF AC AD ==∴点A 为CD 的中点. ……………………3分∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒,AE =∵45,BEM ∠=︒∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.∴1= 3.∠∠∴AEM ∆∽FEB ∆. ∴.AM AE BF EF= ……………………4分∴AM =∴22DM AD AM =-==. ∴1AM DM=. ……………………5分 （3） 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG . ∴90EBG ∠=︒.∵45BEM ∠=︒，∴45EGB BEM ∠=∠=︒.∴BE BG =.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴90.BA BC ABC =∠=︒，∴12∠=∠.∴△ABG ≌△C B E . ……………………6分∴34AG EC k ==∠=∠，.∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒，∴65∠=∠.∴AG ∥DE .∴△AGM ∽△DEM . ∴.2AM AG k DM DE == ……………………7分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。
2024年北京海淀区初三九年级上学期期末数学试题和答案
海淀九年级数学2024.1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A.B. C. D.2.抛物线2(1)2y x =--+的顶点坐标是（）A.()1,2- B.()1,2 C.()1,2-- D.()1,2-3.若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1，则m 的值为（）A.3B.0C.2-D.3-4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图，在O 中，AB 为直径，C ，D 为圆上的点，若51CDB ∠=，则CBA ∠的大小为（）A.51B.49C.40D.396.如图，O 的半径为2，将O 的内接正六边形ABCDEF 绕点O 顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为（）A.2B.3π C.23π D.4π7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m 1027075015003500700014000成活数n 823566213353180629212628成活的频率n m(结果保留小数点后三位)0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是（）A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多，成活率越高D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30，120或150；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________.10.如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB 和EF 前开后重组可得到矩形ABCD ，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）.11.若关于x 的一元二次方程216ax =有整数根，则整数a 的值可以是________（写出一个即可）.12.已知y 是x 的二次函数，表中列出了部分y 与x 的对应值：x 012y1-113.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是________cm .图1图214.如图，PA ，PB 是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，60P ∠=.若O 的半径为3，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）.15.如图，将面积为25的正方形ABCD 的边AD 的长度增加a ，变为面积为22的矩形AEGF .若正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等，则a 的值是________.16.小云将9张点数分别为19~的扑克牌以某种分配方式全部放入A ，B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k 这一事件的概率记为k P .（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，则8P =________；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k ，k P 的最大值是________.三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：21x x +=.18.已知22310a a -+=，求代数式()2(3)3a a a -++的值.19.如图，在ABC △中，45B ∠=，将ABC △绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，使点B '在BC 的延长线上.求证：BB C B '⊥''.20.已知关于x 的方程2220x mx m n -+-=有两个不相等的实数根.（1）求n 的取值范围；（2）若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m 的值.21.如图，P 是O 外一点，PA 与O 相切，切点为A .画出O 的另一条切线PB ，切点为B .小云的画法是：①连接PO ，过点A 画出PO 的垂线交O 于点B ；②画出直线PB .直线PB 即为所求.（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明.证明：连接OA ，OB .OA OB = ，AB PO ⊥，PO ∴垂直平分AB ，OAB OBA ∠∠=.PA ∴=①.PAB ∠∴=②.PAO PBO ∠∠∴=.PA 是O 的切线，A 为切点，OA AP ∴⊥.90PAO ∠∴= .90PBO ∠∴= .OB PB ∴⊥于点B .OB 是O 的半径，PB ∴是O 的切线（③）（填推理的依据）。
北京市海淀区2014届九年级上期末考试数学试题及答案
