江西省南昌市八一中学、实验中学、南师附中五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学(文)试题 Word

2019-2020学年度第一学期高二文科数学期中联考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线1y =的倾斜角和斜率分别是（ ） A.,14π B.0,0C.090，不存在D. 不存在，不存在2．与椭圆221248x y +=的焦点坐标相同的是（ ）A.221515x y -= B.221259x y -= C.2212012x y += D.221925x y +=3．抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ） A.()0,2-B.()2,0-C.10,32⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知直线330mx y m ++-=与直线(2)20x m y +++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．3B ．1C ．-3或1D ．-1或35．已知方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A.1m >-B.2m >C.1m <-或2m >D.12m -<< 6.若圆22240+-++=x y x y m 截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为A ．1-B ．2-C ．4-D ．31-7.设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=o，则12F PF ∆的面积为（ ）B. 1C. 28．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,四点()()124,2,2,0P P ，()()344,3,4,3P P -中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）B.52D.729．已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则11y x ++的取值范围是（ ）A.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知圆222:(2)A x y r ++=和点(2,0)B ，P 是圆A 上任意一点，线段BP 的垂直平分线交AP 于点M ，r ＞4，则点M 的轨迹为（ ）A ．圆B ．双曲线C ．抛物线D ．椭圆11．椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜，则ab的值为（ ） A．4 B．6C．D．12．已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若P F 1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. )+∞B.C. )+∞D.二、填空题（本大题共4个小题. 每小题5分，共20分）13．已知x 、y 满足约束条件10101x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最小值为______.14．将参数方程12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），转化成普通方程为_______15．已知F 是抛物线28y x =的焦点，点A (2,，抛物线上有某点P ，使得PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为______． 16.下列说法中所有正确的序号是 ①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等；②若动点M 到定点（1,2）和定直线3x +2y -7=0的距离相等，则动点M 的轨迹是抛物线； ③已知12,F F 是椭圆22421x y +=的两个焦点，过点1F 的直线与椭圆交于A,B 两点，则2ABF ∆的周长为；④曲线的参数方程为4tan 2cos x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩，则它表示双曲线且渐近线方程为12y x =±；⑤已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D1； 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B -，(0,6)C . （1）求BC 边上的高所在的直线方程； （2）求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分） （1）求经过点(,,P Q-且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线2212x y -=有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为841x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大距离. 20．（本小题满分12分）（1）已知圆1C 过点(2,3)A -，且与直线43180x y -+=相切于点(3,2)B -，求圆1C 的方程； （2）已知圆2C 与y 轴相切，圆心在直线20x y -=上，且圆2C 被直线y x =截得的弦长为2C 的方程．21．（本小题满分12分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN 为直径的圆恰好经过原点.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆22:(1)1M x y ++=外切，与圆22:(1)9N x y -+=内切．（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）直线l 过点(1,0)E -且与动圆圆心P 的轨迹交于,A B 两点．是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.高二上学期期中联考（文科）参考答案13.-2 14. 22(1)(2)4x y -++= 15. 32⎛ ⎝ 16.③ ④17. 解：（1）直线BC 的斜率6420(3)3BC k -==--，则BC 边上高所在直线斜率32k =-，则BC 边上的高所在的直线方程为32(1)2y x -=-+，即3210x y +-=. （2）BC 的方程为263y x =+，23180x y -+=.点A 到直线BC 的距离d||BC ==则ABC ∆的面积11||522S BC d === 18. 解: （1）依题意,设双曲线的方程为()2210Ax By AB -=>,∵双曲线过点(,,P Q-∴381,6121,A B A B -=⎧⎨-=⎩解得13A =-, 14B =-,故双曲线的标准方程为22143y x -=.（2）双曲线2212x y -=双曲线的焦点为()，设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，可得223a b +=，将点代入双曲线方程可得，22221a b -=，解得1a =，b =即有所求双曲线的方程为：2212y x -=．19.解:（1）Q 直线l 的参数方程为841x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 4120x y ∴+-=曲线C 的普通方程为2219x y +=（2）依题意可得：点3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩到直线4120x y +-=的距离d ==其中3tan 4ϕ=当sin()1θϕ+=-时,椭圆C 上的点到l20. 解：（1）由题意知圆心必在过切点(3,2)B -且垂直切线43180x y -+=的直线上，可求得此直线为3410x y ++= …………2分 又圆心必在AB 垂直平分线y x =-上 …………4分联立3410y x x y =-⎧⎨++=⎩，可求得圆心(1,1)-，则5r==故圆1C 的方程为()()221125x y -++= …………6分（2）设圆心200(2,)C y y ，半径02r y =，圆心到直线0x y -=由半径、弦心距、半径的关系得22004142y y =+ 02y ∴=± …………4分 当02y =时，圆心(4,2)，半径4r =，此时圆2C 为()()224216x y -+-= 当02y =-时，圆心(4,2)--，半径4r =，此时圆2C 为()()224216x y +++= 21. 解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…………4分（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)mmOM y ON y -=-=-u u u u r u u u r ， 所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++u u u u r u u u r 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2故以MN 为直径的圆恰好经过原点…………12分 法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)mmOM y ON y -=-=-u u u u r u u u r ， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++u u u u r u u u r121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++0=所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2故以MN 为直径的圆恰好经过原点…………12分 22. 解：（1）设动圆圆心(,)P x y ，半径为r .由题意知，1PM r =+，3PN r =-，4PM PN ∴+=由椭圆定义可知，动圆圆心P 在以,M N 为焦点的椭圆上，且2a =，1c =2223b a c ∴=-=∴动圆圆心P 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠-．（漏写2x ≠-扣1分）…………5分 （2）存在△AOB 面积的最大值.因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则223412,1.x y x my ⎧+=⎨=-⎩整理得 22(34)690m y my +--=． 由22(6)36(34)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，． 则12122269,3434m y y y y m m +=⋅=-++ 则21||y y -==8分因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-12==设1t =≥，则221m t =-，则26613(1)43AOB t S t t t∆==-++设1()3g t t t=+在区间[1,)+∞上为增函数．所以()4g t ≥．所以32AOB S ∆≤，当且仅当0m =时取等号，即max 3()2AOB S ∆=．所以AOB S ∆的最大值为32．…………12分。