) A. 4
B.6 C. 4 3
B
A
D. 6 3
8．如图，Rt△ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，
C、D 两点不重合，设 CD 的长度为 x，△ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下
列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是( )
y
y
y
y
2
2
2 4
1
1
O
1
2x
O
1
2x
1
O
12
1
x
O
1
2x
A
B
C
D
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
9．比较大小： 2 2
3 （填 “>”、“=”或“<”）．
10．如图， A、B、 C 是⊙O 上的点，若 AOB 100o，则 ACB ___________度．
11．已知点 P（-1，m）在二次函数 y x2 1的图象上，则 m 的值为
C
4．二次函数 y 2x2
+1的图象如图所示，将其绕坐标原点 O 旋转180o
则旋转后的抛物线的解析式为( )
，
A． y 2x2 1
B． y 2x2 1
y 2x2 +1
C． y 2x2
D． y 2x2 1
5．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (3, 4) 为圆心，4 为半径的圆与 y 轴所
EP1F
+∠ EP F
2
+
∠ EP 3F + L +∠ EP F n-1
度；如图
度海淀区九年级第一学期期末测评数学试题及答案
2011-2012学年度海淀区九年级第一学期期末测评数学试题及答案9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程海淀区九年级第一学期期末测评数学试卷 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列说法正确的是 ( )A. 掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上是不可能事件B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件1D．某一抽奖活动中奖的概率为100,买100张奖券一定会中奖2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )3. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3,则下列平移过程正确的是( )A. 向上平移3个单位B. 向下平移3个单位C. 向左平移3个单位D. 向右平移3个单位4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 ( )A．x2+1=0 B．9x2-6x+1=0 C．x2-x+2=0 D．x2-2x-3=05. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为( )A. 5πcm2B. 10πcm2C. 14πcm2D. 20πcm26. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6m,与树相距15m，则树的高度为 ( )A. 4mB. 5mC. 7mD. 9m27. 已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如右图所示，则下列结论中正确的是 ( )A．a>0 B．c＜02 C．b4ac0 D．a＋b＋c>0 1仔细思考认真书写9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程8. 已知O为圆锥顶点, OA、OB为圆锥的母线, C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开,则得到的圆锥侧面展开图为 ()BAOA(A)A(A)A(A)AC BBBBBAB C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 方程x4x0的解是 .10. 如图, △ABD与△AEC都是等边三角形, 若ADC = 15, 则ABE= .x y zx2y z2O(A)A(A)CB(A)ADAEBz 11. 若234（x, y, z均不为0），则的值为 .12．用两个全等的含30角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30角的顶点, 按先A后B 的顺序交替摆放A、B两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片 8; 若摆放这个图案共用两种卡片(2n+1)张( n为正整数), (结果保留 )…… A种图1 图 2，三、解答题（本题共29分, 第13题～第15题各5分, 第16题4分, 第17题、第18题各5分）213．解方程：x -8x +1=0. 解:14．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，AED=C，AB=6，AD=4， AC=5, 求AE的长．解:DB215. 抛物线y=ax+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：仔细思考认真书写9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程（1）根据上表填空：① 抛物线与x和② 抛物线经过点 (-3, )；③ 在对称轴右侧，y随x增大而；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式.解: （1）① 抛物线与x轴的交点坐标是；② 抛物线经过点 (-3, )；③ 在对称轴右侧，y随x增大而 .（2）16. 如图, 在正方形网格中，△ABC的顶点和O点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′；（2）在图2中以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍(只需画出一种即可). 解:结论: 为所求.17．已知关于x的方程(k-2)x2＋2(k-2)x＋k＋1=0有两个实数根，求正整数k的值．解:18．在一个口袋中有3个完全相同的小球,把它们分别标号为1, 2, 3, 随机地摸出一个小球记下标号后放回, 再随机地摸出一个小球记下标号, 求两次摸出小球的标号之和等于4的概率．解:四、解答题（本题共21分，第19题、第20题各5分, 第21题6分, 第22题5分）3仔细思考认真书写9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程19．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双) 与销售单价x(元)满足w2x80(20≤x≤40),设销售这种手套每天的利润为y（元）. （1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？解:20．已知二次函数y2+(3x-3 (m>0)的图象与x轴交于点 (x1, 0)和(x2, 0), 且x1<x2.（1）求x2的值;22（2）求代数式mx1mx1(3m)x16mx19的值.21. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE AB于E, CD平分ECB, 交过点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD. （1）求证：BD是⊙O 的切线；（2）若AE=9, CE=12, 求BF的长.解:22. 已知△ABC的面积为a，O、D分别是边AC、BC的中点.（1）画图：在图1中将点D绕点O旋转180得到点E, 连接AE、CE.填空：四边形ADCE；4仔细思考认真书写9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程（2）在（1）的条件下，若F1是AB的中点，F2是AF1的中点, F3是AF2的中点,…,Fn是AFn -1的中点 (n为大于1的整数), 则△F2CE的面积为 ;△FnCE 解: （1）画图:图1填空：四边形ADCE的面积为.（2）△F2CE的面积为; △FnCE的面积为 .备用图五、解答题（本题共22分，第23题7分, 第24题7分，第25题8分）ya4x23. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象与反比例函数 y轴交于点B.（1）试确定反比例函数的解析式;（2）若ABO =135, 试确定二次函数的解析式;22的图象交于点A (a, -3)，与（3）在（2）的条件下,将二次函数y=ax+ bx + c的图象先沿x轴翻折, 再向右平移到x的图象交于点P (x0, 6) . 当x0 ≤x ≤3时, 求平移后的二与反比例函数次函数y的取值范围. 解:ya 45仔细思考认真书写9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程24. 已知在□ABCD中，AE BC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；（3）如图3, 若AE AD =a b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.D解: （1）线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系为:. FB（2）ADFBA（3）线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系为: D.6 F仔细思考EC9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程图325. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O及A(23,0)，其顶点为B(m,3),C是AB中点，点E是直线OC上的一个动点 (点E与点O不重合)，点D在y轴上, 且EO=ED .（1）求此抛物线及直线OC的解析式；（2）当点E运动到抛物线上时, 求BD的长；33（3）连接AD, 当点E运动到何处时，△AED的面积为4，请直接写出此时E点的坐标.解:7仔细思考认真书写9年级 VIP学习中心tel: 62511886 个性化课程海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012.01说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分.一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2.D3.A4.B5. B6. C7.D8. C二、填空题（本题共16分，每小题4分）3n 29. x =0或x =4 10. 15 11. 1 12. 分); (2分)三、解答题（本题共29分,第13题～第15题各5分,第16题4分,第17题、第18题各5分）13．解法一： a=1, b=-8, c=1, …………………………1分12π(2πb4ac600. …………………………2分x2a22. …………………………3分∴ x14,2解法二：x8x 1. x24. …………………………5分x8x16116. …………………………1分(x4)15. …………………………2分x422 …………………………3分∴x14,x24. …………………………5分14．证明: 在△AED和△ACB中，∵ ∠A=∠A, ∠AED =∠C, ……………………………2分∴△AED∽△ACB. ……………………………3分AE∴ ACAE ADAB 46... ……………………………4分∴ 5AE 103∴ ……………………………5分15．（1）① (-2 ,0), (1, 0)；② 8; ③增大 (每空1分) ……………………………3分（2）依题意设抛物线解析式为 y=a (x+2) (x-1).由点 (0, -4)在函数图象上，得-4=a(0+2)(0-1). ……………………………………4分解得 a =2.∴ y=2 (x+2) (x-1). …………………………………………………5分即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-4.16．（1）正确画图（1分）标出字母（1分）……………………………………2分（2）正确画图（1分），结论（1分）………………………………………………4分k20,① 2[2(k2)]4(k2)(k1)0.17．解：由题意得② …………………1分由①得 k 2. ………………………………………………………2分由②得 k 2. ………………………………………………………4分∴k 2.∵k为正整数，8仔细思考认真书写18．解法一：由题意画树形图如下： 213第一次摸球第二次摸球123123123…………………3分从树形图看出，所有可能出现的结果共有9个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4的结果共有3种. ………………………………………………………4分3∴k 1. ……………………………………………………5分所以P(标号之和等于4)=9解法二：13. ………………………………………………………5分……………………………………3分由上表得出，所有可能出现的结果共有9个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于4的结果共有3种. ………………………………………………………4分3所以P(标号之和等于4)=93. ………………………………………………………5分四、解答题（本题共21分, 第19题、第20题各5分, 第21题6分，第22题5分）19．（1）y w(x20)(2x80)(x20) ……………………………………2分2x120x1600.21（2）y2(x30)200. ∵20x40, a =-2<0,∴当x30时，y最大值200. ……………………………………4分答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元. ………5分 20．（1）∵二次函数y2+(3x-3 (m>0)的图象与x轴交于点(x1, 0)和(x2, 0), ∴ 令y0，即22+(3x-3=0．………………………………………………1分(+3)( x-1)=0.∵m>0，∴0. 解得 x1或x3m…………………………………………………………2分0 1∵ x1 <x2，,∴x2 1. ……………………………………………………………3分（2）由（1）x1，得x 3.9仔细思考认真书写x1是方程mx2+(3x-3=0的根，12+(3x1=3.由∴mx1212 +(3x1112 +(3x11+3)2=3. ………5分21．解：（1）证明：∵CE AB, ∴ CEB90. ∵ ∴ ∴ ∴CD平分ECB, BC=BD, 12, 2 D.1 D. …………………………1分CE∥BD.∴ DBA CEB90. ∵ AB是⊙O的直径,∴ BD是⊙O的切线. (2)分（2）连接AC，∵ AB是⊙O直径，∴ ACB90. ∵CE AB,2可得 CE AE EB.∴EBCEAE216.………………………………………………………3分在Rt△CEB中，∠CEB=90, 由勾股定理得BC20. ……………4分∴ BD BC20.∵ 1D, ∠EFC =∠BFD,∴ △EFC∽△BFD. (5)分EC∴ BD12EFBF.BF∴ 20.∴BF=10. ………………………………………………………………………6分22．（1）画图: 图略(1分); 填空： a(1分) …………………………………2分516BF(1分), （2分）……………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2（2）8a2 1n 1na23．（1）∵A(a, -3)在∴aa4 3ya4x的图象上,.3x.解得a 1. ……………………………………1分∴反比例函数的解析式为（2）过A作AC⊥y轴于C.y10仔细思考认真书写∵ A(-1, -3),∴ AC=1，OC=3. ∵ ∠ABO=135，∴ ∠ABC=45. 可得 BC=AC=1. ∴ OB=2.∴ B (0, -2).…………………3分2由抛物线y ax bx c与y轴交于B，得c= -2. ∵ a= -1,∴y x bx 2.∵ 抛物线过A(-1，-3), ∴ 1b2 3. ∴ b=0.2∴ 二次函数的解析式为y x 2. (4)分 2（3）将y x2的图象沿x轴翻折，得到二次函数解析式为y x 2. ……………5分2设将y x2的图象向右平移后的二次函数解析式为y(x m)2(m>0).222∵ 点P（x0, 6）在函数63x0.y3x上，∴∴x0.21212∴y(x m)2的图象过点∴2可得(1m)26m152,2P(,6)..32m2（不合题意，舍去）. y(x52) 22∴ 平移后的二次函数解析式为∵ a=1>0, 1. …………………………6分2y94∴ 当21x525时，2y6; 当2x 3时，.∴ 当2x 3时，2y 6. ……………………………………7分∴ 平移后的二次函数y的取值范围为 2y 6.24. （1）CD=AF+BE. …………………1分（2）解：（1）中的结论仍然成立.证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB=CD, AB∥CD，AD=BC. ∵ AE⊥BC于点E,G24D11仔细思考FB E∴ ∠AEB=∠AEC=90.∴∠AEB=∠DAG=90. ∴ ∠DAG=90. ∵ AE=AD,∴△ABE≌△DAG. (3)分∴∠1=∠2, DG=AB. ∴∠GFD=90-∠3. ∵ DF平分∠ADC, ∴∠3=∠4.∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3.∴∠GDF=∠GFD. ………………………………………………………………4分∴ DG=GF.∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE.即 CD = AF+BE. ………………………………………………………………5分（3）CDabAF BEb或bCD aAF bBE或aCD AFbaBE. …………………7分25. 解：（1）∵ 抛物线过原点和A(0)，∴ 抛物线对称轴为x 3. ∴ B(3). 设抛物线的解析式为∵ 抛物线经过(0, 0),∴ 0=3a+3. ∴ a=-1.y a（x 3.22∴y(x3) 3 ……………………………………………1分2=x23x.∵ C为AB的中点, A(0)、B(3)，可得 C(232) .y33x可得直线OC的解析式为. ……………………………………………2分2（2）连结OB. 依题意点E为抛物线y xx，y32由y x,xy5,3解得323x与直线y33x的交点（点E与点O不重合）.x0,y0. 或（不合题意，舍）. 53∴ E（）…………………………3分5过E作EF⊥y轴于F, 可得OF=3，∵ OE=DE，EF⊥y轴，∴ OF=DF.10∴ DO=2OF=3.∴ D(0, ∴ BD3). ………………………………………………………………………4分. ……………………………………………5分（3）E点的坐标为(322)或(212). 说明：此问少一种结果扣1分.……………………………………………8分13仔细思考认真书写。
海淀区2013-2014学年九年级第一学期期末数学试卷
C．相交
D．无法确定
C O
6．若关于 x 的方程 ( x 1) k 1 没有实数根，则 k 的取值范围是 A． k 1 B． k 1 C．k 1 D． k 1 7．如图， AB 是⊙ O 的切线， B 为切点， AO 的延长线交⊙ O 于 C 点，连接 BC ，
A 30 ， AB 2 3 ，则 AC 等于 ( 若
EP3 F + +∠ EPn -1 F EP2 F +∠ EP3 F + +∠ EPn -1 F
度；如图 2，若 A ， B ，则∠ EPF +∠ 1 （用含 ， 的式子表示）.
P1 P2 P3 Pn-1 E
图2
B
F C
A
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 27
AD EC , ADB C , BD DC ,
B
E
C
∴△ ABD ≌△ EDC .………………………………………………………………4 分 ∴ AB ED ． ……………………………………………………………………5 分 18． （本小题满分 5 分） 解：（1）∵关于 x 的方程 x 2 2x +k 1 0 有实数根， ∴ 4 4(k 1) 0 . ………………………………………………………1 分
2
B
旋转后的抛物 线的解析式为( A． y 2 x 1
2
) B． y 2 x 1
2
y 2 x 2 +1
C． y 2 x
2
D． y 2 x 1
2
5．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (3, 4) 为圆心，4 为半径的圆与 y 轴所 在直线的位置关系是( ) A．相离 B．相切
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海淀区九年级第一学期上册期末考试试题数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟） 2013.01班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.若代数式21x -有意义，则x 的取值范围是 A ．12x ≠B ．x ≥12C ．x ≤12D ．x ≠-122.将抛物线2y x =平移得到抛物线25y x =+，下列叙述正确的是 A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位3.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC .若:1:2AE EC =，则:AED CEB S S ∆∆为A.2:1B. 1:2C.3:1D. 1:4 4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 A ．2210x x -+=B ． 2240x x +-=C ．2250x x --=D ．2240x x ++=5.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =40°，则∠OCB 等于 A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为 A ．212y x =- B ．21(1)2y x =-+C ．1)1(212---=x y D ． 21(1)12y x =-+- 7．已知0a <，那么22a a-可化简为A. a -B. aC. 3a -D. 3a8. 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为 A ．32π B ．33π C ．34π D ．36π 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．计算3(16)-= ．10. 若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）.11.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 _________cm. 12.小聪用描点法画出了函数y x =的图象F ，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象1F ，再将图象1F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象2F ，如此继续下去，得到图象nF .在尝试的过程中，他发现点P (4,2)--在图象上（写出一个正确的即可）；若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a =(用含b 的代数式表示) .(0,1)I三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：20112()(3)83π--+---.14. 解方程：2280x x .15．已知3a b +=，求代数式22285a b a b -+++的值.16.如图，正方形网格中，△ABC 的顶点及点O 在格点上． (1)画出与△ABC 关于点O 对称的△111A B C ；(2)画出一个以点O 为位似中心的△222A B C ，使得△222A B C 与△111A B C 的相似比为2.17．如图，在△ABC 与△ADE 中，C E ∠=∠，12∠=∠,AC AD =2AB ==6,求AE 的长．18.如图,二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A 、B两点，与y 轴交于点 C ，顶点为D , 求△BCD 的面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知关于x 的方程4332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：x… 0 1 23 45 … y…31-m8…(1) 可求得m 的值为 ； (2) 求出这个二次函数的解析式；(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 .21．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？22.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点. 求证：（1）DE 为⊙O 的切线；（2）延长ED 交BA 的延长线于F ，若DF =4，AF =2，求BC 的长.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；∴点M为线段AB的二等分点.图1解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；图2（2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满足下列条件的点P. （可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.图3 图424．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .25．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，2DE =， 1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．图1 图2 图3解答问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AM DM的值为 ；②在平移过程中，AM DM的值为 （用含k 的代数式表示）；（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算AM DM的值；（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AM DM的值（用含k 的代数式表示）．海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案B A D A B DC B二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 910 1112答 案332->232F （答案不唯一）、b - 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：20112()(3)83π--+--. 解：原式219122-+-- …………………………………………4分=7- …………………………………………5分 14. 解方程：2280x x .解法一：(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分40x +=或20x -=. ∴124,2x x =-=. …………………………………………5分解法二： 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分∴x =. …………………………………………3分 ∴124,2x x =-=. …………………………………………5分15．解法一：∵3a b +=，∴ 22285a b a b -+++=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+=20. ………………………5分 解法二：∵3a b +=，∴3b a =-. .…………………………1分原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分=582426922+-++-+-a a a a a .…………………………4分 =20. ………………………5分16.例如：∴△111A B C 、△222A B C 为所求.(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.) 17. 解：∵12∠=∠，∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠，∴△CAB ∽△EAD . ………………………3分 ∴ABAC AD AE=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6， ∴=3AB . ∴36=6AE. ∴12AE =. ………………………5分 18. 解法一：依题意，可得223y x x =-++=214x --+（）. ∴顶点(1,4)D . ……………1分 令0y =，可得3x =或1x =-.∴A (1,0)-、B (3,0). ……………2分 令0x =，可得3y =. ∴(0,3)C . ……………3分∴直线CD 的解析式为3y x =+. 设直线CD 交x 轴于E . ∴(3,0)E -.∴6BE =. …….………….…………4分 ∴3BCDBEDBCESSS=-=.∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分解法二：同解法一，可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . ……………3分∴直线BC 的解析式为3y x =-+. 过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE . ∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+. ∵(1,4)D ，∴直线DE 的解析式为5y x =-+. ∴(5,0)E .∴2BE =. ….…………4分 ∵DE ∥BC ， ∴132BCDBCESSBE OC ==⨯⨯=. ∴△BCD 的面积为3. . .………….………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）∵关于x 的方程4332=++mx x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数， ∴2m =. .…………………………3分∴23302x x ++=. 2223333()()222x x ++=-+. 233()24x +=. 2331-=x ，2332--=x .∴方程的根为2331-=x ，2332--=x . .…………………………5分20．解：(1)m 的值为3； .…………………………1分(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. .…………………………2分 ∵图象经过点(0,3)，∴1a =. .…………………………3分∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 1-≤3<y . .…………………5分 21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分∴24a -=，12a =-. ∴212y x =-. .…………………3分 当3y =-时，6x =±. .…………………4分答：当水面高度下降1米时，水面宽度为26米. .…………………5分22．（1）如图，连接,OD BD . ………………1分∵在⊙O 中，OD OB =，∴∠1=∠2.∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB CDB ∠=∠=︒.∵E 为BC 中点，∴12ED BC EB ==. ∴∠3=∠4.∵BC 切⊙O 于点B ，∴90EBA ∠=︒.∴132490∠+∠=∠+∠=︒,即90ODE ∠=︒.∴OD ⊥DE .∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分（2）∵OD ⊥DE ，∴90FDO ∠=︒.设OA OD r ==.∵222OF FD OD =+, DF =4，AF =2，∴222(2)4r r +=+.解得3r =. ……………………………………3分∴3,8OA OD FB ===.∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,∴△FDO ∽△FBE . ……………………………………4分∴FD OD FB BE=.∴ 6.BE =∵E 为BC 中点，∴212.BC BE ==……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23. 解：（1）……………………2分（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）(2)① ②……………………4分 ……………………7分24．解：（1）解法一：∵抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -. ……………………1分∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >，∴抛物线经过点B (3,0). ……………………2分∴093(3)3m m =+--.∴1m =.∴抛物线的解析式为322--=x x y . ……………………3分 解法二：令0y =,∴2(3)3=0mx m x +--.∴(1)(3)0x mx +-=. ∴31,=x x m=-. 0m >，点A 在点B 的左侧， ∴3(1,0),(,0)A B m-. ……………………1分 令0x =，可得3y =-.∴(0,3)C -.∴3OC =. ……………………2分OB OC =, ∴33m =.∴1m =.∴322--=x x y . ……………………3分（2）①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分 ∵点P1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上，且12x x <，PQ n =， ∴121,122n n x x =-=+. ……………………5分 ∴1222,22x n x n =-=+.∴原式=736)2()2(2=+++--n n n n . ……………………6分 ②42b -<<-或0b =. ……………………8分（注：答对一部分给1分.）25．解：（1）①1；……………………1分 ②2k ；……………………2分（2）解：连接AE .∵ABC DEF ∆∆，均为等腰直角三角形，2,1DE AB ==，∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒∴22,2,90.DF AC EFB ==∠=︒∴2, 2.DF AC AD == ∴点A 为CD 的中点. ……………………3分∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒, 2.AE =∵45,BEM ∠=︒∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.∴1= 3.∠∠∴AEM ∆∽FEB ∆.∴.AM AE BF EF= ……………………4分 ∴22AM =.∴22222DM AD AM =-=-=.∴1AMDM=. ……………………5分（3） 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG . ∴90EBG ∠=︒.∵45BEM ∠=︒，∴45EGB BEM ∠=∠=︒.∴BE BG =.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴90.BA BC ABC =∠=︒，∴12∠=∠.∴△ABG ≌△CBE . ……………………6分∴34AG EC k ==∠=∠，.∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒，∴65∠=∠.∴AG ∥DE .∴△AGM ∽△DEM . ∴.2AM AG k DM DE == ……………………7分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。